上海戴氏教育二次根式(3)
16.1.2二次根式的教案-沪科版八年级数学下册
16.1.2二次根式的教案-沪科版八年级数学下册一、教学目标1.知道二次根式的定义，能够理解二次根式的意义和性质；2.能够对二次根式进行简化和化简；3.能够将二次根式化为最简形式。
二、教学内容1.二次根式的定义和性质；2.二次根式的简化和化简；3.二次根式的最简形式。
三、教学重点1.理解二次根式的定义和性质；2.能够对二次根式进行简化和化简。
四、教学难点1.能够将二次根式化为最简形式。
五、教学准备1.教师准备活动实例和教学素材；2.学生准备课本和笔记。
六、教学过程1. 导入新知引导学生回顾上节课学习的内容，询问他们对根式的定义和性质有什么了解。
2. 学习新知（1）二次根式的定义•二次根式：形如√(a²)的根式，其中a为正数。
•二次根式的意义：表示一个数的二次乘方根。
（2）二次根式的性质•二次根式的基本性质：二次根式的值只有当根号内的数为非负数时才有意义。
•二次根式的整体性质：二次根式的值是非负数，即√(a²) = |a|。
（3）二次根式的简化和化简•简化：将二次根式的根号内的数化为最简形式，如√(4) = 2。
•化简：将二次根式进行运算，如√(4) + √(9) = 2 + 3 = 5。
3. 合作探究将学生分为小组，让他们自行分析、讨论、解决以下问题：问题1：判断下列各组数中是否存在一个数可使其二次根式的值等于3。
a)√(9)b)√(5)c)√(6) + √(3)d)√(4) + √(1)问题2：对下列二次根式进行简化，并将其根号内的数化为最简形式。
a)√(16)b)√(18) + √(8)c)√(27) - √(8)d)√(50) + √(32)4. 总结归纳根据学生的讨论和解答情况，引导学生总结出二次根式的定义、性质以及简化和化简的方法。
5. 拓展练习让学生进一步巩固所学内容，完成课后练习册的相关练习题。
6. 展示成果让学生分享他们在合作探究和拓展练习中的思考和答题过程，鼓励他们彼此互相学习。
沪教版八年级上册-二次根式的复习与练习题
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广：2．二次根式的加减运算 先化简，再运算，3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 二、分类练习与讲解： 1、 二次根式的概念我们把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式，如)1(1,1,32,51,32≥-+x x x 等，都是二次根式注意：① 二次根式都含有二次根号""；② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0≥a ，当0<a 时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是一个代数式； ④ 二次根式)0(≥a a 是a 的算术平方根，所以0≥a 。
例1、当x 为任意实数时，下列各式有意义的是（ ）A ．x 2-B ．x21 C ．32+-x D ．2)1003(-x例2、当x 为何值时，下列各式有意义？⑴12+x ； ⑵xx --113 2、 二次根式的性质性质：⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：性质a a =2表明：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，需注意的是2a 不是等于a ，而是等于a ，再根据a 的正、负确定最后的结果。
例3 已知2<x ，则442+-x x 的结果是______________ 例4 已知x 满足x x x =-+-20062005，那么22005-x 的值为（ ）A ．2004B ．2005C ．2006D ．2007 练习：二次根式的意义及性质题组1：（（0a ≥），叫做二次根式） 1．下列各式中一定是二次根式的是（ ）A B C D 2．下列各式中，是二次根式的有_____________________________。
八年级数学下册第16章二次根式知识归纳新版沪科版
二次根式知识点总结二次根式知识点：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号。
沪科版数学八年级下册16.二次根式的乘除复习课件
1.什么叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式. 2.两个基本性质:
a 2 =a (a≥ 0)
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
பைடு நூலகம் 复习提问
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于积的算术平方根
ab a b (a 0,b 0)
积的算术平方根等于算术平方根的积.
1.比较6 7与7 6的大小. 2.比较-5 2与-4 3的大小.
专题二、二次根式的乘法 a b ab (a≥0,b≥0)
3.计算：（1） 2 2 1 24；（2）4 xy ( 1 );
3 32
y
4.化简： （1）16 81；（2）4a2b3 (a 0,b 0);
变式.化简：(1) 25x2；(2) 4a2b3 ;
已知a=6,b=3,c=5,求下列各式的值.
ab (1)
bc2
(2) 2 ab abc
设a,b是实数，且a2 b2 2a 4b 5 0,
求
1
的值.
( 2a 1 3b)2
2
化简 a b ，甲，乙两同学的解法分别为： ab
甲， a b （a b）（ a b） a b a b （ a b）（ a b）
专题三、二次根式的除法 a a a 0,b 0
bb
5.计算：1 4 1 7 5 10
(2)2 1 1 5 1
2
6
6.把下列各式化简(分母有理化)：
(1) 2 (2) 1
3
5
(3) 4 2 (4) 2
37
33
7.计算： (1) 2a 8ab b
(2)3 3 1 3
沪教版数学初二上——二次根式概念及性质
【习题7】化简：
（1） ；（2） ．
【习题8】计算 的值
【例11】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） （ ）．
【例12】化简：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
【例13】把下列各式中根号外面的因式移到根号内，并使原式的值不变．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例14】化简：
（1） ；（2） ．
【例15】化简：
（1） ；（2） ．．
【例16】已知 ，求x的取值范围．
2、二次根式的性质
性质1： 推广性质1可得到：
性质：
性质3：
性质4：
二、例题讲解
【例1】下列各式中，二次根式的个数有（）
； ； ； ； ； ．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【例3】等式 成立的条件是（）
A． B． C． D．
二次根式的概念与性质
一、知识精讲
知识一、二次根式、无理数、实数的概念
当被开方数部分是整数时，该二次根式可以看作一个无理数（开方开不尽的时候），表示对一个整数求算术平方根，联想之前七年级的中点逼近法求范围
知识二、二次根式的概念和性质
1、形如 （a ）的代数式，叫做二次根式，a是被开方数．
举例说明： 、 、 、 等都是二次根式．在实数范围内，负数没有平方根，所以像 ， 这样的式子没有意义，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
【例17】
已知 ，求代数式 的值．
【例18】已知 的个位数字．
【例19】已知：m= ，求 的值．
上海教育版数学八上16.3《二次根式的运算》ppt课件(一)
1.计算:
① 9 3 7 12 5 48 ② 12 1 1
27 3 ③ 6 11 2
23
2.计算：
① 2x 8x3 2 2xy2 y0
② ( 2 x 9x 6x y )( x2 1 x )
3
x
xy
试一试 计算：
① 6 3； ② 5 3； ③ 6 3； ④ 5 3；
思考 两个二次根式相乘除是怎样进行的？
性质3： a b ab a 0 ,b 0 性质4： ab a a a0,b0
bb
二次根式乘除法法则：
两个二次根式相乘（除），被开方数相乘（除），根指数不变.
例题1 计算：
① 1 2 32
② 1252 35
③ ab4 b
④ ab 2c ab 2 c
例题2 计算：
① 2a 3b
② 6u 21u 0 3vv0 ③ a b a 2 c 割成面积分别为s（平方单位）
和2s（平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求图中
每个长方形的面积.
2s
解：由题意得两个正方形的
边长分别为 s 和 2s (s0) ，
所以长方形的面积为
s 2s2s22s(s0)
s
s 答：每个长方形的面积为 2s（平方单位）
2s
性质3： a b ab a 0 ,b 0 性质4： ab a a a0,b0
bb
二次根式乘除法法则：
两个二次根式相乘（除），被开方数相乘（除），根指数不变.
二次根式3(PPT)3-1
1二次根式课件数学沪科版八年级下册
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
沪教版八年级上第十六章二次根式全章复习与巩固知识讲解讲义
《二次根式》全章复习与稳固--知识讲解（提升）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、娴熟掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运||算 .3、认识代数式的观点，进一步领会代数式在表示数目关系方面的作用.||【知识网络】【重点梳理】知识点一、二次根式的有关观点和性质1. 二次根式形如 a (a0)的式子叫做二次根式||，如3,1, 0.02,0 等式子||，都叫做2二次根式 .重点解说：二次根式 a 存心义的条件是a0 ||，即只有被开方数 a0 时||，式子 a 才是二次根式||， a 才存心义.2.二次根式的性质（ 1）；（ 2）；（ 3）.重点解说：（ 1 ）一个非负数 a 能够写成它的算术平方根的平方的形式||，即a ( a )2（a 0），如 2 (2)2112; x ( x )2 （x 0）.||;()33（ 2）a2中 a 的取值范围能够是随意实数||，即无论a取何值 ||，a2必定存心义 .（ 3）化简a2时||，先将它化成 a ||，再依据绝对值的意义来进行化简.（ 4）a2与( a )2的异同不一样点：a2中 a 能够取任何实数||a)2中的a 一定取非负数；，而 (同样点：被开方数都是非负数||，当a取非负数时 ||，a2= ( a )2.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2) 被开方数中不含能开方的因数或因式.知足上述两个条件的二次根式||，叫做最简二次根式 .如2,ab ,3x, a2b2等都是最简二次根式 .重点解说：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数 2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后||，被开方数同样||，这几个二次根式就叫同类二次根式 .重点解说：判断是不是同类二次根式||，必定要化简到最简二次根式后||，看被开方数能否同样 ||，再判断 .如2与8 ||，因为8 = 22 ||， 2 与 8 明显是同类二次根式 .知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（ 1）乘除法法例：种类法例逆用法例a b ab (a0, b0)积的算术平方根化简公式：二次根式的乘法ab a b(a0, b 0)商的算术平方根化简公式：二次根式的除法a a (a0,b0)a a (a0, b0)b bb b重点解说：（ 1）当二次根式的前方有系数时||，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法例 ||，如a b c d ac bd .（ 2 ）被开方数 a、 b 一定是非负数（在分母上时只能为正数） . 如(4)( 9)49.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后||，将同类二次根式的系数相加减||，被开方数和根指数不变 ||，即归并同类二次根式 .重点解说：二次根式相加减时||，要先将各个二次根式化成最简二次根式||，再找出同类二次根式 ||，最后归并同类二次根式.如 2 3 2 52 (1 3 5)2 2 .【典型例题】种类一、二次根式的观点与性质．是如何的实数时，以下各式在实数范围内存心义？(1)；(2)；【答案】（ 1）;（2）.【分析】 (1) 要使在实数范围内存心义||，则必有∴当时 ||，在实数范围内有意义；(2)要使在实数范围内存心义||，则必有∴当时 ||，在实数范围内存心义；【总结升华】本例考察了二次根式建立的条件||，要切记 ||，只有a0 时a 才是二次根式 .贯通融会：【变式】已知||，求的值.【答案】依据二次根式的意义有将代入已知等式得2.把根号外的因式移到根号内||，得 ().A．B．C．D．【答案】 C.【分析】由二次根式的意义知x＜0||，则.【总结升华】在利用二次根式性质化简时||，要注意其符号||，要明确a是非负数 ||，反过来将根号外的因式移到根号内时||，也一定向里移非负数||。
上海教育版八上第十六章《二次根式》重点练习题
第十六章 二次根式测试题2一、选择题1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b>3B ．b<3C ．b ≥3D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=34．若x<0，则xx x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．baD ．44+a 6．如果)6(6-=-∙x x x x ，那么（ ）A ．x ≥0B ．x ≥6C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题，做错的题是（ ）①24416a a =；②a a a 25105=⨯；③a aa a a=∙=112；④a a a =-23。
A ．①B ．②C ．③D ．④8 有意义的实数x 的值有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ）A ．43-=aB ．34=a C ．a=1 D ．a= —110．化简)22(28+-得（ ）A ．—2B ．22-C ．2D ． 224- 11、下列各式一定成立的是（ ）A 、b a b a +=+2)(B 、1)1(222+=+a aC 、1)1(22-=-a a D 、ab ab =2)(12、若aba 1+有意义，那么直角坐标系系中点A ),(b a 在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限二、填空题13．若m<0，则332||m m m ++= 。
14．1112-=-∙+x x x 成立的条件是 。
15．二次根式31-x 有意义的条件是 。
16．若三角形的三边长分别为,,a b c ，其中a 和b 269b b -=-，则c 的取值范围是 。
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教之以简 用之为丰 1 / 6
一对一个性化学科优化学案
辅导科目 数 学 就读年级 初二 学生 寒假班 教师姓名 姚老师
课 题 二次根式（第三课时）
授课时间 1.23 备课时间
1.21
教 学
目 标
1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它
们进行计算和化简
2、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
3、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
4、最简二次根式及分母有理化。
重、难
考 点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
教学内容
学习过程
（一）复习引入
1．填空：（1）×=____，=____； ×__
（2）×=____，=___； ×__
（3）×=___，=___． ×__
（二）、探索新知
1、 学生交流活动总结规律．
2、一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0 反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1、计算
（1）× （2）× （3）3×2 （4）·
例2、化简
（1） （2） （3） （4） （5）
巩固练习
abababab
49494
9
49
1625162516251625
1003610036100
3610036
abababab
571396
105a
1
5
ay
916168181100229xy54
鹰击长空—基础不丢
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（1）计算： ① × ②55×215 ③312a·231ay
（2）化简: ; ; ; ;
（三）、学生交流解疑，拓展
例3、判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）
（2）×=4××=4×=4=8
（四）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么
好办法？
注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数
之积为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
二次根式的除法
学习过程
（一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
2、计算： （1）38×（-46） （2）3612abab
3、填空： （1）=____，=____； 规律： ______；
（2）=____，=____； ______；
16
8
20182454
22
12ab
(4)(9)49
124252512252512
25
25
12
3
9169169
16
9
16
1636163616
36
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教之以简 用之为丰 3 / 6
（3）=____，=____； _______；
（4）=____，=___． _______．
一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0）反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1、计算：（1） （2） （3） （4）
例2、化简：
（1） （2） （3） （4）
注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之
商为被开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数不含分母；
（2）分母中不含有二次根式。
（三）拓展延伸
例3、阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：
(1) =_________ （２）=_________(３) =_____ ___ (４) =___
4164164
16
4
16
3681368136
81
36
81
abababa
b
12
3
312811
416
64
8
3
64
2
2
649b
a
2
964x
y
2
5169x
y
133333322525
5
555
261321
12
10
25
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教之以简 用之为丰 4 / 6
例3．计算：
例4．已知9966xxxx，且x为偶数，求（1+x）22541xxx的值． A组 （1）等式1112xxx成立的条件是（ ） A．45×25=85 B．53×42=205 C．43×32=75 D．53×42=206 （1）360； （2）432x； 高分秘籍—过手训练 （1）3018； （2）7523； B组 （1）若04144222ccbba，则cab2=（ ） A．64)6()4(=（-2）×（-4）=8 B．2222442)(244aaaa (1) -332 (2) aa212 教之以简 用之为丰 6 / 6 学生在家表现情况反馈 1、完成作业，复习功课。（①认真完成②马虎应付③未完 家长签名：
分析：式子ab=ab，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6
1、选择题
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
（3）二次根式6)2(2的计算结果是（ ）
A．26 B．-26 C．6 D．12
2、化简：
始于1989 ★★★★★ 五星级名校冲刺第一品牌
教之以简 用之为丰 5 / 6
3、计算：
1、选择题
A．4 B．2 C．-2 D．1
（2）下列各式的计算中，不正确的是（ ）
C．5251694322
D．12512131213)1213)(1213(121322
2、计算：（1）68×（-26）； （2）386abab；
3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
始于1989 ★★★★★ 五星级名校冲刺第一品牌
日 期 月 日至 月 日
周末作业：
家长评价
成）
2、夜晚外出 （①没有外出②经过同意才外出③未经同意
而外出）
3、玩电脑（①时间不长②合计2小时至4小时③时间过长）
4、看电视（①时间不长②合计2小时至4小时③时间过长）
5、文明礼貌与生活习惯 （①很好 ②一般 ③不好）
6、做力所能及的家务 （①很好 ②需要吩咐 ③没有
做家务）
家长附言：
说明：为方便老师与家长的交流沟通，特制此表，每次课后分发给学生带回，请家长们密切配合，加强监督孩子在家的生活
与学习，并对其表现如实反馈，以利老师掌握最详实的材料，从而使思想教育工作更有成效。如有建议或意见，请填写附言
或来电说明。