有限元法基础试题

有限元法基础试题（A ）

一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e

T k B DBd Ω

=

Ω⎰

中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。

1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功：

()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ⎡⎤=+++++⎣⎦+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ⎡⎤+++⎣⎦的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。

1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。

二、判断题（5×2分）

2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分）

3.1列举有限元法的优点。（8分）

3.2写出有限单元法的分析过程。（8分）

3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分）

3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分）

四、计算题（54分）

4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分）

4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）

4.3对称桁架如图（a ）所示，杆单元弹性模量均为E ，横截面面积均为A ，单元长度如图，根据对称性，求图（b ）的整体刚度矩阵。（12分）

（a ） （b ）

4.4如图所示的平面桁架，确定转换矩阵[]1T ，并写出[][][]11T

T K T （10分）

x

4.5确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点1固支，节点2有滚柱支撑，节点3作用有垂直向下的力P=50kN 。令沿梁弹性模量E=210GPa ，I=12×10-4m 4，梁单元长L=3m 。弹簧常数k=200kN/m 。（12分）

参考答案（A ）：

一、填空题（5×2分）

1.1变形矩阵或应变矩阵 弹性矩阵或本构关系矩阵 1.2 齐次边界 非齐次边界

1.3 微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功 外力在微元体变形虚位移上所做虚功 1.4 1 1 1.5 1 0 二、判断题（5×2分）

2.1 √ 2.2 √ 2.3 √ 2.4 × 2.5 √ 三、简答题（26分）

3.1答：优点有：①很容易地模拟不规则形状结构；②可以很方便地处理一般荷载条件；③由于单元方程是单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；④可以处理数量不受限制和各类边界条件；⑤单元尺寸大小可以变化；⑥改变模型比较容易⑦可以包括动态作用⑧可以处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。（8分）

3.2答：有限元方法的一般步骤有：①离散和选择单元类型；②选择位移函数；③定义应变位移和应力应变关系；④推导单元刚度矩阵和方程；⑤组装单元方程得出总体方程并引入边界条件；⑥求解未知自由度；⑦求解单元应变和位移；⑧解释结果。（8分）

3.3答：弹簧单元，杆单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元，四面体单元等。（任意上述三种均可）（6分）

3.4答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。（4分） 四、计算题（54分）

4.1解：沿弹簧建立X 坐标：

（A ）每个弹簧单元刚度矩阵如下：

()()1310000100001000010000k k -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ()220000200002000020000k -⎡⎤=⎢⎥

-⎣⎦

总体刚度矩阵：

()()()123K k k k =++

1000010000

00100003000020000002000030000100000

010********K -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥

-⎣⎦ （B ）总体刚度矩阵方程：

112233441000010000

0010000300002000000

200003000010000001000010000x x x x x x x x F d F d F d F d -⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎣

⎦⎩⎭⎩⎭

边界条件：2450x F N =， 30x F =，10x d =，40x d =

解得：20.027x d m =，30.018x d m =，1270x F N =-，4180x F N = （C ）求单元2节点力