2022秋北师版九年级数学典中点第一章达标检测卷

合集下载

2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题含答案

第一章特殊平行四边形一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法不正确的是 ( )A.AB ∥DCB.AC=BDC.AC ⊥BDD.OA=OB(第1题) (第2题)2.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 为AD 的中点,连接OE ,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( )A.10B.12C.16D.243.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,P 为边BC 上一点,且BP=OB ,则∠COP= ( ) A.15° B.22.5° C.25°D.17.5°(第3题) (第4题)4.如图,在矩形ACBE 中,∠ABC=30°,AB 交CE 于点D ,若AC=2,则CD 的长为 ( )A.2B.3C.4D.55.如图,EF 过矩形ABCD 的对角线的交点O ,且分别交AB ,CD 于点E ,F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 ( )A.15B.14C.13D.310(第5题) (第6题)6.如图,已知▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法正确的是( ) A.当OA=OB 时,▱ABCD 为菱形 B.当AB=AD 时,▱ABCD 为正方形 C.当∠ABC=∠BCD 时,▱ABCD 为矩形 D.当AC ⊥BD 时,▱ABCD 为正方形7.如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=4,点E ,F 分别为AD 和BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点O ,连接AO ,则AO 的长为( )A.2√10B.5√2C.32√10 D.4√2(第7题)(第8题)8.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD应满足的一个条件是()A.AD=BCB.AC⊥BDC.AC=BDD.AB=CD9.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB'C'D',边B'C'与DC 相交于点O,则OC的长是() A.2√2-2 B.2+√2 C.2-√2 D.√2(第9题)(第10题)10.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是() A.12 B.24 C.12√3 D.16√3二填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=26°,则∠DCA=.(第11题)(第12题)12.如图,在平面直角坐标系中,矩形木框OABC的顶点B的坐标为(1,2),若固定OA,向左推矩形木框OABC,使点B落在y轴上的点B'处,则点C的对应点C'的坐标为.13.对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是(填序号).图(1)图(2)图(3)①如图(1),工人师傅在做矩形门窗时,不仅要测量出两组对边的长度相等,还要测量出两条对角线的长度相等,以确保门窗是矩形.其依据是“对角线相等的四边形是矩形”.②如图(2),将两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形.其依据是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”.③把一张矩形纸片按图(3)的方式折一下,然后沿EF裁剪,打开就可以得到正方形.其依据是“有一组邻边相等的矩形是正方形”.14.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥DC于点E,PF⊥BC于点F,若CF=3,CE=4,则AP的长是.(第14题)(第15题)15.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,连接EF,BF,则EF+BF的最小值是.三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,DE=AF,BE与CF相交于点G.(1)求证:BE=CF.(2)若BC=4,DE=1,求CF的长.17.(8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE.(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求△ODE的面积.18.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?19.(9分)如图(1),在菱形纸片ABCD中,∠A=45°.对其进行如下操作:如图(2),现将纸片进行折叠,使点A与点D重合,点C与点D重合,折痕分别为EG,FH,且两条折痕的延长线交于点O.(1)求∠EOF的度数;(2)四边形DGOH是菱形吗?请说明理由.图(1)图(2)20.(10分)我们给出如下定义:把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.如图(1),在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,四边形ABCD就是“对角线垂直四边形”.(1)下列四边形,一定是“对角线垂直四边形”的是.①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.(2)如图(2),在“对角线垂直四边形ABCD”中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是矩形.图(1)图(2)(3)小明说:计算“对角线垂直四边形”的面积可以仿照求菱形的面积的方法,其面积是对角线长的乘积的一半.小明的说法正确吗?如果正确,请结合图(1)说明理由;如果不正确,请给出反例.21.(13分)如图(1),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP.(1)猜想:请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(2)证明:如果将矩形变为菱形,如图(2),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.(3)应用:如果将矩形变为正方形,如图(3),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.图(1)图(2)图(3)答案解析1.C根据矩形的性质可知,矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.【归纳总结】矩形的有关性质①边,矩形的对边平行且相等;②角,矩形的四个角都是直角;③对角线,矩形的对角线互相平分且相等.2.D根据菱形的性质可知,O是AC的中点.∵E为AD的中点,∴OE为△ACD的中位线,∴CD=2OE=6.又菱形的四边相等,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.【一题多解】由题意得∠AOD=90°.在Rt△AOD中,∵E为AD的中点,∴AD=2OE=2×3=6,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.3.B∵四边形ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠OBC=45°.∵BP=OB,∴∠BOP=∠BPO=12(180°-45°)=67.5°,∴∠COP=90°-67.5°=22.5°.故选B.4.A∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,D为AB的中点.∵AC=2,∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴CD=12AB=2,故选A.5.B∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO.在△EBO与△FDO中,∵∠EOB=∠FOD,OB=OD,∠EBO=∠FDO,∴△EBO≌△FDO,∴S阴影部分=S△AEO+S△EBO=S△AOB.∵S△AOB=12S△ABC=14S矩形ABCD,∴S阴影部分=14S矩形ABCD.故选B.【数学思想】本题利用全等三角形把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积,进而利用整体思想求解.6.C∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又OA=OB,∴AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定▱ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由菱形的定义可知,▱ABCD为菱形,故选项B中说法错误.∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.又∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=90°.由矩形的定义,可判定▱ABCD为矩形,故选项C中说法正确.当AC⊥BD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,但无法判定其为正方形,故选项D中说法错误.故选C.7.A连接EF,过点O作OM⊥AD于点M,易证四边形EFCD为正方形,∴OM=MD=12AB=2,∴AM=6.在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO=√AM2+OM2=2√10.8.A∵点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,∴GH∥AD,EF∥AD,FG∥BC,HE∥BC,且GH=12AD,EH=12BC,∴EF∥GH,HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.当AD=BC时,GH=EH,此时平行四边形EFGH是菱形.故选A.9.C如图,连接B'C,AC.∵旋转角∠BAB'=45°,∠BAC=45°,∴点B'在对角线AC上.∵AB=AB'=BC=1,∴AC=√2,∴B'C=√2-1.在等腰直角三角形OB'C中,OB'=B'C=√2-1,∴OC=√2(√2-1)=2-√2.故选C.10.D在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°.由翻折可知,∠EFB'=60°,∠A'B'F=∠B=90°,∠A'=∠A=90°,A'E=AE=2,A'B'=AB.在△EFB'中,∵∠B'EF=∠EFB'=60°,∴△EFB'是等边三角形.在Rt△A'EB'中,∵∠A'B'E=90°-60°=30°,∴B'E=2A'E=4,∴A'B'=2√3,即AB=2√3.∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2√3×8=16√3.故选D.AB=AD,∴∠DCA=∠A=26°.11.26°【解析】∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=1212.(-1,√3)【解析】∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为(1,2),∴OA=1,AB=2.由题意得AB'=AB=2,四边形OAB'C'是平行四边形,∴OB'=√AB'2-OA2=√3,B'C'=OA=1,∴点C的对应点C'的坐标为(-1,√3).13.②③【解析】①∵两组对边的长度相等,∴四边形是平行四边形.又对角线相等,∴该平行四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故①错误.②如图,由矩形的对边平行,可得AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,则DE=DF.∵平行四边形ABCD的面积=AB×DE=BC×DF,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故②正确.③根据折叠可知,所得到的四边形有三个直角,∴该四边形为矩形.又有一组邻边相等,∴该矩形为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),故③正确.故正确的阐述为②③.14.5【解析】如图,连接PC.∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADP=∠CDP.∵PD=PD,∴△APD≌△CPD,∴AP=CP.∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCB=90°.∵PE⊥DC,PF⊥BC,∴四边形PFCE是矩形,∴PC=EF.在Rt△CEF中,EF=√CE2+CF2=√42+32=5,∴AP=CP=EF=5.15.3√3【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴点B,D关于AC对称,AB=AD.如图,连接BD,ED,则ED 的长即为EF+BF的最小值.∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形.∵E为AB的中点,∴DE⊥AB,AE=12AB=3.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得ED=√AD2-AE2=√62-32=3√3,∴EF+BF 的最小值为3√3.16.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=DA,∠BCE=∠CDF=90°.(2分)∵DE=AF,∴CE=DF.(3分)在△BCE和△CDF中,{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,∴△BCE≌△CDF,∴BE=CF.(5分) (2)∵CD=AD=BC=4,AF=DE=1,∴DF=3.在Rt△CDF中,CF=√CD2+DF2=5.(7分) 17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AC=BE,∴BD=BE.(3分)(2)如图,过点O作OF⊥CD于点F.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,∴∠BCE=90°.在Rt△BCE中,根据勾股定理可得BC=8.∵BE=BD,∴CD=CE=6,∴DE=12.∵OD=OC,∴CF=DF.又OB=OD,∴OF为△BCD的中位线,∴OF=12BC=4,∴S△ODE=12DE·OF=12×12×4=24.(8分)18.【参考答案】(1)由题意得,BQ=DP=t,AP=CQ=6-t.在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.要使四边形ABQP是矩形,则BQ=AP,即t=6-t,解得t=3.故当t=3时,四边形ABQP是矩形.(4分) (2)由题意得,四边形AQCP是平行四边形.要使平行四边形AQCP是菱形,则AQ=CQ,即√32+t2=6-t,解得t=94.故当t=94时,四边形AQCP是菱形.(8分)19.【参考答案】(1)由折叠可知∠DEG=∠DFH=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∠C=∠A=45°,∴∠A+∠ADC=180°,∴∠ADC=135°.∵∠EOF+∠DEG+∠DFH+∠ADC=360°,∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°.(4分) (2)是菱形.(5分)理由:由折叠可知∠ADG=∠A=45°,∠CDH=∠C=45°.∵∠ADC=135°,∴∠GDC=∠ADH=90°.∵∠AEG=∠CFH=90°,∴GE∥DH,GD∥HF,∴四边形DGOH是平行四边形.(7分)∵∠A=∠C,AD=CD,∠ADG=∠CDH,∴△ADG≌△CDH,∴DG=DH,∴四边形DGOH是菱形.(9分)20.【参考答案】(1)③④(2分) (2)∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG∥AC,EF∥AC,∴HG∥EF.同理可得HE∥GF.∴四边形EFGH是平行四边形.(4分)∵DB⊥AC,∴HE⊥HG,∴∠EHG=90°,∴四边形EFGH是矩形.(6分) (3)正确.(7分)理由:S四边形ABCD=S△ADC+S△BAC=12AC·OD+12AC·BO=12AC(OD+OB)=12AC·BD,即“对角线垂直四边形”的面积是对角线长的乘积的一半.(10分)【提分技法】解决中点四边形的有关方法(1)解决中点四边形问题,往往借助三角形的中位线的性质证明四边形的对边相等或平行.(2)中点四边形的形状由原来四边形对角线的特征决定.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.21.【解题思路】(1)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,根据矩形的性质得OC=OD,从而可证得四边形CODP是菱形;(2)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,又根据菱形的性质得∠DOC=90°,从而证得四边形CODP是矩形;(3)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP 是平行四边形,又由正方形的性质得∠DOC=90°,OD=OC,从而证得四边形CODP是正方形.【参考答案】(1)四边形CODP是菱形.(1分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.(2分)∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴OC=OD,∴四边形CODP是菱形.(4分) (2)四边形CODP是矩形.(5分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠DOC=90°,∴四边形CODP是矩形.(8分) (3)四边形CODP是正方形.(9分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,∴四边形CODP是平行四边形.∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,AC=BD,OC=12AC,OD=12BD,∴∠DOC=90°,OC=OD,(12分)∴四边形CODP是正方形.(13分)。

2022年最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试试题(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（）A ．3B ．2C ．13 D2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ）A ．sin AB ．tan A ＝2C ．cos B ＝2D ．sin B 3、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC a =，AB c =，那么a c的值等于（）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．cot A4、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米5、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）A ．30°B ．CD ．12 6、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ．下列结论错误的是（）A ．AE ⊥BFB ．QB ＝QFC ．cos∠BQP ＝45 D ．14S 四边形ECFG ＝S △BGE7、△ABC 中，tan A ＝1，cos B ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形8、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（）A B C ．23D 9、如图，在菱形ABCD 中，8AC =，3tan 4BAO ∠=，则菱形ABCD 的面积是（）A ．12B ．24C ．48D ．2010、如图，将一块含30°角的三角板ABC 的直角顶点C 放置于直线m 上，点A ，点B 在直线m 上的正投影分别为点D ，点E ，若AB ＝10，BE ＝AB 在直线m 上的正投影的长是（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点E ，则tan∠AEP ＝_____．2、如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD 、AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是______．3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，4cos A 5=，则tan∠DBE ＝__________．4、如图，点A 、B 、C 都在格点上，则∠CAB 的正切值为______．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDE ABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：()1112cos30----︒2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，过点C 作CE ∥AB ，过点A 作AE ∥CD ，两线相交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若BD ACE =∠=DE 的长． 3、计算：8cos60°＋（π－3.14）0－－4|＋（－1）2021．4、如图，已知反比例函数1k y x=1(0)k >与一次函数21y k x =+2(0)k ≠相交于A 、B 两点，AC x ⊥轴于点C ．若OAC ∆的面积为1，且tan 2AOC∠=．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 在什么范围取值时，使12(1)0k k x x-+> 5、计算：()()01sin 451+2cos30tan 60cot 60-︒-︒-︒-︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值．【详解】解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =，又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====．故选A ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．2、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC ==，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ======== 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．3、A【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．【详解】如图，sin a A c=．故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数，sin A =对边斜边，cos A =邻边斜边，tan A =对边邻边，cot A =邻边对边，掌握三角函数的比值是解题的关键．4、C【分析】先根据AP ⊥PC ，可求∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，利用三角函数AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．5、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB =故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．6、C【分析】△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF =QB ，即可判断B ；首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE =90°，即可得到AE ⊥BF 即可判断A ；利用QF =QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解即可判断C ；可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解即可判断D ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C =90°，AB ∥CD ，由折叠的性质得：FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB =∠C ＝90°，∵CD∥AB ，∴∠CFB ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠PFB ，∴QF ＝QB ，故B 选项不符合题意；②∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CD =BC ，12CF CD =，12BE BC =，∠ABE =∠C =90°， ∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CBF +∠BEA ＝90°，∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故A 选项不符合题意；令PF ＝k （k ＞0），则PB ＝2k ，在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ，∵222QB QP PB =+，∴x 2＝（x ﹣k ）2+4k 2，∴x ＝52k，∴cos ∠BQP ＝35QP QB =，故C 选项符合题意；⑤∵∠BGE ＝∠BCF ，∠GBE ＝∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE ＝12BC ，BF BC ，∴BE ：BF ＝1∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故D选项不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．8、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．9、B【分析】根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ，再根据正切函数的定义求出BD ，进而可求出菱形的面积；【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ，在直角三角形ABO 中，∵3tan 4BO BAO AO ∠==， ∴344BO =， ∴BO =3，∴BD =6，∴菱形ABCD 的面积=168=242⨯⨯；【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10、C【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC =5，根据锐角三角函数可得BC 的长，再根据勾股定理可得CE 的长；通过证明△ACD ∽△CBE ，再根据相似三角形的性质可得CD 的长，进而得出DE 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =30°，AB =10，∴AC =12AB =5，BC =AB •cos 53，在Rt △CBE 中，CE=∵∠CAD +∠ACD =90°，∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE ，∴Rt △ACD ∽Rt △CBE ， ∴CD AC EB BC=，∴CD =3BE AC BC ⋅==，∴DE =CD +BE =3+即AB 在直线m 上的正投影的长是3+故选：C ．本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．二、填空题1、12##【分析】如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF，可证得PQ∥BC，则∠QEB=∠ABC，即∠AEP=∠ABC，分别求出AC、BC、AB，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，求出tan∠ABC即可．【详解】解：如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF=45°，∴PQ∥BC，∴∠QEB=∠ABC，∵∠AEP=∠QEB，∴∠AEP=∠ABC，∵AB=AC==BC=∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=12 ACBC==，∴tan∠AEP=tan∠ABC=12，故答案为：12【点睛】本题考查网格性质、勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质、正切、对顶角相等，熟知网格特点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．2【分析】过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，先根据相似三角形的判定证出CDE ADB ，根据相似三角形的性质可得34CD CE DE AD AB BD ===，从而可得33,24CE DE BD ==，再解直角三角形可得BE =，从而可得BD =，然后利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，BD AB ⊥，CE AB ∴∥，CDEADB ∴， CD CE DE AD AB BD∴==， 4,27AD AC AB ==，324CE DE BD ∴==，解得33,24CE DE BD ==，又,150BD AB ABC ⊥∠=︒，1509060CBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt BCE 中，tan CE CBDBE ∠=，即32tan 60BE=︒=解得BE =，DE BD BE +==34BD BD ∴+=，解得BD =则DBC △的面积是113222BD CE ⋅==，【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．3、3【分析】根据DE ⊥AB ，cos A ＝45，设AE ＝4x ，AD ＝5x ，根据勾股定理DE 3x ==，根据四边形ABCD 为菱形，可得菱形的边AB ＝AD ＝5x ，可求BE =AB -AE =5x -4x =x ，根据正切定义求tan∠DBE =33DE x BE x==即可．【详解】解：∵DE⊥AB，cos A＝45，∴设AE＝4x，AD＝5x，在Rt△ADE中， DE3x==，∵四边形ABCD为菱形，∴菱形的边AB＝AD＝5x，∴BE=AB-AE=5x-4x=x，∴tan∠DBE=33 DE xBE x==．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便．4、12【分析】过C作CD垂直于AB的延长线于点D，则ADC为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过C作CD垂直于AB的延长线于点D，∴ADC 为直角三角形∴在Rt ADC 中1tan 2CD A AD ∠== 1tan 2CAB ∴∠= 故答案为：12【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．5、1336 【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线，12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽ 2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴=设3CB k =，则2AC k = AB∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S S BC⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 故答案为：1336【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键．三、解答题1、0【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：()1112cos30---︒原式()112=---11=+0=【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键．2、（1）见解析；（2）DE =5．【分析】（1）先证明四边形AECD 是平行四边形，再根据CD ⊥AB 于D ，即可证明；（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据sin ACE∠=sin BCD∠=△中即可得出．AE CD==Rt ACE【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴四边形AECD是矩形；（2）四边形AECD是矩形，∴∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，∠=sin ACEsin BCD∴∠=，⊥，CD AB∴∠=︒，90CDBBD=4∴==10,BC CDAE CD ∴==在Rt ACE △中，90,sin AEC ACE ∠=︒∠=，5AE AC ∴==，5DE AC ∴==．【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．3【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方，再加减即可．【详解】解：8cos60°＋（π－3.14）0－4|＋（－1）2021．=181412⨯+-=4141+-【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方．4、（1）2y x =，1y x =+；（2）(2,1)B --，2x <-或01x <<．【分析】（1）先根据正切函数的定义可得点A 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）联立反比例函数和一次函数的解析式可得点B 的坐标，再利用函数图象法即可得．【详解】解：（1）设点A 的坐标为(,)A m n ，则,OC m AC n ==， OAC 的面积为1，且tan 2AOC ∠=，11,22n mn m∴==，解得1,2m n ==或10,20m n =-<=-<（不符题意，舍去），(1,2)A ∴，将点(1,2)A 代入1k y x=得：1122k =⨯=，则反比例函数的解析式为2y x =；将点(1,2)A 代入21y k x =+得：212k +=，解得21k =，则一次函数的解析式为1y x =+；（2）联立21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，则点B 的坐标是(2,1)B --，12(1)0k k x x-+>表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方，则2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、正切，熟练掌握待定系数法是解题关键．5、【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并．【详解】解：原式11+2---⎝⎭，=11=【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．。

2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试试题(含答案解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q．下列结论错误的是（）A．AE⊥BF B．QB＝QFC．cos∠BQP＝45D．14S四边形ECFG＝S△BGE2、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）A．30°B．C D．123、某山坡坡面的坡度i 100米，小刚上升了（）A．B．50米C．D4、如图，E 是正方形ABCD 边AB 的中点，连接CE ，过点B 作BH ⊥CE 于F ，交AC 于G ，交AD 于H ，下列说法：①AH HG AB BG =； ②点F 是GB 的中点；③3AG AB =；④S △AHG =16S △ABC ．其中正确的结论的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④5、如图，琪琪一家驾车从A 地出发，沿着北偏东60︒的方向行驶，到达B 地后沿着南偏东50︒的方向行驶来到C 地，且C 地恰好位于A 地正东方向上，则下列说法正确的是（）A ．B 地在C 地的北偏西40︒方向上B ．A 地在B 地的南偏西60︒方向上C ．50∠=°ACBD ．sin BAC ∠= 6、如图，等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 是AC 上一点，若tan∠DBA ＝14，则AD ＝（）A ．1B ．2CD ．7、如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，O 为对角线BD 的中点，2OA =，5BC =，3CD =，则tan DCB ∠等于（）A ．43B ．34C ．45 D ．358、已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =60°，则 tan B 的值为（）A B ．1 C D ．29、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米10、在ABC 中, 30AB BAC ∠==. 下列线段BC 的长度不能使ABC 的形状和大小都确定的是（）A ．2B ．4CD ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tan∠ACB 的值为 _____．2、如图，直线y=+b与y轴交于点A，与双曲线ykx=在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝________，前25个等边三角形的周长之和为______．3、计算：2tan302cos60︒-︒=______．4、图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ 相交于点E，则tan∠AEP＝_____．545602tan 45︒︒-︒=_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线AB ﹣BC 向终点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，以每秒1cm 的速度向终点A 运动．以PQ 为底边向下作等腰Rt△PQR ，设点P 运动的时间为t 秒（0＜t ＜4）．（1）直接写出AB 的长；（2）用含t 的代数式表示BP 的长；（3）当点R 在△ABC 的内部时，求t 的取值范围．2、计算：22tan30sin60cos 30sin 45tan45︒︒-︒+︒︒．3、（1）计算：11()2tan 452sin 60|12--︒+︒-．（2）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，8BE =，12sin 13A =，求菱形的边长．4、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）5、（1）解方程：243+=-x x（2）解方程：2310++=（用公式法）a a︒⋅︒+︒（3）计算：sin45cos45tan30--︒++（4）计算：102tan601)|-参考答案-一、单选题1、C【分析】△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB，即可判断B；首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF即可判断A；利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解即可判断C；可证△BGE与△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解即可判断D．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，AB∥CD，由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB=∠C＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF ＝QB ，故B 选项不符合题意；②∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CD =BC ，12CF CD =，12BE BC =，∠ABE =∠C =90°， ∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CBF +∠BEA ＝90°，∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故A 选项不符合题意；令PF ＝k （k ＞0），则PB ＝2k ，在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ，∵222QB QP PB =+，∴x 2＝（x ﹣k ）2+4k 2，∴x＝52k，∴cos∠BQP＝35QPQB，故C选项符合题意；⑤∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝12BC，BF BC，∴BE：BF＝1∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故D选项不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB = 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．3、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=．解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．4、D【分析】①先证明△ABH ≌△BCE ，得AH =BE ，则1122AH AD BC ==，即12AH AB =，再根据平行线分线段成比例定理得：12HG BG =即可判断；②设BF =x ，CF =2x ，则BC ，计算FG =23x 即可判断；③根据等腰直角三角形得：AC ，根据①中得：13AG AC =即可判断； ④根据11,22HG AG BG CG ==，可得同高三角形面积的比，然后判断即可．【详解】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠HAB =∠ABC =90°，∵CE ⊥BH ，∴∠BFC =∠BCF +∠CBF =∠CBF +∠ABH =90°，∴∠BCF =∠ABH ，∴△ABH ≌△BCE ，∴AH =BE ，∵E 是正方形ABCD 边AB 的中点，∴BE =12AB ， ∴1122AH AD BC ==，即12AH AB = ∵AH //BC ， ∴12AH HG BC BG == ∴AH HG AB BG=，故①正确； ②1tan tan 2AH BF ABH BCF AB CF ∠=∠===设BF =x ，CF =2x ，则BC ，∴AHx∴52 BH x=∴552263x x xFG BH GH BF x BF=--=--=≠，故②不正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AC，∵12 AG AH CG BC==∴13 AG AC=∴13AG AC AB==，故③正确；④∵12GH AG BG CG==∴11,22 AHG ABGABG BCGS SS S∆∆∆∆==∴13 ABGABCSS∆∆=∴16AHG ABCS S=，故④正确．故选D．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．5、B【分析】根据题意可知60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，由此即可得到50BCE CBP ∠∠==︒即可判断A ；由60ABP ∠=︒可以判断B ；由9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒可以判断C ；求出30BAC ∠=︒即可判断D ．【详解】解：如图所示：由题意可知，60BAD ∠=︒，50CBP ∠=︒，50BCE CBP ∠∠∴==︒，即B 在C 处的北偏西50，故A 不符合题意；60ABP ∠=︒，A ∴地在B 地的南偏西60︒方向上，故B 不符合题意；9040ACB BCE ∠∠=︒-=︒，故C 错误．60BAD ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，1sin 2BAC ∠∴=，故D 不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．6、B【分析】过点D 作DE AB ⊥，根据已知正切的定义得到4BE DE =，再根据等腰直角三角形的性质得到4BE AE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】过点D 作DE AB ⊥，∵tan∠DBA ＝14DE BE=， ∴4BE DE =，∵ABC 是等腰直角三角形，∴45A ∠=︒，∴AE DE =，∴4BE AE =，∵AC ＝5，∴AB ==∴4AE BE AE AE +=+=∴AE =∴在等腰直角ADE 中，由勾股定理得2AD =．故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键．7、A【分析】先根据平行线的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BD ，再根据勾股定理的逆定理判断出∠BDC =90°，由正切定义求解即可．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∵O 为对角线BD 的中点，OA =2，∴BD =2OA =4，∵BC =5，CD =3，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴∠BDC =90°，∴tan∠DCB =BD CD =43，故选：A ．【点睛】本题考查平行线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理的逆定理、正切，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．8、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得30B ∠=︒，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】∵∠C =90°，∠A =60°，∴30B ∠=︒又tan 30︒=故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键．9、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝OF DF，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝OF BF，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15+1.5＝4.65，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．10、A【分析】画出图形，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则可求得BD BC 的长度与BD 比较即可作出判断．【详解】如图（1），过点B 作BD ⊥AC 于点D则1sin 302BD AB =︒=⨯故当BC D 与点C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C 选项不符合题意；当BC =2时，如图（2），则BC 1=BC 2=2，此时△ABC 1与△ABC 2的形状和大小不相同，即选项A 符合题意；当BC =ABC 是等腰三角形，如图（3），此时△ABC 的形状与大小确定，故选项D 不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BD⊥AC，把BC与BD进行比较．二、填空题1、1 3【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据等积关系求出BD，再根据勾股定理求出AD以及CD，最后再求出角的正切值即可．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，如图，由勾股定理得，AC=根据等积关系得，1122AB CE AC BD ⨯⨯=⨯⨯∴2225AB CEBDAC⨯==由勾股定理得，AD=∴CD AC AD=-==∴1tan3BDACBCD∠===故答案为：13【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．2、【分析】设直线y=+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．首先证明∠ADO＝60°，可得AB ＝2BE，AC＝2CF，由直线y=+b与双曲线ykx=在第一象限交于点B、C两点，可得+bkx=，整理得，2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=k，即EB•FC k，由此构建方程求出k 即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题．【详解】设直线y=+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y =+b ，∴当y ＝0时，x =b ，即点D ，0），当x ＝0时，y ＝b ，即A 点坐标为（0，b ），∴OA ＝﹣b ，OD =．∵在Rt△AOD 中，tan∠ADO OA OD == ∴∠ADO ＝60°．∵直线y =+b 与双曲线y k x =在第三象限交于B 、C 两点，∴+b k x =，整理得，2+bx ﹣k ＝0，由韦达定理得：x 1x 2，即EB •FC =k ， ∵EB AB=cos60°12=， ∴AB ＝2EB ，同理可得：AC ＝2FC ，∴AB •AC ＝（2EB ）（2FC ）＝4EB •FC =＝16，解得：k ＝由题意可以假设D 1（m ，，∴m 2∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n），∵（4+n＝解得n＝2，∴E1E2＝4，即第二个三角形的周长为12，设D3（a），由题意（a＝解得a＝…，∴第四个三角形的周长为∴前25个等边三角形的周长之和+=60，故答案为60．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．3、2 3 -【分析】先求出特殊角的三角函数值，再计算即可．【详解】解：2tan302cos60︒-︒=21 22 -⨯=11 3-=23 -．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．4、12##【分析】如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF，可证得PQ∥BC，则∠QEB=∠ABC，即∠AEP=∠ABC，分别求出AC、BC、AB，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，求出tan∠ABC即可．【详解】解：如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF=45°，∴PQ∥BC，∴∠QEB=∠ABC，∵∠AEP=∠QEB，∴∠AEP=∠ABC，∵AB=AC==BC=∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=12 ACBC==，∴tan∠AEP=tan∠ABC=12，故答案为：12【点睛】本题考查网格性质、勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质、正切、对顶角相等，熟知网格特点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．5、3 2【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算求解即可．【详解】解：原式2232321 222132 2=+-32=故答案为：32．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算法则是解题关键．三、解答题1、（1）AB＝5cm；（2）当0＜t≤52时，BP＝5﹣2t，当52＜t＜4时，BP＝2t﹣5；（3）411＜t＜209．【分析】（1）由勾股定理可求得答案；（2）分0＜t≤52和52<t＜4两种情况列式即可；（3）当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，求出此时t的值即可解决问题；【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB5（cm）；（2）当0＜t≤52时，BP＝AB﹣AP＝5﹣2t，当52<t＜4时，BP＝2t﹣AB＝2t﹣5；（3）如图，当点P在BC上时，R在△ABC外部，当点P在AB上时，以点C为原点，分别以BC、AC所在的直线为x，y轴建立坐标系，作PD⊥AC于D，RE⊥PD于E，QG⊥RE于G，∴∠E＝∠G＝90°，∴∠PRE+∠RPE＝90°，∵∠PRQ＝90°，∴∠PRE+∠GRQ＝90°，∴∠RPE＝∠GRQ，∵PR＝QR，∴△PER≌△RGQ（AAS），∴PE＝RG，ER＝GQ，∵AP＝2t，sin∠BAC＝35BCAB=，cosACBACAB∠=＝45，∴PD＝2t•sin∠BAC＝65t，AD＝2t•cos∠BAC＝85t，设点R（x，y），∴PE＝﹣65t x-，RG＝y﹣t，GQ＝﹣x，ER＝4﹣85t﹣y，∴65845t x y t t y x ⎧--=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩， ∴72109210x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， ∴y ＝﹣9477x -，∴点R 在直线y ＝﹣9477x -上运动，当y ＝0时，﹣9477x -＝0，∴x ＝﹣49，由74107t -＝﹣49得， t ＝209， ∵A （0，4），B （﹣3，0），∴AB 的解析式是：y ＝43x +4，由9477443y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得， 4944377x x +=--， ∴x ＝﹣9655， ∴710t ﹣2＝﹣9655，∴t ＝411， ∴411＜t ＜209．【点睛】本题等腰三角形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，学会利用特殊位置取值范围问题．2、14．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：原式221=+⨯⎝⎭⎝⎭ 131242=-+ 14=．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．3、（1）1；（2）13【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB =AD ，再由已知条件设12DE k =，13AD k =，则由勾股定理可得AE ，则由BE =8建立方程即可求得k ，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式22121)=-⨯+221=-1=.（2）四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=.DE AB ∵⊥，12sin 13DE A AD ==， ∴设12DE k =，13AD k =，则5AE k =，13588BE k k k ∴=-==，1k ∴=，∴13AD =，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．4、（1）见解析；（21【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD ，∴BD AD =，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC x AC x+︒===．【点睛】本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．5、（1）x 1＝﹣1，x 2＝﹣3；（2）x 1x 2（3）12+（4）32 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可；（3）求出特殊角三角函数值，再计算即可；（4）先计算负指数、特殊角三角函数值、0指数和绝对值，再计算即可．【详解】解：（1）解方程：243x x +=-，2430x x ++=，(3)(1)0x x ++=，3010x x +=+=，，x 1＝﹣1，x 2＝﹣3；（2）解方程：2310a a ++=（用公式法）∵131a b c ===，，， ∴224=3411=50b ac --⨯⨯>，∴方程有两个不相等的实数根，∴x ==∴x 1x 2 （3）计算：sin 45cos45tan30︒⋅︒+︒，=12（4）计算：102tan 601)|--︒++，=112=32．【点睛】本题考查了解一元二次方程和实数的运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用不同方法解一元二次方程．。

2022年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合训练试题(含答案及详细解析)

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到AB C''△，则cos BCB'∠的值为（）A．12B C D2、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则tanB等于（）A．512B．125C．513D．12133、如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin BAC ∠=（）．A ．15B ．13 C D 4、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（）A ．54 B ．35 C ．34 D ．455、在ABC 中, 30AB BAC ∠==. 下列线段BC 的长度不能使ABC 的形状和大小都确定的是（）A ．2B ．4CD ．6、如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos20︒B ．100cos20°C ．100sin 20︒D ．100sin20°7、tan 45︒的值为（）A ．1B ．2CD ．8、如图，等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 是AC 上一点，若tan∠DBA ＝14，则AD ＝（）A ．1B ．2CD ．9、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 12=，则cos B 等于（）A ．12BCD 10、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（）A B ．35 C ．34 D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知0°<a <90°，当a =_________时，sin a =12；当a =_________时，tan a2、△ABC 中，∠B 为锐角，cos B ，AB AC ＝2，则∠ACB 的度数为________．3、计算：1sin 602︒=______．4、计算：sin30°－tan45°＝____________．5、如图，将ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处．如果:3:5AB AD =，那么tan EFC ∠的值是__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，顶点C ，D 在第一象限内，正比例函数y 1＝3x 的图象经过点D ，反比例函数2(0)ky x x=>的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，连接OE ，已知AB ＝3．（1）点D 的坐标是；（2）求tan ∠EOB 的值；（3）观察图象，请直接写出满足y 2＞3的x 的取值范围；（4）连接DE ，在x 轴上取一点P ，使98DPES =，过点P 作PQ 垂直x 轴，交双曲线于点Q ，请直接写出线段PQ 的长．2、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD 的四边BA ，CB ，DC ，AD 分别延长至E ，F ，G ，H ，使得AE CG =，BF DH =，连接EF ，FG ，GH ，HE ．（1）判断四边形EFGH 的形状，并证明；（2）若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且45FEB ∠=︒，tan 2AEH ∠=，求AE 的长．3、如图，在ABC 中，10AB AC ==，3tan 4B =，D 是BC 边上的一个动点（不与点B 、C 重合），以点D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于F ，连接CF ．（1）求证：ABD DCE ∽△△；（2）当DE AB ∥时（如图2），求AE 的长；（3）当FC FD =时，直接写出BD 的长．4、如图，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =．点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AC CB BA --运动，到点A 停止．当点P 不与ABC 的顶点重合时，过点P 作其所在边的垂线，交ABC 的另一边于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）边AC 的长为．（2）当点P 在ABC 的直角边上运动时，求点P 到边AB 的距离．（用含t 的代数式表示）（3）当点Q 在ABC 的直角边上时，若32PQ =，求t 的值．（4）当APQ 的一个顶点到ABC 的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出t 的值．5、先化简，再求代数式21()(1)11a a a a -⋅--+的值，其中tan 602sin30a ︒︒=-．-参考答案-一、单选题1、B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB 是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD ，BB '，由网格利用勾股定理得：BC CD BD ===222CD BD BC ∴+=CDB ∴是直角三角形，BD B C '∴⊥cos CD BCB CB '∴∠==故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，所以tanB ＝AC BC ＝125，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．3、D【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin BAC ∠的值．【详解】解：作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC=BC ＝2，AB 22442， ∵242AB CD BC =⨯⨯，422=⨯，解得，CD ，∴sin ∠BAC ＝CD AC ==，故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案．【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°，∴cos sin CD AFE CFD CF ∠=∠=，由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===．故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．5、A【分析】画出图形，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则可求得BD BC 的长度与BD 比较即可作出判断．【详解】如图（1），过点B 作BD ⊥AC 于点D则1sin 302BD AB =︒=⨯故当BC D 与点C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C 选项不符合题意；当BC =2时，如图（2），则BC 1=BC 2=2，此时△ABC 1与△ABC 2的形状和大小不相同，即选项A 符合题意；当BC =ABC 是等腰三角形，如图（3），此时△ABC 的形状与大小确定，故选项D 不符合题意；当BC =4时，如图（4），△ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B 不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BD ⊥AC ，把BC 与BD 进行比较．6、B【分析】首先根据坡角的概念得到20C ∠=︒，然后由C ∠的余弦值可得cos BC C AC∠=，代入AC 的值求解即可．【详解】解：∵滑道坡角为20°，∴20C ∠=︒，∵AC 为100米，90B ∠=︒， ∴cos BC C AC ∠=， ∴cos 100cos20BC AC C =∠=︒．故选：B ．【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的表示方法．7、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan 45︒=1，【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．8、B【分析】过点D 作DE AB ⊥，根据已知正切的定义得到4BE DE =，再根据等腰直角三角形的性质得到4BE AE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】过点D 作DE AB ⊥，∵tan∠DBA ＝14DE BE=， ∴4BE DE =，∵ABC 是等腰直角三角形，∴45A ∠=︒，∴AE DE =，∴4BE AE =，∵AC ＝5，∴AB ==∴4AE BE AE AE +=+=∴在等腰直角ADE中，由勾股定理得2AD=．故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键．9、A【分析】由1sin=2A知道∠A=30°，即可得到∠B的度数即可求得答案．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，1 sin=2A，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴1 cos=cos60=2B︒．故选A．【点睛】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确识记30°角的正弦值和60度角的余弦值．10、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB === 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．二、填空题1、30° 60°【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解．【详解】解：因为1sin 30,tan 602︒=︒=故答案为①30°；②60°．【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．2、60°或120°【分析】根据题意，由于BC 的长没有确定，故分类讨论，分ACB ∠是锐角和钝角两种情况画出图形，解直角三角形即可【详解】解：①如图，当ACB ∠是锐角时，过点A 作AD BC ⊥于点D ，cos B AB ，AC ＝2，cos BD B AB ∴==7AB =2BD ∴==AD ∴=2AC =sin AD ACB AC ∴∠==60ACB ∠=︒∴①如图，当ACB ∠是钝角时，过点A 作AD BC ⊥的延长线于点D ，cos B AB ，AC ＝2，cos BE B AB ∴== 7AB =2BE ∴=AE ∴2AC =sin AE ACE AC ∴∠==60ACE ∴∠=︒120ACB ∴∠=︒ 故答案为：60︒或120︒【点睛】本题考查了解斜三角形，构造直角三角形并分类讨论是解题的关键．3【分析】根据特殊的三角函数值解答即可．【详解】解：1sin 602︒=12=，【点睛】本题考查了特殊的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题是关键．4、-12【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．【详解】解：∵sin30°=12，tan45°=1，原式＝12-1＝-12．故答案为：-12．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．5、43## 【分析】利用“一线三垂直”模型，可知=EFC BAF ∠∠，由折叠可知，AE =AD ，利用勾股定理表示出BF ，即可求出tan EFC ∠的值．【详解】解：由题意得，∵=90D AFE ∠∠=︒,∴==90B C AFE ∠∠∠=︒，即：90EFC BFA BFA BAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴=EFC BAF ∠∠．设：AB 为3x ，则AD 为5x ，∵AE=AD=5x，∴在t R ABF中，有勾股定理得：4BF x=，∴44 tan=33BF xBAFAB x∠==，∴4 tan=3EFC∠．故答案为：43．【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键．三、解答题1、（1）(1,3)；（2）316；（3）01x<<；（4）12或34【分析】（1）根据D点纵坐标为3，代入正比例函数即可求解；（2）求出EB，根据正切的性质即可求解；（3）根据函数图象即可直接求解；（4）分当点P在线段AB上时和当点P在线段AB的延长线时，分别求出AP的长，故可求解．【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长AB=3∴AD=3∵D点在正比例函数y1＝3x上设D（x，3），代入y1＝3x得3=3x解得x=1∴D (1,3)故答案为：(1,3)；（2）∵反比例函数2(0)k y x x=>的图象经过点D ，∴k =1×3=3 ∴23y x = ∵E 点的横坐标为1+3=4∴E （4，y ），代入23y x =得到EB =34 ∴tan ∠EOB =316EB OB = （3）如图，根据图象可得2y ＞3时，图象在直线y =3的上方，∴x 的取值为0＜x ＜1（4）当点P 在线段AB 上时，如图1，设AP =m ，则PB =3-m∵S △PDE =S 梯形ABED -S △ADP -S △PBE =()111222AD BE AB AD AP BE AP +⨯-⨯-⨯ =()13113333324224m m ⎛⎫⨯+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭=98解得m =3∴OP =1+3=4∴点P （4，0）当x =4时，2y =34∴Q （4，34） ∴PQ =34当点P 在线段AB 的延长线时，如图2，设AP =m ，则PB =m -3∵S △PDE =S △ADP -S 梯形ABED -S △PBE =()111222AD AP AD BE AB BE AP ⨯-+⨯-⨯ =()11313333322424m m ⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭=98解m =5∴OP =1+5=6∴点P （6，0）当x =6时，23162y == ∴Q （6，12）∴PQ =12综上，PQ 的长为12或34．【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质．2、（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【分析】（1）由四边形ABCD 为矩形，AE CG =，BF DH =可得BE =DG ，FC =AH ，由勾股定理可得EH =FG ，EF =GH ，故四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE 为x ，由45FEB ∠=︒，可求得BF =DH =x +1，AH =x +2，由tan 2AEH ∠=可求得AH =2x ，则x =2，即AE =2.【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形∴AD =BC ，AB =CD ，∠HAB =∠EBC =∠FCD =∠ADG =90°，又∵AE CG =，BF DH =∴BE =DG ，FC =AH∴EH =FG =，EF =GH ∴EH =FG ，EF =GH∴四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE =x 则BE =DG =x +1在Rt BEF △中，45FEB ∠=︒∴BE FB =∵BF =DH =x +1∴AH =x +1+1=x +2又∵tan 2AEH ∠= ∴2AH AE= ∴AH =2AE =2x∴2x =x +2解得x =2，∴AE =2【点睛】本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH =FG ，EF =GH 是解题关键．3、（1）见解析；（2）12532【分析】（1）先由AB AC =，得到B ACB ∠=∠，再由三角形外角的性质可得BAD CDE ∠=∠，由此即可证明ABD DCE ∽△△；（2）先解直角三角形ABM 得到8BM =，再由三线合一定理得到216BC BM ==，然后证明C ABD BA ∽△△，得到AB BD CB AB =，求得254BD =，再由平行线分线段成比例得到 BD AE CB AC =，即可求解12532AE =；（3）过点F 作FH ⊥BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，AN ⊥FH 于点N ，则∠NHA ＝∠AMH ＝∠ANH ＝90°，则四边形AMHN 为矩形，得到∠MAN ＝90°，MH ＝AN ，然后证明△AFN ∽△ADM ，得到=AN AF AM AD ，由3tan =tan =4AF ADF B AD =∠，可求出AN ＝34AM ＝92，即可得到CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72由此求解即可．【详解】（1）证明：∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠，∵=ADC ADE CDE B BAD ∠+∠=∠+∠∠，ADE B ∠=∠，∴BAD CDE ∠=∠，∴ABD DCE ∽△△；（2）如图中，过点A 作AM BC ⊥于M ，∵在Rt ABM 中，3tan 4AMB BM ==， ∴34AM BM =，∴54AB BM ==，∵10AB =，∴8BM =，∵AB =AC ，AM ⊥BC ，∴216BC BM ==，∵DE AB ∥，∴BAD ADE∠=∠，∵ADE B∠=∠，B ACB∠=∠，∴BAD ACB∠=∠，∵ABD CBA∠=∠，∴CABD BA∽△△，∴AB BDCB AB=即101610BD=，∴254 BD=，∵DE AB∥，∴BD AE CB AC=，∴2541610AE=，∴12532 AE=；（3）过点F作FH⊥BC于点H，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥FH于点N，则∠NHA＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形．∴∠MAN＝90°，MH＝AN，由（2）得BM＝CM＝12BC＝8，3=64AM BM=，∵AN ⊥FH ，AM ⊥BC ，∴∠ANF ＝90°＝∠AMD ．∵∠DAF ＝90°＝∠MAN ，∴∠MAD +∠NAD =∠NAF +∠NAD ，即∠NAF ＝∠MAD ，∴△AFN ∽△ADM ， ∴=AN AF AM AD， ∵3tan =tan =4AF ADF B AD ∠， ∴3==4AN AF AM AD ， ∴AN ＝34AM ＝92， ∴CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝72．又∵FH ⊥DC ，FD =FC ，∴CD ＝2CH ＝7，∴BD ＝BC －CD ＝16－7＝9．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的性质与判定等等，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．4、（1）4；（2）h ；（3）5或6516；（4）54或83或4或5【分析】（1）由勾股定理即可得出AC 的长；（2）设点P 到边AB 的距离为h .分两种情况，①当点P 在AC 边上运动时，②当点P 在BC 边上运动时，由锐角三角函数定义分别求解即可；（3）分两种情况，①当点Q 在AC 边上时，②当点Q 在BC 边上时，由锐角三角函数定义分别表示出PQ ，列出方程，求解即可；（4）分情况讨论：①P 在AC 上，P 到AB 的距离P =到BC 的距离，②P 在BC 上，P 到AB 的距离P =到AC 的距离，③P 在AB 上，Q 到AB 的距离Q =到AC 的距离，④P 在AB 上，Q 到AB 的距离Q =到BC 的距离，分别求出t 的值即可．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，5AB =，3BC =，∴4AC =，故答案为：4；（2）设点P 到边AB 的距离为h .①当点P 在AC 边上运动时，过P 作PH AB ⊥于H ，如图1所示：∵3sin 5PH BC A AP AB ===，2AP t =， ∴36sin 255PH h AP A t t ==⋅=⨯=；②当点P 在BC 边上运动时，过P 作PH AB ⊥于H ，如图2所示：∵4sin 5PH AC B PB AB ===，72PB t =-， ∴4828sin (72)555PH h BP B t t ==⋅=-⨯=-+；综上所述，点P 到边AB 的距离为65t 或82855t -+；（3）3tan 4BC A AC ==，4tan 3AC B BC ==， ①当点Q 在AC 边上时，122AP t =-，如图3所示：则3tan 2PQ AP A ==⋅，即33(122)24t =-⨯，解得：5t =．②当点Q 在BC 边上时，27BP t =-，如图4所示：则3tan 2PQ BP B ==⋅，则34(27)23t =-⨯，解得：6516t =；综上所述，若32PQ =，t 的值为5或6516；（4）分情况讨论：①P 在AC 上，P 到AB 的距离P =到BC 的距离，过P 作PM AB ⊥于M ，如图5所示：则PM PC =，由（2）得：65PM t =，∵42PC AC AP t =-=-， ∴6425t t =-，解得：54t =；②P 在BC 上，P 到AB 的距离P =到AC 的距离，过P 作PM AB ⊥于M ，如图6所示：则PM PC =，由（2）得：82855PM t =-+， ∵24PC t =-， ∴8282455t t -+=-，解得：83t =；③P 在AB 上，Q 到AB 的距离Q =到AC 的距离，如图7所示：则QP QC =，∵QP AB ⊥，∴90APQ ACP ∠=︒=∠，∵AQ AQ =，∴()Rt APQ Rt ACQ HL △≌△，∴AP AC =，即1224t -=，解得：4t =；④P 在AB 上，Q 到AB 的距离Q =到BC 的距离，如图8所示：则PQ CQ =，∵PQ AB ⊥，∴90APQ ACB ∠=︒=∠，又∵A A ∠=∠，∴APQ ACB ∽， ∴PQ AQ AP BC AB AC==，即122354PQ AQ t -==，解得：392PQ t =-，5152AQ t =-， ∴554151122CQ AC AQ t t ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， ∴3591122t t -=-，解得：5t =；综上所述，当APQ 的一个顶点到ABC 的斜边和一条直角边的距离相等时，t 的值为54或83或4或5.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．5、11a +【分析】由题意根据分式的运算规则进行化简后，进而代入特殊锐角三角函数值进行计算即可.【详解】解：21()(1)11a a a a -⋅--+ 221()(1)11a a a a a -=-⋅--- 1(1)(1)(1)a a a =⋅-+⋅- 11a =+tan 602sin 312201a ︒︒=-=⨯=，把31a 代入11a =+【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值，熟练掌握分式的运算规则以及特殊锐角三角函数值是解题的关键.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形．此图形的对称轴有()A．2条B．4条C．6条D．8条2．【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A．4 B．6 C．8 D．104．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为()A．20 B．30 C．40 D．505．【2020·日照】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为()A．8 3 B．8 C．4 3 D．2 3 6．【2020·荷泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE 的度数是()A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°8．【2020·遂宁】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是()A．1 B．43C．32D．539．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF 形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形10．【2021·安徽】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD 的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为()A．3＋ 3 B．2＋2 3 C．2＋ 3 D．1＋2 3 二、填空题(每题3分，共24分)11．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 成为菱形，应选择______(限填序号)．12．【2021·南充】如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为________．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．14．【教材P16例3变式】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若S△ABE＝18，CE＝4，则线段BE的长为________．16．【2021·连云港】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为________．17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD 于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．三、解答题(每题11分，共66分)19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．20．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．21．【教材P7习题T1改编】【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．23．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．(1)求证：△BCE≌△DCF．(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：BE＝CF．(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．答案一、1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B10．A 点拨：连接OA ，OD ．由四边形ABCD 是菱形可得OA ⊥OD ，∠OAD ＝∠ADC ＝60°，则∠ADO ＝30°，所以OA ＝12AD ＝1．易求得AH ＝12，DH ＝32，则EH ＝32，HG ＝32．最后由O 是对称中心得四边形EFGH 是平行四边形，则其周长为2(EH ＋HG )＝3＋3．二、11．① 12．3 13．16 14．2.5 15．213 16．12517．22°18．154 点拨：连接EG ，易知EG ＝FG ．不妨设DE ＝x ，则BF ＝x ，EG＝FG ＝3＋x ，EC ＝5－x ．在Rt △ECG 中，利用勾股定理列方程求出x ，问题得解．三、19．(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°．在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE ＝AF ＝5，∠BAE ＝∠DAF ． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD ＝90°，即∠EAF ＝90°． ∴EF ＝AE 2＋AF 2＝52．20．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ． ∴∠OEB ＝∠ODC ．∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ．在△BOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD (AAS)． ∴OE ＝OD ．又∵BO ＝CO ，∴四边形BECD 是平行四边形． (2)100°21．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO ＝∠BNO ．∵MN 是对角线BD 的垂直平分线， ∴OB ＝OD ，MN ⊥BD ．在△MOD 和△NOB 中，⎩⎨⎧∠DMO ＝∠BNO ，∠MOD ＝∠NOB ，OD ＝OB ，∴△MOD ≌△NOB (AAS)． ∴OM ＝ON ．∵OB ＝OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形．又∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形．(2)解：∵四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10， ∴BM ＝BN ＝DM ＝DN ， OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5．在Rt △BOM 中，由勾股定理得BM ＝OM 2＋OB 2＝52＋122＝13， ∴菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝52． 22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD ．又∵BE ∥AC ，E 在DC 的延长线上， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AC ＝BE ．∴BD ＝BE ．(2)解：如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°． ∴∠BCE ＝90°．在Rt △BCE 中，根据勾股定理可得BC ＝8． ∵BE ＝BD ，∠BCD ＝90°，∴CD ＝CE ＝6． ∴DE ＝12．由题易知OD ＝OC ，∵OF ⊥CD ，∴CF ＝DF ．又∵OB ＝OD ，∴OF 为△BCD 的中位线． ∴OF ＝12BC ＝4．∴S △ODE ＝12DE ·OF ＝12×12×4＝24．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ． ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD ． ∴BE ＝DF ．在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)． (2)解：AB ⊥BC ．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，OE ＝12BC ，OF ＝12CD ，AF ＝12AD ，AE ＝12AB ，OE ∥BC ．晨鸟教育Earlybird ∴OE ＝OF ＝AF ＝AE ．∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴AE ⊥OE ．∴∠AEO ＝90°．∴四边形AEOF 是正方形．24．(1)证明：如图，连接AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°． ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，AB ＝AC ．∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△ACF (ASA)．∴BE ＝CF ．(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ．故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ．如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23．∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝43．∴S 四边形AECF ＝43．。