专题训练 二次根式化简求值有技巧(含答案)教案资料
专题训练 二次根
式化简求值有技巧(含
答案)
专题训练(一) 二次根式化简求值有技巧(含答案)
► 类型之一 利用二次根式的性质a2＝|a|化简
对于a2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a
的符号进行化简．即a2＝|a|＝a（a＞0），0（a＝0），－a（a＜0）.
1．已知a＝2－3，则a2－2a＋1＝( )
A．1－3 B.3－1 C．3－3 D.3－3
2．当a＜12且a≠0时，化简：4a2－4a＋12a2－a＝________．
3．当a＜－8时，化简：|（a＋4）2－4|.
4．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c2－4c＋4－
1
4
c2－4c＋16.
► 类型之二 逆用二次根式乘除法法则化简
5．当ab＜0时，化简a2b的结果是( )
A．－ab B．a－b
C．－a－b D．ab
6．化简：(1)（－5）2×（－3）2； (2)（－16）×（－49）；
(3)2.25a2b； (4)－25－9； (5)9a34.
► 类型之三 利用隐含条件求值
7．已知实数a满足（2016－a）2＋a－2017＝a，求a－12016的值．
8．已知x＋y＝－10，xy＝8，求xy＋yx的值．
► 类型之四 巧用乘法公式化简
9．计算：(1)(－4－15)(4－15)； (2)(26＋32)(32－26)；
(3)(23＋6)(2－2)； (4)(15＋4)2016(15－4)2017.
► 类型之五 巧用整体思想进行计算
10．已知x＝5－26，则x2－10x＋1的值为( )
A．－306 B．－186－2
C．0 D．106
11．已知x＝12(11＋7)，y＝12(11－7)，求x2－xy＋y2的值．
12．已知x＞y且x＋y＝6，xy＝4，求x＋yx－y的值．
► 类型之六 巧用倒数法比较大小
13．设a＝3－2，b＝2－3，c＝5－2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a_
详解详析
1．[解析] B a2－2a＋1＝|a－1|.
因为a－1＝(2－3)－1＝1－3＜0，
所以|a－1|＝－(1－3)＝3－1.
故选B.
2．[答案] －1a
[解析] 原式＝（2a－1）2a（2a－1）＝|2a－1|a（2a－1）.
当a＜12时，2a－1＜0，所以|2a－1|＝1－2a.
所以原式＝1－2aa（2a－1）＝－1a.
3．解：当a＜－8时，a＋4＜－4＜0，a＋8＜0，
∴|a＋4|＝－(a＋4)，|a＋8|＝－(a＋8)．
∴原式＝|－(a＋4)－4|＝|－a－8|＝|a＋8|＝－(a＋8)＝－a－8.
4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c＜8，将这两个二次根式的被开方数分解因
式，就可以利用二次根式的性质化简了．
解：由三角形三边关系定理，得2＜c＜8.
∴原式＝（c－2）2－（12c－4）2＝c－2－(4－12c)＝32c－6.
5．[解析] A 由ab＜0，可知a，b异号且a≠0，b≠0.又因为a2≥0，且a2b≥0，所以
a＜0，b>0.
所以原式＝－ab.
[点评] 逆用二次根式的乘除法法则进行化简时，关键是注意法则成立的条件，还要注
意二次根式的总体性质符号，即化简前后符号要一致．
6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.
(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.
(3)原式＝2.25×a2·b＝1.5a·b＝3a2 b.
(4)原式＝259＝259＝53.
(5)原式＝9a34＝3a2 a.
7．解：依题意可知a－2017≥0，即a≥2017.
所以原条件转化为a－2016＋a－2017＝a，
即a－2017＝2016.
所以a＝20162＋2017.
所以a－12016＝20162＋20162016＝2017.
[点评] 解决此题的关键是从已知条件中挖掘出隐含条件“a－2017≥0”，这样才能对
（2016－a）2进行化简，从而求出a的值．
8．解：依题意可知x＜0，y＜0.
所以原式＝x2xy＋y2xy＝－xxy＋－yxy＝－（x＋y）xy.
因为x＋y＝－10，xy＝8，
所以原式＝－（－10）8＝522.
[点评] 解决此题的关键是从已知条件中分析出x，y的正负性，这样才能对要求的式子
进行化简和求值．如果盲目地化简代入，那么将会得出－522这个错误结果．
解答此题还有一个技巧，那就是对xy＋yx进行变形时，不要按常规化去分母中的
根号，而是要根据已知条件的特点对它进行“通分”．
9．解：(1)原式＝(－15)2－42＝15－16＝－1.
(2)原式＝(32)2－(26)2＝18－24＝－6.
(3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3(4－2)＝23.
(4)原式＝(15＋4)2016(15－4)2016(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2016(15－4)
＝15－4.
[点评] 利用乘法公式化简时，要善于发现公式，通过符号变形、位置变形、公因式变
形、结合变形(添括号)、指数变形等，变出乘法公式，就可以利用公式进行化简与计算，
事半功倍．
10．[解析] C 原式＝(x－5)2－24.
当x＝5－26时，x－5＝－26，
∴原式＝(－26)2－24＝24－24＝0.
故选C.
[点评] 解答此题时，先对要求的代数式进行配方，然后视x－5为一个整体代入求值，
这比直接代入x的值进行计算要简单得多．
11．解：因为x＋y＝11，xy＝14[(11)2－(7)2]＝1，
所以x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(11)2－3＝8.
[点评] 这类问题通常视x＋y，xy为整体，而不是直接代入x，y的值进行计算．
12．解：因为(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝20，且x＞y，
所以x－y＝20＝25，
所以原式＝（x＋y）2（x）2－（y）2＝x＋y＋2xyx－y＝6＋425＝5.
[点评] 此题需先整体求出x－y的值，然后再整体代入变形后的代数式计算．
13．[解析] A 因为(3－2)(3＋2)＝1，所以a＝3－2＝13＋2.同理，b＝
12＋3，c＝1
5＋2
.当分子相同时，分母大的分式的值反而小，所以a＞b＞c.故选A.
[点评] 这里(3－2)(3＋2)＝1，即3－2与3＋2互为倒数．因此，比较
大小时，可把3－2转化为
1
3＋2
，从而转化为分母大小的比较
八年级数学下册第十六章二次根式专题训练二次根式的化简求值技巧作业课件新版新人教版
专题训练 二次根式的化简求值技巧
类型一 巧用二次根式有意义的条件求值
1．若 y－ x－201＝ 201－x－202，则(x＋y)202＝__1__．
2．已知 a 为实数，则代数式 a＋2－ 2－4a＋ －a2的值为_0___．
3．已知 y＞ 2x－1＋ 1－2x＋2，求 y22－－4yy＋4＋3－2x 的值．
解：∵a＋b＝－6＜0，ab＝8＞0，∴a＜0，b＜0，∴原式＝ aab2＋ abb2＝ － aab－ bab＝－ ab·a＋abb＝－ 8×－86＝3 2 2
解：由题意得12－x－2x1≥≥00，，∴x＝12，∴y＞2.∴原式＝ （2y－－y2）2＋3－2x＝|y2－－2y|＋3－2x＝y2－－2y＋3－2x ＝2－2x＝1
类型二 巧用二次根式的非负性求值 4．若实数 a，b，c 满足|a－ 2|＋ b－2＝ c－3＋ 3－c. (1)求 a，b，c； (2)若满足上式的 a，c 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
类型四 巧用乘法公式求值 7．已知 x＝ 3＋ 5，y＝ 3－ 5，试求代数式 2x2－5xy＋2y2 的值．
解：原式＝2(x－y)2－xy，当 x＝ 3＋ 5，y＝ 3－ 5时，x－y＝2 5， xy＝－2.原式＝2×20－(－2)＝42
8．计算：2 2－ 3＋12 2＋ 3－1. 解：原式＝2 2－ 3－12 2＋ 3－1＝4＋2 3
解：(1)由题意可得 c－3≥0，3－c≥0，解得 c＝3，∴|a－ 2|＋ b－2＝0， 则 a＝ 2，b＝2
(2)①当 a 是腰长，c 是底边时，等腰三角形的腰长之和 2＋ 2＝2 2＜3， 舍去；②当 c 是腰长，a 是底边时，等腰三角形的周长为 2＋3＋3＝ 2＋6.综上， 这个等腰三角形的周长为 2＋6
第7讲解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级上册
(1)
1 3
______ ； 2
(2)化简
1 2 1
1 3
2
1 4
3
1 10
； 9
(3)若 a
1 5
2
，求
a2
4a
3 的值．
4．（2023 春·河北邢台·八年级校考期中）【阅读材料】在二次根式中，如： 3 2 3 2 1， 3 3 3 3 6 ，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用
m
*
n
m m
n m n n m n ，则计算 3*8 27 * 2 的结果为
．
【变式训练】
1．（2023 春·广西南宁·七年级校联考期中）对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下，
ab
ab ab
(
a
b
0)
，如：
3
*
2
32 32
5 ，那么 5 4
．
2．（2023 秋·河北保定·七年级统考期末）定义一种对正整数 n 的“F 运算”：①当 n 为奇数时，结果为 3n 5；
2．（2023 春·广东肇庆·七年级校考期中）已知 | a 1| 7 b 0，则 2a 2b 的算术平方根是
．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如果实数 x 、 y 满足 y x 3 3 x 2 ，则 x 3y 的平方根为 ．
4．（2023 春·安徽池州·八年级统考期末）已知直角三角形两边 x、y 的长满足 x2 4 y2 5 y 6 0 ，则第
第 2 章第 07 讲 解题技巧专题：二次根式中的化简求值(6 类热点题型 讲练)
目录 【类型一 利用二次根式的非负性求值】 ..........................................................................................................1 【类型二 利用乘法公式进行计算】 ..................................................................................................................2 【类型三 整体代入求值】 .................................................................................................................................. 2 【类型四 新定义型运算】 .................................................................................................................................. 3 【类型五 二次根式的分母有理化】 ..................................................................................................................4 【类型六 复合二次根式的化简】 ......................................................................................................................7
专项训练4 常见二次根式化简求值的八种技巧
专项训练4常见二次根式化简求值的八种技巧方法总结：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式内仍然适用，运算的最后结果注意要化简到最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．估算法1．估计32×14＋18的运算结果应在()A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间2．若将三个数－3，7，11在数轴上对应的点表示出来，则这三个数中被如图所示的墨汁覆盖的点所表示的数是________．(第2题)公式法3．计算：(5＋6)×(52－23)．拆项法4．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]5．化简：6＋3＋2＋2 3＋22＋1.约分法6．计算：2＋32＋6＋10＋15.配方法7．化简：23－22＋17－12 2.8．化简：10＋3＋10－310＋1.换元法9．化简：2＋5－3230－62＋43.参考答案1．C 2.7 解析：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的点所表示的数为7.3．解：原式＝(5＋6)×(52－2×6)＝(5＋6)×[2×(5－6)] ＝2×(5＋6)×(5－6) ＝2×(25－6)＝19 2.4．解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）＝13＋2＋36＋3＝3－2＋6－ 3＝6－ 2.5．解：设原式＝（3＋2）（2＋1）（3＋2）＋（2＋1）＝x ， 则1x ＝13＋2＋12＋1＝3－2＋2－1＝3－1.所以原式＝x ＝13－1＝3＋12. 6．解：原式＝2＋32（2＋3）＋5（2＋3） ＝2＋3（2＋3）（2＋5）＝12＋5＝5－23. 7．解：23－22＋17－12 2 ＝22－2× 2×1＋1＋9－2×3×2 2＋8＝2（2－1）2＋（3－22）2＝22－2＋3－22＝1.8．解：设原式＝x ，则x 2＝210＋210＋1＝2， 所以原式＝x ＝ 2.9．解：设a ＝2，b ＝5，c ＝3，则原式＝a ＋b －c 2（abc －ac 2＋a 2c ）＝a ＋b －c 2ac （b －c ＋a ）＝12ac ＝126＝612.。
专训2常见二次根式化简求值的九种技巧
专训2常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在 运算的就后注意结果要化成爺简形式•在进行化简吋，一定要注意所给出的条件或題中的隐 含条件，根据題0的特点，选取适当的解题方法.遨盟估算法1.若将三个数一萌，申,0表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 遨公式法2.计算：(5+^)X (5^/2-2^3)-3.计算：｛&¥羽「（羽*0）•〔提示:&+4羽+3返=（&+羽）+3（萌+迈）］-2 丿 0 4一 （第1题） 還厅）2拆项法托+4筋+举+2+y^-4 I 卄2-屮2-4 +2 —\/n-—4 n+2+寸 n ，—45.已砸 尸丙p 求出一4的值.'遨必?因式分解法$计算：曲¥$侖而•4.已知 n=-J2+Ir 求。
n配方法寸号+¥-2的值.7.若a* b 为实数，且b=U3-5a+75a-3+15,48辅元法-H 4* J «・.-ri8.已知X ： y ： z=l : 2 : 3(XA O, y>0, z>0),求寸齐£辛的值.:技乌9先判后算法9-已知a+b=—6, ab=5,求15=|. d 解:2+V6+Vio+Vi5~_______yj2 萌)+yj5 (边yj2+yl3 15+® （花+花）_花+书_ （谚+迈）（花一农）_ 5-2 _[3 —5a^0» 37. 解：由二次根式的；4^义，得k C.C ■••3-5a=O, •••a=w5a-3>Or 5•••b=15, .'-a+b>0> a —b<0.• /b , a , r /b . a~" / (a+b) - / (a —b) - a+b — b —a g — "V 尹B+2 一、/尹厂2=、/ —一=石価一石剧= a+b b —a 厂 2 l 苛-石亟=押 当 a=|, b=15 时，答案l-V?点拨：因为一逅VO, 2<yp<3. 3<VT1<4,所以被墨汁覆盖的数为^/1 2. 解：原式=（5+&）X[5A /5-（詛）2X 花]=（5+心）X[75X （5-侗] =V5X （5+&）X （5-&） =&X （25-6）=19Q.“ K 亠 （&+\/5〉+3（A /5+A /1）3. 解：原式=（曲羽）（品+品）托+羽=(&+萌〉(V5+边)丁3 &+迈) (y/^+yf^ )(适+边) =1 i 3百+羽心+羽=萌—迈+&—萌=萌—边.4. 解J 设 x=n+2+Un2_4,y=n+2—Q I ?—4,贝iJx+y=2n+4, xy=4n+8・一 X . y x2+y2 (x+y) ?一2xy (x+y) ? .(2n+4) ?. 原式石—— = —-2=--2=n. 当n=71+1时，原式=75+1・ 5. 解J 由己知得J x=3+2边，y=3 —2羽，所以x+y=6, xy=l, 所以原式/+y2f y_ <x+y)yxy xyxyxy = 30・ab 2原式=厉乂3 ，或2的形式，当它方法点拨：对于形如?+¥+2或夕+¥—2的代数式一般要变为ab们作为被开方式进行化简时，要注意a+b和a-b以及ab的符号.8.解：设x=k(k>0),则y=2k, z=3k,二原式=<5^& 島5-2逅9・解J Va+b=—6, ab=5tr e , aA (a+b) ^-2ab36-10=-阿七+E I—=一pr=26 26&旷一5 -点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解.。
数学2020年春季人教版教案 八年级-2 二次根式的化简求值
(1)4+的有理化因式是________.
(2)计算:.
(3)计算:.
(4)已知a=,b=,求的值.
答案：(1)4-.
(2)解：=+3-6×
=+3-6×
=2-+3-2
=2.
(3)解：原式=（）（）
例1、例2、例3对二次根式的混合运算、分母有理化、二次根式值的比较的考察，适合学生独自解答或师生互动的教学方式.例4、例5、例6主要对与二次根式相关的变形、化简、计算等的考察，适合生生互动的教学方式.
根据学生情况，教师可自行选择是否讲解拓展延伸题目.
教学目标
知识技能
1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；
3.汇报讨论结果
生：通过对①、②分母有理化后进行消元可求解x与y值.
分母有理化①得
分母有理化②得
两式相加得，即x2=y2=2012.
代入上式可得x=y，进而可求3x2-2y2+3x-3y-2011的值.
三、巩固拓展
类似性问题
4.设a=-1，则3a3+12a2-6a-12=（）
A. 24 B. 25 C.D.
1.D
2.C
3.A
4.A
5.
6.解：原式=
==，
当x=+，y=-时，x-y=2，xy=1，
∴原式==.
手册答案
1.D
2.B
【解析】=+4××=1+4××.又∵=+1＞0，∴a>0，∴=a，
∴=1+4××=5，∴+=.
2018年秋九年级数学上册 二次根式的化简求值技巧专题训练 (新版)华东师大版
二次根式的化简求值技巧►技巧一利用二次根式的性质a2＝|a|化简1．已知实数a，b，c在数轴上所对应的点如图1－ZT－1，化简（a－b）2－（2a－c）2＋（－b＋c）2.图1－ZT－12．已知1＜x＜4，化简（1－x）2－|x－5|.3．已知函数y＝(m－3)x＋n－2(m，n为常数)的图象如图1－ZT－2所示，化简|m－3|－n2－4n＋4.图1－ZT－2►技巧二逆用二次根式乘除法法则化简4．当ab＜0时，化简a2b的结果是( )A．－a b B．a－bC．－a－b D．a b5．若3＝a，5＝b，则45可以表示为( )A.a2b B．a bC．a2b D．ab6．化简：(1)（－5）2×（－3）2；(2)（－16）×（－49）；(3) 2.25a2b(a＞0)；(4)－25－9；(5)9a34.►技巧三利用隐含条件化简7．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.8．若x，y满足y<x－2＋2－x＋4，化简|y－4|－y2－10y＋25.►技巧四巧用乘法公式化简9．计算：(1)(－4－15)(4－15)；(2)(2 6＋3 2)(3 2－2 6)；(3)(2 3＋6)(2－2)；(4)(15＋4)2017(15－4)2018.► 技巧五 巧用整体思想进行计算10．已知x ＝5－2 6，则x 2－10x ＋1的值为( ) A ．－30 6 B ．－18 6－2 C ．0 D ．10 611．已知a ＝2＋1，b ＝2－1，求下列代数式的值： (1)ab ；(2)a 2＋ab ＋b 2； (3)b a ＋a b.12．已知a ＝5－3，b ＝5＋3，求下列各式的值： (1)1a ＋1b；(2)a 2b ＋ab 2.1．解：由图可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，|b |＜|c |， 所以a －b ＜0，2a －c ＜0，－b ＋c ＞0， 所以（a －b ）2－（2a －c ）2＋（－b ＋c ）2＝b －a ＋2a －c －b ＋c ＝a . 2．解：∵1＜x ＜4，∴（1－x ）2－|x －5|＝|1－x |－(5－x )＝x －1－5＋x ＝2x －6. 3．解：∵一次函数图象经过第一、三象限， ∴m －3＞0.∵一次函数图象与y 轴负半轴相交，∴n －2＜0， ∴|m －3|－n 2－4n ＋4 ＝m －3＋(n －2) ＝m －3＋n －2 ＝m ＋n －5. 4．A5．C6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15. (2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝ 2.25·a 2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2 b .(4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a34＝3a2 a . 7．解：∵a ，b ，c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a | ＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c ) ＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .8．解：由题意可得：x －2≥0，2－x ≥0， 联立可得x ＝2.原式可变形为y －4＜x －2＋2－x ，所以y －4＜0，y ＜4，则|y －4|＝4－y ，y 2－10y ＋25＝（y －5）2＝5－y ，则|y －4|－y 2－10y ＋25＝4－y －5＋y ＝－1.9．解：(1)原式＝(－15)2－42＝15－16＝－1.(2)原式＝(3 2)2－(2 6)2＝18－24＝－6.(3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3×(4－2)＝2 3.(4)原式＝(15＋4)2017(15－4)2017(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2017(15－4) ＝－15＋4. 10．C11．解：(1)∵a ＝2＋1，b ＝2－1， ∴ab ＝(2＋1)(2－1)＝2－1＝1. (2)∵a ＝2＋1，b ＝2－1， ∴a ＋b ＝2＋1＋2－1＝2 2，∴a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝8－1＝7.(3)b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝（a ＋b ）2－2ab ab ＝8－21＝6. 12．[解析] (1)先通分，代入即可计算； (2)提公因式后，代入即可计算． 解：∵a ＝5－3，b ＝5＋3， ∴a ＋b ＝2 5，ab ＝2. (1)原式＝b ＋a ab ＝2 52＝ 5. (2)原式＝ab (a ＋b )＝2×2 5＝4 5.。
【2020全国版】八年级数学下册专题讲练：二次根式的化简及运算试题(含答案)
二次根式的化简及运算一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2.3. 商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
4.二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
类似于合并同类项。
化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方1. 将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（23）2时，先将2乘方，再将3乘方，结果再相乘；2. 多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。
总结：1. 乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；2. 对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。
但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。
例题1（1）除实数a 外，与k 的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。
解析：（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，可求k 的值。
答案：解：（1）∵|b －k|＝|－31|＝33，|c －k|＝|－27|＝33，|d －k|＝12＝23，|e －k|＝31＝33， ∴与k 的差的绝对值最大的实数是c ；（2）依题意，得a －k ＝x ，b －k ＝－33，c －k ＝－33，d －k ＝23，e －k ＝33， 五式相加，得a ＋b ＋c ＋d ＋e －5k ＝x －3，又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k ，所以x －3＝0，即x ＝3。
专训2 常见二次根式化简求值的九种技巧
整体代入法
5．已知 x＝ 1 ，y＝ 1 ，求x＋y－4 的值．
3－2 2
3＋2 2 y x
因式分解法
6．计算：
2＋ 3
.
2＋ 为实数，且 b＝ 3－5a＋ 5a－3＋15，试求 b＋a＋2－ b＋a－2的值．
ab
ab
辅元法
8．已知 x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求
xy
xy
6．解：
2＋ 3
＝
2＋ 6＋ 10＋ 15
2＋ 3
＝
2（ 2＋ 3）＋ 5（ 2＋ 3）
2＋ 3
＝1＝
5－ 2
＝ 5－ 2＝ 5－ 2.
（ 2＋ 3）（ 2＋ 5） 2＋ 5 （ 5＋ 2）（ 5－ 2） 5－2
3
7．解：由二次根式的定义，得 3－5a≥0，∴3－5a＝0，∴a＝3.
5a－3≥0，
x＋y 的值．
x＋z＋ x＋2y
先判后算法
9．已知 a＋b＝－6，ab＝5，求 b b＋a a的值．
a
b
3
答案
1. 7 点拨：因为－ 3＜0，2＜ 7＜3，3＜ 11＜4，所以被墨汁覆盖的数为 7. 2．解：原式＝(5＋ 6)×[5 2－( 2)2× 3] ＝(5＋ 6)×[ 2×(5－ 6)]
＝ 2×(5＋ 6)×(5－ 6)
(第 1 题)
公式法 2．计算：(5＋ 6)×(5 2－2 3)．
拆项法
3．计算：
6＋4 3＋3 2 .[提示： 6＋4 3＋3 2＝( 6＋ 3)＋3( 3＋ 2)]
（ 6＋ 3）（ 3＋ 2）
1
换元法
n＋2＋ n2－4 n＋2－ n2－4
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式的化简及运算试题(含答案)
二次根式的化简及运算一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1、积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
2、,等于这两个3、4、,等于这两个数的商的算术平方根。
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减,被开方数不变。
类似于合并同类项。
化简步骤:（1）“一分”,即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”,即把能开得尽的因数（或因式）,用它的算术平方根代替,移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时,要注意写在分母的位置上；（3）“三化”,即化去被开方数中的分母。
二、二次根式的乘方1、将单独根式中的整式（数）部分,根式部分分别乘方,如计算（23）2时,先将2乘方,再将3乘方,结果再相乘；2、多项式的乘方注意使用乘方公式,同时也可以将其因式分解。
总结:1、乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑被开方数的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式； 2、 对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并。
但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母。
例题1 已知a,b,c,d,e 五个实数的平均值为k,各数与k 的差如下表:（1）的差的绝对值最大的实数是 ； （2）求x 的值。
解析:（1）直接求b 、c 、d 、e 与k 的差的绝对值,比较大小即可；（2）根据题意,a －k ＝x,b －k ＝－33,c －k ＝－33,d －k ＝23,e －k ＝33,又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k,可求k 的值。
答案:解:（1）∵|b －k|＝|－31|＝33,|c －k|＝|－27|＝33,|d －k|＝12＝23,|e －k|＝31＝33,∴与k 的差的绝对值最大的实数是c ； （2）依题意,得a －k ＝x,b －k ＝－33,c －k ＝－33,d －k ＝23,e －k ＝33, 五式相加,得a ＋b ＋c ＋d ＋e －5k ＝x －3,又有a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝5k,所以x －3＝0,即x ＝3。
(完整版)八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案
解析：由m=1+ 可得m-1= ，两边平方得m2-2m+1=2，所以m2-2m=1；
7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a；
同理可得n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4；
所以(7+a)×(-4)=8，解得a=-9.
答案：C
小结：观察所给等式和m，n的值，我们可以发现，对m，n稍作变形便可整体代入.整体思想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方法.当然我们也可以直接把m，n的值直接代入，然后解方程求出a的值，这样计算量要大很多.
答案：解：（1）（ - ）2=11-2× × +3=14-2 ，
（ -2）2=10-2× ×2+4=14-2 .
∵33<40,∴ < ,∴-2 >-2 ,∴14-2 >14-2 ,
∴（ - ）2>（ -2）2.又∵ - >0, -2>0,∴ - > -2.
（2） = = ，
= = .
∵ = < ，
∴ < ，
二次根式的化简求值
练习题
温故而知新：
分母有理化
分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.
例 1计算：（1） ；
（2） ；
（3） .
解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分.
∴ - > - .
小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.