江苏省苏南四市(苏州、无锡、常州、镇江)2010届高三一模(数学)(word版)
数学_2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学一模试卷(含答案)
2014年江苏省无锡、苏州、常州、镇江四市联考高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={m, 4, 7}，若A ∩B ={1, 4}，则A ∪B =________．2. 若复数z =1+3i 1−i （i 为虚数单位），则|z|=________．3. 已知双曲线x 2m−y 28=1的离心率为√3，则实数m 的值为________．4. 一容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：[10, 20]，2；(20, 30]，3；(30, 40]，4；(40, 50]，5；(50, 60]，4；(60, 70]，2．则样本在(10, 50]上的频率是________．5. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y 等于________．6. 设函数f(x)=αsinx +x 2，若f(1)=0，则f(−1)的值为________．7. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD 且PA =4，则PC 与底面ABCD 所成角的正切值为________．8. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为________．9. 已知tan(α+β)=25，tanβ=13，则tan(α+π4)的值为________．10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=−3，a k+1=32，S k =−12，则正整数k =________．11. 已知正数x ，y 满足x +2y =2，则x+8y xy的最小值为________．12. 如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →=2GO →，设CD → // AG →，若AD →=15AB →+λAC →(λ∈R)，则λ的值为________．13. 已知函数f(x)={(2x−x2)e x，x≤0，−x2+4x+3，x>0，g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为________．14. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3, 0)在圆C:x2+y2−2mx−4y+m2−28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设函数f(x)＝6cos2x−2√3sinxcosx．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA=45，求a和sinC．16. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60∘，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1 // 平面A1DC．17. 一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．(1)求V关于θ的函数表达式；(2)求θ的值，使体积V最大.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上不同的三点，A(3√2, 3√22)，B(−3, −3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上．（1）求椭圆的标准方程； （2）求点C 的坐标；（3）设动点P 在椭圆上（异于点A ，B ，C ）且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →⋅ON →为定值并求出该定值．19. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，且(S n+1+λ)a n =(S n +1)a n+1对一切n ∈N ∗都成立．（1）若λ=1，求数列{a n }的通项公式； （2）求λ的值，使数列{a n }是等差数列． 20. 已知函数f(x)=mx −αlnx −m ，g(x)=ex e x，其中m ，α均为实数．（1）求g(x)的极值；（2）设m =1，α<0，若对任意的x 1，x 2∈[3, 4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求a 的最小值；（3）设α=2，若对任意给定的x 0∈(0, e]，在区间(0, e]上总存在t 1、t 2(t 1≠t 2)，使得f(t 1)=f(t 2)=g(x 0)成立，求m 的取值范围．选修4-1：几何证明选讲 三、附加题【选做题】在21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，第25题、第26题必做题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB =AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CDAB =ABBE ．选修4-2：矩阵与变换22. 已知M =|1221|，β=|17|，计算M 5β．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的直角坐标方程； （2）圆的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)=|x +1|+|x −2|−|α2−2α|，若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数α的取值范围．[必做题]第25、26题，每题10分，共计20分。
数学_2010年江苏省南通市高考数学一模试卷(含答案)
2010年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 有一容量为10的样本：2，4，7，6，5，9，7，10，3，8，则数据落在[5.5, 7.5)内的频率为________．2. 已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）3. 已知集合A={2, 7, −4m+(m+2)i}（其中i为虚数单位，m∈R），B={8, 3}，且A∩B≠⌀，则m的值为________．4. 在区间[0, 1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实数根的概率为________．5. 若函数f(x)={tanx,x≥0log2(−x)，x<0则f(2f(3π4))=________．6. 在区间[−a, a](a>0)内不间断的偶函数f(x)满足f(0)⋅f(a)<0，且f(x)在区间[0, a]上是单调函数，则函数y=f(x)在区间(−a, a)内零点的个数是________．7. 执行如图所示的程序框图后，输出的结果是________．8. 不等式x<2x−1的解集是________．9. 如图，点A、B在函数y=tan(π4x−π2)的图象上，则直线AB的方程为________．10. 双曲线x216−y29=1上的点P到点(5, 0)的距离是6，则点P的坐标是________．11. 已知数列{a n}为等差数列，若a5a6<−1，则数列{|a n|}的最小项是第________项．12. 在菱形ABCD 中，若∠B =60∘，AC =4，则CA →⋅AB →=________．13. 已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 中点为N(x 0, y 0)，且y 0>x 0+2，则y 0x 0的取值范围为________． 14. 数列{a n }满足：a 1=2，a n =1−1a n−1(n =2, 3, 4,…)，若数列{a n }有一个形如a n =Asin(ωn +φ)+B 的通项公式，其中A 、B 、ω、φ均为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则a n =________．（只要写出一个通项公式即可）二、解答题（共9小题，满分130分）15. 已知向量m →=(sinA, 12)与n →=(3, sinA +√3cosA)共线，其中A 是△ABC 的内角．（1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状． 16. 如图，已知四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE // 平面BDF ；（2）求三棱锥D −ACE 的体积．17. 田忌和齐王赛马是历史上有名的故事．设齐王的3匹马分别为A 、B 、C ，田忌的3匹马分别为a ，b ，c ，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：A ，a ，B ，b ，C ，c ．两人约定：6匹马均需参赛，共赛3场，每场比赛双方各出1匹马，最终至少胜两场者为获胜．(1)如果双方均不知道对方的出马顺序，求田忌获胜的概率；(2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A 马．那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知对于任意实数k ，直线(√3k +1)x +(k −√3)y −(3k +√3)=0恒过定点F ．设椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F ，且椭圆C 上的点到F 的最大距离为2+√3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(m, n)是椭圆C 上的任意一点，圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与椭圆C 有4个相异公共点，试分别判断圆O 与直线l 1:mx +ny =1和l 2:mx +ny =4的位置关系．19. 设数列{a n }是由正数组成的等比数列，公比为q ，S n 是其前n 项和．（1）证明√S n ⋅S n+2<S n+1；（2）设b n =415a n+3+45a n+1+25a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较q 2S n 和T n 的大小．20. 已知函数f(x)=x 2−2acoskπ⋅lnx(k ∈N ∗，a ∈R ，且a >0)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若k=2010，关于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的值．21. 如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB⋅DA．22. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP=√14，并求出二面角P−AB−A1的平面角的余弦值．23. 已知函数f(x)=ln2(1+x)−x21+x，g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x2−2x．（1）证明：当x∈(0, +∞)时，g(x)<0；（2）求函数f(x)的极值．2010年江苏省南通市高考数学一模试卷答案1. 0.32. 充分不必要3. −24. 125. 16. 27. 38. {x|x<−2或0<x<1}9. x−y−2=010. (8, ±3√3)11. 612. −813. −12<y0x0<−1514. √3sin(2π3n−π3)+1215. 解：（1）因为m→ // n→，所以sinA⋅(sinA+√3cosA)−32=0；所以1−cos2A2+√32sin2A−32=0，即√32sin2A−12cos2A=1，即sin(2A−π6)=1．因为A∈(0, π)，所以2A−π6∈(−π6,11π6)．故2A−π6=π2，A=π3；（2）由余弦定理，得4=b2+c2−bc．又S△ABC=12bcsinA=√34bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以S△ABC=12bcsinA=√34bc≤√34×4=√3；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又A=π3；故此时△ABC为等边三角形．16. 证明：（1）设AC∩BD=G，连接GF．因为BF⊥面ACE，CE⊂面ACE，所以BF⊥CE．因为BE=BC，所以F为EC的中点．在矩形ABCD中，G为AC中点，所以GF // AE．因为AE⊄面BFD，GF⊂面BFD，所以AE // 面BFD．（2）取AB中点O，连接OE．因为AE=EB，所以OE⊥AB．因为AD⊥面ABE，OE⊂面ABE，所以OE⊥AD，所以OE⊥面ABD．因为BF⊥面ACE，AE⊂面ACE，所以BF⊥AE．因为CB⊥面ABE，AE⊂面ABE，所以AE⊥BC．又BF∩BC=B，所以AE⊥平面BCE．又BE⊂面BCE，所以AE⊥EB．所以AB=√AE2+BE2=2√2，OE=12AB=√2．故三棱锥E−ADC的体积为V D−AEC=V E−ADC=13S△ADC⋅OE=13×12×2×2√2×√2=43．17. 解：记A与a比赛为(A, a)，其它同理(l)齐王与田忌赛马，有如下6种情况：(A, a)，(B, b)，(C, c)；(A, a)，(B, c)，(C, b)；(A, b)，(B, c)，(C, a)；(A, b)，(B, a)，(C, c)；(A, c)，(B, a)，(C, b)；(A, c)，(B, b)，(C, a)．其中田忌获胜的只有一种：(A, c)，(B, a)，(C, b)．∴ 田忌获胜的概率为P =16． (2)已知齐王第一场必出上等马A ，若田忌第一场必出上等马a 或中等马b ， 则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c ．后两场有两种情形：①若齐王第二场派出中等马B ，可能的对阵为：(B, a)，(C, b)或(B, b)，(C, a)．田忌获胜的概率为12．②若齐王第二场派出下等马C ，可能的对阵为：(C, a)，(B, b)或(C, b)，(B, a)．田忌获胜的概率也为12．∴ 田忌按c ，a ，b 或c ，b ，a 的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大12． 18. 解：(1)(√3k +1)x +(k −√3)y −(3k +√3)=0⇔(√3x +y −3)k +(x −√3y −√3)=0，解{√3x +y −3=0x −√3y −√3=0得F(√3，0)． 设椭圆C 的长轴长、短轴长、焦距分别为2a ，2b ，2c ，则由题设，知{c =√3a +c =2+√3于是a =2，b 2=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为圆O:x 2+y 2=r 2(r >0)与椭圆C 有4个相异公共点， 所以b <r <a ，即1<r <2．因为点(m, n)是椭圆x 24+y 2=1上的点， 所以m 24+n 2=1，且−2≤m ≤2．所以√m 2+n 2=√34m 2+1∈[1,2]． 于是圆心O 到直线l 1的距离d 1=√m 2+n 2≤1<r ， 圆心O 到直线l 2的距离d 2=√m 2+n 2≥2>r ．故直线l 1与圆O 相交，直线l 2与圆O 相离．19. 证明：（1）由题设知a 1>0，q >0．(I)当q =1时，S n =na 1，于是S n ⋅S n+2−S n+12=na 1⋅(n +2)a 1−(n +1)2a 12=−a 12<0，(II)当q ≠1时，S n =a 1(1−q n )1−q ，于是S n ⋅S n+2−S n+12=a 12(1−q n )(1−q n+2)(1−q)2−a 12(1−q n+1)2(1−q)2=−a 12q n <0．由(I)和(II)，得S n ⋅S n+2−S n+12<0．所以S n ⋅S n+2<S n+12，√S n ⋅S n+2<S n+1．（2）方法一：b n =415a n+3+45a n+1+25a n =415a n q 3+45a n q +25a n ，T n =∑b k n k=1=∑(n k=1415a k q 3+45a k q +25a k )=415q 3S n +45qS n +25S n ， T n −q 2S n =S n 15(4q 3−15q 2+12q +6)，=S n 15(4q(q −2)2+(q −2)2+2)≥2>0，所以T n >q 2S ．方法二：T n =∑b k n k=1=∑(n k=1415a k q 3+45a k q +25a k )=415q 3S n +45qS n +25S n ， 由T nq 2S n =415q +45q +25， 因为q >0，所以415q +45q ≥2√415⋅45=815√3 （当且仅当415q =45q ，即q =√3时取“=”号），因为815√3+25=6+8√315>1， 所以T nq 2S n >1，即T n >q 2S ．20. 解：（1）由已知得x >0且f′(x)=2x −(−1)k ⋅2a x ．当k 是奇数时，f′(x)>0，则f(x)在(0, +∞)上是增函数；当k 是偶数时，则f′(x)=2x −2a x =2(x+√a)(x−√a)x ．所以当x ∈(0,√a)时，f′(x)<0，当x ∈(√a, +∞)时，f′(x)>0．故当k 是偶数时，f(x)在(0,√a)上是减函数，在(√a, +∞)上是增函数．（2）若k =2010，则f(x)=x 2−2alnx(k ∈N ∗)．记g(x)=f(x)−2ax =x 2−2axlnx −2ax ，g′(x)=2x −2a x −2a =2x (x 2−ax −a)， 若方程f(x)=2ax 有唯一解，即g(x)=0有唯一解；令g ′(x)=0，得x 2−ax −a =0．因为a >0，x >0，所以x 1=a−√a 2+4a 2<0（舍去）， x 2=a+√a 2+4a 2．当x ∈(0, x 2)时，g′(x)<0，g(x)在(0, x 2)是单调递减函数；当x ∈(x 2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x 2, +∞)上是单调递增函数． 当x =x 2时，g ′(x 2)=0，g(x)min =g(x 2)．因为g(x)=0有唯一解，所以g(x 2)=0．则{g(x 2)=0g′(x 2)=0即{x 22−2alnx 2−2ax 2=0x 22−ax 2−a =0两式相减得alnx 2+ax 2−a =0，因为a >0，所以2lnx 2+x 2−1=0(∗)． 设函数ℎ(x)=2lnx +x −1，因为在x >0时，ℎ(x)是增函数，所以ℎ(x)=0至多有一解．因为ℎ(1)=0，所以方程(∗)的解为x 2=1，从而解得a =12． 21. 证明：连接OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90∘．所以∠OFC +∠CFD =90∘．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90∘．所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB ⋅DA ．所以DE 2=DB ⋅DA ．22. 解：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系， 则C(2, 0, 0)，B(0, 2, 0)，A 1(0, 2, 2)，B 1(0, 4, 2)，AA 1→=(0,2,2)，BC →=B 1C 1→=(2,−2,0)．cos⟨AA 1→，BC →>=|AA 1→|⋅|BC →|˙=−4√8⋅√8=−12， 故AA 1与棱BC 所成的角是π3．（2）设B 1P →=λB 1C 1→=(2λ,−2λ,0)，则P(2λ, 4−2λ, 2)．于是AP =√4λ2+(4−2λ)2+4=√14⇒λ=12（λ=32舍去）， 则P 为棱B 1C 1的中点，其坐标为P(1, 3, 2)．设平面P −AB −A 1的法向量为n 1→=(x, y, z)，则{n 1→⋅AB →=0˙⇒{x +3y +2z =02y =0⇒{x =−2z y =0 故n 1→=(−2, 0, 1)．而平面ABA 1的法向量是n 2→=(1, 0, 0)，则cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2|→˙=√5，故二面角P −AB −A 1的平面角的余弦值是2√55． 23. 解：（1）g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x ， 则g′(x)=2ln(1+x)−2x ．令ℎ(x)=2ln(1+x)−2x ，则ℎ′(x)=21+x −2=−2x1+x ．当−1<x <0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(−1, 0)上为增函数． 当x >0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(0, +∞)上为减函数． 所以ℎ(x)在x =0处取得极大值，而ℎ(0)=0，所以g′(x)<0(x ≠0)，函数g(x)在(0, +∞)上为减函数．当x >0时，g(x)<g(0)=0．（2）函数f(x)的定义域是(−1, +∞)， f′(x)=2ln(1+x)1+x −x 2+2x(1+x)2=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x (1+x)2，由（1）知，当−1<x <0时，g(x)=2(1+x)ln(1+x)−x 2−2x >g(0)=0， 当x >0时，g(x)<g(0)=0，所以，当−1<x <0时， f′(x)>0∴ f(x)在(−1, 0)上为增函数．当x >0时，f′(x)<0，f(x)在(0, +∞)上为减函数． 故函数f(x)的单调递增区间为(−1, 0)，单调递减区间为(0, +∞)．故x =0时f(x)有极大值0．。
2010年苏北四市高三年级第二次模拟考试数学(I)(附答案)
2010年苏北四市高三年级第二次模拟考试（1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑（2）椎体的体积公式13V Sh =，其中S 为椎体底面积，h 为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1.已知集合{}20,2,A a =，{}1,B a =，若{}0,1,2,4A B =，则实数a 的值为▲ .2.已知复数(2i)i z =-（i 是虚数单位），则=z ▲ .3.已知向量(6,2)=a ，(3,)k =-b ，若a ∥b ，则实数k 等于 ▲ .4.一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 ▲ .7984446793第5题第6题第4题5.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为 ▲ ．（茎表示十位数字，叶表示个位数字）6.如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，O 为底面正方形ABCD 的中心，则三棱锥1-B BCO 的体积为 ▲ .7. 已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为 ▲ .8. 已知数列{}n a 的各项均为正数，若对于任意的正整数,p q 总有+=⋅p q p q a a a ，且816=a ，则10a = ▲ .9. 将函数()2sin()(0)3f x x ωωπ=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象.若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 ▲ .10.已知函数2()1f x ax bx =--，其中(]0,2a ∈，(]0,2b ∈，则此函数在区间[)1,+∞上为增函数的概率为 ▲ .11.对于问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c +>＋的解集为(1,2)-，解关于x 的不等式 20ax bx c -+>”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于x 的不等式0<+++c x a x 的解集为(1,)(,1)32--，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为 ▲ . 12.如图，在平面四边形ABCD 中，若3,2AC BD ==， 则()()+⋅+=AB DC AC BD▲ .13.如图，已知椭圆C 的方程为：22221x y a b+=(0)a b >>，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P 、Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是 ▲ .第12题 第13题14.若函数()(1)x f x a a =>的定义域和值域均为],[n m ，则a 的取值范围是 ▲ ___.二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答．题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤． 15.在平面直角坐标系xOy 中，点21(,cos )2θP 在角α的终边上，点2(sin ,1)θ-Q 在角β的终边上，且12⋅=-OP OQ ．（1）求θ2cos 的值； （2）求)sin(βα+的值．16.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证： （1）D C AD 1⊥； （2）1//A B 平面1ADC ．17. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2n nS S （*n ∈N ）是非零常数，则称该数列为“和等比数列”． （1）若数列{}2nb 是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{}nb 是否为“和等比数列”；（2）若数列{}n c 是首项为1c ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，1试探究d 与1c 之间的等量关系．18.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线l 的方程为2x =-，点P 在准线l 上，纵坐标为13(0)t t t t-∈≠R ,，点Q 在y 轴上，纵坐标为2t ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线PQ 恒与一个圆心在x 轴上的定圆M 相切，并求出圆M 的方程。
江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研(一模)数学试卷及答案
2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学2024.3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}04B x x =∣ ，则（）A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A⊆2.设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （）A.-2 B.-1 C.242 D.2433.已知平面向量,,a b c 满足0,||||1,||3a b c a b c ++====，则a 与b 的夹角为（）A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π44.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人5.函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.56.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）2 B.2 C.2 D.47.莱莫恩（Lemoine ）定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和,,BC CA AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4-，则该三角形的Lemoine 线的方程为（）A.2320x y --= B.2380x y +-=C.32220x y +-= D.23320x y --=8.已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（）A.13 B.1 C.32D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =，则12z z = B.若22120z z +=，则120z z ==C.若1213z z z z =，则10z =或23z z = D.若1212z z z z -=+，则120z z =10.已知函数()sin 2cos2x f x x=-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于点()π,0对称C.不等式()f x x >无解D.()f x 的最大值为2411.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ= ，则（）A.当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB.任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C.存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为8ˆˆ0.yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________.x56789ˆy 3.5456 6.513.已知()(),0,11,,4log log 4a b a b b a ∞∈⋃++=，则2ln a b b+的最小值为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a +=.（1）证明：2B A =；（2）若2sin ,144A b ==，求ABC 的周长.16.（15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面,,ABCD DC BC AB ⊥∥,22DC DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：DE ∥平面AFC ；（2）当二面角F AC D --为135 时，求CE .17.（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.18.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上项点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k 22=时，AM PM =.（1）求a 的值；（2）若1291,8MN k k NP ==，求1k 和2k 的值.19.（17分）已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R .（1）若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q .①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x 成立，求a 的最小值.2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案1.【答案】D【解析】{2A x x =<-∣或{}1},04x B xx >-=≤≤∣，则B A ⊆，选D.2.【答案】C【解析】0x =时，55000123451,1;1,3,a a x a a a a a a =∴===+++++51234531242a a a a a ∴++++=-=，选C.3.【答案】B【解析】a b c +=- ，所以22()a b c += ，所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，1πcos ,,,23a b a b a b a b ⋅==∴= ，选B.4.【答案】A【解析】()2172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X σ~<<=∴<<=，(176)0.50.3750.125,0.1251200150P X ∴>=-=⨯=，选A.5.【答案】C 【解析】π2π3x k +=，则πππ5,.1,2,π6236k x k k x k x =-+∈====Z ；()4113,π;4,π,36k x k x f x ====在()0,2π选C.6.【答案】B 【解析】tan b AOM a ∠=，则112sin ,22b b AM a AOM ec OA a c ∠===∴==，选故答案选B.7.【答案】B【解析】ABC 的外接圆设为22100,4201640E F x y Dx Ey F D F E F ++=⎧⎪++++=∴++=⎨⎪-+=⎩，034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴外接圆：22340x y y ++-=，即2232524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，在A 处切线：31,:1,,1,C,D 242x y y BC P ⎛⎫=+=∴ ⎪-⎝⎭排除.在C 处切线()4,:1,10,42x y AB y R =-+=∴-，选B.8.【答案】D【解析】1n =时，1211;23n a a =≥时，21111212141n n n n a a n n n +-=-=+--()5666654545611117,99,2799,,18,63,9922a a a a a a a a a a a =∴=∴+=∴===∴=，343232121335,10,15,,3,22a a a a a a a a a =∴==∴==∴= ，选D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，A 对.2212z z =，则12i,i z z ==-满足条件，10z ≠，B 错.()12131231,0,0z z z z z z z z =∴-=∴=或230,z z C -=对.令()221212i,i,i ()()z a b z c d z z a c b d a c b d =+=+-=-+-=-+-，()22121212i ()(),z z a c b d a c b d z z z z +=+++=+++-=+，则220ac bd +=，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++不一定为0,D 错，选AC .10.【答案】BD【解析】()()()()sin πsin π,π2cos2π2cos2x x f x f x x x+-+==≠∴-+-不是()f x 的周期，A 错.()()()()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x x f x f x f x x x---===-∴---关于()π,0对称，B 对.()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，C 错，选B D.()()22sin sin 2sin 1212sin x x f x x x ==+--，求()f x 的最小值.令()112sin 0,12222sin sin x f x x x >=≤=+，当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取"="，D 对，选BD.11.【答案】ACD【解析】0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面11,BDC AC ⊥ 面1BDA ，1AC ∴⊥平面,A BDF 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.当F 在1A 时，AC 与平面BDF 所成角的正弦值为6332<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3，当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ,23>∴存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π,C 3正确.如图所示建系，()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=- .23λ=，则42,,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，球心()1,1,1O ，O 到面BDF 的距离19OD n d n ⋅== 44432R ++==，∴截面圆半径2225656,ππ,D 1919r R d S r =-===对，选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7.4【解析】7,5,50.87,0.6,0.80.6,ˆ0ˆˆ1x y aa y x x ==∴=⨯+∴=-=-=ˆ7.4.y=13.【答案】ln21+【解析】114log log 4,4log 4,log ,log 2a b a a a b a b b b a b +=∴+=∴=∴=，即22222,ln ln ln a b a b b b b b b b =+=+=+，令()2ln f x x x =+，()221220,2x f x x x x x'-=-===.()f x 在()()()min 0,2,2,,()2ln21,f x f ∞+==+ 此时2,2b a ==14.【答案】2；5【解析】AB 为过焦点的弦，AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN 的中点在抛物线上.PM 的中点在抛物线上，,N P ∴重合.令()()()1122,,,,:1A x y B x y AB y k x =-.()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 可得2121244240,,1,22y y y y y y k k k k +--=+===∴=.()()()22222121212121221111144164y y y y y y y y AF BF x x +-⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭164815164+=++=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）证明：()2cos 1sin sin sin cos cos sin B A C A B A B+==+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）2147sin sin22444B A ==⨯⨯=，21314cos 12sin 12,cos 844B A A =-=-⨯==，()2314710252sin sin 4444168C A B ∴=+=⨯+⨯==，由正弦定理21452752448a c =⎧⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴ 的周长为714+16.【解析】（1）设BC m =，如图建系.()()()()21,0,1,0,0,0,0,0,2,0,,0,,,033A m C D E m F m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()()21,0,1,,,0,0,,2,33CA m CF m m DE m ⎛⎫===- ⎪⎝⎭设平面AFC 的：一个法向量为()1,,n x y z = ，()101,2,21033mx z n m mx my +=⎧⎪∴⇒=--⎨+=⎪⎩ 1220,DE n m m DE ∴⋅=-+=∴ ∥平面AFC .（2）平面ACD 的一个法向量()20,1,0n =，122122cos1353,3251n n m CE n n m ⋅∴=-=--==+⋅ 17.【解析】（1）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()232341484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列如下：X 0123P 1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.（2）击中一次被扑灭的概率为121134116C 552125P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴所求概率63264102125125125125P =++=.18.【解析】（1）22222222112022a y x x a x x a y a ⎧⎛⎫=+⎪⇒++=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎩()22222225,,0,1,0,223a a M A P a a ⎛⎫--⎛⎫∴- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭由22222222222221222a a a AM PM a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222523a a ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，解得24,2a a =∴=.（2）设()()()1122,,,,0,1M x y N x y A ，则()()121221122121211114153011141y x x y x x x y x y y x x y ⎧⎛⎫--⋅=⎪ ⎪+⎪⎝⎭⇒---=⎨⎛⎫-⎪⋅-⋅= ⎪⎪+⎝⎭⎩.()()211221503x x x y x y ⇒--+-=对比,M N 两点方程知MN 过50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭与P 重合.1212178171588x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得112121,202x k k y =-⎧⇒==⎨=⎩.19.【解析】（1）①()222e e 42x x x f x x --⋅-=⋅-'，设020004e ,2x P x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0022000002004e 2e 1422,x x OPx x x k f x x x x ----∴===⋅-⇒='∴切点()2,2,1P k -=-.l ∴方程：()22y x +=--，即y x=-()2222133033y x x a x a a y x ax a a=-⎧⇒-+++=⎨=-+--⎩()()()22Δ(13)4305110a a a a a =+-+=⇒--=15a ∴=或1②当1a =时，2Q x =，此时()2,2,,Q P Q -重合，舍去.当15a =时，45Q x =，此时44,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭此时22446222555PQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）令()()()2224e 233x F x f x g x x x ax a a x-=-=-+-++()()()()22223e 224e 1223,420x x x x x F x x a F x x x --''-+-=-+-'=⋅+>()F x '在()1,∞+上取补集，对1x ∀>，均有()()0f x g x ->成立，即()0F x >恒成立()2222446303201F a a a a a a ∴=-+-++>⇒-+>⇒<或2a >而对1,1x a ∀><经检验均有()0F x >成立，∴原命题中1a ≥而1a =时，()()()224e 1223,x x F x x F x x -'-+-'-= ，注意到()20F '=()F x ∴在()1,2上()()min 2,,()200F x F ∞+∴==≤ 成立，符合.综上：a 的最小值为1.。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次调研考试数学(文)试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次调研考试数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题， 5分×14=70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知函数32)12(+=-x f x ，则)1(f = ▲ .2.与)4,3(-=→a 平行的单位向量为 ▲ .3.角α的终边过点5cos )3,(x x =α且，则x 的值构成的集合为 ▲ . 4.已知ABC ∆中ABC A a ∆==则,45,2 外接圆的面积为 ▲ .5.函数2)(xx x f +=的增区间为 ▲ .6.已知)1,3(,3,1=+==→→→→b a b a 且，则=-→→b a ▲ . 7.在ABC ∆中C B A c b a sin sin sin ,22∙=+=且，则ABC ∆是 ▲ 三角形。
2021年江苏省苏锡常镇(苏州、无锡、常州、镇江)四市高考数学教学情况调研试卷(一)(一模)
2021年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学教学情况调研试卷（一）（一模）一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝[2，4]2x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．∅B．{2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤2}2．（5分）“”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，排列起来，天干在前，天干由“甲”起，地支由“子”起，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，以此类推，排列到“癸酉”后，即“甲戌”，“乙亥”，即“丙子”…，以此类推．今年是辛丑年，则中国共产党成立的那一年是（）A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戌年4．（5分）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．155．（5分）函数f（x）＝sin xln（﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）过抛物线y2＝2x上一点P作圆C：x2+（y﹣6）2＝1的切线，切点为A，B，则当四边形P ACB的面积最小时（）A．B．C．（2，2）D．7．（5分）若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2），则P（Y＞4）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.88．（5分）若f（x）＝，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数，则（）A．函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到B．函数y＝f（x）的图象关于直线轴对称C．函数y＝f（x）的图象关于点中心对称D．函数y＝x2+f（x）在上为增函数10．（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则A2F2＝PF2D．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＞2a11．（5分）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，则（）A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上12．（5分）已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则（）A．6z＜3x＜4y B．C．x+y＞4z D．xy＜4z2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（0，﹣2），＝（﹣1，λ），若（2﹣）∥，则实数λ＝．14．（5分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣i；丙：z•＝4＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝．15．（5分）若2sin x+2cos x＝1，则sin（﹣x）（2x+）＝．16．（5分）四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积；这样的不同四面体的个数为．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上．（1）若∠BAD＝30°，求∠C；（2）若CD＝2BD，AD＝4，求△ABC的面积．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，且|q|＞1n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，36，192}中．（1）求q，并写出数列{a n}的一个通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．20．（12分）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．21．（12分）已知O为坐标系原点，椭圆C：＝1的右焦点为点F （1）过点（4，0）的直线交椭圆C于D，E两个不同点，求该直线的方程；（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为．直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝1+mlnx（m∈R）．（1）当m＝2时，一次函数g（x）对任意x∈（0，+∞），f（x）（x）≤x2恒成立，求g（x）的表达式；（2）讨论关于x的方程＝x2解的个数．2021年江苏省苏锡常镇（苏州、无锡、常州、镇江）四市高考数学教学情况调研试卷（一）（一模）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝[2，4]2x＞1}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．∅B．{2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤2}【分析】求出集合B，进而求出∁U B，由此能求出集合A∩（∁U B）．【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝[2，B＝{x|log2x＞4}＝{x|x＞2}＝（2，+∞），∴∁U B＝（﹣∞，4]，则集合A∩（∁U B）＝{2}．故选：B．【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2．（5分）“”是“sinα＝cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由同角三角函数的关系式：sin2α+cos2α＝1，知sinα可求cosα，知sinα＝cosα，可求sinα即可得到结论．【解答】解：①当sinα＝时，∵sin5α+cos2α＝1，∴cosα＝±，∴sinα＝±cosα．②当sinα＝cosα时，∵sin2α+cos2α＝7，∴或，∴sinα＝是sinα＝cosα的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，根据同角三角函数的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论，属于基础题．3．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，排列起来，天干在前，天干由“甲”起，地支由“子”起，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，以此类推，排列到“癸酉”后，即“甲戌”，“乙亥”，即“丙子”…，以此类推．今年是辛丑年，则中国共产党成立的那一年是（）A．辛酉年B．辛戊年C．壬酉年D．壬戌年【分析】由题意可知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，利用等差数列的性质求解．【解答】解：由题意可知，天干是公差为10的等差数列，所以100÷10＝10为辛年，100÷12＝8……4，则100年前可得到为辛酉年，故选：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，考查了等差数列的性质，是基础题．4．（5分）（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x3的系数．【解答】解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+6＝•x5﹣r，分别令8﹣r＝3，5﹣r＝6，3，故（3﹣8x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝sin xln（﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，再计算f（0）的值，即可作出选择．【解答】解：∵f（﹣x）＝sin（﹣x）•ln（+x）＝﹣sin x•ln﹣x）＝f（x），∴f（x）为偶函数，排除选项B和D，又f（0）＝sin0•ln1＝2，∴排除选项C，故选：A．【点评】本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6．（5分）过抛物线y2＝2x上一点P作圆C：x2+（y﹣6）2＝1的切线，切点为A，B，则当四边形P ACB的面积最小时（）A．B．C．（2，2）D．【分析】由圆的方程可得圆心C的坐标，及半径r的值，设P的坐标，求出|PC的表达式，求导求出|PC|的最小值时P的坐标，当四边形P ACB的面积最小时即|PC|最小，可得P的坐标．【解答】解：设P（，a），7），|PC|＝＝，设y＝+a2﹣12a+36，y'＝a3+6a﹣12＝（a﹣2）（a2+8a+6），a＞2时y'＞4，函数y单调递增，函数y单调递减，所以a＝2时y min＝+26﹣12×2+36＝20，S四边形P ABC＝2S△P AC＝8×|PA|•||AC|，而|AC|为定值r＝7，所以|P A|最小时面积最小，而|P A|＝，此时a＝4，即P（2，故选：C．【点评】本题考查圆的性质及直线两点间的距离的公式的最值的求法，导数的应用，属于中档题．7．（5分）若随机变量X～B（3，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.657，P（0＜Y＜2），则P（Y＞4）＝（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8【分析】利用P（X≥1）＝0.657，1﹣（1﹣p）3＝0.657，解得p．再利用P（Y＞4）＝，即可得出．【解答】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴3﹣（1﹣p）3＝3.657，即（1﹣p）3＝8.343，解得p＝0.3．∴P（4＜Y＜2）＝p＝0.6，则P（Y＞4）＝＝＝2.2，故选：A．【点评】本题考查了二项分布与正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）若f（x）＝，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（）A．[﹣1，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0]∪[1，+∞）【分析】分别对x＝0，x＝1，0＜x＜1，x＞1，x＜0讨论，化简不等式由此即可求解．【解答】解：（1）当x＝0时，xf（x﹣1）＝2成立，（2）当x＝1时，xf（x﹣1）＝f（0）＝6成立，（3）当x＞0时，xf（x﹣1）＝x[（x﹣6），即（x﹣5），①当3＜x＜1时，不等式化为（x﹣1）4≤16，解得0＜x＜1，②当x＞8时，不等式化为（x﹣1）4≥16，解得x≥3，（4）当x＜0时，xf（x﹣1）＝x[（x﹣2），即（x﹣5），即（x﹣5）4≥16，解得x≤﹣1，综上，不等式xf（x﹣2）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[7，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的性质，涉及到分类讨论思想以及不等式的求解，考查了学生的运算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）函数，则（）A．函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到B．函数y＝f（x）的图象关于直线轴对称C．函数y＝f（x）的图象关于点中心对称D．函数y＝x2+f（x）在上为增函数【分析】分别对所给的命题逐个分析，由函数的单调性，及平行移动可判断命题的真假．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+）＝sin[6（x+个单位可得y＝sin5x）＝sin[2（x+个单位得到；B中，x＝时+）＝sin，所以可得x＝，所以B正确；C中，x＝﹣时）+，所以（﹣，所以C正确；D中，0＜x＜时2单调递增，＜6x+＜）单调递增时，函数y＝x2+f（x）在上为增函数；故选：BCD．【点评】本题考查三角函数的性质及命题的真假的判断方法，属于中档题．10．（5分）已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则A2F2＝PF2D．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＞2a【分析】利用OF2的中垂线与双曲线有交点，得出a和c的不等关系，求出e的范围即可判断选项A；利用正三角形求出PF2＝OF2＝OF1＝c＝2，进而得到，利用双曲线的定义求出a，结合a，b，c的关系求出b2，即可判断选项B；分别求出F2A2和F2P，比较即可判断选项C；不妨设P，Q均在第一象限，由双曲线的定义进行分析即可判断选项D．【解答】解：对于A，因为PO＝PF2，所以OF2的中垂线与双曲线有交点，解得e≥2；对于B，因为△POF6是面积为的正三角形2＝OF3＝OF1＝c＝2，解得，所以，故，故选项B正确；对于C，因为A2为双曲线的右顶点，则F5A2＝c﹣a，又PF2⊥x轴，则F4P＝，所以F2A3≠F2P，故选项C错误；对于D，若P为右顶点2P与双曲线的渐近线交于点Q（5，0）1﹣QF5|＝0＜2a，故选项D错误．故选：AB．【点评】本题以命题的真假为载体考查了双曲线的性质的应用，解题的关键是掌握双曲线的定义、性质以及相关的解题方法，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11．（5分）1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体．中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，则（）A．AF∥CDB．AF⊥DEC．新几何体有7个面D．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上【分析】利用平行公理判断选项A，利用线线位置关系判断选项B，利用三棱柱的结构特征判断选项C，D．【解答】解：对于A，B，正四面体和正四棱锥的所有棱长都相等，取BC，ED的中点G，H，AH，则FG⊥BC，AH⊥DE，GH⊥BC，所以GH∥BE∥CD，AF⊥DE，故选项A；对于C，新几何体为三棱柱，故选项C错误；对于D，新几何体为斜三棱柱，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了空间组合体的理解，主要考查了棱锥和棱柱的结构特征，属于基础题．12．（5分）已知正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，则（）A．6z＜3x＜4y B．C．x+y＞4z D．xy＜4z2【分析】化指数式为对数式，求得x，y，z，再由对数的运算性质逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由于正数x，y，z，满足3x＝4y＝12z，设5x＝4y＝12z＝t，t＞1，则x＝log5t，y＝log4t，z＝log12t，对于A，＝＜1，＝＜1，则6z＜6x＜4y，故A正确；对于B，，同理，，∴≠log t12，故B错误；对于C，x+y﹣7z＝log3t+log4t﹣2log12t＝＝lgt（）＝，∴x+y＞4z；对于D，xy﹣＝＝＞32，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查指数式与对数式的互化，考查对数的运算性质，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（0，﹣2），＝（﹣1，λ），若（2﹣）∥，则实数λ＝﹣3．【分析】推导出＝（2，6），由（2﹣）∥，列方程能求出λ．【解答】解：∵向量＝（1，＝（0，＝（﹣7，∴＝（2，∵（5﹣）∥，∴，解得λ＝﹣3．∴实数λ＝﹣3．故答案为：﹣6．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．14．（5分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣i；丙：z•＝4＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝1+i．【分析】由题意可设z＝a+bi（a＞0，b＞0），分别求出甲、乙、丙、丁的结果，再根据有且只有两个人的陈述正确，可推断出甲丁正确，从而求出a，b的值，得到复数z．【解答】解：由题意可设z＝a+bi（a＞0，b＞0），∴＝a﹣bi，∴＝5a，，＝a2+b2，＝，∴丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确、乙、丙可以知二推一，∴甲丁正确，此时a＝2，b＝1，故答案为：1+i．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了复数的运算，是高考新题型，属于基础题．15．（5分）若2sin x+2cos x＝1，则sin（﹣x）（2x+）＝．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：2sin x+2cos x＝1，所以，整理得，故，，故sin（﹣x）•cos（2x+．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（5分）四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，请写出一个这样四面体的体积；这样的不同四面体的个数为3．【分析】可以构成一个底面边长为1的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，求出该三棱锥的高为h＝，由此能求出其体积；1和2可以构成的三角形有：边长为1的正三角形，边长为2的正三角形，边长为1，2，2的三角形，除了已求体积的正三棱锥外，还可以是：四个1，2，2的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，2，2的三角形拼成的三棱锥．【解答】解：四面体的棱长为1或2，但该四面体不是正四面体，可以构成一个底面边长为5的正三角形，侧棱长均为2的正三棱锥，该三棱锥的高为h＝＝，则体积V＝＝，1和2可以构成的三角形有：边长为7的正三角形，边长为2的正三角形，2，3的三角形，除了已求体积的正三棱锥外，还可以是：四个1，2，3的三角形拼成的三棱锥；两个边长为2的正三角形和两个1，8，2的三角形拼成的三棱锥，综上这样的不同四面体的个数为3．故答案为：，8．【点评】本题考查四面体的体积，考查空间想象能力，是中档题．三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上．（1）若∠BAD＝30°，求∠C；（2）若CD＝2BD，AD＝4，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知结合正弦定理可求∠BDA，然后结合三角形的内角和可求；（2）由勾股定理先求出AC，进而可求cos C，再由余弦定理可求BD，AB，然后结合三角形面积公式可求．【解答】解：（1）设BD＝a，则AB＝a，△ABD中，由正弦定理得，＝，即，所以sin∠BDA＝，由题意得∠BDA为钝角，所以∠BDA＝，∠ADC＝＝，（2）设BD＝a，则AB＝a，△ABC中，AC＝＝＝a，所以cos C＝＝，cos C＝＝＝，解得a＝2，所以AC＝4，AB＝3，所以S△ABC＝＝＝12．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及锐角三角函数定义在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，且|q|＞1n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，36，192}中．（1）求q，并写出数列{a n}的一个通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【分析】（1）直接利用集合中的各项，观察出部分项成等比数列，进一步求出数列的通项公式；（2）利用等比数列的通项公式，进一步求出数列的和，最后确定数列{S n}中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【解答】解：（1）等比数列{a n}的各项均为整数，公比为q，数列{a n}中有连续四项在集合M＝{﹣96，﹣24，48，根据观察得知：M＝{﹣96，﹣24，48，48，192；所以．证明：（2）由（1）的通项公式，根据等比数列的前n项和公式：，所以，，则，，故2S n＝S n+1+S n+8，故S n+1，S n，S n+2，构成等差数列；【点评】本题考查的知识要点：等比数列的定义和性质的应用，等比数列的求和公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB ⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，E为PD的中点．（1）求直线PB与平面P AC所成角的正弦值；（2）设F是BE的中点，判断点F是否在平面P AC内，并请证明你的结论．【分析】（1）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值；（2）用点到平面距离判断点是否在平面内．【解答】解：（1）取AD中点O，连接OP，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以OP⊥AD，因为BC∥AD，AB⊥AD，所以四边形ABCO为边长为1的正方形，所以OC⊥AD，又因为PC＝5＝OP2+OC2，所以PO⊥OC，所以OA、OC，建立如图所示的空间直角坐标系，A（4，0，0），6，0），1，8），0，1），平面P AC的法向量为＝（2，1，＝（1，4，所以直线PB与平面P AC所成角的正弦值为＝＝．（2）连接AF，D（﹣2，0，E（﹣，0，），，），＝（﹣，，），点F到平面P AC的距离为＝＝6．【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．20．（12分）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人．先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止．（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由．【分析】（1）设甲方案检测的次数是X，则X∈{1，2，3，4，5}，乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2，3}，分别求出对应的概率，然后由P（X2Y2+X3Y3）＝P（X2）P（Y2）+P（X3）P（Y3），求解即可得到答案．（2）利用期望的计算公式分别求出E（X）和E（Y），比较即可得到答案．【解答】解：（1）由题意，可设甲方案检测的次数是X，2，3，7，5}，设乙方案检测的次数是Y，则Y∈{2，方案甲与方案乙相互独立，，，，用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则P（D）＝P（X2Y5+X3Y3）＝P（X3）P（Y2）+P（X3）P（Y3）＝＝，所以这两种方案检测次数相同的概率为；（2）由（1）可知，，所以E（X）＝＝，又，所以E（Y）＝＝，所以E（Y）＜E（X），所以方案乙检测总费用较少．【点评】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．21．（12分）已知O为坐标系原点，椭圆C：＝1的右焦点为点F （1）过点（4，0）的直线交椭圆C于D，E两个不同点，求该直线的方程；（2）已知直线l上有且只有一个点到F的距离与到直线n的距离之比为．直线l与直线n交于点N，过F作x轴的垂线为定值．【分析】（1）设直线DE的方程，与椭圆联立求出两根之积，由以线段DE为直径的圆经过原点O，可得•＝0，由两根之积可得斜率k的值；（2）由椭圆可得右焦点F的坐标及准线n的方程，由题意可得直线l与椭圆相切，设直线l的方程，与椭圆联立，由判别式为0可得参数的关系，由题意可得M，N的坐标，求出|FM|2，|FN|2的比，将参数的关系代入可证得为定值．【解答】解：（1）设直线DE的方程为：y＝k（x﹣4），设D（x1，y5），E（x2，y2），联立整理可得（1+6k2）x2﹣32k8x+64k2﹣4＝8，Δ＝322k4﹣5（1+4k8）（64k2﹣4）＞2，x1+x2＝，x1x2＝y1y3＝k2[x1x4﹣4（x1+x3）+16]＝，所以以线段DE为直径的圆过原点O，所以可得•，即x1x4+y1y2＝7，+＝0，所以直线DE的方程为：y＝±（x﹣4）；（2）证明：由题意可得右准线的方程为：x＝＝，离心率e＝，由题意直线l上只有一点到焦点的距离与到准线的距离为e＝，即直线l上有一点位于椭圆上，所以直线l与椭圆相切，设直线l的方程为：y＝kx+m联立，整理可得：（5+4k2）x3+8kmx+4m4﹣4＝0，Δ＝64k5m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣4）＝6，可得m2＝1+8k2，因为右焦点F（，3）代入直线l中：y＝，所以M（，k+m），|FM|＝k+m，将x＝代入直线l中可得：y＝，所以N（，，所以|NF|4＝（﹣）2+（k+m）3＝k2+km+m8+，＝，将m5＝1+4k4，所以可得＝＝，所以可证得：为定值．【点评】本题考查求以线段为直径的圆的性质，直线与椭圆的综合，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝1+mlnx（m∈R）．（1）当m＝2时，一次函数g（x）对任意x∈（0，+∞），f（x）（x）≤x2恒成立，求g（x）的表达式；（2）讨论关于x的方程＝x2解的个数．【分析】（1）当m＝2时，f（x）＝1+2lnx，设h（x）＝x2﹣2lnx﹣1（x＞0），可得h′（x）＝，研究其单调性可得h（x）min＝h（1），利用1＝f（1）≤g（1）≤1，可得g （1）＝1，设g（a）＝a（x﹣1）+1，由g（x）≤x2，进而得出结论．（2）原方程可变为mlnx2﹣＝0，构造函数n（t）＝mlnt﹣，转化为函数的零点问题，结合导数及函数性质可求．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝1+4lnx，设h（x）＝x2﹣2lnx﹣6（x＞0），则h′（x）＝2x﹣＝，令h′（x）＝0，得x＝1，所以h（x）在（5，1）上单调递减，+∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝0，所以f（1）≤g（1）≤7，又因为f（1）＝1，所以g（1）＝1，设g（a）＝a（x﹣8）+1，又g（x）≤x2，所以x6﹣ax+a﹣1≥0在（6，+∞）上恒成立，所以（x﹣1）（x+1﹣a）≥4，在（0，所以a﹣1＝6，即a＝2．又因为m（x）＝1+4lnx﹣2x+1＝6lnx﹣2x+2，m′（x）＝，所以m（x）max＝3，所以1+2lnx≤3x﹣1，综上g（x）＝2x﹣5．（2）＝x2，即＝x2（x＞5），变为：mlnx2﹣＝0，令n（t）＝mlnt﹣，t＞0，①m≤3时，n′（t）＝，则n（t）在（7，+∞）上单调递减，又因为n（1）＝0，所以n（t）在（0，+∞）上恒有一解，②当m≥5时，φ（t）＝mt2+（2m﹣7）t+m≥0，即n′（t）≥0，所以n（t）在（2，+∞）上单调递增，又因为n（1）＝0，所以n（t）在（0，+∞）上恒有一解，③3＜m＜1时，n′（t）＝，设φ（t）＝mt2+（2m﹣6）t+m，因为φ（1）＝4m﹣4≤5，φ（0）＝m，所以φ（t）＝0在（0，+∞）上有两解2＜1＜t2，又因为n（1）＝2，所以n（t1）＞0，n（t6）＜0，当t＞e时，n（t）＝mlnt+﹣2＞0，所以n（t）在（t6，+∞）上恰有一根，当0＜t＜1时，∈（2，当t＜e时，mlnt＜﹣2，mlnt+﹣2＜﹣2+6﹣2＝0，所以∃t3∈（0，1）且t2＜e，解得n（t0）＜3，所以n（t）在（0，t1）上恰有一根，n（t）在（2．综上所述，当m≥1或m≤0时，2恰有一根，当0＜m＜4时，＝x2恰有三个根．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考数学(文)试题
2020届江苏省苏锡常镇四市高三第一次联考高三数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ ．2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为 ▲ ．3．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧-≤+=)1(log 1,222x x x f x ，则()[]=0f f ▲ ．4．已知1x >，则41x x +-的最小值为 ▲ ． 5．设变量,x y 满足约束条件101030x x y x y -≤⎧⎪++≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．6．已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，)()(2R a ax x x f ∈+=，且6)2(=f ，则a = ▲ ． 7.已知31)6sin(=+πx ，则)3(sin )65sin(2x x -+-ππ的值是 ▲ ．8.已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为 ▲ ． 9．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 满足→DC ＝2→BD ，则→AD ·→DC 的值为 ▲ ． 10.在公差d 不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则da 1的值为 ▲ ． 11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为11A B CD -的外接球的体积为▲________． 12.已知函数()3213f x ax x x =-+在区间()0,2上是单调增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13、设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,1)(4x x x x x f ,若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ，且4321x x x x <<<，则4232131)(x x x x x ++的取值范围是 ▲ ． 14．已知a ∈R ，设函数222,1()ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R上恒成立，则a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．15. （本小题满分14分）已知π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，设向量()sin cos m x x =，，3122n ，⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）若∥，求x 的值； （2）若35m n ⋅=，求πsin 12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ； （2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .17.（本小题满分14分）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台D （点D 与点O ，C 不重合），其中AD ，BD ，CD 段建设架空木栈道，已知2AB =km ，设建设的架空木栈道的总长为y km ．（1）设(rad)DAO θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．18.（本小题满分16分） 设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立．（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（2）如果命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和记为n A ，且()12n n n a a A +=，数列{}n b 是公比为q 的等比数列，它的前n 项和记为n B .若110a b =≠，且存在不小于3的正整数k ，m ，使得k m a b =. （1）若11a =，35a =，求2a 的值；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）若2q =，是否存在整数m ，k ，使得86k m A B =，若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分） 已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间()0]1,[>+a a a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上． 1． {1,6}2. 2000,10x x x ∀∈++≥R3．答案：2 4． 5 5． 3- 6． 57.95 8.【答案】2 9．－4310. 1 11. 36π12.【答案】1a ≥ 13、⎥⎦⎤ ⎝⎛27,1-，14．【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立令2222(11)(1)2(1)1()1111x x x x x g x x x x x-----+==-=-=-----1(12)2)01x x =--+-≤-=- ∴max 2()0a g x ≥= ∴0a ≥当1x >时，()ln 0ln xf x x a x a x=-≥⇔≤恒成立 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==当x e >时，()0h x '>，()h x 递增 当1x e <<时，()0h x '<，()h x 递减 ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e = ∴min ()a h x e ≤= 综上a 的取值范围是[]0,e 【答案】[]0,e二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15.【答案】（1）π3x =；（2）10- 【解析】试题分析：（1）通过m ∥n ，得到关于x 的方程，结合π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到x 的值；（2）利用数量积的定义可得π3s i n 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令π6x θ=+，则π6x θ=-，故ππs i n s i n 124x θ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果. 试题解析：（1）因为()sin cos m x x =，，312n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且m ∥n ，所以1sin cos22x x ⋅=⋅， 即tan x =………………………4分又π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3x =．………………………6分（2）因为()sin cos m x x =，，3122n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，且35m n ⋅=13cos 25x x +=， 即π3sin 65x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………9分 令π6x θ=+，则π6x θ=-，且3sin 5θ=，因为π03x ，⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ62θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以4cos 5θ===，………………………11分所以ππππππsin sin sin sin cos cos sin 12612444x θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-= ………………………14分 16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ，……2分 又AB ⊄平面11A B D ，EF ⊂平面11A B D ，所以//AB 平面11A B D .……4分 又AB ⊂平面1ABC ，平面11A B D平面1ABC EF =，所以//AB EF .……6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1B B ⊥平面111A B C ， 又11A B ⊂平面111A B C ，故111B B A B ⊥. ……8分 又AB BC ⊥，故1111A B B C ⊥.……10分又因为1111B BB C B =，1B B ⊂平面11B BCC ，11B C ⊂平面11B BCC ，所以11A B ⊥平面11B BCC ，……12分又11A B ⊂平面11A B D ，所以平面11A B D ⊥平面11B BCC .……14分17、解：（1）由DAO θ∠=，OC AB ⊥，1OA OB ==，则1cos DA DB θ==，tan DO θ=，所以1tan DC θ=-， ………………4分 所以22sin 1tan 1cos cos y DA DB DC θθθθ-=++=+-=+,04πθ<<. ………………7分（注：表达式2分，θ的的取值范围1分）(2) 22sin 1cos y θθ-'=， ………………9分令0y '=,得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=， ………………10分当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；当64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数.………………12分所以，当6πθ=时，min 1y = ，此时tan DO θ==. ………………13分答：当D 位于线段AB 的中垂线上且距离AB 边3处时,能使三段木栈道总长度最短. ………………14分18.解：（1）由题意知，01612>+-a x ax 对一切实数x 恒成立， 若0=a ，不合题意，舍去； ………………………2分 若0≠a ，由⎩⎨⎧<∆>0a ，解得2>a ； ………………………5分综上，实数a 的取值范围是),2(+∞． ………………………6分（2）设xt 3=，因为0>x ，所以1>t ，则041)21(9322<+--=+-=-t t t x x ，所以使得命题q 为真的实数a 的取值范围是),0[+∞； ………………………9分因为命题“q p ∨”为真命题，且“q p ∧”为假命题，所以命题p 与命题q 一真一假， 因此⇒⎩⎨⎧<>02a a 无解， ………………………12分或2002≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤a a a ， ………………………15分所以，所求实数a 的取值范围是]2,0[． ………………………16分19. 解：（1）当3n =时，()13312332a a A a a a +=++=， 因为11a =，35a =，所以23a =. ………………………3分 （2）由()12n n n a a A +=，得()111(1)2n n n a a A ++++=， 两式相减，得111(1)2n nn a n a na a ++++-=，即11(1)0n n n a na a +--+=， ………………………6分 所以211(1)0n n na n a a ++-++=，两式相减，得122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. ………………………8分（3）依题意：112m k m a b a -==⋅，由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k -+⋅-⨯=⨯-，128622486m k⨯=-⨯-，所以151634421m k --=+. ………………………11分因为92512=，且3m ≥，所以219m ≤-≤， ………………………13分 又因为51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数，所以121129m -+=时，151621m -+是整数，此时17m -=， ………………………15分 所以8m =，340k =. ………………………16分20. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎨⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x 0所以x 0＝e 2，k ＝1e 2. ………………………3分 （2）因为g (x )＝x －1x在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0． 所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x |＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<<-+1,1ln ;10,1ln x x x x x x x x 当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x ＋1＋1x 2＞0， 当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＜0， 所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0．…………………6分当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0；当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a． ………………………9分 （3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x)，x ∈(1，＋∞)． 所以F ' (x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －k x 2．设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ， ①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ………………………11分②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k， 当1k≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0， 又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立； ………………………13分当1k＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0， 所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0， 所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立． ………………………15分综上可知：k≥1 .………………………16分。
2022年江苏苏州高三一模数学试卷(苏锡常镇四市联考)-学生用卷
2022年江苏苏州高三一模数学试卷（苏锡常镇四市联考）-学生用卷一、单选题1、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第1题设全集U =R ，集合A ={x||x −2|≤1}，B ={x |2x −4≥0}，则集合A⋂(∁U B )=（ ）A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2]2、【来源】 2021~2022学年江苏苏州高新区苏州高新区第一中学高二下学期期中第2题 在(x −1x )4的二项展开式中，第二项的系数为（ ） A. 4 B. −4 C. 6 D. −63、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第3题i 是虚数单位，设复数z 满足iz =|−√32+i 2|+i ，则z 的共轭复数z =（ ） A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i4、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第4题如果在一次实验中，测得(x,y )的五组数值如下表所示，经计算知，y 对x 的线性回归方程是y ^=6.5x +a ^，预测当x =6时，y =（ ）附：在线性回归方程y ^=a ^+b ^x 中，b ^=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−n (x )2，a ^=y −b ^x ，其中x ，y 为样本平均值. A. 47.5 B. 48 C. 49 D. 49.55、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第5题平面内三个单位向量a →，b →，c →满足a →+2b →+3c →=0→，则（ ） A. a →，b →方向相同B. a→，c→方向相同C. b→，c→方向相同D. a→，b→，c→两两互不共线6、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第6题若双曲线C1：y2−3x2=λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2=8x的焦点重合，则实数λ=（）A. ±3B. −√3C. 3D. -37、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第7题有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（）A. “恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B. “恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C. “至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D. “至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第8题正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则球O的体积是（）πa3A. 16πa3B. √26πa3C. √36πa3D. √23二、多选题9、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第9题记S n为等差数列{a n}的前n项和，则（）A. S6=2S4−S2B. S6=3(S4−S2)C. S2n，S4n−S2n，S6n−S4n成等差数列D. S22，S44，S66成等差数列10、【来源】 2022年广东茂名调研测试（四）第9题某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X服从正态分布N(75,81)，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则（）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A. 该校学生的体能检测结果的期望为75B. 该校学生的体能检测结果的标准差为81C. 该校学生的体能达标率超过0.98D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等11、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第11题下列函数中，最大值是1的函数有（）A. y=|sin x|+|cos x|B. y=sin2x−cos2xC. y=4sin2xcos2xD. y=tanxtan2xtan2x−tanx12、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第12题已知函数f(x)=a⋅e xx−x+lnx(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)< f(s)，则满足条件的实数a的可能值有（）A. -1B. 0C. 1eD. 1三、填空题13、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第13题已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则S1S2=.14、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第14题已知圆C：(x−2)2+(y+4)2=2，点 A是 x轴上的一个动点，直线 AP， AQ分别与圆C相切于P， Q两点，则圆心 C到直线 PQ的距离的取值范围是.15、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第15题已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，其中点 P， Q分别是图象的最高点和最低点，点 M是图象与 x轴的交点，且MP⊥MQ.若f(12)=√32，则tanφ=.四、双空题16、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第16题已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|+1)=2f(|x|−1).若当x∈(0,1)时，f(x)=1−|2x−1|，则f(x)在区间(−1,3)上的值域为，g(x)=f(x)−45x 在区间(−1,3)内的所有零点之和为五、解答题17、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第17题在①sinB +sinC =10√29，②cosB +cosC =109，③b +c =5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且a =3，sinA =2√23，___________，求△ABC 的面积.18、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第18题某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为16，p 2，p 3，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X 个项目，求X 的概率分布及数学期望.19、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第19题已知数列{a n }，a 1=1，且a n+1=a n −1n (n+1)，n ∈N ∗.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n 2}的前n 项和为S n ，求证：S n <4n 2n+1.20、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第20题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1=AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且BDBC =C1EC1B1=t(0<t<1).(1)若t=12，求证：AD//平面A1EB；(2)若二面角C1−AD−C的大小为π3，求实数t的值.21、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第21题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为√3.点A是第一象限内的定点，点 M， N是椭圆C上两个不同的动点（均异于点 A），且直线 AM， AN的倾斜角互补.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN的斜率k=1，求点A的坐标.22、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第22题已知实数a>0，函数f(x)=xlna−alnx+(x−e)2，e是自然对数的底数.(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值.1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;C;D;10 、【答案】 A;D;11 、【答案】 B;C;12 、【答案】 A;B;13 、【答案】 2;14 、【答案】 (0,12];15 、【答案】 √3−2;16 、【答案】 [−2;<ab >\frac{5}{2}$/ 2.5;17 、【答案】 2√2.;18 、【答案】 (1)827；(2)分布列见解析，3827.;19 、【答案】 (1)a n =1n (2)证明见解析;20 、【答案】 (1)证明见解析(2)t =2−√2;21 、【答案】 (1)x 26+y 23=1(2)A(2,1);22 、【答案】 (1)单调增区间为(e,+∞)，单调减区间为(0,e)(2)证明见解析，x 0的最小值是e ．;。
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第1页（共16页） 数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 江苏省苏南四市（苏州、无锡、常州、镇江）2010届高三一模（数学）
参考公式：
样本数据12xx,，„，nx的方差2211()niisxxn，其中x=11niixn． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 函数()2sin(3π1)fxx(xR)的最小正周期为 ▲ ． 2． 若2(1i)1+iab（abR,，i是虚数单位），则iab ▲ ． 3． 某地区在连续7天中，新增某种流感的数据分别为4，2，1，0，0，0，0，则这组数据的方差2s= ▲ ． 4． 已知两个单位向量1e,2e的夹角为120，若向量122aee，14be，则ab= ▲ ．
5． 已知集合π,0,1,2,3,4,5,62nAxxn，若从A中任取一个元素x，则恰有cos0x的概率为 ▲ ．
6． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2221xya（0a）的一条渐近线与直线l：210xy垂直，则实数a ▲ ． 7． 设,ab为不重合的两条直线，,为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若a∥且b∥，则a∥b；（2）若a且b，则a∥b； （3）若a∥且a∥，则∥；（4）若a且a，则∥． 上面命题中，所有真命题的序号是 ▲ ． 8． 若等差数列na的公差为d，前n项的和为nS，则数列{}nSn为等差数列，公差为2d．类似地，若各项均为正数的等比数列{}nb的公比为q，前n项的积为nT，则数列{}nnT为等比数列，公比为 ▲ ．
9． 已知集合20Axxxx,R≤，设函数2xfxa()（xA）的值域为B，若BA，则实数a的取值范
围是 ▲ ．
（第10题图） 结束
开始 输入n n≤5 Tn←－n2＋9n 输出Tn
Y
N 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第2页（共16页） 数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 10．已知{}na是等差数列，设12||||||nnTaaa()nN．某学生设计了一个求nT的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对nT赋值，则空白处理框中应填入：nT← ▲ ． 11．已知函数2()logfxx，正实数m，n满足mn，且()()fmfn，若()fx在区间2[,]mn上的最大值为2，则nm ▲ ．
12．若不等式2210843≥kxyxy对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是,km，则正整数m只能取 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：10kxy与圆C：224xy相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k= ▲ ． 14．若函数()132fxxtx（t）的最大值是正整数M，则M= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4cos5A，5bc． （1）求sinC的值；
（2）求sin(2)AC的值； （3）若△ABC的面积3sinsin2SBC，求a的值．
16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥DC，2DCAB，APAD，
PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．
求证：（1）AE∥平面PBC； （2）PD⊥平面ACE．
17．（本小题满分14分）
D C
B A
E P
（第16题图） 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第3页（共16页） 数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221xyab（0ab）的左焦点为F，右顶点为A，动点M 为右准线上一点（异于右准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为23，
点M的横坐标为92． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线PA的斜率为1k，直线MA的斜率为2k，求12kk的取值范围．
18．(本小题满分16分) 如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，:16:9MNNE．线段MN必须过点P，端点M，
N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2)． (1) 用x的代数式表示AM； （2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义 域； （3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
19．(本小题满分16分) 已知等比数列{}na的公比为q，首项为1a，其前n项的和为nS．数列2{}na的前n项的 和为nA， 数列1{(1)}nna的前n项的和为nB． （1）若25A，21B，求{}na的通项公式； （2）①当n为奇数时，比较nnBS与nA的大小； ②当n为偶数时，若1q，问是否存在常数（与n无关），使得等式()0nnnBSA恒成立，
M A P
F O x
y
（第17题图）
N M P F E D C B A
（第18题图） 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第4页（共16页） 数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分16分) 已知函数2()lnfxxmxnx（0x，实数m，n为常数）． （1）若230nm（0m），且函数()fx在[1,)x上的最小值为0，求m的值； （2）若对于任意的实数[1,2]a，1ba，函数()fx在区间(,)ab上总是减函数，对每个给定的n，求m的最大值h(n)． 数学Ⅱ（附加题） 命题单位：常州市教育教研室 2010．3 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，3题或4题均答的按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟． 2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．本卷考试结束后，上交答题卡． 4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1：几何证明选讲
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆，求证：AGGFDGGE．
G F E
D
C B A
（第21—A题图） 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第5页（共16页） 数学投稿咨询QQ：1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A=3101，求A的特征值1，2及对应的特征向量12,αα．
C．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C的方程22332yxx，设ytx，t为参数，求曲线C的参数方程．
D．选修4—5：不等式选讲 设实数,,xyz满足26xyz，求222xyz的最小值，并求此时,,xyz的值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)
如图，在直三棱柱111ABCABC中，90oBAC，AB=AC=a，
1AAb，点E，F分别在棱1BB，1CC上，且113BEBB，
1113CFCC
．设ba．
（1）当=3时，求异面直线AE与1AF所成角的大小；
（2）当平面AEF⊥平面1AEF时，求的值．
23．(本小题满分10分) 一个袋中装有黑球，白球和红球共n(*nN)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个
球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球． （1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设表示摸出的2个球中红球的个数,
F E
C 1
B 1
A 1
C B
A
（第22题图）