第四章 快速傅里叶变换(FFT)
编程实现快速傅里叶变换(fft)
一、概述傅里叶变换是信号处理和数据压缩中常用的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而便于分析和处理。
而快速傅里叶变换（FFT）则是一种高效的计算傅里叶变换的方法，可以大大提高计算效率，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
二、傅里叶变换原理傅里叶变换的基本思想是将一个时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而得到该信号的频谱图。
具体来说，对于一个连续信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[0,∞]x(t)e^(-jωt)dt其中，ω为频率变量，X(ω)表示在频率ω处的信号能量。
而对于离散信号x[n]，它的傅里叶变换X[k]则定义为：X[k] = ∑[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πkn/N)其中，N为信号的采样点数，k为频率域的序号。
上述公式称为离散傅里叶变换（DFT），计算复杂度为O(N^2)。
而快速傅里叶变换则通过巧妙的算法设计，将计算复杂度降低到O(NlogN)。
三、快速傅里叶变换算法概述快速傅里叶变换的算法最早由Cooley和Tukey在1965年提出，它的基本思想是将一个长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT的组合，通过递归地分解和合并，最终实现对整个信号的快速计算。
下面我们来介绍一种常用的快速傅里叶变换算法：递归式分治法。
四、递归式分治法递归式分治法是一种高效的计算DFT的方法，它的基本思想是将长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，并通过递归地调用自身，最终实现对整个信号的傅里叶变换。
具体来说，假设有一个长度为N的信号x[n]，对其进行快速傅里叶变换的过程可以分为如下几个步骤：1. 将长度为N的信号x[n]分为长度为N/2的偶数序号和奇数序号的两个子信号x_even[n]和x_odd[n]；2. 对子信号x_even[n]和x_odd[n]分别进行快速傅里叶变换，得到它们的频域表示X_even[k]和X_odd[k]；3. 结合X_even[k]和X_odd[k]，计算原信号的频域表示X[k]。
快速傅里叶变换FFT-时域转频域(附matlab程序)
快速傅里叶变换FFT傅里叶变换是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具。
傅里叶变换在物理学、电子类学科、信号处理、声学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。
将时域信息写成Fourier 级数：01()(cos sin )2T n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 222222022()d ,,2()cos (1,2,),2()sin (1,2,).T T TT TT T n T n T a f t t T Ta f t n t dt n Tb f t n t dt n T πωωω---======⎰⎰⎰其中 0001(1)[(0)(0)].2T T t f t f t ++-在间断点处，式右端级数收敛于引入欧拉公式=cos sin cos ,sin .22i i i i i e i e e e e i φφφφφφφφφ--++-==- 00,2,,1,2,3,,22n n n n n n a c a i b a i b c c n -=-+===令 则()in t T n n f t c e ω+∞=-∞=∑Fourier 级数的复指数形式具有明显的物理意义。
离散傅里叶变换DFT为数值计算n c ，需要进行离散，离散后的形式为()()()012/011N a T jn N k jn k t n a n c k t e dt k t e t T N t πωωω-+--⋅∆=≈∆=⋅∆⋅∆⋅∆∑⎰记()()()12/0N jnk N n X n k t eπω--==⋅∆∑考虑到()X n 本身以N 为周期，于是复数形式Fourier 级数展开式中()()102=102n N X n n N c N X N n n N⎧≤<⎪⎪⎨⎪+-≤<⎪⎩ 变换后的幅值/2n n C A == 真实幅值()22n n A C X n N==快速傅里叶变换FFTDFT 计算量大，为了降低计算量，在DFT 的基础上利用系数的对称性和周期性，将长序DFT 转为短序DFT 。
快速傅里叶反变换
快速傅里叶反变换
快速傅里叶反变换（Fast Fourier Inverse Transform，FFT）是一种用于将频域信号转换为时域信号的算法。
它是傅里叶反变换（Inverse Fourier Transform，IFT）的一种快速实现方式，可以大大提高计算效率。
傅里叶变换（Fourier Transform，FT）是一种将时域信号转换为频域信号的算法，它可以将信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶反变换则是将频域信号重新转换为时域信号，恢复原始信号的过程。
传统的傅里叶反变换算法需要进行大量的乘法和加法运算，计算复杂度较高。
而FFT算法则通过将信号分解为多个子信号，利用对称性和周期性等特点，将计算复杂度降低到O(nlogn)级别，大大提高了计算效率。
FFT算法的基本思想是将信号分解为多个子信号，然后对每个子信号进行傅里叶反变换，最后将子信号合并得到原始信号的傅里叶反变换结果。
具体实现过程中，可以采用递归或迭代的方式进行计算。
FFT算法在信号处理、图像处理、通信等领域得到了广泛应用。
例如，在音频处理中，可以利用FFT算法将音频信号转换为频域信号，然后进行滤波、降噪等处理，最后再将信号转换为时域信号。
在图像处理中，可以利用FFT算法进行图像增强、去噪等处理。
快速傅里叶反变换是一种高效的信号处理算法，可以将频域信号转换为时域信号，恢复原始信号的过程。
它在各种领域得到了广泛应用，为信号处理和图像处理等领域的发展做出了重要贡献。
FFT（快速傅里叶变换）算法详解
FFT （快速傅⾥叶变换）算法详解多项式的点值表⽰(Point Value Representation)设多项式的系数表⽰(Coefficient Representation)：P a (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n −1x n −1=n −1∑i =0a ix i则我们对上⾯的式⼦可以代⼊不同的 n 个 x 的值，构成⼀个 n 维向量：P a (x 0)P a (x 1)P a (x 2)⋮P a (x n −1)=1x 0x 20⋯x n −101x 1x 21⋯x n −111x 2x 22⋯x n −12⋮⋮⋮⋱⋮1x n −1x 2n −1⋯x n −1x −1a 0a 1a 2⋮a n −1更简洁的写法：P a =X α对上式观察后发现，X 是所谓的范德蒙德矩阵(Vandermonde's Matrix)，在 n 个 x 的值不同的情况下，其⾏列式的值为：det (X )=∏0⩽i <j ⩽n −1(x j −x i )很明显，当所有 n 个 x 取值不同时，其⾏列式不为零，因此 X 可逆。
所以我们可以唯⼀确定多项式系数构成的向量 α：α=X −1P a也就是说，多项式 P a (x ) 还可以由 n 个 x 代⼊得到的 n 个点值来唯⼀表⽰：{x 0,P(x 0),x 1,P(x 1),x 2,P(x 2),⋯,x n −1,P(x n −1)}这就是多项式的点值表⽰。
多项式的点值表⽰是指，对于 n 次多项式，可以⽤ n 个不同的 x 和与之对应的多项式的值 P(x ) 构成⼀个长度为 n 的序列，这个序列唯⼀确定多项式，并且能够与系数表⽰相互转化。
n 次单位根了解了多项式的点值表⽰，⼀个很⾃然的问题是：如何选择 x 的值，来防⽌其指数⼤⼩爆炸型增长呢？这⾥可以借⽤复数的单位根。
简单回顾⼀下，复数有两种表⽰⽅法：迪卡尔积坐标表⽰和极坐标表⽰，这⾥我们⽤到的是后者：z =re i θi 是虚数单位，r 表⽰模长，θ 表⽰相⾓。
第4章傅里叶变换ppt课件
23
例题4.6 求正弦波的频谱
解：
x(t)si n0tej0t
ej0t 2j
1 a1 2 j
a－1
－ 1 2j
X(j)j(0)j(0)
可编辑课件PPT
24
ej0t ej0t
x(t)co0st 2
a1
1 2
a－1
1 2
X (j ) ( 0 ) ( 0 )
本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用
可编辑课件PPT
12
例题4.2 求 x(t)(t) 的频谱。
解
X(j)x(t)ejtdt (t)ejtdt
(t)ej0dt1
可编辑课件PPT
13
单位冲激信号的频谱是常数1，或者说，在所有 的频率点上，频谱的值都是恒定的。
这个例子的物理含义非常广泛，它意味着，尖脉 冲信号的频谱非常宽，会对处于不同接收频率的电子 设备产生干扰。
X(jk0)ejk0t
0
面X 积 (jk0)ej k0t 0 k 0
X(j)ejtd
X(jk0)ejk0t0
k
可编辑课件PPT
10
0 0
傅里叶反变换
x(t)21 X(j)ejtd
一种分解
可编辑课件PPT
11
傅里叶变换
频谱
傅里叶正变换
X(j) x(t)ejtdt
F
F1
x(t)X(j) X(j)x(t)
可编辑课件PPT
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
介绍快速傅里叶变换(FFT)
WN
WN
1
0
X(4) X(5) X(6) A (7) X(7)
0 WN
A (6) A (7)
0 WN
A (6) A (7)
WN WN
3
2
W
2 N
图4.2.4 N点DIT―FFT运算流图(N=8)
4.2.3 DIT―FFT算法与直接计算DFT运 算量的比较 每一级运算都需要N/2次复数乘和N 次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。 N N 所以，C M 级运算总共需要的复数乘次数 M log2 N M (2) 2 2 为 复数加次数为
输
出
图4.2.6 DIT―FFT运算和程序框图
结
束
5. 序列的倒序 DIT―FFT 算法的输入序列的排序 看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现 这种倒序是很有规律的。由于N=2M，所 以 顺 序 数 可 用 M 位 二 进 制 数 (nM-1nM0 000 0 0 2…n1n0)表示。 1 100 4
WN
k
k WN
，所以X(k)又可表示为
(4.2.7) (4.2.8)
N X (k ) X 1 ( k ) W X 2 (k ) k 0,1, 1 2 N N k X (k ) X 1 ( k ) WN X 2 ( k ) k 0,1, 1 2 2
(4.2.10)
用同样的方法可计算出
, k 0,1, N / 4 1 k X 2 ( k N / 4) X 5k WN / 2 X 6 ( k )
k X 2 ( k ) X 5 (k ) WN / 2 X 6 (k )
(4.2.11)
其中
X 5 (k ) X 6 (k )
fft快速傅立叶变换
fft快速傅立叶变换快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种用于将信号从时域转换到频域的算法。
它是傅立叶变换的一种高效实现方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
一、傅立叶变换简介傅立叶变换是一种将信号分解为不同频率分量的方法。
通过傅立叶变换，我们可以将时域表示的信号转换为频域表示，从而得到信号的频谱信息。
傅立叶变换的公式为：F(k) = ∑[f(n) * e^(-2πikn/N)]其中，F(k)表示信号在频率为k的分量的振幅和相位信息，f(n)表示信号在时刻n的幅度，N为信号的采样点数。
二、傅立叶变换的问题传统的傅立叶变换算法在计算复杂度上存在问题，计算复杂度为O(N^2)，当信号的采样点数N较大时，计算量会非常大，导致计算时间较长。
为了解决这个问题，科学家们提出了快速傅立叶变换算法。
三、快速傅立叶变换的原理快速傅立叶变换是一种分治策略，通过将信号分解为多个子问题，并利用傅立叶变换的对称性质，将计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)。
快速傅立叶变换的核心思想是将信号分解为奇偶两部分，然后对奇偶部分分别进行傅立叶变换，最后再将结果合并得到最终的频域表示。
具体来说，假设信号的采样点数N为2的幂次，将信号分为偶数点和奇数点两部分，分别进行傅立叶变换。
然后，将两部分的结果合并，得到整个信号的频域表示。
这个过程可以递归地进行，直到信号被分解为最小的子问题。
四、快速傅立叶变换的应用快速傅立叶变换广泛应用于信号处理、图像处理和通信等领域。
在信号处理领域，快速傅立叶变换可以用于音频和视频信号的压缩、降噪、滤波等处理。
通过将信号转换为频域表示，可以方便地对信号进行分析和处理。
在图像处理领域，快速傅立叶变换可以用于图像的频域滤波、图像变换等操作。
通过对图像进行傅立叶变换，可以提取图像的频域特征，实现图像的去噪、增强等功能。
在通信领域，快速傅立叶变换可以用于信号的调制解调、频谱分析等操作。
FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解
X 3(1)x3(0)W 2 1x3(1)x(0)W21x(4)x(0)WN0x(4) 这说明，N=2M的DFT可全部由蝶形运算来完成。
20
以8点为例第三次按奇偶分解
N=8按时间抽取法FFT信号流图
21
5.3.2 按时间抽取基2-FFT算法与直接计算DFT运算量的比较
由按时间抽取法FFT的信号流图可知，当N=2L时，共有 L 级 蝶形运算；每级都由 N/2 个蝶形运算组成，而每个蝶形有
蝶形运算信 号流图符号
因此，只要求出2个N/2点的DFT，即X1(k)和X2(k)，再 经过蝶形运算就可求出全部X(k)的值，运算量大大减少。
14
以8点为例第一次按奇偶分解
以N=8为例，
分解为2个4点
的DFT，然后
做8/2=4次蝶形
运算即可求出
W
0 N
所有8点X(k)的
值。
W
1 N
W
2 N
W
3 N
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
N
N2
N
计算量
2 log 2 N 之比M
2
4
1
4 16
4
8 64
12
16 256
32
32 1028 80
4.0 128
16 384
448 36.6
4.0 256 65 536 1 024 64.0
5.4 512 262 144 2 304 113.8
7直接计算dft与fft算法的计算量之比为m24fft算法与直接dft算法运算量的比较25533按时间抽取的fft算法的特点序列的逆序排列同址运算原位运算蝶形运算两节点间的距离的确定26序列的逆序排列由于xn被反复地按奇偶分组所以流图输入端的排列不再是顺序的但仍有规律可循
第四章 离散傅里叶变换及其快速算法
离散 连续
周期延拓 非周期
4.1 离散傅里叶变换的定义
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN , n 0 N 1 N 1 n 0 2 kn N
= x ( n )e
j
k=0, 1, , N-1
X ( k )WN kn k 0 N 1
1 x(n) IDFT [ X (k )] N 1 N
4 N
x D1X N
W N ( N 1 ) 2 ( N 1 ) WN W N ( N 1 )( N 1 ) 1
1
D
1 N
W N 2 ( N 1 )
1 DN N
dftmtx(N) 函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N 函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1
二、 圆周移位性质
1. 序列的圆周移位 x(n)的圆周移位定义为
y(n)=x((n+m))N RN(n) 其过程为: 1)、将x(n)以N为周期进行周期延拓得x((n))N 2)、将x((n))N左移m位，得x((n+m))N 3)、取其主值序列x((n+m))N RN(n) 循环移位过程如图所示
WNN 1
2 WN ( N 1)
WNN 1 2 WN ( N 1) ( WN N 1) ( N 1)
DFT
IDFT矩阵形式为
1 1 1 W 1 N 1 D 1 1 W N 2 N N 1 W N ( N 1 ) 1 W N 2 W
0 n N `1 0 k N `1
DFT 则： x1 (n) x2 (n) X1 ( K ) X 2 ( K )