同济高等数学1归纳
高等数学归纳(第一章~第三章)
2010126137 彭伟奕
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一 、 集合
●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。 ●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。 (a 属于A,记作a ∈A ； a 不属于A ，记作a ?A 。) ●表示集合的方法：
（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A={}123n a a a a ，，
（2） 描述法：集合M={}
x x ︱具有性质P ，例：M={}
210x -=︱x ●集合间关系：A 包含于B （A ?B ），A 不包含于B （A ?B ） A 是B 的真子集（
A B ?）
，A 等于B （A=B ）,空集?是任何非空集合的真子集。 ●集合的运算：并，交，差
{}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =?∈且
A\B={}|x x A x B ∈?且 I\A 为A 的余集或补集，亦记c
A
●集合运算法则：
交换律：A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律：（A ∪B ）∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律：（A ∪B ）∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律：c c (A
B)A B c = ｃｃｃ
（ＡＢ）＝ＡＢ
直积（笛卡尔乘积）：A ?B={（x,y ）|x ∈A 且x ∈B}，例：R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合，R ×R 记作２
Ｒ。
● 区间与邻域：
（1）区间 开区间：（a,b ）,a,b 为开区间（a,b ）的端点。 闭区间：[a,b]
半开区间：[a,b ﹚, ﹙a,b]
（2）邻域：以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域，记作U （a ） 点a 的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x ＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a 为邻域的中心，δ为邻域半径。
点a 的去心δ邻域，δ０
（ａ，）Ｕ
，为把邻域中心去掉，δ０
（ａ，）Ｕ
={x|0＜|x-a|＜δ} 点a 的左邻域：{a-δ，a}，点a 的右邻域：{a,a+δ}
二、映射
●定义：X ，Y 两非空集合，如有一对应法则f 使X 中每一个元素x ，按f ，Y 中有唯一确定的元素y 一之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，f ：X →Ｙ，其中y 为元素x （在映射f 下）的像。
●构成映射的三要素：（1）定义域ｆＤ,ｆＤ=X;(2)值域ｆＲ，ｆＲ?Y ；（3）对应法则f ，对于每个x ∈X,有唯一确定的y=f （x ）与之对应。 满射、单射、双射
● 从X 到Y 上的满射：任一y 都是x 中某元素的像。 ● f 为x 到y 的单射：x 中任≠１２ｘｘ，且()()≠１２ｆｘｆｘ ● 双射：f 为一一映射（或双射）：f 既单射，又双射。
●逆映射与复合映射：
1）设f 是X 到Y 的单射，则由定义，对每一个y ∈ｆＲ，有唯一的x ∈X ，适合f （x ）=y.于是，我们可以定义一个从ｆＲ到X 的新映射g ，即 g ：ｆＲ→X
对每一个y ∈ｆＲ，
规定g （y ）=x ，这x 满足f （x ）=y.这个映射g 称为f 的逆映射，记作－１
ｆ，
其定义域－１ｆｆＤ＝Ｒ，值域－１ｆ
Ｒ＝Ｘ。 *只有单射才有逆映射。
●复合映射：设两个映射g: X →１Ｙ， f ：→２ＹＺ,其中?１２ＹＹ,则由映射g 合f 可以定义出一个从X 到Z 的对应法则，他将每一个x ∈X 映成f[g （x ）] ∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 合f 构成的复合函数，记作
。
ｆｇ，即
→。
ｆｇ：ＸＺ
∈。（ｆｇ）（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘＸ
*映射g 与f 成复合映射的条件：g 的值域ｆＲ必须包含在f 定义域内，即：?ｆｆＲＤ
三、函数
●定义：设数集D ?Ｒ，则称映射f ：D →R 为定义在D 上的函数，通常简记为 y=f （x ），x ∈D
其中x 称为自变量，y 因变量，记作ｆＤ，即ｆＤ＝Ｄ. ●值域：ｆＲ或f （D ）即
{}∈ｆ
Ｒ＝ｆ（Ｄ）＝ｙ｜ｙ＝ｆ（ｘ），ｘＤ f 与f （x ）的区别：f 表示x 与y 的对应法则，f （x ）表示x 与对应的函数值。 ●表示函数的方法：表格法；图形法；解析法（公式法）
●构成函数的要素：定义域ｆＤ及对应法则f 。（如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的） ●函数的几种特性
（1）函数的有界性：X ?Ｄ, ?１Ｋ使()≤１ｆｘＫ则f(x)有上界
X ?Ｄ, ?２Ｋ使f(x)≥２Ｋ则f(x)有下界
X ?Ｄ, ?Ｍ，使|f(x)|≤Ｍ则f(x)有界
如这样的M 不存在则f(x)无界.
（2）函数的单调性：设ｆＤ＝Ｄ ,I ?Ｄ ,如I 上任意１２ｘ，ｘ；当≤１２ｘｘ时,恒有
１２ｆ（ｘ）＜ｆ（ｘ）则f(x)在I 上单调增加,如I 上任意１２ｘ，ｘ；当≤１２ｘｘ时,恒有１２ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ）则f(x)在I 上单调减少。
单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。 （3）函数的奇偶性：前提ｆＤ关于原点对称，如果?∈ｘＤ，f （-x ）=f （x ）则f （x ）为偶函数,如果?∈ｘＤ，()()ｆ －ｘ＝－ｆｘ则f(x)为奇函数
（4）函数的周期性：设ｆＤ=D ，存在一正数L 使任一x 有（x ±L ）∈D ，且f （x+L ）=f （x ）恒成立，则称f （x ）为周期函数，L 为周期，通常说的周期是最小正周期。
●反函数与复合函数
（1）反函数：设函数f ：D →f （D ）是单射，则它存在逆映射
→－１
ｆ：ｆ（Ｄ）Ｄ，称此映射－１
ｆ
为f 的反函数。于是()－１
ｆ
ｙ＝ｘ。一般记为()－１
ｆｙ＝ｘ，x ()∈ｆｘ。
F （x ）称为直接函数，两函数关于y=x 对称。 （2）复合函数：设y=f(u) u=g(x), ?ｇｆＲＤ则有
y=[]ｆｇ（ｘ）, x ∈ｇＤ
称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域g D ,变量u 称为中间变量
∈。（ｆｇ）（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘＸ
*构成条件：函数g 的值域?ｆｆＲＤ ●函数的运算：
设函数f(x)，g （x ）的定义域依次为1212,,D D D D D =≠?，则可定义一函数
和（差）f ±g ：
()()(),f g x f x x D ±=?；
积f g ?： ()()()(),;f g x f x g x x D ?=?∈ 商
f
g ： ()()()(){},\|0,f x f x x D x g x x D g g x ??=∈=∈ ???
。 ●初等函数
（1）幂函数：y=n
x （R μ∈是常数）， （2）指数函数：(01),x
y a a a =>≠且
（3）对数函数：log (01,y )a y x a a =>≠且特别当a=e 时，记为=lnx （4）三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=
1cos x ,y=cscx=1
sin x
（5）反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx 等。
基本初等函数：
有常数和基本初等函数经过有限次数的四则运算和有限次数的符合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如
2sin ,y y x y ===等都是初等函数。
第二节 数列的极限
●数列极限的定义：设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当n >N 时，不等式 ||n x a ε-< 都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为 lim n n x a →∞
= ，或
()n x a n →→∞。如果不存在这样的常数a ，就说数列{}n x 没有极限，或者说数列{}n x 是
发散的，习惯上也说lim n n x →∞
不存在。
定义表达为：lim n n x a →∞
=n 0,N n>N |x |a εε??>?-<正整数，当时，有
● 收敛数列的性质：
定理1（极限的唯一性） 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一。
定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。、
定理3（收敛数列的保号性） 如果lim n n x a →∞
=，且a>0.（或a<0），那么存在整数N>0时，
都有n x >0（或n x <0）。 推论 如果数列{}n x 从某一项起有n 0(0),lim n n n x x x a →∞
≥≤=或且，
那么a ≥0（或a ≤0）。
定理4 （收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数
列也收敛，且极限也是a 。
第二节 函数的极限
● 定义：在自变量的某一变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这
个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限. 1、 自变量趋于有限值时函数的极限
定义1 设函数f(x)在点0x 的某一去心邻域内有定义,如果存在整数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在δ，使得当x 满足不等式0||x x δ<-<时，对应的函数值f （x ）都满足不等式 |f （x ）-A|<ε 那么常数A 就叫做函数f （x ）当0x x →时的极限，记作 ()()0
lim x x f x A f x A →=→或 当（当0x x →）
*左极限 ： 把0<|x-0x |<δ改为00x x x δ-<<，那么A 就叫做函数f （x ）当0x x →时的
左极限，记作 ()()
0lim x x f x A f x A -
-
→==或 *右极限 ： 把0<|x-0x |<δ改为00x x x δ<<+，那么A 就叫做函数f （x ）当0x x →时的
右极限，记作 ()()
0lim x x f x A f x A +
+
→==或 *左极限与右极限统称为单侧极限
*只有当左极限与右极限同时存在时，函数才有极限 2、 自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 .设函数f （x ）当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X ，使得当X 满足不等式|x|>X 时，对应的函数值f （x ）都满足不等式 |f （x ）-A|<ε,那么常数A 就叫做函数f （x ）当x →∞时的极限，记作 ()()()l i m x f
x A f x A x →∞
=→→∞或当
● 函数极限的性质
定理1（函数极限的唯一性） 如果()0
lim
x x
f x →存在，那么这极限唯一 定理2 （函数极限的局部有界性） 如果()0
lim x x
f x →=A ，那么存在常数M>0和δ>0,使得当
0<|x-0x |<δ时，有|f （x ）|≤M
定理3 （函数极限的局部保号性） 如果 ()lim x f x A →∞
=，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0,
使得当0<|0x x -|<δ时，有f （x ）>0(或f （x ）<0)
定理'
3 如果 ()lim x f x A →∞
=(A ≠0),那么就存在着0x 的某一去心邻域00()U x ，当x ∈0
0()
U x 时，就有|f （x ）|>
||
2
A . 定理4 （函数极限与数列极限的关系）极限如果 ()0
lim x x
f x →存在，{}n x 为函数f （x ）的
定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：0()n x x n N +
≠∈，那么相应的函数值数列{}
()n f x 必收敛，且()0
lim ()lim n x x f x f x →∞
→=
第三节 无穷大与无穷小
● 无穷小
定义1 ： 如果函数f(x)当x 0x →（或x →∞）时的极限为零，那么称函数f (x)为当x 0x →（或
x →∞）时的无穷小．（特别地，以零为极限的数列{n x }称为n →∞时的无穷小）
定理1 在自变量的同一变化过程x 0x →（或x →∞）中，函数f (x)具有极限A 的充分必要
条件是f (x)=A+a ，其中a 是无穷小． ● 无穷大
定义2 ： 设函数f (x)在x 。的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数M （或正数X ），只要x 适合不等式o
*当x 0x →（或x →∞）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的．但我们可以说“函数的极限是无穷大”，并记作 ()0
lim x x f x →=∞（或()lim x f x →∞
=∞）
* 如果在无穷大的定义中，把() ||f x M >换成()f x M > (或f(x)<一M ）
，就记作 ()()
lim x f x x x →∞=+∞→(或()()
lim x f x x x →∞=-∞→)
一般的说，如果()0
lim x x f x →=∞，则直线x=0x 是函数y=f(z)的图形的铅直渐近线．
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
()
1
f x 为无穷小；反之，如果f(x)
为无穷小，且f(x)≠0．则
()
1
f x 为无穷大。 第四节 极限运算法则
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
定理3 如果lim.f (x)=A ，limg(x)=B ，那么
(1)lim[f(x)±g (x)]= lim.f (x)±limg(x)=A ±B; (2) lim[f(x)?g(x)]=Iim.f(x)-limg(x)=A ?B; (3)若又有B ≠0，则 ()()()()lim lim
lim f x f x A
g x g x B
== 推论l 如果limf(x)存在，而c 为常数，则 lim[cf(x)]=climf(_x). 就是说，求极限时，常数因子可以提到极限记号外面．这是因为limc=c ．
推论2 如果limf(x)存在，而n 是正整数，则 ()()lim f x limf x n
n
=????????]． 关于数列，也有类似的极限四则运算法则，这就是下面的定理，
定理4 设有数列{ n x }和{ n y }．如果 lim ,lim ,n n n n x A y B →∞
→∞
== 那么
(1)lim()n n n x y →∞
± =A±B;
(2)lim n n n x y A B →∞
?=?;
(3)当n y ≠0(n=l ，2，…)且B ≠0时，lim
n n n x A
y B
→∞
=. 定理5 如果 ?(x)≥ψ(x)，而lim ? (x)=a ，lim ψ(x)=b ，那么a ≥b
定理6（复合函数的极限运算法则）设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
f[g(x)]在点x 。的某去心邻域内有定义，若0
lim x x → g(x)=u 。，0
l i m
u u →(u)=A ，且存在δ。>0，当x ∈
00(,)U x δ时，有g(x)≠0u ，则
()()0
lim lim x x u u f g x f u A →→==????
第六节 极限存在准则 两个重要极限（0sin lim 1x x x →=及 1l i m 1x
x e x →∞??+= ???
） 夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{0x }、{n y }及｛n z ｝满足下列条件：
(1)从某项起，即0n ?∈N ，当n>0n 时，有 n n n y x z ≤≤, (2)
,.lim lim n
n n n y
a z a →∞
→∞
== 那么数列{}n x }的极限存在，且.lim n n x a →∞
=
准则 '
I 如果 (1)当x ∈0
U (0x ,r)（或|x| >M ）时，g(x)≤f(x)≤h(x)
(2)
()0
lim x g x A x x →∞
=→,()0
lim x h x A x x →∞
=→，那么()0
lim x f x x x
→∞
→存在，且等于A.
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限。
准则'∏ 设函数f （x ）在点0x 的某个左邻域内单调并且有界，则f （x ）在0x 的左极限
0f x -
（）必定存在。
柯西存在准则 数列｛n x ｝收敛的充要条件：对于任意给定的正数ε，存在着正整数N
使m>N ，n>N 时，有 |n m x x -|ε< *两个重要极限：（1）0sin lim
1x x
x
→=
2000tan x arctan x 1-cos x lim =1lim =1lim ==1x x x x x x →→→?
? ???
， ， （2） 1l i m 1x
x e x →∞
??
+= ??? ()()x 11x x 00111lim 1x =e lim 1=lim 1-x =x e e x x x →→∞→????+- ? ? ????
?，， 第七节 无穷小的比较
定义：
如果lim
β
α=0．就说β是比α高阶的无穷小，记作()o βα=； 如果lim β
α=∞，就说β是比α低阶的无穷小
如果lim c β
α=≠0，就说β与α是同阶无穷小；
如果lim k c β
α=≠0，k>0，就说β是关于α的k 阶无穷小，
如果lim β
α
=1．就说β与α是等价无穷小，记作αβ.
定理1βα与是等价无穷小的充分必要条件为 ()o βαα=+ 定理2 设'
αα
，'
β
β，且lim ''βα存在，则lim β
α
=lim ''βα．
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
定义 设函数y=f(x)在点x 。的某一邻域内有定义，如果
()()0000lim lim 0x x y f x x f x ?→?→?=+?-=????，那么就称函数y=f(x)在点0x 连续. ·在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 二、函数的间断点
设函数．f(x)在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数，f(x) 有下列三种情形之一： (1)在x=x 。没有定义；
(2)虽在x=x 。有定义，但0
x lim x →()f x 不存在；
(3)虽在x=x 。，有定义，且0
x lim x →()f x 存在，但0
x lim x →()f x ≠f(0x )， 则函数()f x 在点x 。
为不连续，而点x 。，称为函数()f x 的不连续点或间断点．
*第一类间断点（跳跃间断点、可去间断点）：x 。是函数()f x 的间断点，但左极限及右
极限)都存在，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。
第二类间断点（ 无穷间断点和振荡间断点）
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
定理1 设函数()f x 和g(x)在点x 。连续，则它们的和（差）f ±g 、积f ．g 及商
f
g
(当g(x 。)≠O 时）都在点x 。连续．
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 如果函数y=()f x 在区间Ix ，上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数
x=1
()f
x -也在对应的区间Iy={y|y=()f x ，x ∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续.
定理 3 设函数
y=f[g(x)]由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，0
0()U x g f D ?。，若
0x lim x x →g （）=u ，而函数y=f(u)在u=u 。连续，则[]()()0
0x lim x lim x x u u f u →→=f g （）=f
定理4 设函数y=[]x f g （）是由函数u=g(x)与函数y= (u)复合而成，U(x 。) g f D ?。，若函
数u=g(x)在x=x 。连续，且g(xo)=uo ，而函数y=f(u)在u=uo 连续，则复合函数y=[]x f g （）在x=x 。也连续。
三、初等函数的连续性
●一切初等函数在其定义域内都是连续的。 ●如果法f （x ）是初等函数，且
0x 是f （x ）的定义区间内的点，则0
0x lim f x =f x x →（）（）
第十节闭区间上连续函数的性质
一 有界性与最大值最小值定理
●最大最小值：对于在区间I 上有定义的函数f(x)．如果有x 。∈I ，使得对于任一x ∈I 都有f(x)≤f(x 。) (f(x)≥f(x 。)),则称f （x 。）是函数f(x)在区间I 上的最大值（最小值）。
定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取
得它的最大值和最小值． 二、零点定理与介值定理
定理2(零点定理) 设函数，f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即，f(a)· (b)<0)，
那么在开区间(a ，b)内至少有一点ξ()()
()
()()
1
1!ln 111n n n
n x x --+=-????
+，使f(ξ)=0。
定理3(介值定理) 设函数．f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f(a)=A 及．f(b)=B ，那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a ，b)内至少有一点ξ．使得f(ξ)=C (a<ξ 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. 三、一致连续性 定义 设函数f(x)在区间I 上有定义．如果对于任意给定的正数ε。总存在着正数δ，使得对于区间，上的任意两点1,2x x ，当|1x -2x |<δ时。就有 |1x -2x |<ε 那么称函数，f(x)在区间I 上是一致连续的． 定理4(一致连续性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，那么它在该区间上一致连续． 第二章导数与微分 第一节 导数与微分 一、导数的定义 定义 设函数y=(x)在点x 。的某个邻域内有定义，当自变量x 在x 。处取得增量△x(点x 。+△x 仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量?y=f(x 。+?x)一f(x 。)；如果△y 与△x 之比当△x → 0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x 。处可导．并称这个极限为函数y=f(x)在点x 。处的导 数，记为' 0()f x ，即()()00'000()lim lim x x f x x f x y f x x x ?→?→+?-?==??也可记做00' |,|x x x x dy y dx ==或 （导数的定义式(4)也可取不同的形式，常见的有()() 00' 00 ()lim h f x h f x f x h →+-=和 ()() 0'00 ()lim x x f x f x f x x x →-=-）。 ●单侧导数 左极限叫左导数()' 0f x -，右极限叫右导数()' 0f x +左导，右导统称单侧导数 二、导数的几何意义 () |x x df x dx = 导数的定义可知：函数y=f(x)在点x 。处的导数()'0f x 在几何上表示曲线y=f(x)在点M(0x ,f(x 。))处的切线的斜率，即 ()'0f x =tan a ，其中a 是切线的倾角. 三、函数可导性与连续性的关系 如果函数y=(x)在点x 处可导，则函数在该点必连续．另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导. 函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件． 第二节 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1 如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x 具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分 母为零的点外)都在点x 具有导数，且 (1()()()()' ' ' u x v x u x v x ±=±????； (2)()()()()()()' ' ' u x v x u x v x u x v x =+????； (3)()()()()()() ()()()' ''2 0u x u x v x u x v x v x v x v x ??+=≠???? ; 二、反函数的求导法则 定理2 如果函数x=f(y)在区间y I 内单调、可导且()'0f y ≠，则它的反函数()1y f x -=在 区间x I ={xI x=f(y)，y ∈y I 内也可导，且 ()()() 00-1 '()'f x h f x f x f y +-??= ??或1 dy dx dx dy = *反函数的导数等于直接函数导数的倒数 三、复合函数的求导法则 定理3 如果u=g(x)在点x 可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f [g(x)]在点 x 可导，且其导数为 ()()''dy f u g x dx =?或dy dy du dx du dx =? 四、基本求导法则与导数公式 1．常数和基本初等函数的导数公式 (1) ()' C =0． (2)()' 1 x x μμμ-=， (3)()' sin x cos x =， (4)()'cos x sin x =一， (5)()' 2 tan x sec x =， (6)()' 2 cot x csc x =-， (7)()'sec x sec xtan x =， (8)()' csc x CSC x cotx =--， (9)' (a )In a x x =a ， (10)'(e )e x x =， (11)' 1(log )ln a x x a = ， (12)' 1(1n x)x =， (13' (arcsin )x = (14)( )' arccos x =， (15)()' 2 1 arctan x 1x = +， (16)()' 2 1arccot x 1x =-+ 2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u=u(x)，v=v(x)都可导，则 (1)' ' ' ()u u v ±=±v ， (2)()' ' Cu Cu = (C 是常数)， (3)' ' ' ()u u v uv =±v ，(4) '' '2 ()u u v uv v -=v (v ≠0)． 3．反函数的求导法则 设x=f(y)在区间y I 内单调、可导且()'0f y ≠，则它的反函数()1y f y -=在()x x I f I =内也可导，且()() ' 1 '1x f I f y -??= ??或 1 dy dx dx dy = 4．复合函数的求导法则 设y=f(u)，而u=g(x)且，f(u)及g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为 dy dy du dx du dx =? 或()()()'''y x f u g x =? 第三节高阶导数（二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数） 一般的，函数y=f(x)的导数()' ' y f x =仍然是x 的函数． 我们把()'' y f x =的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作 '' y 或22d y dx ,即 ()' '''y y = 或 22d y d dy dx dx dx ??= ???． 相应的，把y=f(x)的导数()'f x 叫做函数y=f(x)的一阶导数． 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶 导数，…，一般的，(n-1)阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作''' y ,() 4y ,…,() n y 或33d y dx ，44d y dx ，…，n n d y dx .二阶及二阶以上的导数统称高阶导数 1 () () n x x e e = 2 () () sin sin 2n x x n π? ?=+? ?? ? 3 () () cos cos 2n x x n π? ?=+? ?? ? 4 ()() () ()() 1 1!ln 111n n n n x x --+=-????+ 5 0！=1 6. () () ()()()() 12...1n n x n x μμμμμμ-=---+ () () ()()()() 112 (321) !, n n n n x n n n n x +=--??== 7 () () ()()n n n u v u v ±=± 8 布莱尼茨公式 ()() ()()()()()()()() ()12'''11...1......2!! n n n n n k k n n n n n n k uv u v nu v u v u v uv k ------+=++ ++++ () () () ()0n n k k n k n k uv C u v -==∑ 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 一、隐函数的导数 隐函数：一般的，如果变量x 和y 满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x 取 某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方 程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数．把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化 隐函数的求导：对隐函数方程两边分别对x 求导 例：求由y e xy e=0+-所确定的隐函数的导数 解：把方程两边分别对x 求导,得y y d dy dy e xy e =e y+x =0dx dx dx +（+-） 则 y y dy y =-x+e 0dx x+e ≠（） 【对数求导法：先在y=f （x ）的两边取对数，然后再求出y 的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 一般的，若参数方程()() x t y t ?ψ=???=?? （3）确定y 与x 的函数关系，则称此函数表达式的函数为由参数方程（3）所确定的函数。 dy dy dt dx dx dt = ()()()()()'''' ''22'3t t t t d y dx t ψ?ψ??-= 三、相关变化率 设x=x(t)及Y=Y(t)都是可导函数，而变量x 与Y 间存在某种关系，从而变化率dx dt 与dy dt 间也存在一定关系．这两个相互依赖的变化率称为相关变化率 第五节 函数的微分 一、微分的定义 定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x 。及x 。+△x 在这区间内，如果增量△y=f(x 。+△z)-f (x 。)可表示为?y=A ?x+o(?x)，(1)其中A 是不依赖于△x 的常数，那么称函数y=f(x)在点x 。是可微的，而A △x 叫做函数y=f(x)在点x 。相应于自变量增量△x 的微分，记作dy ，即dy=A △x ． 函数的微分 dy 或df(x) dy=f ’(x) △x 自变量的微分 dx dx=△x 于是y=f(x)的微分又可记作 ()'dy f x dx = ()'dy f x dx ∴ = 导数也叫微商 二、微分的几何意义 对于可微函数y=f(x)而言，当△y ，是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量. 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 导数公式 微分公式 ()' 1 n n x nx -= () 1n n d x nx dx -= (sinx)’=cosx d(sin x)=cosxdx (cosx)’=- sin x d(cosx)=- sinxdx (tanx)’=2 sec x d(tanx)=2 sec x 玉2xdx (cot x)’=-2 ec c x d(cot x)=- 2 ec c x ' (e c )s x =secx.tanx d(sec x)=secx.tanxdx (csc x)’=- csc xcotx d(cscr)=-cscxcotxdx ' ()x a =ln x a a d(x a )=ln x a a dx '()x e =x e ()x d e =x e dx ' (log )a x = 1ln x a d(log a x )=1 ln x a dx ' 1(ln )x x = (ln )d x 1dx x = ' (arcsin )x = (arcsin )d x = ' (arccos)x=(a r c c o s d x ' 2 1 (arctan) 1 x x = + (arctan) d x 2 1 1 dx x = + ' 2 1 (arccot) 1 x x =- + (arccot) d x 2 1 1 dx x =- + 2．函数和、差、积、商的微分法则 函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则 ''' () u v u v ±=±() d u v du dv ±=± ' () Cu=Cu'd() Cu=Cdu ' () uv='u v±' uv d() uv duv udv =± '' ' 2 ()(0) u u v uv v v v - =≠ 2 ()(0) u vdu udv v v v - =≠ 3．复合函数的微分法则 Y=f(u) ，u=g(x) 且都可导，y=f[g(x)]的微分''' ()() x dy y dx f u g x dx == dy'() f u du =' u d y y d u =微分形式不变性 四、微分在近似计算中的应用 第三章微分中值定理与导数的应用 第一节微分中值定理 一、罗尔定理 ·费马引理：设函数f（x）在点 x的某邻域U( x)内有定义，并且在 x处可导，如果 对任意的x x U ∈（），有f（x） f x ≤（）（或f（x） f x ≥（）），那么' () f x=0. （通常导数等于零的点为函数的驻点或稳定点、临界点） ·罗尔定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[] a b ，上连续;（2）在开区间() a b ，内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在() a b ，内至少有一点ξ（a<ξ 二、拉格朗日中值定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[] a b ，上连续;（2）在开区间() a b ，内可导，那么在() a b ，内至少有一点ξ（a<ξ '()b a fξ-成立。 ·有限增量公式：y=' (x )f x x θ+??（0<θ<1） 定理：如果函数f （x ）在区间I 上的导数恒为零，那么f(x)在区间I 上是一个常数。 三、柯西中值定理：如果函数f x x （）及F （）满足：(1)在闭区间[a ，b]上连续；(2)在开区间(a ，b)内可导；(3)对任一x ∈a ，b)，F ' (x)≠0，那么在(a ，b)内至少有一点ξ．使等式 ()() '' ()()()() f b f a f F b F a F ξξ-=-成立． 第二节 洛必达法则 *未定式： 00，∞ ∞ ，00001∞∞∞-∞∞、、 、、 定理1设 (1)当x a →时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点以的某去心邻域内' f (X)及F '(x) 都存在且F ' (x)≠0；(3)()''lim ()x a f x F x →存在(或为无穷大),那么()lim ()x a f x F x →=()''lim () x a f x F x → 洛必达法则：()lim ()x a f x F x →=()''lim ()x a f x F x → 如果不是未定式00，∞ ∞ ，就不能应用洛必达法则． 定理2 设 (1)当x →∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N 时()'f x 与' ()F x 都 存在，且' ()F x ≠0；(3)()''lim ()x f x F x →∞存在(或为无穷大)，那么()lim ()x f x F x →∞=() ''lim () x f x F x →∞ 第三节 泰勒公式 泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有x 。，的某个开区间(a ，b)内具有直到(n 十1)阶 的导数，则对任一x ∈(a ，b)．有 ()()()()()()()()()()''200' 00000...,2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+其中 ()n R x =()()()11 0(1)!n n f x x n ξ++-+ 这里ξ是x 。与x 之间的某个值． 拉格朗日型余項：()n R x =()()()11 0(1)! n n f x x n ξ++-+ 佩亚诺型余項：()n R x =()0o n x x ??-?? 麦克劳林公式：()()()()()()()()()1''' 1 0000...,012!!(1)! n n n n f f f x f x f f x x x n n θθ++=++++<<+ 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 定理1设函数y=f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内可导． (1)如果在(a ，b)内()'f x >0，那么函数y=f(x)在[a ，b]上单调增加； (2)如果在(a ，b)内()'f x 定义 设f(x)在区间I 上连续，如果对I 上任意两点1x ， 2x 恒有()()121222f x f x x x f ++??< ??? 那么称f(x)在I 上的图形是（向上）凹的(或凹弧)；如果恒有()()121222f x f x x x f ++??> ??? 那么称f(x)在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧)． （若在某点二阶导数为零，在其两侧二阶导数不变号，则曲线的凹凸性不变） 定理2 设f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)若在(a ，b)内()''f x >0，则f(x)在a ，b]上的图形是凹的； ． (2)若在(a 。b)内． ()''f x <0，则f(x)在[a ，b]上的图形是凸的． 一般的，设y=f(x)在区间I 上连续，x 。是I 的内点．如果曲线y=-f(x)在经过点(x 。，f(x 。))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x 。，f(x 。))为这曲线的拐点． 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 定义 设函数fx)在点x 。的某邻域U(x 。)内有定义，如果对于去心邻域 ()0 0x 内的任一x ，有 (x) 定理l(必要条件) 设函数f(x)在x 。处可导，且在x 。处取得极值，那么()'0f x =0 定理2(第一充分条件) 设函数f(x)在x 。，处连续，且在x 。的某去心邻域()0 0,x δ内可 导． （1）若x ∈(x 。-δ,0x )时()' f x >0，而x ∈(x 。,0x δ+)时()'f x <0．则f(x)在x 。处取得极大 值； （2）若x ∈(x 。-δ,0x )时，()' f x <0。而x ∈(x 。 ，0x δ+)时()' f x >o ，则f (x)在x 。处取得极小值； （3）若x ∈ ()0 0,x δ时，()' f x 的符号保持不变，则f(zx)在x 。处没有极值． 求极值点：①求出导数()'f x ； ②求出f(x)的全部驻点与不可导点； ③考察()'f x 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否 为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点； ④求出各极值点的函数值，就得函数f(x)的全部极值． 定理三(第二充分条件) 设函数f(x)在x 。处具有二阶导数且()'0f x =0， ()''0f x ≠0，那 么 (1)当 ()''0f x <0时，函数f(x)在x 。处取得极大值； (2)当()''0f x >0时，函数f(x)在x 。处取得极小值． 第六节函数图形的描绘 第一步： 第一步确定函数y=f(x)的定义域及函数所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)， 并求出函数的一阶导数和二阶导数； 第二步： 求出一阶导数和二阶导数在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点及 ()'f x 和()''f x 不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间； 第三步： 确定在这些部分区间内()'f x 和()''f x 的符号，并由此确定函数图形的升降和凹凸， 极值点和拐点； 第四步: 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势； 第五步: 算出()'f x 和()''f x 的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图形上相应的点； 为了把图形描绘得准确些，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，联结这些点画出函数y=f(x)的图形． 第七节 曲率 曲率K=x 0 lim s α?→?? 曲率半径1 =K ρ 第八节 方程的近似解 —，二分法 一，切线法 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转）） 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 . 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程 解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面） 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点 ．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +? 2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ; (6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立: 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x) 同济六版高等数学课后答案 高等数学是理工类专业重要的基础课程，也是硕士研究生入学考试的重点科目。同济大学数学系主编的《高等数学》是套深受读者欢迎并多次获奖的优秀作品。2007年同济大学数学系推出了《高等数学》第六版，该教材保持了原来的优点、特点，进一步强调提高学生的综合素质并激发学生的创新能力。 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8) x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); 第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案： 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
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