中考数学复习指导：例谈“蝶形”在平行线中 “等积变换”的应用

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小升初复习重难点一几何五大模型

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]：（S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。

2021年重点中学小升初22次课程15-蝴蝶、鸟头定理及应用(教师版)

在小学的学习中几何是一个很重要的部分,每一个几何图形都非常美妙,几何图形的美妙不仅来源于它的外形,更重要的是在几何模型上出现的那些美妙的规律,这节课我们就一起来看看几个美妙的几何模型内模型一:任意四边形中的比例关系(“蝴蝶模型”)：ODCBA s 4s 3s 2s 1①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯；②4132::s s s s =； ()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径,通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.蝴蝶、鸟头模型及应用知识结构模块一：蝴蝶模型及应用知识精讲内容分析蝴蝶、鸟头模型及应用鸟头定理蝴蝶模型模块二: 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶模型”)：AB CDObaS3S2S1S4①2213::S S a b=（用相似证明面积比等于边长比的平方）②221324::::::S S S S a b ab ab=；ABCDS的对应份数为2()a b+梯形蝴蝶模型给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果。

【例1】如图，已知梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，底边BC长10米，三角形AED的面积是5平方米，求阴影部分面积。

【难度】★【答案】20平方米【解析】根据梯形的面积公式，AD=45×2÷6-10=5（米），根据梯形蝴蝶模型，:1:4AED BECS S∆∆=，所以阴影面积为；5×4=20平方米【总结】梯形中蝴蝶模型应用【例2】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：（1）例题解析三角形BGC 的面积；（2）AG ：GC=？【难度】★【答案】（1）6；（2）1：3【解析】（1）根据蝴蝶模型，123,=6BGC BGC S S ∆∆⨯=⨯那么（2）根据蝴蝶模型：AG ：GC=（1+2）：（3+6）=1：3 【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例3】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【难度】★ 【答案】21公顷【解析】根据蝴蝶模型，::6:7AOB BOC AOD DOC S S S S ∆∆∆∆==，所以最大的一个三角形为 △BOC ，7(5213)2167BOC S ∆=-⨯=+（公顷）【总结】一般四边形中蝴蝶模型应用【例4】如图，232,4S S ==，求梯形面积。

例谈“等积式”命题的常见证法

例谈“等积式”命题的常见证法摘要：“等积式”命题的证明,贯穿初中数学的始终, 历来是中考的重点内容之一。

在教学中，教师应注重教学方法的应用，可采用“遇等积、化等比、横看竖看找相似；无相似，再考虑，等线等比等积代”的顺口溜式教学，定能收到良好的教学效果。

关键词：等积式；相似；转化等积式的证明问题历来是中考的热门题型。

该类题目具有覆盖面广、综合性强、思路广阔、证法灵活多变等特点，学生普遍感到力不从心，以至无从下手，往往产生一种畏难情绪，一触到此题类型就被卡住，造成不应有的失分。

为了帮助学生打开证题思路，寻求合适的证明方法，提高解题效率和质量，在教学中，教师应注重教学方法的应用。

本文通过典型例题进行剖析。

一、应用平行线分线段成比例定理当待证结论中的四条线段分别在两直线上时，可以考虑利用平行线分线段成比例定理来证明。

例1如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，并与BO1的延长线交于P，PB分别交⊙O1、⊙O2于c、D两点。

求证：PA·PD=PE·PC行线分线段成比例定理来证。

为此，需连结AC、DE，再证AC//DE，因为PA为⊙O1的切线，因此得到∠l=∠2，而∠2=∠3，故∠l=∠3，于是AC//DE。

故结论获证。

二、直接证明有关的三角形相似将等积式化为比例式后，用三点定型法确定四条线段所在的两个三角形，然后设法证明它们相似，这是证明这类问题的最基本、最常用的方法。

例2如图2，已知圆内接△ABC中，AB=AC，弦AE交BC于D，连结BE。

求证：AB·BD=AD·BE为∠3为公共角，故△ABD∽△AEB，至此问题就迎刃而解了。

三、相等线段代换后证三角形相似这种方法就是利用相等的线段代替等积式中的某些线段，利用其构成的三角形相似来证题，即等线代换。

例3 如图3，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC 于D。

小升初数学培优讲义全46讲—第45讲蝴蝶模型与相似模型

第45讲蝴蝶模型与相似模型1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。

2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。

3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。

1、公式边长边长正方形⨯=S 宽长长方形⨯=S高底平行四边形⨯=S 2÷⨯+=高下底）（上底梯形S 高底底高高底三角形三角形三角形÷⨯=⇒÷⨯=⇒÷⨯=222S S S2、方法①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。

②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。

③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化成面积相等的规则图形。

④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。

⑤蝴蝶定理（蝴蝶模型）：任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．考点解读知识梳理S 4S 3S 2S 1ODCBA B C⑥相似模型：(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②ACAB AE AD AG AF S S ABC ADE ⨯⨯==∆∆22 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例1】如图，DE 平行于BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长？A ED CB典例剖析（4）S 2=S 41、如图已知DE 平行于BC ，且BO:EO=3:2，那么AD:AB= ？【例2】如图，已知DE 平行于BC ，且AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 。

专题08 等积变换法(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)

专题08 等积变换法【规律总结】在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。

【典例分析】例1、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF−S△BEF=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．S △ADF−S △BEF=S △ABD−S △ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为EC=2BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．【解答】解：∵点D是AC的中点，∴AD=12AC，∵S△ABC=12，∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=13S△ABC=13×12=4，∵S△ABD−S△ABE=(S△ADF+S△ABF)−(S△ABF+S△BEF)=S△ADF−S△BEF，即S△ADF−S△BEF=S△ABD−S△ABE=6−4=2．故选B．例2、阅读理解基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD= S△ACD=12S△ABC理由：∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=12BD×AH；S△ACD=12CD×AH∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC∴三角形中线等分三角形的面积基本应用：(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.则S△ACD与S△ABC的数量关系为：______；(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长△ABC的边CA到点E，使AE=AC，连接DE.则S△ECD与S△ABC的数量关系为：______ ；(写出你的理由)；(3)在图2的基础上延长AB到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图3).则S△EFD与S△ABC的数量关系为：______；(4)拓展应用：如图4，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为______cm2．【答案】(1)S△ABC=S△ACD；(2)S△CDE=2S△ABC；(3)S△EFD=7S△ABC；(4)4.5．【解析】【分析】本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．(1)由△ABC与△ACD中BC=CD，由三角形中线等分三角形的面积即可结果;(2)连接AD，由CD=BC，由三角形中线等分三角形的面积，同理可得△AED与△ADC面积相等，而△CDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果;(3)连接AD，EB，FC，根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6倍的△ABC面积，即可得出结果;(4)拓展应用：点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得S△BCE=1S△ABC，由点F是线段CE的中点，根据三角形中线等分三角形的面积，求得S△BEF=S△BCF= 21S△BCE，即可求出△BEF的面积．2【解答】解：(1)∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABC=S△ACD；故答案为S△ABC=S△ACD；(2)连接AD，如图1所示：∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABC=S△ADC，同理S△ADE=S△ADC，∴S△CDE=2S△ABC；故答案为S△CDE=2S△ABC；(3)连接AD，EB，FC，如图2所示：由(2)得：S△CDE=2S△ABC，同理可得：S△AEF=2S△ABC，S△BFD=2S△ABC，∴S△EFD=S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC=2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC=7S△ABC；故答案为S△EFD=7S△ABC；(4)拓展应用：∵点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△CDE，∴S△BCE=12S△ABC，∵点F分别是线段CE的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE，∴S△BEF=14S△ABC=14×18=4.5(cm2)；故答案为4.5．例3、如图，每个小正方形的边长为1个单位．(1)描出可利用的一个格点，仅用直尺画出△ABC的AB边上的高CD；(2)计算△ABC的面积为______________；(3)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；(4)图中AC与A1C1的关系是：______________；(5)在AC的右侧找出图中能使S△ABC=S△ABQ的所有格点Q．(分别用Q1、Q2、……分别表示)【答案】解：(1)高线CD如图所示；(2)8；(3)如图，△A1B1C1为所作；(4)平行且相等；(5)如图所示：【解析】【分析】本题考查了作图−平移变换，高线的作法，网格中三角形的面积计算方法，涉及了割补法计算面积，属于中档题．(1)根据作高线的方法，作出高即可；(2)根据割补法，算出△ABC的面积即可；(3)根据图形平移的性质，画出△A1B1C1即可；(4)根据平移的性质，可得出AC与A1C1的关系；(5)首先根据△ABC的面积，根据同底等高进而得出Q点的个数．【解答】解：(1)见答案；(2)△ABC的面积=5×7−12×2×6−12×1×3−12×5×7−2×1=35−6−1.5−17.5−2=35−27=8；故答案为8；(3)见答案；(4)由平移的性质可得，AC与A1C1的关系为平行且相等，故答案为：平行且相等；(5)见答案．【好题演练】一、选择题1.如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC=CD=5，AD=6，BD=52，则△ABC的面积是()A. 18B. 36C. 72D. 125【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的面积，面积法有关知识，先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，∵AC=CD=5，AD=6，CF⊥AD，∴AF=3，∠AFC=90°，∴CF=√AC2−AF2=4，∵CD·AE2=AD·CF2，∴5AE2=6×42，解得．AE=245，∵BD=52，CD=5，∴BC=152，∴△ABC的面积是：BC·AE2=152×2452=18．故选A．2.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2【答案】A【解析】略3.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO交⊙O于点E，过点B作弦，若PA=2PE=4，则BC的长为()A. 125B. 185C. 245D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点.根据切线的性质和勾股定理先求得圆的半径，再利用面积相等和平行线的性质求得OD的长，最后利用勾股定理和垂径定理即可得到答案【解答】解：如图，连接OB，过点B作BF⊥PO交PO于F，过点O作OD⊥BC交BC于点D，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PA=2PE=4，∴PB=PA=4，OB⊥PB，PE=2，设圆的半径为r，则(2+r)2=42+r2，解得，r=3，∵S△POB=12PO·BF=12PB·OB∴12×(2+3)×BF=12×4×3，解得，BF=125，∵BC//PO，BF⊥PO，OD⊥BC，∴OD=BF=125，∴BD=√OB2−OD2=√32−(125)2=95，∴BC=2BD=2×95=185．故选B．4.如图，在▵ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S▵ABC=4cm2，则图中▵BEF的面积是()A. 2cm2B. 1cm2cm2C. 12cm2D. 14【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：如图，点F是CE的中点，EC，高相等；∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12S△BEC，∴S△BEF=12D、E分别是BC、AD的中点，同理得，S△ABC，S△EBC=12∴S△BEF=1S△ABC，且S△ABC=4cm2，4∴S△BEF=1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故选：B．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，点C在y轴正半轴上，且OC=AB.将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连接AC，BD.当点P在x轴上时，若△PCD与△ACP的面积相等，则点P的坐标为()．A. (2,0)或(−6,0)B. (2,0)C. (−6,0)D. (−2,0)或(−6,0)【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．由三角形的面积得出CD•OC=AP•OC.即可得AP=CD=4，则可得出答案．【解答】解：(1)∵点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，∴OA=2，OB=2，∴AB=4，∵OC=AB，∴OC=4，∵将线段AB平移至线段CD，∴CD=4，∴D(4,4).由平移性质可知：CD=AB=4，∵S△PCD=12CD⋅OC，S△ACP = 12AP⋅OC，且S△PCD=S△ACP ，∴CD⋅OC= AP⋅OC．即AP=CD=4，∴点P的坐标为(2,0)或(−6,0)．故选A．6.如图，四边形ABGH、四边形BCFG、四边形CDEF都是正方形，过点B作BM⊥HC于点M，过点C作CN⊥HD于点N，则CNBM=()A. 12B. √22C. √53D. √2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是勾股定理及三角形的面积，设AB=a，求出AC、HD的长，再求出△HBC 和△HCD的面积，再求出CN：BM的值即可．【解答】解：设AB=a，则HC=√a2+(2a)2=√5a，HD==√a2+(3a)2=√10a，又∵S△HBC=12BC·AH=12a2，S△HCD=12CD·AH=12a2，∴S△HBC=S△HCD，∴BM⋅HC=CN⋅HD⋅∴CNBM =HCHD=√5a√10a=√22．故选B．二、填空题7.如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．【答案】40【解析】【分析】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底高的三角形．连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可推出S△ADF=S△DEF，所以S△APD=S△EPF= 15cm2S△BQC=S△EFQ=25cm2，所以阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF即S△ADF−S△DPF=S△DEF−S△DPF，即S△APD=S△EPF=15cm2，，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40(cm2)．故答案为40．8.如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，则四边形PEQF的面积为．【答案】30cm2【解析】如图，连结EF．∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF，即S△ADF−S△DPF=S△DEF−S△DPF，即S△APD=S△EPF=14cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=16cm2，∴四边形PEQF的面积为S△EPF+S△EFQ=14+16=30cm2．9.如图，圆心角为90°的扇形CAB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若阴影部分的面积为5π−5，则AC=_____．【答案】2√5【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2=5π−5，∵BC为直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，故CD=DB=DA，∴D点为BC⏜中点，由对称性可知CD⏜与弦CD围成的面积与S3相等．设AC=BC=x，则S扇ACB−S3−S4=S1+S2，其中S扇ACB =90⋅π⋅x2360=πx24，S4=S△ACB−S△BCD−S3=12⋅x2−12⋅x⋅x2−S3=x24−S3，故：πx24−S3−(x24−S3)=5π−5，求解得：x1=2√5，x2=−2√5(舍去)故答案：2√5．本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．10.如图所示，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形的面积是_________．【答案】50【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据三角形全等求出AF、AG、GC、CH的长，本题比较简单，但是计算时要细心．根据AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD等条件可以证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，即可求出AF、AG、GC、CH的长，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出图中实线所围成的图形面积．【解答】解：∵EF⊥FG，BG⊥AC，∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠ABG=90°，∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠EAF=∠ABG，又AE=AB，∴△AEF≌△BAG(AAS)，∴AF=BG=3，AG=EF=6，同理可证△BCG≌△CDH，∴GC=DH=4，CH=BG=3，∴FH=FA+AG+GC+CH=16，∴图中实线所围成的图形面积=S直角梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△CDH=12(6+4)×16−12×3×6−12×3×10−12×3×4=80−9−15−6=50，故答案为50．11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则AOAE的值为________．【答案】724【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．作BH⊥OA于H，利用矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC =5，AO =OB =52，接着利用面积法计算出BH =125，于是利用勾股定理可计算出OH =710，然后证明△OBH∽△OEA ，最后利用相似比可求出OA AE 的值．【解答】解：作BH ⊥OA 于H ，如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴OA =OC =OB ，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，AC =√32+42=5，∴AO =OB =52， ∵12BH ⋅AC =12AB ⋅BC ，∴BH =3×45=125，在Rt △OBH 中，OH =√OB 2−BH 2=√(52)2−(125)2=710，∵EA ⊥CA ，∴BH//AE ，∴△OBH∽△OEA ，∴BHAE=OH OA ， ∴OA AE =OH BH =710125=724．故答案为724．12.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．【答案】245【解析】【分析】此题考查了垂线的概念与性质，掌握好等积变换法是解题的关键．根据等积变换法得出AP的距离．【解答】解：∵点A到BC的最小值是自A点向BC作垂线，又∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，∴S三角形ABC =12AB×AC=12AP×BC，6×8=10AP，即AP=245．故答案为245．三、解答题13.如图，所有小正方形的边长都为1，A,B,C三点都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G;(2)比较BC与BG的大小：BC_______BG(填“>”“<”或“=”)，理由是_________;(3)线段BG的长度是点B到直线________的距离(4)三角形ABC的面积=________，已知AC=5，求BG的长=_______．【答案】解：(1)如图所示，BG即为所求；(2)>；垂线段最短；(3)AC；(4)6.5，2.6．【解析】【分析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质及割补法求三角形的面积等知识点．(1)根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得；(2)根据垂线段的性质求解可得；(3)根据点到直线的定义即可解答；(4)先利用割补法求△ABC得面积，再利用12×AC×BG=S△ABC求解可得．【解答】解：(1)见答案；(2)BC>BG，理由是点到直线的所有线段中，垂线段最短，故答案为>、垂线段最短；(3)线段BG的长度是点B到直线AC的距离，故答案为AC；(4)S△ABC=4×4−12×1×4−12×1×3−12×4×3=6.5，∵AC=5，∴12×AC×BG=6.5，即12×5×BG=6.5，解得BG=2.6，故答案为6.5、2.6．14.如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45∘，AQ⊥EF于点Q，求证：AQ=AD．【答案】证明：延长CD到P，使DP=BE.连接AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B=∠ADC=90°，在△ABE和△ADP中，{AB=AD,∠B=∠ADP=90°BE=DP△ABE≌△ADP(SAS)∴AE=A，∠BAE=∠DAP∵∠EAF=45°∴∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°−∠EAF=45°，在△AFE和△AFP中，∵{AE=AP∠EAF=∠PAF AF=AF∴△AFE≌△AFP(SAS)，∴EF=FP，S△AFE=S△AFP∴12EF×AQ=12FP×AD∴AQ=AD．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质的知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．利用辅助线及正方形的性质可证明△ABE≌△ADP(SAS)得到：AE=AP，∠BAE=∠DAP，又∠EAF=45°，则∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°−∠EAF=45°，从而证得△AFE≌△AFP(SAS)，由面积相等可得结论．15.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘−∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠CDB=∠CBD，又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90∘，∴AB=√BC2+AC2=√36+64=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE =BC⋅AC AB =6×810=245．【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．(1)要证明CF =BF ，可以证明∠1=∠2；AB 是⊙O 的直径，则∠ACB =90°，又知CE ⊥AB ，则∠CEB =90°，则∠2=90°−∠ACE =∠A ，∠1=∠A ，则∠1=∠2；(2)在直角三角形ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，又知，BC =CD ，所以可以求得AB 的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE 的长．16. (1)如图①，AD 是△ABC 的中线．△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC .如图②，已知S △ABC =1.△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华同学利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO =x ，S △BDO =y ，由(1)结论可得：S △BCE =S △BAD =12S △ABC =12，S △BCO =2S △BDO =2y ，S △BAO =2S △BEO =2x ．则有{S △BEO +S △BCO =S △BCE S △BAO +S △BDO =S △BAD 即{x +2y =122x +y =12所以x +y =13.即四边形BDOE 面积为13．请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知S△ABC=1.D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积．②如图④，已知S△ABC=1.D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，求四边形BDOG的面积．【答案】解：(1)S△ABD=S△ACD．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，又∵△ABD与△ACD高相等，∴S△ABD=S△ACD．(2)①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y，S△BCF=S△ABD=13S△ABC=13，S△BCO=3S△BDO=3y，S△BAO=3S△BFO=3x．则有：{S △BFO +S △BCO =S △BCF S △BDO +S △BAO =S △ABD ，即{x +3y =13y +3x =13 所以x +y =16，即四边形BDOF 的面积为16；②如图，连接BO ，设S △BDO =x ，S △BGO =y ，S △BCG =S △ABD =14S △ABC =14， S △BCO =4S △BDO =4x ，S △BAO =4S △BGO =4y ．则有：{S △BDO +S △AOB =S △ABD S △BGO +S △BCO =S △BCG ，即{x +4y =14y +4x =14 所以x +y =110 ，即四边形BDOG 的面积为110．【解析】本题主要考查了面积与等积变换，等底等高的三角形的面积相等等知识，解题的关键是正确分析三角形各部分之间的关系．(1)利用等底等高的三角形面积相等求解即可；(2)①连接BO ，设S △BFO =x ，S △BDO =y ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；②连接BO ，设S △BDO =x ，S △BGO =y ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可．17. 如图，矩形ABCD 中，AD =3，AB =4，点P 是对角线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，连接BP ，作PE ⊥PB ，交射线DC 于点E ，以线段PE ，PB 为邻边作矩形BPEF.过点P 作GH ⊥CD ，分别交AB 、CD 于点G 、H ．(1)求证：△PGB∽△EHP；(2)求PEPB的值；(3)求矩形BPEF的面积的最小值．【答案】(1)证明：∵∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，∴∠PBG+∠GPB=∠GPB+∠EPH=90°，∴∠PBG=∠EPH(同角的余角相等)，∴△PGB∽△EHP；解：(2)连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE=90°，∵∠BCE=90°，∴∠BCE+∠BPE=180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE=∠PCE，在Rt△BPE与Rt△CDA中，∠BPE=∠D=90°，∠PBE=∠ACD，∴Rt△BPE∽Rt△CDA，∴PEAD =PBDC，即PEPB =ADDC=34；(3)方法一：设AP的长为x．∵BC=AD=3，AB=4，∴Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∵cos∠GAP=AGAP =ABAC=45，∴AG =45AP =45x. 同理，sin∠GAP =GP AP =BC AC =35，则GP =35x.在Rt △PBG 中，PB 2=BG 2+PG 2=(4−45x)2+(35x)2=x 2−325x +16，∵PE PB =AD DC =34．∴PE =34PB ， ∴S 矩形BPEF =PB ⋅PE =34PB 2 =34(x 2−325x +16)=34(x −165)2+10825，∵0<x <5，∴x =165时，S 有最小值10825．方法二：设BP =x ，x >0，由(2)得PE =34PB =34x ，∴矩形BPEF 的面积为S =34x 2，由二次函数性质可知x >0时，S 随着x 的增大而增大，∴，当x ，即BP 取最小值时，矩形BPEF 的面积S 取得最小值，由题可知P 在对角线AC 上移动，(不与A 、C 重合)，∴当BP ⊥AC 时，BP 最短，(垂线段最短)，此时Rt △ABC 中，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴S △ABC =12AB ·BC =12AC ·BP ，BP =AB·BC AC =3×45=125，∴矩形BPEF 的面积S 的最小值为34×(125)2=10825．【解析】本题考查了相似综合题，需要掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．(1)由∠PGB =∠EHP =∠BPE =90°，利用同角的余角相等证得∠PBG =∠EPH ，即可证得结论；(2)证得P、B、E、C四点共圆，即可得∠PBE=∠PCE，即可证得△BPE∽△CDA，通过相似三角形相似比即可得解；(3)方法一：设AP=x，利用锐角三角函数定义表示出AG、GP、GB，进而利用勾股定理用x表示出PB2，根据矩形面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质求最值，即可解决问题．方法二：设PB=x，则矩形BPEF的面积为S=34x2，可知当BP⊥AC时PB取得最小值，则S取得最小值，利用等面积法求出此时的PB长，即可得解．18.如图，▵▵ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，A(0,4)，B(−3,0)，点D在第一象限内．(1)若E为x轴上的点，且SΔAOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式；(2)若F为y轴上的点，求△FDC的周长的最小值；(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵A(4,0)，∴OA=4设E(x,0)，则S△AOE=12×OA×x=12×4x=163，解得x=83，∴E(83,0)或(−83,0)，∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=6，∴点D的坐标是(6,4)，设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，当E(83,0)时，则{83k +b =0 6k +b =4, 解得：{k =65b =−165, ∴直线DE 的解析式为y =65x −165；当E(−83,0)时，则{−83k +b =06k +b =4,解得：{k =613b =1613, ∴直线DE 的解析式为：y =613x +1613，(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，且AD =6，∴BC =6，∵B(−3,0)，∴点C 的坐标是(3,0)，∴B 、C 关于y 轴对称，连接BD 交y 轴于F ，连接CF ，此时△FDC 的周长最小，∴△FDC 周长的最小值=FC +FD +CD =BF +FD +CD =BD +CD ，∵A(0,4)，C(3,0)，B(−3,0)，∴BD =√92+42=√97，CD =√33+42=5，∴△FDC 周长的最小值为5+√97；(3)依题意得，OB =OC =3，直线AB 的解析式为y =43x +4①∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，所以点F 与B 重合，即F(−3,0)，②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，由①得：AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵∠OAB=∠GAF，∴∠OAC=∠GAF，∵∠OAD=∠GAD，∴∠CAD=∠FAD，∴M在射线AD上，且FC垂直平分AM，∴FC=2OA=8，∴F(3,8)；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，∵AC解析式为y=−43x+4，∴直线L过(32,2)，且k值为34，∴L解析式为y=34x+78②，联立①②得，∴F(−7514,−227)，④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法得，CN=245，根据勾股定理得，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F(−4225,44 25).综上所述，满足条件的点有四个：F1(−3,0)；F2(3,8)；F3(−7514,−227)；F4(−4225,4425).【解析】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理以及三角形的面积等知识，综合性较强，利用等积法和分类讨论的思想解决问题是解决本题的关键．(1)先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；(2)先利用平行四边形的性质可得C点的坐标，从而可得B、C关于y轴对称，连接BD交y 轴于F，此时△FDC的周长最小，再利用平行四边形的性质以及勾股定理即可得出结论；(3)根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．。

07 蝴蝶模型

基本蝴蝶模型
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25 35
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当两个三角形同底或等底时，它们的面积比等于对应高之比当两个三角形同高或等高时，它们的面积比等于对应底之比
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13四年级第3讲等积变形(春)

四年级·第3讲第三讲等积变形四年级·第3讲1、熟悉等底等高的三角形；2、学习平行线间的等积原理；3、熟练添加辅助线构造出符合使用条件的图形；4、认识蝴蝶模型。

一、三角形面积的公式：我们已经学习了三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们：三角形面积角形变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．二、等(同)底等(同)高的三角形面积要点及倍数关系为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．①S1∶S2＝S4∶S3或S1×S3＝S2×S4②AO ∶OC ＝(S1＋S2)∶(S4＋S3)知识点拨教学目标四年级·第3讲例1：用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．巩固练习：用三种不同的方法将任意一个三角形分成两个部分，使得其中一部分的面积是另一部分面积的3倍．例2：如图，在三角形ABC 中，AB 是AD 的3倍，三角形ACD 的面积是5平方厘米，试求：三角形ABC 的面积是多少？巩固练习：如图，在三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，三角形ABC 的面积是36平方厘米，试求：三角形鹌鹑的的面积是多少？例3：在三角形ABC 中，BC 是DC 的3倍，AC 是EC 的3倍，三角形DEC 的面积是3平方厘米．请问：三角形ABC的面积是多少平方厘米？例题精讲四年级·第3讲巩固练习：如图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且ED 是AD 的2倍，三角形ABC 的面积为36平方厘水．三角形BDE 的面积是多少平方厘米？例4：如下图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且S ABCD =54平方厘米，求S △BEF ．巩固练习：如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点。

盘点平面几何常考五大模型

盘点平面几何常考五大模型（一）等积变换模型性质与应用简介导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

等积变换模型例题讲解与课后练习题（一）例题讲解与分析平方厘米，ABD的12.=5，BOC=12。

2转化成（二）鸟头定理（共角定理）模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

o（三）蝴蝶定理模型导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

蝴蝶定理模型练习题【练习1】：在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。

梯形ABCD的面积是多少平方厘米？【解答】：连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90－15=7523，根据梯7/16，【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：120÷5=24(平方厘米)，由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.方法一：连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC 的面积为120÷4=30(平方厘米)，所以BAF、AEF和EFC的面积为：30÷3=10(平方厘米)，所以阴影部分的面积为：24-10=14(平方厘米).方法二：本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演示)AB:CD=BF:FC=1:2所以以BF为底的三角形ABF占整个三角形的1/3,为30×1/3=10(平方厘米).所以阴影面积为：24-10=14(平方厘米).（五）燕尾定理模型导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个——燕尾定理模型。

北京市中考数学专题复习讲义-几何综合题学案-几何图形变换的性质在解题中的应用(教师版)

几何综合题学案几何图形变换的性质在解题中的应用一、考点分析：分析近几年北京中考的几何综合题，试题全面考察几何知识，对学生的能力要求比较高.考察的知识主要集中在：全等三角形的判定和性质、特殊三角形的判定和性质、解直、特殊四边形的判定和性质、平移变换、对称变换和旋转变换等知识，而考察的重点是几何图形的变换，将几何图形变换的性质作为解决问题的桥梁，从而解决几何问题，下面以中考题为例，体会几何图形变换的性质在解题过程中的重要作用。

二、例题分析：例1、(2016北京)在等边△ABC 中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上的两点，AP=AQ ，△BAP=20°，求△AQB 的度数；(全体)分析：由已知AP=AQ 可以推出 .（∠APQ=∠AQP ）由等边三角形ABC 可以推出 .（AB=AC=BC,∠B=∠C=∠BAC=600）由未知求△AQB 的度数推出只需求出 .（∠APQ 的度数）再利用什么知识求△AQB 的度数 .(三角形外角定理）引申：根据等边三角形的性质和AP=AQ ，猜想ACQ ABP ∆∆和的关系，并证明（ACQ ABP ∆≅∆）（ACQ ABP CAQ BAP AC AB C B ∆≅∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠) 从几何图形变换的角度来看，这两个三角形是关于过A 垂直BC 的垂线对称的图形.（2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与点B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP=AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．△依题意将图2补全；(全体学生)引申：画出点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，你能推出什么结论？（AQ=AM，，∠QAC=∠MAC, 有时也要连接CM，得到CQ=CM，∠ACQ=∠ACM=600，让整个图形呈现对称性的特点)△小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：(中等程度以上的学生)想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP△△PCM.请参考上面的想法，帮助小茹分别按照两个想法的步骤,证明PA=PM.想法1:要证明PA=PM，只需证∠APM是等边三角形.(1).分析已知和未知：a.由点Q关于直线AC的对称点为M可以推出,(AQ=AM)结合条件AP=AQ可以推出△APM是三角形.（等腰三角形）b.回忆证明等边三角形的的方法，根据条件，选择哪种方法呢？（证明等边三角形的的方法分别是:三边相等;两个角是600;有一个角是600的等腰三角形）.(有一个角是600的等腰三角形)c.根据第1问的解题思路，△BAP与△QAC什么关系？（相等）所以△PAM的度数是多少？（600）（2）梳理上面的分析过程，我们可以得到解题步骤.第1步：证明△APM是等腰三角形；第2步：推理△PAM=600，证△APM是等边三角形；第3步：证明PA=PM（3）反思：要证明PA=PM，为什么会想到证明∠APM是等边三角形？证明PA和PM是共端点的等线段问题，可以证明△APM是以△APM为顶角的等腰三角形，或者利用等角对等边证明PA=PM。

2024年中考+数学专题复习+证比例式或等积式的七种技巧+讲义

证比例式或等积式的七种技巧点石成金证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换.经典例题解剖例如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：AC•CF＝CB•DF．分析：先证明△FDA∽△FCD，得出DFCF =ADDC，再证明△ACD∽△CBD，可得ADCD=ACCB，即可解答．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵E为CB的中点，∴CE＝EB＝DE=12BC，∴∠B＝∠BDE，∵∠BDE＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∵∠ACD+∠CAB＝90°∴∠B＝∠ACD，∴∠ADF＝∠ACD，又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD，∴DFCF =ADDC，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD =ACCB，∴DFCF =ACCB，即AC⋅CF＝CB⋅DF．分类训练技巧1 构造平行线法1．三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线．求证：ABAC =BDDC．分析：由比例式ABAE =BDDC，想到作平行线，用到了平行线的性质；只要证明AE＝AC即可，用到了等腰三角形的判定定理，由CE∥AD，写出比例式ABAC =BDDC，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；技巧2三点定型法2．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．分析：（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可得出结论；（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC＝∠AQF，求出∠BQF＝∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质即可得出结论．3．已知：如图，在△ABC中, ∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC 于E，交BC的延长线于F，求证：CD²=DE⋅DF。

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例谈“蝶形”在平行线中 “等积变换”的应用
在数学的百花园里，有一类几何图形就像蝴蝶一样美丽娇艳，这就是“蝶形”.数学教
学中，我们在欣赏“蝶形”之美的同时，也让我们产生了对“蝶形”的遐想.
一、孕蝶——破茧而出
例1 如图1，已知直线//mn，A，B为直线n上的两点，C，P为直线m上的两点.
(l)请写出图中面积相等的各对三角形.
(2)如果A，B，C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到任何位
置，请指出与ABCV面积相等的三角形并说明理由.

解 (l) ABCV与ABPV面积相等，CPAV与CPBV面积相等，AOCV与BOPV面
积相等.
(2)无论P点如何在直线m上移动，ABCV与ABPV的面积都相等，因为它们都有相
同的底边长度AB，这个底边上的高都等于平行线m到n的距离.
评析根据平行线的性质得到ABCV与ABPV，CPAV与CPBV这两对三角形的面
积分别相等.再根据等式的性质，可得到第三对三角形，即AOCV与BOPV的面积相等.

结论如图1，直线//mn，所以AOCBOPSSVV；反过来，当AOCBOPSSVV时，则直线
//mn，图1中AOCV与BOPV构成了如图2所示的多边形，我们把图形ACOBP
称为“蝶形”.

二、逐蝶——翩然起舞
例2如图3，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦
荒地，现已变成扩大后的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(图3中折线CDE)还保
留着，张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的
一样多.请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占
地面积)
(1)写出设计方案，并画出相应的图形;
(2)说明方案设计理由.
解 (1)连结EC，过点D作EC的平行线DG交CM于点G，连接EG，EG就是所
求的路.

(2)//DGECQ，EDCECGSSVV,

EDCABCEECGABCESSSSVV
.
∴路两边的面积相等.
评析本题突破口是保持图形的面积不变，修一条直路可能出现如图4中的3种情况

(EQ，EF，EG).由蝶形EDHCF推出//ECDF,从而确定点F，得到直线EF.

三、捕蝶——轻盈敏捷
例3 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这
个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的
一条面积等分线.
(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有
(2)如图5，梯形ABCD中，//ABDC，如果延长DC到E，使CEAB，连结AE，

那么有ADEABCDSSV梯形.请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积
等分线(不写作法，保留作图痕迹).

(3)如图5，四边形ABCD中，AB与CD不平行，ADCABCSSVV，过点A能否作出四
边形ABCD的面积等分线?若能，请画出面积等分线，并给出证明;若不能，说明理由.
解 (1)中线所在的直线.
(2)方法一:如图5，连结BE.因为//ABCE，CEAB，所以四边形ABEC为平行四
边形，所以//BEAC，所以ABCV和AECV的公共边AC上的高也相等，所以有

ABCAECSSVV
，所以，

ACDABCABCDSSSVV
梯形
ACDAECSSVV
ADESV

方法二:设AE与BC相交于点F.因为//ABCE，所以ABFECF，
BAFCEF，又因为CEAB，所以ABFECFVV
，所以，

ACDABCABCDSSSVV
梯形
ACDAECSSVV
ADESV

过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法为:作DE的垂直平分线，交DE于G，连
结AG.则AG是梯形ABCD的面积等分线.(作图略)
(3)能，连结AC，过点B作//BEAC交 DC的延长线于点E，连结AE.因为

//BEAC，所以ABCV和AECV的公共边AC
上的高也相等，所以有ABCAECSSVV，所

以ABCDACDABCSSSVV四边形ACDAECSSVVADESV，因为ADCABCSSVV，所以面积等
分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线.
简析第(1)问引入了和“蝶形”面积相关的三角形中线问题，实则是等底同高问题;第
(2)问是将梯形面积转化为三角形面积，其实质可归为等底同高问题，是捕捉到“蝶形”
ABFCE
并将其应用使问题得到解决;第(3)问把梯形变式为一般四边形，如何将一般四边形

面积转化为三角形面积问题是难点.仔细分析不难发现，解决问题的过程中同样可以捕捉到
“蝶形”，将“蝶形”进行应用，使问题轻松解决.
四、赏蝶——婀娜多姿
例4 (1)如图7，已知五边形ABMNE，C是BM上一点，能否过折线EFDC中的点
E
作一条直线，使得直线左边的四边形与原图中折线左边的六边形ABCDFE面积相等.

(2)如图8，已知五边形ABMNE，C是BM上一点，能否过折线EGFDC中的点E作
一条直线，使得直线左边的四边形与原图中折线左边的七边形ABCDFGE面积相等.
(3)如图9，已知五边形ABMNE，C是BM上一点，能否过折线EGFDYXC…(共有
n
个点，各线段不相交)中的点E作一条直线，使得直线左边的四边形与原图中折线

EGFDYXC…
左边的(2)n边形的面积相等.

解 (1)如图8，连结CF，过点D作//DHCF，交BM于点H，连结EH，过点F作
FK // EH,交BM于点K，连结,EKEK即为所求的直线.
(2)如图8，连结CF，过点D作//DHCF,交BM于点H，连结GH，过点F作
//FKGH，交BM于点K，连结EK，过点G
作//GQEK，交BM于点Q，连结EQ，

则EQ即为所求的直线.
(3)作图略.
评析本题作图是通过捕捉“蝶形”来实现的，每次连结、作平行线，都用到“蝶形”
的性质，即等积转换.这三个问题实际上是曲直问题之间相互依存的问题，更是“蝶形”与
其它几何图形之间相互转化由问题.
五、化蝶——玉蝶恋花
例5 我们把能够平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面的作图，可以得到四

边形的“好线”:如图10，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结,OAOC.再
过点O作//OEAC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”.
(1)试说明直线AE是“好线”的理由;
(2)如图11 , AE为一条“好线”, F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，
并对画面作适当说明(不需要说明理由).

解 (1)设AE与OC的交点是F.因为//OEAC，所以AOECOESS，所以
AOFCEFSS

;又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，所以直线AE平分四边形
ABCD
的面积，即AE是“好线”.

(2)如图11，连结EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连结FG，则AE为一条
“好线”.(证略).
简析第(1)问设AE与OC的交点是F.要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的
折线AOC能平分四边形ABCD的面积，发现AOF与CEF构成了“蝶形”，于是
AOF
与CEF的面积相等，就能够说明AE是“好线”.根据“蝶形”模型，只需借助平行线即
可作出过点F的“好线”.