数学：平面镶嵌知识简介
平面镶嵌
a.x=360°
问题
如果用其中两种正多变形镶嵌，哪 两种正多边形能镶嵌成平面图案？
a.x+b.y=360° 如3个正三角形和2个正 方形
问题
单独用同一种平面图 形如果不能镶嵌,用两种 或者两种以上平面图形能 不能镶嵌呢?
能
例如正五边形和正八边形它们
单独用同一种不能镶嵌,但与三角形、 四边形就能镶嵌成平面图案.
练习： 4.用正多边形镶嵌,设在一个顶点周围有m个 正方形、n个正八边形,则 m=_____,n=______.
练习： 5.用正三角形和正六边形镶嵌,在每个顶点处 有_______个正三角形和_____ 个正六边形, 或在每个顶点处有______个正三角形和 ________个正六边形.
课堂小结
连接点处的六个角的和等于 360°
连接点处的四个角的和等于 360°
1 3 2
镶嵌平面图案需要的什么条件？
拼接在同一个点的各个角 的和恰好等于360度
要用几个形状、大小完全相 同的图形不留空隙、不重叠 地镶嵌一个平面，需使得拼 接点处的各角之和为 360°．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
2.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为(
A.正八边形和正方形
)
B.正五边形和正十边形
C.正六边形和正三角形 D.正六边形和正八边形
练习：
3.用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有 m个正三角形、n 个正六边形,则m,n满足的关系式是 ( )
A.2m+3n=12 C.2m+n=6B.m+n=8 源自.m+2n=6数学活动
用多边形覆盖平面
平面镶嵌
学一学
Shuxue
平面镶嵌:
平面图形的镶嵌
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
①请尝试一下用你准备的全等三角形 进行镶嵌!同一种任意三角形可以进行镶嵌。 ②请尝试一下用你准备的四边形进行 镶嵌!同一种任意四边形可以进行镶嵌。 ③请尝试用正六边形进行镶嵌!
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
①请尝试用你准备的全等三角形进行 镶嵌!同一种任意三角形可以进行镶嵌。 ②请尝试用你准备的四边形进行镶嵌!
正方形、正六边形
6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形
课后思考： 正三角形和正十二边形能进行 镶嵌吗？
ห้องสมุดไป่ตู้
石家庄市第八十一中学
张为娜
平面图形的镶嵌：
用一种或几种形状、大小相同的平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺 成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面 图形的密铺。
探究一
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
正三角形
几个任意的全等三角形能否镶嵌？
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角， 它们的和为3600；同一种任意三角形可以镶
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ③尝试用正方形和正八边形镶嵌
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
探究总结：
用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：
正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌 4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、
嵌。
试着做做
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
《平面镶嵌》ppt课件
4,4,4,4
/
/
6,6,6
/
/
3,3,3
4,4
/
3,3,3,3
6
/
3,3
6,6
/
3
12,12
/
4
8,8
/
5,5
10
/
正多形1 正多形2 正多形3
3
4,4
6
3,3
4
12
3
7
42
3
8
24
3
9
18
3
10
15
4
5
20
4
6
12
课后研讨题: 〔1〕设计一幅平面图形铺满地面的美丽图案,与他的同窗比一 比,看看谁设计得更有新意。
拼7.4 平面镶 嵌.swf拼 看
发现一:
同一种正多边形进展平面镶嵌的图形只需三种:正三角 形、正方形、正六边形
想7.4 平面镶 嵌.swf一 想
假设选择其中的两 种平面图形进展镶嵌， 他又会选择哪两种呢 ？
正三角形
正方形
正六边形
正八边形
拼拼看
拼拼看
拼拼看
拼拼看
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
〔2〕我们用两种正多边形能不能同样进展平面镶嵌呢？ 假设可以，他能用两种什么样的正多边形进展平面镶嵌？
A.1C种 B.2种 C.3种 D.4种
边长为a的正方形与以下边长为a的正多边形组合起来，
不能镶嵌成平面的是〔 〕B
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形
A. ① ②
B. ② ③
C. ① ③
D. ① ④
如图，足球由正五边形皮块〔黑色〕和正六 边形皮块〔白色〕缝成。假设取下一黑两白 两两相邻的三块皮块，能不能将这三块皮块 连在一同铺平？为什么？
平面镶嵌与立体图形
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
常见的平面镶嵌图形
正三角形、正方形、正六边形等单一图形的镶嵌，以及多种 正多边形的组合镶嵌，如正三角形和正方形、正三角形和正 六边形等。
拓展延伸：从数学角度看待美学设计
01
数学与美学设计的联系
数学中的对称、比例、均衡等概念在美学设计中有着广泛 的应用。例如，平面镶嵌就是利用图形的对称性和周期性 来创造出具有美感的图案。
构造过程中注意事项和技巧分享
选择合适的基本图形
基本图形的选择对镶嵌效果至关重要。一般来说，简单、规则的基本图形更容易进行拼接 和变换，从而形成美观的镶嵌图案。
保持图形的连续性
在构造平面镶嵌时，要确保图形之间的连续性。即图形之间应该能够无缝拼接在一起，避 免出现断裂或重叠的情况。
利用对称性简化构造过程
02 03
美学设计在数学教育中的应用
通过将美学设计融入数学教育，可以激发学生的学习兴趣 ，培养学生的审美能力和创造力。例如，在平面镶嵌的教 学中，可以引导学生欣赏各种美丽的镶嵌图案，并鼓励学 生自己设计和创作镶嵌作品。
数学在美学设计中的局限性
虽然数学在美学设计中有着广泛的应用，但数学并不是美 学设计的全部。美学设计还需要考虑人的感知、情感和文 化背景等因素。因此，在将数学应用于美学设计时，需要 注意其局限性和适用范围。
旋转变换
立体图形绕某一点或某一轴线进行旋 转，其形状和大小不会发生改变，但 方向和位置会发生变化。
缩放变换
立体图形在三个方向上按一定的比例 进行缩放，其形状不会发生改变，但 大小会发生变化。
错切变换
立体图形在某一方向上产生倾斜，其 形状和大小都会发生变化。
识别不同类型立体图形方法
初中数学《平面镶嵌》课件
360
mn 14,
m 2 n 2
（2）正三角形与正六边形的平面镶嵌 图案（Ⅱ）
60° 60°
每个顶点处正三角形4个，正六边形1个。
（3）正三角形和正十二边形平面镶嵌图案
（05山东）9．用两种正多边形镶嵌，不能与正三 角形匹配的正多边形是
（A）正方形
（B）正六边形
（C）正十二边形 （D）正十八边形
只用一种正多边形 进行平面镶嵌，有三种 方法：3个六边形；4个 四边形；6个三角形。
正三角形
能否 平面 镶嵌
能
正方形
能
正五边形 正六边形
不能 能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
4
3
1、三角形可以作 平面镶嵌吗?如果 能三角形如何镶嵌
呢?
2、四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°,所以
每个顶点处几个角的和为360°
若用一种正多边形进行镶嵌 ， 下列哪些正多边形可以镶嵌？ 为什么呢？ ①正三角形； ②正方形 ； ③正五边形； ④正六边形； ⑤正八边形； ⑥正十二边形。
还有其他的正多边形可以进行 镶嵌吗？
1、 正三角形的平面镶嵌
60°
60°
60°
60° 60° 60°
2、 正方形的平面镶嵌
1、镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠的和为
360°
90°
3、 正六边形的平面镶嵌
F
E
A
D
B
C
你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？为什么正五
边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成一个地
面条件是什么？
仅用正多边形进行镶
平面镶嵌(教案)
此外，关于学生小组讨论环节，我发现部分同学在分享成果时表达不够清晰，这可能影响了他们对知识点的掌握。针对这个问题，我将在接下来的教学中加强对学生表达能力的培养，鼓励他们多发言、多交流，提高自己的逻辑思维和口头表达能力。
平面镶嵌（教案）
一、教学内容
《平面镶嵌》为本章节教学内容，选取教材中关于平面几何的部分，主要包括以下内容：
1.平面镶嵌的基本概念与性质：镶嵌的定义，平面镶嵌的条件，平面镶嵌的分类。
2.平面镶嵌的判定方法：规则多边形的平面镶嵌，不规则多边形的平面镶嵌。
3.平面镶嵌的应用：生活中的平面镶嵌现象，艺术作品中的平面镶嵌设计。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面镶嵌的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平面镶嵌的理解。我希望大家能够掌握这白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平面镶嵌在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.增强学生的创新意识：鼓励学生运用所学知识，创作独特的平面镶嵌作品，激发创新精神和审美情趣。
【数学课件】平面镶嵌(人教新课标)
想做一做
剪出一些形状、大小完全相同 的任意三角形纸板，拼拼看，它们 能否镶嵌成平面图案？
问题 剪出一些形状、大小完全相同 的任意四边形纸板，拼拼看，它 们能否镶嵌成平面图案？
问题
如果用其中两种正多变形镶嵌，哪 两种正多变形能镶嵌成平面图案？
我们可以利用多边形设计一些美丽的 图案．
2
1
3
3
4 13
想一想
镶嵌平面图案需要的什么条件？
拼接在同一个点的同的图形不留空隙、不重叠 地镶嵌一个平面，需使得拼 接点处的各角之和为 360°．
你还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是 60°，正四边形的每个内角都是90°，正六 边形的每个内角都是120°，这三种多边形的 一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边 形的每个内角的倍数都不是360°，所以说： 在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六 边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌．
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
好漂亮的地板!这 是怎么铺设的?一点空 隙也没有.
我们经常能见到各种建筑物的地 板，观察地板，就能发现地板常用各 种正多边形地砖铺砌成美丽的图案
用一些形状、大小完全相 同的一种或几种平面图形进行 拼接，彼此之间不留空隙，不 重叠地把平面的一部分完全覆 盖，这就是平面图形的镶嵌．
注意：各种图形拼接后要既 无缝隙，又不重叠
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
了解简单的平面镶嵌形
了解简单的平面镶嵌形平面镶嵌形是一种常见且重要的几何形状，它在工程设计和艺术中都得到了广泛应用。
本文将介绍简单的平面镶嵌形，包括定义、特性以及与其相关的一些知识。
平面镶嵌形是指由多个多边形组成的平面图形，其中每个多边形的边都与其他的多边形的边相连，且没有交叉或重叠。
这些多边形之间的连接形成了镶嵌的结构，使得整个图形形成一个连续的平面。
平面镶嵌形可以由不同形状的多边形组合而成，例如三角形、四边形、五边形等。
平面镶嵌形具有一些独特的特性。
首先，镶嵌形中的每个多边形的内角和必须等于180度，这是根据欧几里得几何的基本原理推导得出的。
其次，所有的边都必须连接起来，使得镶嵌形成一个连续的平面。
此外，平面镶嵌形可以具有不同的对称性，包括旋转对称和镜像对称等，这使得其在艺术创作中具有很大的灵活性。
平面镶嵌形在工程设计中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，平面镶嵌形被用于设计建筑的外观，并且可以通过不同颜色和纹理的材料来突出其几何形状。
在电路设计中，平面镶嵌形被用于布线和连接电子元件，以实现电路的功能。
此外，平面镶嵌形还可以用于制作拼贴画和地板瓷砖等艺术品，给人们带来美的享受。
除了平面镶嵌形本身的定义和特性，还有一些与其相关的知识值得了解。
其中之一是拓扑学中的镶嵌理论，它研究了平面镶嵌形的组合和分类。
根据镶嵌理论，平面镶嵌形可以分为三种基本类型：三角形镶嵌形、四边形镶嵌形和五边形镶嵌形。
每种类型又可以进一步分类为不同的亚型，形成复杂多样的镶嵌结构。
在数学中，平面镶嵌形也有着深入的研究。
例如，欧拉公式是一个与平面镶嵌形相关的定理，它描述了平面镶嵌形的顶点、边和面的关系。
欧拉公式的表达式为V - E + F = 2，其中V表示顶点的数量，E表示边的数量，F表示面的数量。
这个公式在数学和工程计算中具有重要的应用价值。
总之，平面镶嵌形是一种重要的几何形状，具有广泛的应用领域。
了解简单的平面镶嵌形的定义、特性以及与其相关的知识，可以帮助我们更好地理解和运用这一概念。
八年级上册数学-平面图形的镶嵌
用一种或几种形状、大小相同的平面图形 进行拼接，彼此之间不留空隙，且不重叠地铺 成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面 图形的密铺。
探究一
只用同一种图形,哪些图形可以 镶嵌呢?
正三角形
几个任意的全等三角形能否镶嵌？
只要保证每个拼接处的几个角恰好形成一个周角， 它们的和为3600；同一种任意三角形可以镶
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ③尝试用正方形和正八边形镶嵌
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
探究总结：
用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合：
正三角形和正方形、正三角形和正六边形、 正方形和正八边形等
本节小结：
1、平面图形的镶嵌 2、平面图形镶嵌的条件 3、任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌 4、任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 5、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、
同一种任意四边形可以进行镶嵌。
③请尝试用你准备的正六边形进行镶 嵌!同一种正六边形可以进行镶嵌。
只用正五边边形能进行镶嵌吗？说说理由。
通过上面的探究我们来总结：如果只用 一种正多边形进行镶嵌，有哪些正多边 形可以进行镶嵌呢？
用一种正多边形进行镶嵌只有：正三角形、 正方形、正六边形三种情况。
正方形、正六边形
6、用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正 方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形
课后思考： 正三角形和正十二边形能进行 镶嵌吗？
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形
探究二
用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? ②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
《﹡数学活动 平面镶嵌》PPT课件(县级优课)
如果用边长相等的正三角形、正方形、正 五边形、正六边形其中的两种组合呢？
3×60°+2×90°=360°
不能镶嵌
2×120°+2×60° =360°
不能镶嵌
不能镶嵌
不能镶嵌
探究2：用几个全等的任意三角形能镶嵌吗？ 任意四边形呢？
2
1
3
3 2
1
4
谈一谈：通过本课的学习有哪些收获和体会？
数学活动：镶嵌 镶嵌的定义： 用一些封闭的平面图形把一块平面 既无空隙又不重叠地全部覆盖，叫做平 面镶嵌（简称镶嵌）。
探究1:边长相等的正三角形、正方形、正五边形、 正六边形中哪两种能镶嵌成一个平面图案？
平面镶嵌的条件：
1、拼接处顶点公用、边长相等。 2、拼接处角度和为360度。
探究1：仅用一种正多边形，哪些能单独镶嵌 成嵌调查表.docx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学：平面镶嵌知识简介
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
用若干类全等形无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°．最简单的镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面．以下对平面镶嵌问题从三个方面略作介绍．
一、用一种任意多边形镶嵌
1．全等的任意三角形能镶嵌平面
把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面．如图1．用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2．
2．全等的任意四边形能镶嵌平面
仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面．如图3．其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌．如图4．
3．全等的特殊五边形可镶嵌平面
圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论．1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABcDE中，∠B=∠E=90°，2∠A＋∠D=2∠c＋∠D=360°，a=e，a＋e=d．图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法．用五边形镶嵌平面，是否只有13类，还有待研究．
4．全等的特殊六边形可镶嵌平面
1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面．图7是其中之一．在图7的六边形ABcDEF中，∠A＋∠B＋∠c=360°，a=d．
5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面．
二、用同一种正多边形镶嵌
只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面．
三、用多种正多边形镶嵌
例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌．设在一个顶点周围有m 个正三角形的角，有n个正六边形的角．由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°．所以有
m·60°＋n·120°=360°，即m＋2n=6．
这个方程的正整数解是或
可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一
种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形．如图8、图9．
读者可探究用其它两种正多边形或两种以上的正多边形进行镶嵌的问题．
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。