自动机与形式语言
形式语言与自动机
英国 A.M.图灵提出一种理想计算机，后人称之为图灵机。1944 年，
W.S.麦克卡洛和 W.匹茨用数理逻辑方法研究神经网络。40 年代中期出现电子
计算机以后，美籍匈牙利数学家 J.
受计算机的影响，50 年代初，
开关网络的研究重点转移到一般的逻辑网络，特别是门电路类型开关网络。
1954 年前后形成了时序机（即有限自动机）这一重要数学概念。同时，从数
年，又发表了 ALGOL60 修改报告。在这两个报告中，第一次使用一种称为 BNF
范式的形式方法来描述程序设计语言 ALGOL60 的语法。不久，人们即发现 BNF 范式极其类似于形式语言理论中的上下文无关文法，从而打开了形式语言广泛应 用于程序设计语言的局面，并给形式语言理论本身的研究以极大的推动，使它发 展成为理论计算机科学的一个重要分支。
上向左移动一格;读写头在存储带上向右移动一格;在存储的某一格内写下或清
除一符号;条件转移。图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算，认为
是现代数字计算机的数学模型。实际上，一切"可计算"函数都等价于图灵机可计
算函数，而图灵机可计算函数又等价于于一般递归函数类。诺伊曼在 1948 年 提出建立自动机的一般逻辑理论，对各种人造自动机和天然自动机进行比较性研 究，探索其共同规律。他还研究了自动机的自繁殖和自恢复问题。诺伊曼被认为 是自动机论的创立者。自动机理论发展过程中产生许多类别的自动机，包括有限 自动机，无限自动机，概率自动机，细胞自动机等。
形式语言理论是从语言学衍生而来，作为一种理解自然语言的句法规律。在 发展过程中人们发现其在计算机语言中的作用，计算机语言在计算机科学中，形 式语言通常作为定义编程语言和语法的基础。对编程语言编译，使之转换成机器 语言，形式语言在这一工作中有很重要的作用。形式语言推动了计算机学科的发 展，并成为计算机学科里重要的分支。
形式语言与自动机
0
1
1
0
q1
q2
q3
0,1
8
有穷自动机的形式定义
定义 1.1 有穷自动机是一个 5 元组 ( Q, , , q0, F )，其中 (1) Q 是一个有穷集合，称为状态集。 (2) 是一个有穷集合，称为字母表。 (3) : QQ是转移函数。 (4) q0Q 是起始状态。 (5) FQ 是接受状态集。 介绍写定义的方法：元组式，递归式… Let 式 : Let, It is said to be …. If …….
0 0 0
0
0
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非确定性
例1.16 考虑图示的 NFA N 。运行这台机器，判断其是否识别 ε、a、baba、baa、b、bb、babba。
q1
a b q2 a, b a q3
为了识别A1∪A2和，机器M必须恰好在M1或M2接受的时候
接受他的输入串。M模拟M1和M2并且当这两个模拟中有一
个接受时，M接受。
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正则运算
定理 1.12 正则语言类在并运算下封闭。
如果A1和A2是正则语言，则A1∪A2也是正则语言。
设 M1 识别 A1， M2 识别 A2。并设
M1=(Q1, , 1,q1, F1) 和 M2=(Q2, , 2, q2, F2) 构造识别A1∪A2 的 M=(Q, , , q0, F)
Q = Q1Q2 = {(r1, r2) | r1Q1 且 r2Q2} ((r1, r2), a ) = (1(r1,a), 2(r2,a) ) q0 = (q1, q2) F = {(r1, r2) | r1F1 或 r2F2}
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REVIEW(2011-03-07)
确定有限自动机的形式化定义 ( Q, , , q0, F ) 机器识别语言 若 A 是机器 M 接受的全部字符串集，则称 A 是机器 M 的语 言，记作 L(M)=A，又称 M 识别 A 或 M 接受 A。 计算的形式化定义
形式语言自动机——上下文无关文法与下推自动机(四)
无论 Xi 为终结符，还是非终结符，都有 Xi w i .
因此 ，A X1X2…Xm ， w 1 w 2… w m = w
所以: 对任何 wT*, if (q,w,S)├*(q, , ), then S w.
即, wL(M) wL(G).
College of Computer Science & Technology, BUPT
(q,w,A)├ (q,w, X1X2…Xm ) ├* (q, w2…wm , X2…Xm) ├* (q, w3…wm , X3…Xm)├* …├* (q, , ).
所以: if S w, then (q,w,S)├*(q, , ).
即, wL(G) wL(M).
College of Computer Science & Technology, BUPT
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a, z0/Az0 a, A/AA
q0 b, A/ε
b, A/ε ε, A/ε
q1 ε, z0/ε
解：（1）∵ q0,q1∈Q， ∴ 构造 S→[q0,z0,q0];
（2）对③④⑤⑥式，可构造
S→[q0,z0,q1]
由δ（q0,b,A）={( q1,ε)} 得 [q0,A,q1]→b
由δ（q1,b,A）={( q1,ε)} 得[q1,A,q1]→b
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例3: 从文法构造等价的下推自动机
例：构造一个PDA M，使Lφ(M)= L(G)。其中G是我们常用来生 成算术表达式的文法：
G＝（N，T，P，E） N＝{ E,T,F }, T ={ +,*,(,),a }, S = { E } P: E→E+T∣T ; T→T*F∣F; F→( E )∣a
解：构造M＝（{q}，T，Γ，δ，q，E，φ）
编译原理-2-形式语言与自动机-I
(function1) (paras) (statements)
(function2) (paras) (statements)
(function3) (paras) (statements) … (functionn) (paras) (statements) (functioni actual-paras) (functioni actual-paras) (functioni actual-paras) …
符号串的长度 如果某符号串x中有m个符号，则称其 长度为m，表示为｜x｜=m，如001110的长度是6。 空符号串，即不包含任何符号的符号串，用ε表示， 其长度为0，即｜ε｜=0。
2014-6-13 21
符号串的头,尾，固有头和固有尾：如果z=xy是一符号 串，那么x是z的头，y是z的尾，如果x是非空的，那 么y是固有尾；同样如果y非空，那么x是固有头。 举个例子:设z=abc,那么z的头是ε ,a,ab,abc,除abc外， 其它都是固有头；z的尾是ε ,c,bc,abc,z的固有尾是 ε ,c,bc。 当对符号串z=xy的头感兴趣而对其余部分不感兴趣 时，采用省略写法：z=x…； 如果只是为了强调x在符号串z中的某处出现，则可 表示为：z=…x…；符号t是符号串z的第一个符号， 则表示为z=t…。
语法 -- 表示构成语言句子的各个记号之间的组合规律 语义 -- 表示各个记号的特定含义。（各个记号和记号
所表示的对象之间的关系）
语用 --表示在各个记号所出现的行为中，它们的来源、
使用和影响。
每种语言具有两个可识别的特性，即语言的形式 和该形式相关联的意义。 语言的实例若在语法上是正确的，其相关联的意 义可以从两个观点来看，其一是该句子的创立 者所想要表示的意义，另一是接收者所检验到 的意义。这两个意义并非总是一样的，前者称 为语言的语义，后者是其语用意义。幽默、双 关语和谜语就是利用这两方面意义间的差异。
《形式语言与自动机》完整加精版
Formal Languages and Automata
2019/9/11
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第1章 绪论
• 1.1 集合的基础知识 • 1.1.1 集合及其表示
– 集合：一定范围内的、确定的、并且彼此可以区 分的对象汇集在一起形成的整体叫做集合(set)， 简称为集(set)。
– 元素：集合的成员为该集合的元素(element)。 – 集合描述形式。 – 基数。 – 集合的分类。
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补集(complementary set)
A是论域U上的一个集合，A补集是由U中的、 不在A中的所有元素组成的集合，记作
AU A
U
U
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补集(complementary set)
如果AB，则 B A 。
A A U。
A A 。
⑵ (A× B)× C≠A× (B× C)。 ⑶ A× A≠A。 ⑷ A× Φ =Φ 。
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笛卡儿积(Cartesian product)
⑸ A× (B∪C)=(A× B)∪(A× C)。 ⑹ (B∪C)× A=(B× A)∪(A× C)。 ⑺ A× (B∩C)=(A× B)∩(A× C)。 ⑻ (B∩C)× A=(B× A)∩(C× A)。 ⑼ A× (B-C)=(A× B)-(A× C)。 ⑽ (B-C)× A=(B× A)-(C× A)。 ⑾ 当A、B为有穷集时，|A× B|=|A|*|B|。
B A AB U & AB 。 AB AB 。
AB AB 。
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1.2 关系
• 二元关系 • 递归定义与归纳证明 • 关系的闭包
形式语言与自动机理论电子教案01PPT课件
–掌握正则语言、下文无关语言的文法、识别模 型及其基本性质、图灵机的基本知识。
• 能力
–培养学生的形式化描述和抽象思维能力。 –使学生了解和初步掌握“问题、形式化描述、
自动化（计算机化）”这一最典型的计算机问 题求解思路。
13.11.2020
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主要内容
• 语言的文法描述。 • RL
– RG、 FA、RE、RL的性质 。
•考虑的对象的不同，所需要的思维方式和能力就不 同，通过这一系统的教育，在不断升华的过程中， 逐渐地培养出了学生的抽象思维能力和对逻辑思维 方法的掌握。
•创新意识的建立和创新能力的培养也在这个教育过 程中循序渐进地进行着。
•内容用于后续课程和今后的研究工作。 •是进行思维训练的最佳知识载体。
•是一个优秀的计算机科学工作者必修的一门课程。
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1.4.3 基本概念
• 字母表(alphabet)
– 字母表是一个非空有穷集合，字母表中的元素 称为该字母表的一个字母(letter)。又叫做符号 (symbol)、或者字符(character)。
– 非空性。 – 有穷性。
• 例如：
{a，b，c，d} { a，b，c，…，z}
{0,1}
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1.4.3 基本概念
• 字符的两个特性
– 整体性(monolith)，也叫不可分性。 – 可辨认性(distinguishable)，也叫可区分性。
• 例（续）
{a，a′，b，b′} {aa，ab，bb} {∞，∧，∨，≥，≤}
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1.4.3 基本概念
• CFL
– CFG(CNF、GNF)、PDA、CFL的性质。
形式语言与自动机Chapter5练习参考解答
Chapter 5 练习参考解答Exercise 5.1.2 (c) 下面的文法产生了正则表达式0*1(0+1)*的语言：εε|1|0|01B B B A A BA S →→→试给出下列串的最左推导和最右推导：c) 00011。
参考解答：一个最左推导：S ⇒lm A1B ⇒lm 0A1B ⇒lm 00A1B ⇒lm 000A1B ⇒lm 0001B ⇒lm 00011B ⇒lm 00011一个最右推导：S ⇒rm A1B ⇒rm A11B ⇒rm A11 ⇒rm 0A11⇒rm 00A11⇒rm 000A11 ⇒rm 00011! Exercise 5.1.3 证明任何正则语言都是上下文无关语言。
提示：通过对正则表达式中的运算符的数目进行归纳的方法来构造CFG 。
参考解答：对于任何正规表达式R ，归纳于R 中算符的数目n 构造如下产生式集合P(R)，相应的开始符号为S(R)：基础：n=0.（1）R 为ε，则任选非终结符A ，令P(R)只包含A →ε，以及S(R)为A ；（2）R 为φ，令P(R) 为空集；（3）R 为a ，则任选非终结符A ，令P(R)只包含A →a ，以及S(R)为A ； 基础：n>0.（1）R为R1+R2，则适修改非终结符的名字，使得P(R1)与P(R2)中的所有非终结符没有重名，任选不出现在P(R1)⋃P(R2)中的非终结符A，令P(R)= P(R1) ⋃P(R2)⋃{ A→ S(R1), A→ S(R2) }，并且，令S(R)为A；（2）R为R1R2，则适修改非终结符的名字，使得P(R1)与P(R2)中的所有非终结符没有重名，任选不出现在P(R1)⋃P(R2)中的非终结符A，令P(R)= P(R1) ⋃P(R2)⋃{ A→ S(R1)S(R2) }；并且，令S(R)为A；（3）R为R1*，任选不出现在P(R1) 中的非终结符A，令P(R)= P(R1) ⋃{ A→ AS(R1) , A→ε }；并且，令S(R)为A.设L为正规语言，R为正规表达式，且有L=L(R). 令上下文无关文法G 的产生式集合为上述归纳过程所得到的P(R)，以及G的开始符号为S(R). 可以归纳证明L(G)=L(R)=L.! Exercise 5.1.4 (选做)如果一个CFG的每个产生式的体都最多只有一个变元，并且该变元总在最右端，那么该CFG称做右线性的。
形式语言与自动机答案蒋宗礼
形式语言与自动机答案蒋宗礼【篇一：形式语言第四章参考答案(蒋宗礼)】p> 解：所求正则表达式为：(0+1)*。
+⑵ {0, 1}。
解：所求正则表达式为：(0+1)+。
⑶ { x│x∈{0,1}且x中不含形如00的子串 }。
解：根据第三章构造的fa，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。
⑷ { x│x∈{0,1}*且x中不含形如00的子串 }。
++ +q1为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)* q2为终态时的正则表达式：0*11*0((10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*q3为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0((10)*(00*11*0)*)*1)* q4为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0((00*11*0)*(10)*)*11)*)*将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。
⑺ { x│x∈{0,1}且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，│x│=1且x≠0时，x的首字符为1}。
解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。
另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。
由题设，x=0时，│x│=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。
下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。
q: 输入1，模5是1，进入q1。
+q0: 设x=5n。
输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1q1：设x=5n+1。
输入0，x=(5n+1)*2=10n+2，模5是2，故进入q2输入1，x=(5n+1)*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3 q2：设x=5n+2。
形式语言与自动机理论
本书简介形式语言与自动机理论是计算机科学与技术专业的一门重要课程。
本书是作者结合其20余年来在大学讲授该门课程的经验和体会，选择和组织有关内容撰写而成。
不仅含有有关正则语言、上下文无关语言的文法、识别模型及其性质、图灵机的基本知识，更涉及到本学科方法论中所包含的3个学科形态。
其内容特点是抽象和形式化，既有严格的理论证明，又具有很强的构造性，从而培养学生的形式化描述和抽象思维能力，使学生了解和初步掌握“问题、形式化、自动化（计算机化）”的解题思路。
为了便于学生对内容的掌握，附录A还给出了建议的教学设计。
本书配套出版有《形式语言与自动机理论教学参考书（第2版）》，归纳各章知识点，解读主要内容，解析典型习题。
本书适合作为计算机科学与技术专业的高年级本科生、研究生的教材，也可供相关专业的学生、教师和科研人员参考。
目录第1章 绪论 1.1 集合的基础知识 1.1.1 集合及其表示 1.1.2 集合之间的关系 1.1.3 集合的运算 1.2 关系 1.2.1 二元关系 1.2.2 等价关系与等价类 1.2.3 关系的合成 1.2.4 递归定义与归纳证明 1.2.5 关系的闭包 1.3 图19 1.3.1 无向图 1.3.2 有向图 1.3.3 树 1.4 语言 1.4.1 什么是语言 1.4.2 形式语言与自动机理论的产生与作用 1.4.3 基本概念 1.5 小结 习题第2章 文法 2.1 启示 2.2 形式定义 2.3 文法的构造 2.4 文法的乔姆斯基体系 2.5 空语句 2.6 小结 习题82第3章 有穷状态自动机 3.1 语言的识别 3.2 有穷状态自动机 3.3 不确定的有穷状态自动机 3.3.1 作为对DFA的修改 3.3.2 NFA的形式定义 3.3.3 NFA与DFA等价 3.4 带空移动的有穷状态自动机 3.5 FA是正则语言的识别器 3.5.1 FA与右线性文法 3.5.2 FA与左线性文法 3.6 FA的一些变形 3.6.1 双向有穷状态自动机 3.6.2 带输出的FA 3.7 小结 习题第4章 正则表达式 4.1 启示 4.2 正则表达式的形式定义 4.3 正则表达式与FA等价 4.3.1 正则表达式到FA的等价变换 4.3.2 正则语言可以用正则表达式表示 4.4 正则语言等价模型的总结 4.5 小结 习题153第5章 正则语言的性质 5.1 正则语言的泵引理……第6章 上下文无关语言第7章 下推自动机第8章 上下文无关语言的性质第9章 图灵机第10章 上下文有关语言附录A 教学设计附录B 缩写符号词汇索引参考文献下载后 点击此处查看更多内容。
形式语言与自动机格雷巴赫范式转换
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Step 3 Modify the rules so that the nonterminals are in ascending order. By “ascending order” we mean:
if Ai → AjX is a rule, then i < j
hAing-1he→sta-rXuYle.:NAon-w1
→ AnY. Substitute An with its rhs: that rule is in Greibach Normal Form.
Continue down the rules, doing the substitution.
rhs = right-hand side
9
对比不使用格雷巴赫范式表示的文法
不使用格雷巴赫范式表示的文法
S → aA A →B B→C C→a
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格雷巴赫范式的本质是一种前缀表示法
使用格雷巴赫范式表示的文法
Expr → +AB A →5 B → *CD C→2 D →3
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使用格雷巴赫范式的优点 ❖ 字符串可被快速解析 ❖ 表达式可被有效评估.
4
什么是格雷巴赫范式?
A context-free grammar is in Greibach Normal Form if the right-hand side of each rule has one terminal followed by zero or more non-terminals:
How to Convert a Context-Free Grammar to Greibach Normal Form