2022届高三二轮突破带电粒子在磁场中运动——旋转圆专题(教师版)

带电粒子在磁场中运动——旋转圆专题1模型特点：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”.另外，要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观，如图3.图3①适用条件a.速度大小一定，方向不同粒子源发射速度大小一定，方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度为v 0，由q v 0B ＝m v 20R 得圆周运动半径为R ＝m v 0qB .b.轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O 为圆心、半径R ＝m v 0qB 的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上.2解题思路：通过题目条件求出带电粒子在磁场中运动的半径，以粒子发射源为起点，画出一个圆，然后保持圆的半径大小不变，将圆（直径）旋转，找出临界条件题型一：粒子打中范围问题解题思路：对单边界磁场，粒子能打中的范围通常是动态圆与磁场边界相切或动态圆的直径恰好全部在磁场内1．如图，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。

许多质量为m带电量为+q的粒子，以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。

不计重力，不计粒子间的相互影响。

下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中mvRBq=，哪个图是正确的（）A． BC．D．【答案】A【解析】【详解】所有粒子的速率相等，根据半径公式mvrBq=可知所有粒子在磁场中圆周运动半径相同，由图可知，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界，根据几何关系有22MO r R==随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以O点为圆心以2R为半径转动；则可得出符合题意的范围应为A。

故选A。

2．如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x 轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R=mv/qB，正确的图是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后在离开，速度v与x轴的夹角相同，根据左手定和mvRqB=，知沿x轴负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D正确；考点：带电粒子在匀强磁场中的运动【名师点睛】本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析运动轨迹的边界，可以运用极限分析法分析．3．如图所示，宽h=4cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向内，现有一群正粒子（不计重力）从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径均为r=10cm，则（）A．右边界：-4cm<y<8cm有粒子射出B．右边界：y<8cm有粒子射出C．左边界：y>8cm有粒子射出D．左边界：0<y<16cm有粒子射出【答案】D【解析】根据左手定则可知，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r =10cm 画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示则1122210cm OO O A OO O C O E =====由几何知识求得8cm AB BC == 16cm OE =由轨迹图可知左边界：0<y <16cm 有粒子射出，右边界：-8cm<y <8cm 有粒子射出，故选D 。

4．如图所示，空间存在半径分别为R 1和R 2的两个同心圆，圆心为O 。

半径为R 1的圆内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ；在两圆之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小也为B 。

在O 点有一粒子源可以在纸面内沿各个方向发射质量为m 、电荷量为+q 、速率为1qBR v m=的粒子，不考虑粒子之间的相互作用，不计粒子重力，若所有粒子刚好都不离开磁场。

则R 1与R 2的比值为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．)11 D ．)11【解析】 【详解】设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r ，根据牛顿第二定律有2v qvB m r=解得1r R =如图所示，当粒子恰好不离开此时，根据几何关系可得12R R =故选D 。

5．如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。

若粒子射入速率为v 1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v 2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。

不计重力及带电粒子之间的相互作用。

则这两种情况下带电粒子从P 点射入到距P 点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t 1∶t 2为（ ）A ．1∶2B ．2∶1CD ．1∶1【答案】D 【解析】 【详解】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由2v qvB m R=可知R ＝mv qB又2mT qBπ=即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。

若粒子运动的速度大小为v 1，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子在磁场边界的出射点M 离P 点最远时，则MP ＝2R 1同样，若粒子运动的速度大小为v 2，粒子在磁场边界的出射点N 离P 点最远时，则NP ＝2R 2由几何关系可知12R R ＝R 2＝R cos 30° 则2211v R v R ==由轨迹图可知，这两种情况下带电粒子的对应的圆心角相等，故带电粒子从P 点射入到距P点最远处射出，其在磁场中所经历的时间比t 1∶t 2为1:1，ABC 错误，D 正确。

故选D 。

6．如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.30T 。

磁场内有一块足够大的平面感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l =32cm 处，有一个点状的α粒子放射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s 。

已知α粒子的电荷量与质量之比75.010C/kg qm=⨯。

若只考虑在图纸平面内运动的α粒子，则感光板ab 上被α粒子打中区域的长度是多少？（不计粒子的重力）【答案】40cm 【解析】 【详解】α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R 表示轨道半径，有2v qvB m R=由此得20cm R =由于2R l R >>因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S ，由此可知，某一圆轨迹在图中N 左侧与ab 相切，则此切点P 1就是α粒子能打中的左侧最远点；再考虑N 的右侧。

任何α粒子在运动中离S 的距离不可能超过2R ，以2R 为半径、S 为圆心作圆，交ab 于N 右侧的P 2点，此即右侧能打到的最远点； 粒子运动轨迹如图所示定出P 1点的位置，可作平行于ab 的直线cd ，cd 到ab 的距离为R ，以S 为圆心，R 为半径，作弧交cd 于Q 点，过Q 作ab 的垂线，它与ab 的交点即为P 1； 根据几何关系可得116cmNP 由图中几何关系得224cm NP =所求长度为121216cm 24cm 40cm PP NP NP =+=+=题型二 粒子打中时间问题（最长时间和最短时间）在旋转圆问题中，最长时间对应弧长（弦长）最长，最短时间对应弧长（弦长）最短 1．如图所示，半径为r 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场边界上A 点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k ，速度大小为2kBr 。

则粒子在磁场中运动的最长时间为（ ）A ．kBπB ．2kBπC ．3kBπD ．4kBπ【答案】C 【解析】 【详解】粒子在磁场中运动的半径为22kB mv R r B Br q m q ⋅=== 当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r ，故633T m t qB kBππ=== 故选C 。

2．如图所示，在荧光屏MN 上方分布着水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。

距离荧光屏d 处有一粒子源S ，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q ，质量为m ，速率为v 的带正电粒子，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径为d ，则（ ）A ．粒子能打到屏上的区域长度为B ．能打到屏上最左侧的粒子所用的时间为2dvπ C ．粒子从发射到打到屏上的最长时间为dvπD ．同一时刻发射的粒子打到屏上的最大时间差76dvπ 【答案】D 【解析】 【详解】A ．粒子能打到屏上的区域长度为)1L d d ==A 错误；B ．打到屏上最左侧的粒子所用的时间为112t T =2dT vπ=解得1dt vπ=B 错误；CD ．粒子从发射到打到屏上的最长时间为max 34t T =粒子从发射到打到屏上的最短时间为min 16t T =2dT vπ=时间差为max min t t t ∆=-解得max 32dt vπ=76dt vπ∆=C 错误，D 正确。

故选D 。

3．如图所示，在03x a ≤≤的区域内存在与xOy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B ．在0=t 时刻，从原点O 发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y 轴正方向的夹角分布在0~90︒︒范围内。

其中，沿y 轴正方向发射的粒子在t t =0时刻刚好从磁场右边界上()3P a 点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）A ．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3aB ．粒子的发射速度大小为4at π C．磁场右边界上有粒子射出的长度为1a D ．带电粒子在磁场中运动的最长时间为02t【答案】D 【解析】 【详解】A ．沿y 轴正方向发射的粒子在t t =0时刻刚好从磁场右边界上(3P a 点离开磁场，如图所示，由几何关可得())2223a r r -+=解得2r a =所以A 错误；B ．由几何关系可得，沿y 轴正方向发射的粒子在磁场中运动的圆心角为23π，其运动时间为000223as t v v π⨯== 解得0043av t π=所以B 错误；D ．在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图所示由几何关系可得该粒子做圆周运动的圆心角为43π，在磁场中的运动时间为2t 0。

所以D 正确；C ．粒子能从磁场右边界打出的临界条件如上两图所示，由几何关系可得，打在右边界上的粒子的长度为，所以C 错误； 故选D 。