量子力学第 4 章

Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率 是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下 在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示 力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么 样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋 状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。 这就是在 s
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§2、力学量的表示 1. 在 Ô 表象中力学量算符应如何表示？ 力学量的功能就是把一个波函数变为另一个波函数，
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§1、态的表示，波函数概念的推广 1. 波函数概念的推广 可以从波函数的统计解释方面找到把波函数的概念推 广到任意表象的途径 (也包括从连续表象到分立表象的 推广)： 既然 |ψ(r,t)|2 是坐标表象中坐标的取值概率(密度)， 那么，可以设想在动量表象中，|波函数|2 是动量的取值 概率(密度)， 在能量表象中，|波函数|2 是能量的取值 概率(或概率密度)…… 推广到一般情况，可以设想在任意力学量 Ô 表象中， |波函数|2 是力学量 Ô 的取值概率(或概率密度)。
ψ (r, t ) = ∫ cp (t )ϕp (r)dp = ∫ cp (t )(2π )−3/ 2 eipir / dp,
展开系数 * c(p, t ) ≡ cp (t ) = ∫ ϕp ψ dτ = ∫ (2π )−3/ 2e−ipir / ψ (r, t )dτ , 就是同一个状态在动量表象的波函数。 b 动量表象波函数 c(p,t) 与坐标表象的波函数 ψ 的对比 |ψ(r,t)|2
(QM. Merzbacher p251)
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1. 什么是表象(representation)理论？ 它是研究如何表示态和力学量的理论。 我们在前两章引入以坐标为自变量的波函数来描写 态、以坐标和对坐标的微分算符为基石来构造力学量， 也就是借助粒子的空间坐标 r 这一力学量来表示态和 其他力学量——但是，这只是量子力学的表示方法之 一，称为在坐标表象中表示量子力学。 2. 为什么要学习表象理论？ (1) 微观粒子诸如自旋、同位旋等内部运动是与空间 运动无关的，故内部运动状态不能用 r 的函数来描写。 如不学习表象理论，局限于坐标表象，就无法表示粒 子的自旋状态和相关的力学量等。 (2) 学习表象理论可以沟通量子力学的两种表现形式 ——波动力学和矩阵力学。
ˆψ = ψ (与 F 对比) A B
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⎛ F11 F12 ···· ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ ˆ (O ˆ 表象) = ⎜ F ⎜ F21 F22 ···· ⎟ ⎜ ⎜ ··············· ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
2 2 且|波函数|2， 即 | c(λn , t ) | (or | c(λ , t ) | )
是 λn (or λ)的取值概率(密度) 。 于是，对同一个状态可以选取不同的表象，用不同种 类的波函数来描述——类似于在经典力学中可以选取不 同的坐标系，用不同的形式来表示同一个矢量。 在描述态时，各个表象的波函数都是等价的，因为它 们描述的是同一个态。态具有客观性，与人们所选择的 描述方法无关，而波函数在描述粒子的状态时，其形式 与人们所选择的表象有关。
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接着就可以利用公理六，找到任意力学量 Ô 表象中 的波函数与坐标表象中的波函数 ψ(r,t) 之间的关系。 公理六告诉我们：当把坐标表象中的波函数 ψ(r,t) 在 力学量 Ô 的本征函数系 ϕn (或 ϕλ ) 中作展开时
ψ (r, t ) = ∑n cn (t )ϕn (r),
or
ψ (r, t ) = ∫ cλ (t )ϕλ (r)d λ.
····
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例: 一维谐振子能量本征函数 ψ n ( x) = N n e 在能量表象中的表示为
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cψ 0 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠
基态波函数
−α 2 x 2 / 2
H n (α x)
⎛0 ⎞ ⎜1 ⎟ cψ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ·⎟ ⎜· ⎝· ·⎠
第 四 章
态和力学量的表象
Chapter 4 Representation of state and oprator
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本章主要内容
§1、态的表示，波函数概念的推广
1.波函数概念的推广 p6，2.本征函数在自身表象中 的表示 p13
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§2、力学量的表示
1. 在 Ô 表象中力学量应如何表示 p16 2. 力学量在自身表象中的表示 p19
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⎞ = ⎛ b2⎞ , ˆ⎛ a F ⎜ ·2⎟ ⎜ · ⎟ ⎝· ·⎠ ·⎠ ⎝·
* ϕ 两边同乘以 m 后求积分，
* ˆ * ϕ F a ϕ d τ = ϕ ∫ m ∑n n n ∫ m ∑n bnϕndτ
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
∴
∴
* ˆ * a ϕ F ϕ d τ = b ϕ ∑n n ∫ m n ∑n n ∫ mϕndτ = bm ,
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§3、坐标表象和动量表象 §4、量子力学公式的表示 §5、表象变换 §6、复习 §7、狄拉克符号 Dirac bracket §8 线性谐振子与占有数表象 附录、S 方程的数值解法简介
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It has been assumed that the state of the particle can be completely specified by giving the wave function ψ as a function of the spatial coordinates x, y, z . These three dynamical variables were postulated to constitute a complete set. Alternatively, and equivalently, the momentum components of px, py, pz also form a complete set of dynamical variables, since 1 −ip i r / ϕ (p, t ) = ψ (r, t )e dτ 3/ 2 ∫ (2π ) contains just as much information about the state as ψ(x, y, z ,t). The Fourier integral links the two equivalent descriptions and allows us to calculate ϕ from ψ, and vice versa.
ˆψ = ψ , F A B
(1) Ô 表象是分立表象 在 Ô 表象中，这两个波函数分别用列矩阵 a 和 b 来 表示: b1 a1
ˆ 应具有方矩阵的形式， 显然 在 Ô 表象中，力学量 F 其矩阵元可由如下方法确定：把 ψ A, ψ B在 Ô 的本征函 数系 ϕn 中做展开 ˆ∑ a ϕ = ∑ b ϕ , F n n n n n n
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力学量的本征函数在自己的表象中，自己表示自己， 并不是数学游戏，而是一种行之有效的表示态的方法。 例：实验证明电子有自旋角动量，它与坐标 r 无关， 即电子的自旋状态不能用 r 的函数表示。 那么如何描述电子的自旋状态呢？ ˆz 有两个本征 根据实验电子的自旋角动量 z 分量 s 值(= ± /2)，这意味着它有两个本征函数，可抽象地记 为 χ1/ 2 , χ −1/ 2 1 , 0 χ = χ = 所以在 s −1/ 2 ˆz 表象 1/ 2 0 1
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当力学量 Ô 的本征值构成分立谱时，Ô 表象的波函 数各分量 cn 也是分立的，习惯上把它们表为列矩阵：
⎛c1⎞ ⎜c2⎟ ⎟ ˆ 表象)= c = ⎜ · · ψ (O ·⎟ ⎜c n ⎜ ·⎟ ⎝· ·⎠
当力学量 Ô 的本征值构成连续谱时，Ô 表象的波函 数 cλ (t ) 也是连续的，不能写为列矩阵的形式。 以上我们是从坐标表象的波函数出发，求出与它对 应的其他表象的波函数，但是在原则上也可以在其他 表象中求解 S 方程，得出该表象的波函数，再反过来 求坐标表象的波函数。
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我们也可以把以上的内容用线性代数的语言表示出： 一个体系的所有可能的波函数的集合构成一个线性 空间(称波函数空间)。这是因为波函数的加法与数乘 满足线性空间的定义。 由于力学量的本征函数具有完备性，任意波函数都 可以表示为力学量的本征函数的线性迭加。所以任意 力学量的本征函数系都可以看成波函数空间的一组基 矢。而力学量则是该空间的线性变换。 选定力学量 Ô 的本征函数作为波函数空间的基矢， 用其线性迭加来表示体系状态，就叫做选定了一个表 象(称 Ô 表象)。其中迭加系数(在各基矢上的投影)叫 做此表象中的波函数。 这与在经典力学中选一个坐标系描述粒子运动是类 似的。 12