计算方法-第2章-插值法均差与牛顿插值公式
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6.2 牛顿插值多项式
一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差 阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
第二章 插值法--课堂
考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念
第二章 插值法
项式是唯一存在的。
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
证明：
yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x ) = Pn ( x ) - Ln ( x ) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = Ln ( x ) p( x ) ( x - x i ) 也是一个插值
sin 50 0 L2 ( 5 ) 0.76543 18
R2 ( x ) = - cos x ( x - )( x - )( x - ) ; 3! 6 4 3 1 cos 3 x 2 2
0.00044 R2 5 0.00077 18
=
x - x1 y + x 0 - x1 0
x - x0 y = x1 - x 0 1
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
§1 Lagrange Polynomial
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
§1 拉格朗日多项式
Pn ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Pn ( x ) = a0 a1 x an x 使得
i = 0 , ... , n
第二章插值法
lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [
计算方法Newton插值 ppt课件
2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
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差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法—插值法
2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
5
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2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
2.2 牛顿插值法
f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ]( x - x 0 ) + f [ x , x 0 , x 1 ]( x - x 0 )( x - x 1 )
又
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] =
f [ x 0 , x1 , x 2 ] - f [ x , x 0 , x1 ] x2 - x
a2=
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式, 均差定义
2.3.2 均差及其性质
1、均差的定义 称 f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x ) 关于点 x 0 , x k 的一阶差商。 称 f [ x 0 , x1 , x k ] =
注：均差与节点的排列次序无关——均差 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x 0 , x 1 , , x k ] = f [ x 1 , x k - 1 , x 0 , x k ]
= f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x 0 ] xk - x0 f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 0 , x 1 , x 2 , , x k -1 ] xk - x0
f (xj)
k
j=0
j=0
( x j - xi )
i=0 j i
1ºn 阶均差可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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25
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26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
Ch2(2)牛顿插值法
于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的 相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
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1)(x 4) 1)(0 4)
1 4
x3
5 4
x2
x
l3 (x)
(x (4
0)( x 0)(4
1)( x 1)(4
2) 2)
1 24
x3
1 8
x2
1 12
x
Lagrange插值多项式为
L3(x) f (xi )li (x) l0 (x) 9l1(x) 23l2 (x) 3l3(x)
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ]
三阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
l0 (x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)(x 4) 2)(0 4)
1 8
x3
7 8
x2
7 4
x
1
l1 ( x)
(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)
1 3
x3
2x2
8 3
x
l2 (x)
(x 0)(x (2 0)(2
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从 直线方程点斜式
P1 ( x)
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) an (x x0 )(x x1)(x xn1)
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
x2 x1
依次可得到 a3, a4 , , an 。为写出系数的一般表达式，
2019/9/8
4
现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n 称
f [x0 , xk ]
f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
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这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1, , xk ] f [x1, x0 , x2 , , xk ] f [x1, x2 , , xk , x0 ]
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11 x3 45 x2 1 x 1
4 42
21
（2）Newton插值多项式：建立差商表为
一阶差商 二阶差商 三阶差商
01
19
8
2 23
14
3
43
-10
-8
11
4
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Newton插值多项式为
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16
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17
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显然：
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例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值 多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
x
0
f(x)
1
1
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
9
23
3
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解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 , xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
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10
三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
第二章 插值法
§ 2.3 均差与牛顿插值公式
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1
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2,,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
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2
f (xk ) f (x0 ) xk x0
(k 0)
为f (x)关于节点 x0 , xk 一阶均差(差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k
f (xj)
j0 (x j x0 )(x j x j1)(x j x j1)(x j xk )
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例
f [x0 , x1]
f (x0 ) x0
f (x1) x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
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规定函数值为零阶均差
四阶差商
f [x0 , x1 ,, x4 ]
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例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
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xi
f (xi )
一阶差 商
二阶差商
三阶差 商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5
-1.25 12
2.3.2 牛顿插值公式
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Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
f [x, x0 , x1 ,, xn ]n1(x)
我们称 Nn(x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
2019/9/8 称 Rn (x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
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Pn (x0 ) a0 f0
当
Pn
(
x2
)
a0
a1(x2
Pn (x1) a0 a1(x1 x0 ) x0 ) a2 (x2 x0 )(x2 x1)
f1 f2
a2
a0 f0
a1
f1 f0 x1 x0