高中数学人教B版选修4-5课件：第二章 2.3～2.4 平均值不等式(选学) 最大值与最小值问题优化的数学模型
人教B版数学选修4-5练习：2.4 最大值与最小值问题优化的数学模型 含解析
2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型课时过关·能力提升1.若x,y都是正数,且xy=3,则2x+y的最小值为()A.C.x,y∈(0,+∞),∴2x+y≥2x=y,即x.2.设x,y,m,n∈(0,+∞),A.m+nB.4mnC.(x+y≥当且仅当nx2=my2,,x+y的最小值3.已知数列{a n}的通项公式a nA.第9项B.第8项和第9项C.第10项D.第9项和第10项n n=.n又n∈N*,检验可知选D.4.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,y1A.y1y2<x1x2B.y1y2=x1x2x2 D.不确定1y1y2与x1x2的大小,就是要比较(ax1+bx2)(ax2+bx1)与(a+b)2x1x2的大小,而(ax1+bx2)·(ax2+bx1)=[≥(因为a,b,x1,x2互不相等,所以等号不成立.故选C.5.设实数x1,x2,…,x n的算术平均数∈R),并记p=(x1A.p>qB.p<qC.p=qD.不能确定f(x)=(x1-x)2+(x2-x) 2+…+(x n-x)2,则f(x)=nx2-2(x1+x2+…+x n)x+当x f(x)取最小值,故p<q.6.如图所示,在矩形OP AQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩形的面积之和空白部分的矩形的面积之和(填“>,≥,<,≤”).,阴影部分的面积为a1b1+a2b2,空白部分的面积为a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,易知a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.7.设a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,a+b+c=1,所=3≥3+2+2+2=9.当且仅当a=b=c.8.求函数y≥0)的最小值.x≥0,所以x+1≥1>0.所以y=(x+1)≥2×3-4=2.当且仅当x+1x=2时等号成立.因此,函数y≥0)的最小值为2.★9.如图所示,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24,把它沿AC折起来,AB折过去后,交DC于点P,设AB=x,求△ADP的面积的最大值及相应的x值.AB=x,∴AD=12-x,又DP=PB',AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP.在Rt△ADP中,由勾股定理,得(12-x)2+DP2=(x-DP)2.整理,得DP=12∴△ADP的面积S·DP∵x>0,∴6x∴S=108≤108-7当且仅当6x x=,S有最大值108-7故当x=,△ADP的面积的最大值是108-7。
高中数学人教B版选修4-5学业分层测评第2章 2.3 平均值不等式(选学) Word版含答案
学业分层测评
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
.已知，，为正数，且＋＋＝，则＋＋与的大小关系是( )
＋＋≥＋＋<
.不确定
＋＋＝【解析】∵＋＋＝，∴≥，∴≤，又，，为正数，∴≥，
∴＋＋≥≥＝.
【答案】
.已知＋＋＝，则＋＋的最小值为( )
【解析】∵＞＞＞，
∴＋＋＝＋＋≥
＝＝×＝.
当且仅当＝＝，
即＝＝，即＝，＝，＝时取等号.
【答案】
.若>>，则＋的最小值是( )
【解析】＋＝＋＋≥＝.
当且仅当－＝＝，即＝＝时等号成立.
【答案】.已知为正数，有不等式：＋≥＝，＋＝＋＋≥
＝，….启发我们可能推广结论为：＋≥＋(为正数)，则的值为( )
＋
【解析】＋＝，要使和式的积为定值，
则必须＝，故选.
【答案】
.已知，，为正数，＝，＝，＝，则( )
【导学号：】≤≤≤≤
≤≤≤≤
【解析】∵，，为正数，
∴≥，
∴≥，又＝，
＝.
∵＋≥，＋≥，＋≥，
三式相加得＋＋≥＋＋，
∴＋＋≥(＋＋)，
∴≥，∴≥，
即≤≤.
【答案】
二、填空题
.设>，>，称
为，的调和平均.如图--，为线段上的点，且＝，＝，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连结，，.过点作的垂线，垂足为.则图中线段的长度是，的算术平均，线段的长度是，的几何平均，线段的长度是，的调和平均.。
5.4.3 平均不等式 课件(人教A版选修4-5)
定理 若a1 , a2 , , an R , 则 a1 a2 an n a1a2 an . n 等号当且仅当a1 a2 an时成立.
例1 设a,b,c均为正数,证明;
(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc
例2 设a1 , a2 , , an为正数, 证明 : a1 a2 an n 1 1 1 n a1 a2 an
补充作业
x 3x 6 1.求函数f ( x ) ( x 1)的最大值. x 1 x2 4 x 2.求函数f ( x ) 2 ( x 0)的最小值. x x 4 3.已知a , b, c都是非负实数, 求证 :
2
a b b c c a 2(a b c )
3 3 3
abc 3 abc (a , b, c为正数) 3
abc 3 结论 : 若a , b, c R , 则 abc . 3 等号当且仅当a b c时成立. 这表明, 三个正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数.
一般地, n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均ห้องสมุดไป่ตู้.
2 2 2 2 2 2
x 2y 4.已知2 x y 1, x 0, y 0, 求 的最小值. xy
已知a 0, b 0, c 0, 求证 : ab abc 3 2( ab ) 3( abc ) 2 3
1 1 2 设a 0, 求证 : a a 2 2 2 a a (备用)已知x , y , z 0, x y z 1, 求证 : 7 0 xy yz zx 2 xyz 27
人教B版高中数学必修第一册第2章2-2-4第1课时均值不等式课件
3．“x＞0，y＞0”是“yx＋xy≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
A [若x＞0，y＞0，则xy＞0，yx＞0，此时yx＋xy≥2 分性成立．
yx·xy＝2，充
若
y x
＋
x y
≥2，易知x＝y＝－1时满足不等式，但不满足x＞0，y＞
点)
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
如图，是第 24 届国际数学家大会的会标．它依 据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦 图”进行设计，颜色的明？
知识点一 重要不等式 对任意实数 a，b，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号 成立．
9 8
[因为a＞0，b＞0，所以2a＋
1 b
＝3≥2
1b，即a＝34，b＝23时，等号成立，所以ab≤98.]
2a b
，当且仅当2a＝
回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试比较不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的区别与联系． [提示] (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是 不同的．前者要求 a，b 是实数即可，而后者要求 a，b 都是正实数(实 际上后者只要 a＞0，b＞0 即可)．
1.若 x2＋y2＝4，则 xy 的最大值是( )
A．12
B．1
C．2
D．4
C [xy≤x2＋2 y2＝2，当且仅当 x＝y 时取“＝”．]
知识点二 算术平均值与几何平均值
a＋b
给定两个正数 a，b，数 2 称为 a，b 的算术平均值；数 ab 称 为 a，b 的几何平均值．
知识点三 均值不等式 1．均值不等式：如果 a，b 都是正数，那么a＋2 b≥ ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立． 2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形 的面积最大．
2017-2018学年高中数学人教B版 选修4-5学业分层测评：第2章 2-3 平均值不等式选学 含答案 精品
学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1.已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c<9C.1a ＋1b ＋1c＝9D.不确定【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc ≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc≥3327＝9.【答案】 A2.已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A.336 B.2 2 C.12D.1235【解析】 ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0， ∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x ·22y ·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12. 当且仅当2x＝22y＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号.【答案】 C 3.若2a >b >0，则a ＋4a －bb的最小值是( )A.3B.1C.8D.12【解析】 a ＋4a －b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2＝3.当且仅当a －b 2＝b 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b2，即a ＝b ＝2时等号成立.【答案】 A4.已知x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，则a 的值为( )A.n nB.2nC.n 2D.2n ＋1【解析】 x ＋ax n ＝+ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.【答案】 A5.已知a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )【导学号：38000043】A.x ≤y ≤zB.y ≤x ≤zC.y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ， 即y ≤x ≤z . 【答案】 B 二、填空题6.设a >0，b >0，称2aba ＋b为a ，b 的调和平均.如图231，C 为线段AB 上的点，且AC ＝a ，CB ＝b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD .过点C 作OD 的垂线，垂足为E .则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均，线段________的长度是a ，b 的几何平均，线段________的长度是a ，b 的调和平均.图231【解析】 在Rt△ABD 中，由射影定理易得到DC 2＝ab ，DC ＝ab ，故线段DC 的长度为a ，b 的几何平均数.又因为△ODC ∽△CDE ，所以CD OD ＝DE CD ，则DE ＝CD 2OD ＝2ab a ＋b，故线段DE 的长度为a ，b 的调和平均数.【答案】 DC DE7.当a ＞1,0＜b ＜1时，则log a b ＋log b a 的范围是________. 【解析】 ∵a ＞1,0＜b ＜1， ∴log a b ＜0，log b a ＜0， ∴－log a b ＞0，－log b a ＞0， ∴－log a b －log b a ≥2－log a b－log b a ＝2.当且仅当b ＝1a时取等号，∴log a b ＋log b a ≤－2. 【答案】 (－∞，－2]8.设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到这个三角形三边距离乘积的最大值是________.【解析】 设P 到三角形三边距离分别为h 1，h 2，h 3. 又∵三角形为直角三角形，S ＝12·3·4＝6，∴12h 1·3＋12h 2·4＋12h 3·5＝6， ∴3h 1＋4h 2＋5h 3＝12≥3360h 1h 2h 3， ∴h 1h 2h 3≤6460＝1615.【答案】1615三、解答题9.证明不等式1×2＋2×3＋…＋n n ＋<n n ＋2对一切正整数成立.【证明】 ∵nn ＋<2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋<32＋52＋…＋2n ＋12， 即1×2＋2×3＋…＋nn ＋<n n ＋2.10.(1)已知a ，b 是正数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥a ＋b2x ＋y，并指出等号成立的条件.(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x x ∈0，12的最小值，指出取最小值时的x 的值.【解】 (1)证明：由二元均值不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2·y x ＋b 2·x y ≥a 2＋b 2＋2a 2·y x ·b 2·x y ＝(a ＋b )2，故a 2x ＋b 2y≥a ＋b 2x ＋y.当且仅当a 2y x＝b 2x y， 即a x ＝b y时上式取等号.(2)由(1)知，f (x )＝222x ＋321－2x ≥＋22x ＋－2x ＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，f (x )取最小值，且f (x )min ＝25.1.某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q ＜p ＜1)( )A.先提价p %，再提价q %B.先提价q %，再提价p %C.分两次都提价q 2＋p 22%D.分两次都提价p ＋q2%【解析】a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，由题可知，A ，B 两次提价均为(1＋p %)(1＋q %)相等，C 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，D 提价⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2，p ＋q 2＜p 2＋q 22⇒(1＋p %)(1＋q %)＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＜⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2，则提价最多为C.【答案】 C2.若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为( )A.16B.8C.4D.非上述情况【解析】 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥216＝8，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝16，x ＋1x＝4，x ＝2＋3时取“＝”.【答案】 B3.若x ，y ，z 是正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )·(y ＋z )的最小值为________.【导学号：38000044】【解析】 (x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋y 2＋yz ＋zx ＝y (x ＋y ＋z )＋zx ≥2y x ＋y ＋z zx ＝2.【答案】 24.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v 千米/时的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【解】 (1)由题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋bv 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv . 故所求函数为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由题意知s ，a ，b ，v 都是正数，故有s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v＋bv ≥2s ab .当且仅当a v ＝bv ，即v ＝ab时等号成立. 若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小； 若a b >c 而v ∈(0，c ]，y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv 在(0，c ]上为减函数. ∴v ＝c 时，y min ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac＋bc .综上可知，为使全程运输成本y 最小，当a b ≤c 时，行驶速度应为v ＝abb ；当ab>c 时，行驶速度应为v ＝c .。
高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.1_柯西不等式
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
2 ． 1 第柯 二西 章不 等 式
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
2．1
柯西不等式
[读教材·填要点]
1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理 1(柯西不等式的代数形式) 设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥ (a1b1＋a2b2)2 . 上式等号成立⇔ a1b2＝a2b1 . (2)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 为平面上的两个向量，则
()
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．不确定
解析：由柯西不等式知
1
1
(a21＋a22＋…＋an2) 2 ·1＋1＋···＋1 2
n个
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
7．函数 y＝2cos x＋3 1－cos 2x的最大值为________．
解析：y＝2cos x＋3 1－cos 2x＝2cos x＋3 2sin2x
≤ cos2x＋sin2x[22＋3 22]＝ 22.
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
(精品)1.0《_不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)
a1 a2 n
an n a1a2
an ,
当且仅当a1 a2 an时，等号成立。
例 1求 函 数 y x 2 (1 5 x)(0 x 1 )的 最 值 。
5
解下：面y 的 解 5 x法 2 (对 2 吗2？ x) 5 x x( 2 2 x),
y124x x5(15x)21(4x5 x15x)3 1 ,
2a
2a
所以a2c+c3 >2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0
因为a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.
从而a<c<b。当b-c=0，即b=c时，因为bc>a2，
所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，
3、培养学生的数感，渗透数形结合的思想 。
重点:
不等式的解集的表示；不等式的性质和解法； 不等式的性质和解法.在实际问题中建立一元 一次不等式的数量关系 ；绝对值三角不等式 的理解及应用；使学生掌握含绝对值的一次 不等式的解法，并用数形结合方法加深对解 法的理解；含绝对值不等式的解法。
难点:
不等式解集的确定；不等号方向的确定；根 据实际问题建立一元一次不等式；绝对值三 角不等式的代数证明；理解绝对值的几何意 义。
b
AB=a；在正方形 CEFG中，EF=b.
B
J
a
C
E
b
则 S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于图中有阴影部分的 面积，它不大于正方形ABCD与正方形CEFG的面积和。 即a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时，两个矩形成为正方形， 此时有 a2+b2=2ab。
人教B版数学选修4-5课件：1.1.1 不等式的基本性质
②作差法或作商法; ③函数的单调性.
(2)在直接利用不等式的性质证明不等式时,特别注意以下几点:
①是不是同向不等式; ②此性质是不是可以逆用.
题型一 题型二 题型三 题型四
易错辨析
易错点:由于多次应用同向不等式相加(乘)法则导致变量的取值
范围扩大.
【例4】 已知f(x)=mx2-n,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值
对于④,当 a=1,b=0,c=-1,d=-2 时,ac>bd 不成立;
对于⑤,当 cd 不一定大于 0,故不正确.
答案:②
1.使用不等式的性质时要注意哪些问题?
剖析:(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号,而另
一个不带等号,那么等号是不能传递的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘(除)中,要特别注意乘(除)数的符号.
.
解析:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1.
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1>0,
即(x2-x)-(x-2)>0.
所以x2-x>x-2.
答案:x2-x>x-2
【做一做1-2】 设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足
的条件为
.
解析:∵x>y,
范围.
错解:依题意,有
-4 ≤ ������-������ ≤ -1, -1 ≤ 4������-������ ≤ 5,
加减消元,得0≤m≤3,1≤n≤7,
从而,得-7≤f(3)=9m-n≤26,即f(3)的取值范围是[-7,26].
题型一 题型二 题型三 题型四
高中数学第2章柯西不等式与排序不等式及其应用2.3平均值不等式(选学)学业分层测评新人教B版选修4_5
第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.3 平均值不等式(选学)学业分层测评 新人教B 版选修4-5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c与9的大小关系是( )A.1a ＋1b ＋1c ≥9B.1a ＋1b ＋1c<9C.1a ＋1b ＋1c＝9D.不确定 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝1，∴1≥33abc ，∴abc ≤127，又a ，b ，c 为正数，∴1abc≥27，∴1a ＋1b ＋1c ≥3 31abc≥3327＝9.【答案】 A2.已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x＋4y＋8z 的最小值为( )A.336 B.22 C.12D.1235 【解析】 ∵2x＞0,4y＞0,8z＞0，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x·22y·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝3×4＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2y ＝3z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时取等号.【答案】 C3.若2a >b >0，则a ＋4－的最小值是( )A.3B.1C.8D.12【解析】a ＋4－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2＋b 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2≥33⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2·b 2·1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2＝3.当且仅当a －b 2＝b2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2，即a ＝b ＝2时等号成立.【答案】 A4.已知x 为正数，有不等式：x ＋1x≥2x·1x ＝2，x ＋4x2＝x 2＋x 2＋4x2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n 为正数)，则a 的值为( ) A.n nB.2nC.n2D.2n ＋1【解析】x ＋a xn ＝+axn ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A.【答案】 A5.已知a ，b ，c 为正数，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a2＋b2＋c23，则( ) 【导学号：38000043】A.x ≤y ≤zB.y ≤x ≤zC.y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 ∵a ，b ，c 为正数， ∴a ＋b ＋c 3≥3abc ， ∴x ≥y ，又x 2＝a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9，z 2＝3a2＋3b2＋3c29.∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，。