高中数学 3.3.1《双曲线及其标准方程》同步练习 北师大版选修21
331《双曲线及其标准方程》(北师大版选修21)PPT课件
则由双曲线的定义知:2a=|PF1|-|PF2| =|F1A|-|F2A| =|OF1|+|OA|-|F2A| =|OF2|+|OA|-|F2A|=2|OA|. ∴|OA|=a，即内切圆圆心的横坐标为a.
二、填空题（每题5分，共10分）
4.设椭圆C1的离心率为 1 5 3 ,焦点在x轴上且a=13.若曲线C2上的 点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的
2.(5分)在方程mx2-my2=n中，若mn<0，则方程的曲线是( ) (A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在x轴上的双曲线 (C)焦点在y轴上的双曲线 (D)焦点在y轴上的椭圆
【解析】
3.（5分）(2009·辽宁高考)已知F是双曲线 x 2 y 2 = 1 的左焦
4 12
点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 ________. 【解析】设右焦点为F1,依题意, |PF|=|PF1|+4, ∴|PF|+|PA|=|PF1|+4+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4=5+4 =9. 答案:9
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.已知双曲线 x 2 y 2 = 1 的左、右焦点分别是F1、F2,若双曲线
9 16
上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解析】由 x 2 y，2 =得1 a=3,b=4,∴c=5.
9 16
由双曲线定义及勾股定理得
∵(|PF1|-|PF2|)2=36,
一、选择题（每题5分，共15分）
1.(2010·重庆高二检测)若k为大于1的常数,则方程 x 2 + y 2 =1
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线3.3.1双曲线及其标准方程课件北师大版选修21
绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P的轨迹方程.
思维点拨:从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定
义中的条件,所以要确定点P的轨迹方程,应依据条件,对a进行分类讨论.
第十页，共30页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
解:|F1F2|=2.
(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)与y=0(x≤-1);
(2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;
(3)当 0<a<2 时,轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线,c=1,b
2
=1- ,
4
2
所以方程为
2
2
4
−
2
=1;
2
1- 4
(4)当a>2时,轨迹不存在.
反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条
件0<2a<|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.
∴P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,
∴P点的轨迹为射线,是以B为端点向上的一条射线.
答案:D
第四页，共30页。
一
二
思考(sīkǎo)
辨析
二、双曲线的标准(biāozhǔn)方程
第五页，共30页。
一
二
思考(sīkǎo)
辨析
名师点拨1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来
判断双曲线的焦点在哪一个(yī ɡè)坐标轴上:焦点在系数为正项对应
的坐标轴上.
高中数学 课时跟踪训练(十八)双曲线及其标准方程 北师大版选修21
课时跟踪训练(十八) 双曲线及其标准方程1．双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A ．1或21B ．14或36C ．2D ．212．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝13．k <2是方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的 一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．245．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为____________．6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在直线y ＝bax 上，则C 的方程为________________________________________________________________________．7．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1.求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程．8．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．答 案1．选D 设双曲线的左右焦点分别为F 1，F 2，不妨设|PF 1|＝11，根据双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝10，所以|PF 2|＝1或|PF 2|＝21，而1＜c －a ＝7－5＝2，故舍去|PF 2|＝1，所以点P 到另一个焦点的距离为21，故选D.2．选A ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 3．选A ∵k <2⇒方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线，而方程x 24－k ＋y 2k －2＝1表示双曲线⇒(4－k )(k －2)<0⇒k <2或k >4⇒/ k <2. 4．选B 由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2，∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4.又∵|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形PF 1F 2为直角三角形．∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.5．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：46．解析：点P (2,1)在直线y ＝b ax 上，则1＝2ba，a ＝2b ①.双曲线的焦距为10，则有a 2＋b 2＝52，将①代入上式可得b 2＝5，从而a 2＝20，故双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：x 220－y 25＝17．解：双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，16a 2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. 8．解：∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 且|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5. 则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1.。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
北师大版选修21高中数学3.3.1双曲线及其标准方程word导学案
课 题 3.3.1 双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．4.双曲线介于椭圆与抛物线之间，承上启下；可以结合实例，观察分析，培养“应用数学意识”，进一步巩固数形结合思想．学习重点：掌握双曲线的标准方程，会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题。
学习难点：几何图形和标准方程的推导过程.学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做， 叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程问题探究一 双曲线的定义1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M ，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题探究二 双曲线的标准方程1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？2 怎样才能建立双曲线的标准方程，两种形式的标准方程怎样进行区别？例1、 设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，求P 点的轨迹方程。
学后检测1：文科：1---1书P40页1题 理科2—1书P80页1题 例2、 相距2km 的两个哨所A,B 听到远处传来的炮弹爆炸声，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s 。
已知当时的声速为340m/s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程。
学后检测2 求焦点在坐标轴上，且经过P1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，325和P2⎝ ⎛⎭⎪⎫437，4两点的双曲线的标准方程．三、当堂检测：1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为 ( ) A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1 D.x 2132－y 2122＝1 3．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )A ．双曲线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆4．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0,3)，则k 的值是 ( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－125．经过点(－1,2)和(2，－5)的双曲线的方程是 ( )A.y 23－7x 23＝1B.x 23－7y 23＝1或7x 23－y 23＝1 C.7x 23－y 23＝1 D.x 23－7y 23＝1 6．若ax 2＋by 2＝b (ab <0)，则这个曲线是 ( )A ．双曲线，焦点在x 轴上B ．双曲线，焦点在y 轴上C ．椭圆，焦点在x 轴上D ．椭圆，焦点在y 轴上四、课堂小结 五、课后作业 六．板书设计 七．教（学）后反思。
高中数学3.3第2课时双曲线的简单性质练习北师大版选修2-1
第三章 3.3 第2课时 双曲线的简单性质［答案］故选B.2. 双曲线 2x 2- V = 1的离心率大于2的充分必要条件是（ m vA.1 m >2B. mi>1C. m >1D. m>2［答案］C［解析］双曲线离心率e = 1 + m > 2,所以m >1,选C.2 23•已知双曲线CA -蒼=1的焦距为10，点R2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（）［答案］A［解析］本题考查双曲线标准方程的求法. 由题意知，焦距为10,二c = 5, 又••• R2,1）在双曲线的渐近线上，a = 2b ,联立得 a = 20, b = 5,2 2故双曲线方程 £- y = 1,注意焦距为2c 而不是C ,双曲线的渐近线方程的求法.20 52 2 x V4. （2014 •山东理）已知a >b >0，椭圆C 的方程为—+ 2= 1,a bJ 3A. c. 、选择题1.下列曲线中离心率为B.2 2x y 彳 =i 4D.［解析］ 双曲线的离心率e =Ca 2+b 2 2a1+-2=，得2 =，只有B 选项符合，a 2 aA. 2 220 - A1C.2 x80 B. 2 x 2V‘——=15 2022x VD. ————=1 20 802 2双曲线Q 的方程为J -寺=2201, C与C2的离心率之积为y，则C2的渐近线方程为（）上，所以b =J ,双曲线的一个焦点在抛物线 y 2= 4 7x 准线方程x =— .7上，所以c = ,7, a 22 2由此可解得a = 2, b = 3，所以双曲线方程为 x— y 3 = 1，故选D.2 2x y 6.若双曲线 二-古=1(a >0, b >0)的两个焦点为 F 、F 2, P 为双曲线上一点，且|PF | =a b3| PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是()A. e > 2B. 1V e <211C. e >~D. ev-22［答案］BA. x ± 2y = 0 C. x ±2y = 0B. 2x ± y = 0 D. 2x ± y = 0［答案］A［解析］ 2 2C le i = a ^=4 422a — bb 4 3 •••e i ・e 2 = a^ =1 — (a )=aa 4r-22,•••双曲线的渐近线方程为 y =± #x .且双曲线的一个焦点在抛物线y 2= 4 7x 的准线上，则双曲线的方程为()2 2x yA. — = 1 21 282 2x y B. — — = 128 21 2 2x yC.3 -7 =12 2x yD. — — = 1 4 3［答案］2 2双曲线-2— 2 = 1( a >0, b >0)的渐近线方程为a by =±£x ,由点(2 , - 3)在渐近线［解析］由题意|PF| —|P冃=2a|PF | = 3| PF || PF | = 3a I PF = a2 2a —b a 2 + 2a2 2x y5. (2015 •天津理,6)已知双曲线=1(a >0, b >0)的一条渐近线过点D-| PF |AF |，…3a A a + c ,c•••e = < 2,「. 1<e < 2.a二、填空题2 27.若双曲线 ［―-=1的离心率e =2,贝U m ^16 m --------------------------［答案］48［解析］本题主要考查双曲线的基本性质.&已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 __________________ .［答案］-2 ［解析］ 如图，••• c >b ,「./ BiF i E 2 = 60°,ca，b「上 BFG 30° .在△ BOF 中，c =tan30 鬃.2 2“ 2 ▲ 2c — a 1 a 1 a 2 丁=3. •-1 — c 2=3,…c 2 = 3.三、解答题2 29.已知双曲线X^— b 2= 1( a >0, b >0)过点 A 14, 5)，且点A 到双曲线的两条渐近线 的距离的积为 4-.求此双曲线方程.3［解析］2 2双曲线笃一召=1的两渐近线的方程为 bx ± ay = 0.a b点A 到两渐近线的距离分别为d =呼埠宜,d 2 =呼爭 a + ba + b294 丄，|14 b — 5a | 4_已知d i d 2 =，故 _2 b 2 =①3 a + b 3 又A 在双曲线上，则 14b 2 — 5a 2 = a 2b 2 ②②代入①，得3a 2b 2 = 4a 2 + 4b 2③ 联立②、③解得b = 2, a = 4.2 2故所求双曲线方程为x 4—殳=1._6 T .3 2,by= x + bc联立by= x + bcb y一a xb y=a x10.如图，F i、F2分别是双曲线2 2x yC：孑一詁=1(a, b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F i B与C的两条渐近线分别交于=| F1F2I，求C的离心率. P、Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若| MF］［解析］本题考查双曲线的几何性质.F i( —c, 0), B(0 , b).b bk=-，那直线FB方程为y = ;x+ b,c c2 . 2a c+b e 又由|MF1 = | F1F2I知—一一、选择题1.双曲线mX十y2= 1的虚轴长是实轴长的2倍，贝U m等于（1A.—B.—441C. 4D.-4［答案］A22 X［解析］双曲线方程化为标准形式：y2— 1 = 1,m1则有：a2=1, b2=—m，由题设条件知，2= ，—m二m= — 4.2.已知双曲线kx2—y2= 1的一条渐近线与直线2x十y+ 1 = 0垂直，则这个双曲线的离心率是（)3B.亠22C 3 D. ,5［答案］D［解析］由2x十y+ 1= 0,知此直线的斜率k1 = —2,则给定的双曲线的一条渐近线的—ae得P点坐标（e十abe) c + a).ae Q点坐标为（e—bee——a)，中点2 2a e eN的坐标为吋,—),••• MM勺直线方程为2e ey - b 一b(x=3C.2=3 — 4 + 1= 0.二、填空题［答案］ 双曲线x 4— b = 1的渐近线方程为y =±bx ，又渐近线方程为y =± 1x ,故b =1.2 2x y6•已知双曲线 -—2= 1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1( — c, 0)、F 2(c, 0)，若双曲a bsin / PFF 2 a线上存在点P 使SiT7P 1K =c ，则该双曲线的离心率的取值范围是斜率为k 2= 1.而双曲线的一条渐近线为y = . kx ,贝y k =1, •2 23•已知双曲线 等—y 6= 1，过其右焦点F 的直线交双曲线于 P Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M 则pPQ|的值为( )［答案］［解析］ 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点 P — 3,0)、Q 3,0)、M 0,0)、F (5,0),B.2 24.已知双曲线 冷—y2= 1( b >0)的左、右焦点分别为 F 1, F 2,其一条渐近线方程为y = x ,2 b点P ({3, y 。
2021年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3.1双曲线及其标准方程课件3北师大版选修2_1
以下物品的外形有何共同特征？
肥皂
沙漏
吉他
北京摩天大楼
类比椭圆和抛物线的画法， 如何采用简易工具画出这样 的曲线???
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|〔常数〕
M
②如图(B)，
|MF2|-|MF1|=|F1F|〔常 由数①〕②可得：〔记常数为2 a 〕
| |MF1|-|MF2| | = 2a 〔差的绝对值〕
图象
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
x
F1
方程
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
焦点
a.b.c 的关 系
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2a2b2
课堂感悟
本节课你收获了什么？ 学到了哪些数学思想和方法？ 还想探究什么？
谢 谢！
距为2c〔c>0〕,F1(-c,0),F2(c,0)
F1
o
3.列式．||MF1| - |MF2| |=2a (0<2a<2c)
M
F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = _+2a
4.化简.
双曲线的标准方程
y
M
〔-c,0〕F1 O F〔2 c,0〕x
y M
F〔20,c〕 x
小于第三边。此时无轨迹。
③常数2a=0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0 那么|MF1|=|MF2|
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。
F1
F2
3.3.1双曲线及其标准方程_教案(北师大版选修2-1)
§3 双曲线3.1双曲线及其标准方程●三维目标1．知识与技能(1)了解双曲线的定义和标准方程．(2)会推导双曲线的标准方程．2．过程与方法在求双曲线标准方程的过程中，进一步掌握解析几何的基本思想．3．情感、态度与价值观了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．●重点难点重点：求双曲线的标准方程．难点：应用双曲线的定义及标准方程解决简单的应用问题．有了椭圆的学习体验，在学习双曲线的定义及标准方程的推导时，可引导学生通过类比来探究，充分发挥学生的主体作用，并通过引导学生比较椭圆与双曲线定义与标准方程的区别，深化对双曲线的认识，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．以类比思维作为教学的主线；2．以自主探究作为学生的学习方式；3．教法上以启发式、发现法为主，在教学中将启发、诱导贯穿于始终．●教学流程知识引入：知识回顾、观察动画、概括定义知识探索：理解定义、推导方程、对比方程知识应用：例题讲解与变式训练知识小结：知识总结、布置作业取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间的一点，分别固定到F1、F2上，F1到F2的长为2a(a>0)，把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线，如图所示．1．笔尖在运动过程中，满足的条件是什么？【提示】|MF1|－|MF2|＝2a.2．笔尖M到两个定点F1、F2距离之差的绝对值与这两上定点间的距离有什么关系？【提示】||MF1|－|MF2||<|F1F2|.3．距离的差为什么要加绝对值？【提示】不加绝对值，得到的只是双曲线的一支．双曲线的定义我们把平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距.类比椭圆标准方程的推导，在推导双曲线方程时1．如何建系？【提示】以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．2．动点M的几何性质是什么？【提示】||MF1|－|MF2||＝2a.3．怎样化简？【提示】先移项，再平方，移项是为使两个根式在等式的两边，平方是为了化无理式为有理式．双曲线的标准方程已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．【思路探究】 连接ON ⇒ON 是△PF 1F 2的中位线⇒求|PF 2|⇒|ON |＝12|PF 2|【自主解答】 如图所示，连接ON ，F 2P ，ON 是△PF 1F 2的中位线，∴|ON |＝12|PF 2|.∵||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10， ∴|PF 2|＝2或18， ∴|ON |＝12|PF 2|＝1或9.深刻理解双曲线的定义是灵活求解双曲线问题的关键，理解双曲线的定义可以从以下几个方面：1．双曲线的集合语言表述：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,2a <|F 1F 2|}． 2．为什么限制2a <|F 1F 2|?3．在定义中，为什么常数是“差的绝对值”而不是“差”？已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＜0).根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【思路探究】 (1)焦点位置不确定、用待定系数法分类求解或直接设所求双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．(2)用待定系数法求解，注意c 2＝a 2＋b 2.【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线过P (3，154)，Q (－163，5)∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝12569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19.∴所求双曲线方程是y29－x216＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x25－y2＝1. 双曲线标准方程的求解步骤：求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝4，经过点A (1，4103)；(2)焦点在y 轴上，且过点(3，－42)，(94，5)．【解】 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，则设双曲线方程为x 216－y 2b 2＝1(b ＞0)．∴116－1609b 2＝1，即1609b 2＝－1516，不合题意． 若双曲线的焦点在y 轴上，则设双曲线方程为 y 216－x 2b 2＝1(b ＞0)，∴109－1b 2＝1∴b 2＝9. 故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(2)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，则有⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝116，1b 2＝19.故所求双曲线方程为y 216－x 29＝1.(1)已知双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距为6，求k 的值；(2)若方程x 2|k |－1＋y 2k ＋4＝1表示双曲线，求k 的取值范围．【思路探究】 (1)确定焦点位置，再由双曲线中a ，b ，c 之间的关系求解．(2)根据方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件即可求解．【自主解答】 (1)由2x 2－y 2＝k得x 2k 2－y 2k ＝1. ∴当k >0时，a 2＝k2，b 2＝k .由题意知k2＋k ＝9，即k ＝6；当k <0时，a 2＝－k ，b 2＝－k2.由题意知－k －k2＝9，即k ＝－6.综上，k ＝±6.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ |k |－1>0k ＋4<0或⎩⎪⎨⎪⎧|k |－1<0k ＋4>0，得k <－4或－1<k <1.∴k ∈(－∞，－4)∪(－1,1)．方程表示双曲线，则x 2，y 2的系数异号，当x 2的系数为正时，焦点在x 轴上，否则焦点在y 轴上；当x 2，y 2的系数正负不确定时，要注意分类讨论．已知一曲线C 的对称轴是坐标轴，且经过M (1,1)，N (－2，5)两点，试判断此曲线是椭圆还是双曲线？【解】 设曲线方程为mx 2＋ny 2＝1，将M (1,1)，N (－2，5)代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋5n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝－3，∴所求的曲线方程为x 214－y 213＝1.故曲线C 是双曲线.忽略点在哪一支上的判断致误已知点M 是双曲线x 24－y 25＝1上的一点，且点M 到右焦点F 2的距离为92，则点M 到左焦点F 1的距离为________．【错解】 由已知得a ＝2，又||MF 2|－|MF 1||＝2a ， ∴|92－|MF 1||＝4， 解得|MF 1|＝12或172.【答案】 12或172【错因分析】 未对点M 在哪一支上进行判断，片面地认为点M 在两支上，从而造成增解．【防范措施】 解题时，既要注意算法——怎样算，又要清楚算理——根据什么．尤其在求解信息有所隐藏的问题时，更要注意这一点．【正解】 由于a ＋c ＝5>92，所以点M 只能在右支上，∴|MF 1|－|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a ＋|MF 2|＝2×2＋92＝172.【答案】 1721．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.2．由双曲线标准方程判断焦点位置时，看“正负”，即x 2的系数为正时，焦点在x 轴，否则，焦点在y 轴上．1．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10. 解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．若方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【解析】 因为方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＜0cos α＞0，故α是第四象限角.【答案】 D3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则边的右焦点为________．【解析】 双曲线方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝1＋12＝62.∴右焦点为(62，0)． 【答案】 (62，0) 4．在△ABC 中，sin C －sin B ＝12sin A ，若B (4,0)，C (－4,0)，求点A 的轨迹方程．【解】 ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴由正弦定理，得|AB |－|AC |＝12|BC |.∵|BC |＝8，∴|AB |－|AC |＝4，∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的左支(除去点(－2,0))，其轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ＜－2).一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．直线D ．一条射线【解析】 F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．【答案】 D2．双曲线y 210－x 22＝1的焦距为( )A ．33B ．4 3C ．32D ．4 2 【解析】 由c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12得2c ＝4 3.【答案】 B3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1【解析】 方程表示双曲线，则(1＋k )与(1－k )同号，即(1＋k )(1－k )＞0，得－1＜k ＜1. 【答案】 A4．已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化【解析】 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝±2n ，又m －1＝n ＋1， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝4(m －1)＝|F 1F 2|2. 【答案】 B5．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支．下列数据：①2；②－1；③4；④－3；⑤12，则m 可以是( )A ．①②B ．①③C ．①②⑤D ．②④【解析】 由双曲线定义得⎩⎪⎨⎪⎧|2m －1|<6，2m －1≠0，∴－52<m <72且m ≠12.故选A.【答案】 A 二、填空题6．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝________.【解析】 双曲线方程可化为x 216－y 216＝1，∴|PF 1|－|PF 2|＝－2a ＝－8. 【答案】 －87．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.【解析】 方程可化为y 2－812－x 2－1k ，＝1由焦点在y 轴上，得a 2＝－8k ，b 2＝－1k .∴c 2＝－9k ，∴9＝－9k ，∴k ＝－1. 【答案】 －18．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.【解析】 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2|PF 2|－|PF 2|＝|PF 2|＝22，∴|PF 1|＝4 2. 又∵|F 1F 2|＝22＋2＝4，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.【答案】 34三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)a ＝5，c ＝7.【解】 (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)． 由双曲线定义 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8.∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20.∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(2)由已知a ＝5，c ＝7，∴b 2＝c 2－a 2＝24，焦点不确定 ∴所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.图3－3－110．如图3－3－1所示，双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P 到x 轴的距离．【解】 法一 由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6且c 2＝a 2＋b 2＝25. 两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝36. 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝100. ∴|PF 1|·|PF 2|＝32.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由△PF 1F 2面积关系知： 12|PF 1|·|PF 2|＝12·2c ·|y 0|. ∴|y 0|＝|PF 1|·|PF 2|2c ＝3210＝165. 即点P 到x 轴的距离为165.法二 由双曲线方程可知F 1(－5,0)，F 2(5,0)， |F 1F 2|＝10，设点P 坐标为(x 0，y 0)， ∵PF 1⊥PF 2，∴kPF 1·kPF 2＝－1，即y 0－0x 0＋5·y 0－0x 0－5＝－1，整理得x 20＋y 20＝25.①又∵点P 在双曲线上，∴x 209－y 2016＝1.②①②消去x 0，并解得y 20＝25625，∴|y 0|＝165. 即点P 到x 轴的距离为165.11．已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．【解】 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点， ∵A 、B 两点在以C 、F 为焦点的椭圆上，∴|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)， ∴|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |， ∴|F A |－|FB |＝|CB |－|CA | ＝122＋92－122＋52＝2.∴|F A |－|FB |＝2.由双曲线的定义知，F 点在以A 、B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上，∴点F 的轨迹方程是y 2－x 248＝1(y ≤－1).(教师用书独具)在周长为48的Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，tan ∠PMN ＝34，求以M ，N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．【思路探究】 由双曲线定义可知||PM |－|PN ||＝2a ，|MN |＝2c ，所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．【自主解答】 ∵△MPN 的周长为48，且tan ∠PMN ＝34，∴设|PN |＝3k ，|PM |＝4k ，则|MN |＝5k .由3k ＋4k ＋5k ＝48得k ＝4.∴|PN |＝12，|PM |＝16，|MN |＝20.以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系，如图所示．设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20得2c＝20，c＝10.∴b2＝c2－a2＝96，∴所求双曲线方程为x24－y296＝1.若选取的坐标系不同，则方程也不相同．但双曲线的形状不会发生变化．这也就是轨迹(曲线)与轨迹(曲线)方程的区别．在解题中，要选取适当的坐标系，才能使所求曲线方程更简洁．在△QMN 中，|QN |＝48，tan ∠QMN ＝125，判断点Q 是否在该双曲线上． 【解】 由tan ∠QMN ＝125，得cos ∠QMN ＝513. 在△QMN 中，由余弦定理得|MQ 2|＋202－2×|MQ |×20×513＝482，整理得|MQ 2|－20013·|MQ |－1904＝0解得|MQ |＝52. ∴|MQ |－|NQ |＝52－48＝4. ∴点Q 在该双曲线上．。
【同步测控】2021-2021学年高中数学 3.3.1 双曲线及其标准方程课件 北师大版选修2-1
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
【典型例题
1】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知双曲线x2
16
−
1y22 =1
的左、右焦点分别为
F1,F2,过点
F1 作直线 l 交双曲线的左支于 A,B 两点,且|AB|=8,则△ABF2 的周长等
于
.
解析:由双曲线的定义有|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8. 两式相加得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+16=|AB|+16=24, 则△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=24+8=32. 答案:32
(3)定义中的关键词“绝对值”:若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则点的 轨迹表示的只是一支(焦点在 x 轴上:左支或右支;焦点在 y 轴上:上支或下 支).
(4)定义中的关键词“定值”:若“定值”等于 0,其余条件不变,则点的轨迹 是线段 F1F2 的中垂线.
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2
2.双曲线的标准方程
1
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名师点拨 1.在双曲线的标准方程中,可用 x2,y2 项的系数的
1
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思考 1 如何理解双曲线的定义?
提示:(1)定义中有一个大前提是“平面内”,若去掉它,则轨迹就是空间 图形了,不属于高中研究知识.
(2)定义中的关键词“小于|F1F2|”:若改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则 轨迹成为两条射线(以 F1,F2 为端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变, 则这样的曲线不存在.
这个方程在表示椭圆与双曲线时,对于 m,n 的要求不一样.
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思考 3 双曲线ax22 − by22=1(a>0,b>0)的焦点是(-c,0),(c,0),但焦点
高中数学选修2-1第二章第7课时同步练习§2.3.1双曲线及其标准方程(B)
§2.3.1 双曲线及其标准方程（B ）1、过点（1，1）且b a=的双曲线的标准方程为（ ） A 、22112x y -= B 、22112y x -= C 、22112y x -= D 、22112x y -=或22112y x -= 2、双曲线2288mx my -=的焦距为6，则m 的值是（ ）A 、1±B 、1-C 、1D 、83、方程221105x y k k+=--表示双曲线，则k ∈（ ） A 、(5,10) B 、(,5)-∞ C 、(10,)+∞ D 、(,5)(10,)-∞+∞4、双曲线的焦距为26，22513a c =，则双曲线的标准方程（ ） A 、22125169x y -= B 、22125169y x -= C 、22125144x y -= D 、22125144x y -=或22125144y x -= 5、1F 、2F 是双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A 、2B 、4C 、8D 、166、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线52200x y -+=上，两焦点关于原点对称，53c a =，则此双曲线的方程是（ ） A 、2213664x y -= B 、2216436x y -= C 、2213664x y -=- D 、2216436x y -=- 7、在双曲线中c a =224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程 是 ；8、P 是双曲线2216x y -=的左支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则12||||PF PF -= ；9、已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 ；10、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为 ；11、已知双曲线过M （3，2），(2,1)N --两点，则双曲线的标准方程是 ；12、求与双曲线221164x y -=共焦点，且过点的双曲线方程。
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2.3.1《双曲线及其标准方程》同步练习
1.双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是( )
A．1 B．－1 C．－105 D.105
2.与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.x24－y2＝1 B.x22－y2＝1 C.x23－y23＝1 D．x2－y22＝1
3．已知F1，F2是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0)的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上，
O为坐标原点，若△POF2是面积为1的正三角形，则b的值是 ．
4．已知F1、F2分别是双曲线 x2a2 － y2b2 =1（a>0,b>0）的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴
的直线，在第一象限交双曲线于点P，若∠PF1F2=30°，求双曲线的渐近线方程.
5. 已知三点P（5，2），F1（－6，0），F2（6，0）
（1）求以F1，F2为焦点且过点P的椭圆方程；
（2）设点P，F1，F2关于y=x的对称点分别为P′，F1′，F2′，求以F1′，F2′为焦点且过点P′
的双曲线的标准方程.
6.双曲线C与椭圆x227＋y236＝1有相同焦点，且经过点(15，4).
(1)求双曲线C的方程；
(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).
7.点M(x，y)到定点F(5,0)距离和它到定直线l：x＝95的距离的比是53. 求点M的轨迹方程.
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参考答案
1．B【解析】由焦点坐标知，焦点在y轴上，m<0，∴双曲线的标准方程为y2－3m－1－m＝1，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1 .
2．B【解析】椭圆的焦点坐标为(±3，0)，四个选项中，只有x22－y2＝1的焦点为(±3，
0)，且经过点P(2,1)．故选B
3．2 【解析】数形结合.
4．y=x2【解析】联想双曲线定义并解直角三角形.
5.解：用椭圆定义得椭圆方程为221459xy；用双曲线定义得双曲线方程为2212016yx .
6. 解：设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，则a2＋b2＝32＝9.①
又双曲线经过点(15，4)，所以16a2－15b2＝1，②
解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍去)，
所以所求双曲线C的方程为y24－x25＝1 .
7.解：根据题意得 |MF|＝x－52＋y2，点M到直线l的距离d＝x－95，
依题意，有x－52＋y2x－95＝53，去分母，得3x－52＋y2＝|5x－9|，平方整理得
x
2
9
－y216＝1，即为点M的轨迹方程.