巧用几何知识解决代数中的疑难问题
平面几何与代数的关系与运用
平面几何与代数的关系与运用几何学和代数学是数学学科中的两个重要分支，它们在数学的研究和应用中发挥着不可替代的作用。
平面几何与代数之间存在着密切的关系，通过代数的方法可以更深入地理解和运用平面几何的概念和定理。
本文将探讨平面几何与代数的关系，以及如何运用代数来解决平面几何问题。
一、平面几何与代数的关系平面几何是研究平面上的点、线、面及其相互关系的一门学科，它通过几何公理和定理来研究几何图形的性质。
而代数学是研究数与字母之间的关系和运算规律的学科，它通过符号和代数表达式来表示和处理数学问题。
平面几何和代数之间的关系在于代数可以为几何图形提供表达式和运算方式。
通过代数的方法，我们可以用数学符号和方程式来表示几何图形的性质，进而推导出一些几何定理。
比如，过平面上两点的直线可以用方程式来表示，两点的坐标可用代数的方法求解直线的方程式。
同时，代数也可以为几何问题的证明提供思路和依据。
通过代数运算和性质，我们可以推导和证明几何图形的性质和关系。
比如，通过代数的方法可以推导出关于平行线的性质，进而证明平行线的内错角相等等几何定理。
二、代数在平面几何中的运用1. 坐标系坐标系是平面几何和代数相结合的一个重要工具。
在坐标系中，平面上的点可以用有序数对（x，y）表示，其中x和y分别表示点在x轴和y轴上的坐标。
通过坐标系，我们可以用代数的方式研究平面上点、线、面之间的关系。
比如，通过坐标系可以求解线段的长度、直线的斜率等。
2. 同次坐标同次坐标是一种将平面几何问题转化为代数问题的方法。
通过引入同次坐标，我们可以用代数的方法解决一些几何问题。
比如，在平面上通过三点的圆的方程可以用同次坐标来表示，进而通过代数运算求解。
3. 向量向量是平面几何和代数的桥梁之一。
通过向量的方法，我们可以用代数的方式描述和计算平面上的位移、速度、加速度等物理量。
向量的性质和运算规则也为解决几何问题提供了便利。
比如，通过向量可以判断三点是否共线，计算线段的中点等。
学习利用代数方法解几何问题
学习利用代数方法解几何问题在代数中，我们经常使用代数方法来解决各种各样的问题。
而在几何学中，我们可以运用代数方法将几何问题转化为代数问题，并通过求解代数方程组来得到几何问题的解答。
本文将介绍如何学习并利用代数方法解决几何问题。
一、代数方法的基本原理代数方法是将几何问题转化为代数问题，通过代数方程的求解来解决几何问题。
为了能够应用代数方法解决几何问题，我们需要了解以下几个基本原理。
1. 代数与几何的关系代数与几何是密切相关的学科，它们相互补充和支持。
代数可以提供几何问题的一种抽象表示方法，而几何可以帮助我们直观地理解代数概念。
2. 代数方程组的求解在代数中，我们经常遇到各种各样的方程。
解决方程的过程需要运用代数技巧，并通过变量的求解得到方程的解。
同样，对于几何问题，我们可以将几何条件转化为代数方程组，并得到方程组的解作为几何问题的解答。
3. 几何问题的代数化为了将几何问题转化为代数问题，我们需要将几何条件用代数符号表示。
例如，可以将线段的长度表示为变量，将角的度数表示为未知数等。
通过建立几何问题的数学模型，我们可以得到代数方程组。
二、代数方法解决几何问题的步骤学习代数方法解决几何问题需要遵循一定的步骤和思路。
下面将为大家介绍一种常用的代数方法解题的步骤。
1. 问题的分析首先，我们需要仔细阅读题目并理解问题的要求。
在这一步骤中，我们需要分析几何问题，并找出问题所涉及的几何要素，例如线段、角、三角形等。
2. 几何条件的代数化在获得问题的几何要素后，我们需要将几何条件用代数符号表示。
例如，可以用x表示线段的长度，用θ表示角的度数等。
通过这一步骤，我们可以建立几何问题的数学模型。
3. 建立代数方程组根据题目给出的几何条件，我们可以建立几何问题的代数方程组。
例如，可以根据线段的长度关系建立方程，根据角的性质建立方程等。
通过建立代数方程组，我们可以将几何问题转化为代数问题。
4. 解代数方程组一旦建立了代数方程组，就可以通过求解方程组得到几何问题的解答。
初中数学代数、几何解题技巧
如何用好题目中的条件暗示之邯郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日有一类题目,我们在解前面几小题时,其解题思路和办法往往对解后面问题起着很好的暗示作用,现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明,供同学们在学习过程中参考.【例1】直线与x轴、y轴辨别交于B、A两点,如图1.图1 （1）求B、A两点的坐标；（2）把△AOB以直线AB为轴翻折,点O落在平面上的点C处,以BC为一边作等边△BCD.求D点的坐标.解析：（1）容易求得,A（0,1）.（2）如图2,图2∵,A（0,1）,∴OB=,OA=1.∴在Rt△AOB中,容易求得∠OBA=30°∵把△AOB以直线AB为轴翻折,∴∠OBC=2∠OBA=60°,BO=BC.∴△O BC是等边三角形以BC为一边作等边△BCD,则D的落点有两种情形,可辨别求得D的坐标为（0,0）,.反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标辨别为B（,0）,A（0,1）,实质上暗示着Rt△AOB中,OA=1,OB=,即暗示着∠OBA=30°,为解第（2）小题做了很好的铺垫.【例2】直线与x轴、y轴辨别交于A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°,且点P（1,a）为坐标系中的一个动点,如图3.图3（1）求三解形ABC的面积.（2）证明不管a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数；（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等,求实数a的值.解析：（1）容易求得：A（,0）,B（0,1）,∴.（2）如图4,连接OP、BP,过点P作PD垂直于y轴,垂足为D,则三角形BOP的面积为,故不管a取任何实数,三角形BOP的面积是一个常数.图4（3）如图4,①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：,和第（3）小题的条件可得：∴,∵, ∴,∴.②如图5,当点P在第一象限时,用类似的办法可求得a=.图5反思：由第（1）小题中求得的和第（2）小题中证明所得的结论：三角形BOP的面积是一个常数,实质上暗示着第（3）小题的解题思路：利用来解.通过这两道题目的阐发可以发明,在解题过程中,如果经常回头看一看、想一想,我们往往会发明,很多题目的解题思路原来就在题目之中.分式运算的几点技巧分式运算的一般办法就是按分式运算法例和运算顺序进行运算.但对某些较庞杂的题目,使用一般办法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,下面列举几例介绍分式运算的几点技巧.一. 分段分步法例 1. 计算：解：原式说明：若一次通分,计算量太大,注意到相邻分母之间,依次通分组成平方差公式,采取分段分步法,则可使问题简单化.同类办法练习题：计算（答案：）二. 割裂整数法例2. 计算：解：原式说明：当算式中各分式的份子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用割裂整数法对份子降次后再通分；在解某些分式方程中,也可使用割裂整数法.同类办法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零）,团团的卡片比这些多6张,圆圆的卡片比这些多2张,且知团团的卡片是圆圆的整数倍,求团团和圆圆各多少张卡片？（答案：团团8张,圆圆4张）三. 拆项法例 3. 计算：解：原式说明：对形如上面的算式,分母要先因式分化,再逆用公式,各个分式拆项,正负抵消一部分,再通分.在解某些分式方程中,也可使用拆项法.同类办法练习题：计算：（答案：）四. 活用乘法公式例4. 计算：解：当且时,原式说明：在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式,分式运算中若恰当使用乘法公式,可使计算简便.同类办法练习题：计算：（答案：）五. 巧选运算顺序例 5. 计算：解：原式说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号,计算将很麻烦,一般两个分式的和（差）的平方或立方不克不及按公式展开,只能先算括号内的.同类办法练习题：解方程（答案：）六. 见繁化简例 6. 计算：解：原式说明：若运算中的分式不是最简分式,可先约分,再选用适当办法通分,可使运算简便.同类办法练习题：解方程（答案：）在分式运算中,应按照分式的具体特点,灵活机动,活用办法.方能起到事半功倍的效率.多边形内角和问题的求解技巧1、多边形的每个内角与和它相邻的外角互为补角.这个条件在题目中一般不会作为已知条件给出,因此,在解题时应按照需要加以利用.例1 一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°,求此正多边形的边数.阐发：由于这个正多边形的每个外角与和它相邻的内角互为邻补角,按照题意,可先求出外角的大小,再求边数.解：设每个外角的大小为x°,则与它相邻的内角的大小为（3x+20）度.按照题意,得解得,即每个外角都等于40°.所以,即这个正多边形的边数为9.2、利用多边形内角和公式求多边形的边数时,经常设边数为n,然后列出方程或不等式,利用代数办法解决几何问题. 例 2 已知一个多边形的每个内角都等于135°,求这个多边形的边数.解法1：设多边形的边数为n,依题意,得解得n=8,即这个多边形的边数为8.解法2：依题意知,这个多边形的每个外角是180°－135°=45°.所以,多边形的边数,即这个多边形的边数为8.3、正多边形各内角相等,因此各外角也相等.有时利用这种隐含关系求多边形的边数,比直接利用内角和求边数简捷（如上题解法2）.解题时要注意这种逆向思维的运用.例3 一个多边形除去一个内角后,其余内角之和是2570°,求这个多边形的边数.阐发：从已知条件可知这是一个与多边形内角和有关的问题.由于除去一个内角后,其余内角之和为2570°,故该多边形的内角和比2570°大.又由相邻内、外角间的关系可知,内角和比2570°+180°小.可列出关于边数n的不等式,先确定边数n的规模,再求边数.解：设这个多边形的边数为n,则内角和为（n－2）·180°.依题意,得解这个不等式,得.所以n=17,即这个多边形的边数为17.说明：这类题都隐含着边数为正整数这个条件.4、把不规则图形转化为规则图形是研究不规则图形的经常使用办法,其解题关头是机关合适的图形.例4 如图1,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小.图1阐发：解题关头是把该图形与凸多边形联系起来,从而利用多边形内角和定理来解决,因此可考虑连接CF.解：连接CF.∵∠COF=∠DOE∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠OCF+∠OFC+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（5－2）×180°证明三角形全等的一般思路一、当已知两个三角形中有两边对应相等时,找夹角相等（SAS）或第三边相等（SSS）.例1. 如图1,已知：AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝60°,且B、C、D在同一条直线上.求证：AD＝BE阐发：要证AD＝BE注意到AD是△ABD或△ACD的边,BE是△DEB或△BCE的边,只需证明△ABD≌△DEB或△ACD≌△BCE,显然△ABD和△DEB不全等,而在△ACD和△BCE中,AC＝BC,CD＝CE,故只需证它们的夹角∠ACD＝∠BCE即可.而∠ACD＝∠ACE＋60°,∠BCE＝∠ACE＋60°故△ACD≌△BCE（SAS）二、当已知两个三角形中有两角对应相等时,找夹边对应相等（ASA）或找任一等角的对边对应相等（AAS）例2. 如图2,已知点A、B、C、D在同一直线上,AC＝BD,AM∥CN,BM∥DN.求证：AM＝CN阐发：要证AM＝CN只要证△ABM≌△CDN,在这两个三角形中,由于AM∥CN,BM∥DN,可得∠A＝∠NCD,∠ABM＝∠D可见有两角对应相等,故只需证其夹边相等即可.又由于AC＝BD,而故AB＝CD故△ABM≌△CDN（ASA）三、当已知两个三角形中,有一边和一角对应相等时,可找另一角对应相等（AAS,ASA）或找夹等角的另一边对应相等（SAS）例3. 如图3,已知：∠CAB＝∠DBA,AC＝BD,AC交BD于点O.求证：△CAB≌DBA阐发：要证△CAB≌△DBA在这两个三角形中,有一角对应相等（∠CAB＝∠DBA）一边对应相等（AC＝BD）故可找夹等角的边（AB、BA）对应相等即可（利用SAS）.四、已知两直角三角形中,当有一边对应相等时,可找另一边对应相等或一锐角对应相等例 4. 如图4,已知AB＝AC,AD＝AG,AE⊥BG交BG的延长线于E,AF⊥CD交CD的延长线于F.求证：AE＝AF阐发：要证AE＝AF只需证Rt△AEB≌Rt△A FC,在这两个直角三角形中,已有AB＝AC故只需证∠B＝∠C即可而要证∠B＝∠C需证△ABG≌△ACD,这显然易证（SAS）.五、当已知图形中无现存的全等三角形时,可通过添作帮助线组成证题所需的三角形例 5. 如图5,已知△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BD是中线,AE⊥BD于F,交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE阐发：由于结论中的两个角分属的两个三角形不全等,故需作帮助线.注意到AE⊥BD,∠BAC＝90°,有∠1＝∠2,又AB＝AC.故可以∠2为一内角,以AC为一直角边机关一个与△ABD全等的直角三角形,为此,过C作CG⊥AC交AE的延长线于G,则△ABD≌△CAG,故∠ADB＝∠CGA.对照结论需证∠CGA＝∠CDE又要证△CGE≌△CDE,这可由CG＝AD＝CD,∠ECG＝∠EBA＝∠ECD,CE＝CE而获证.计算线段长度的办法技巧线段是基本的几何图形,是三角形、四边形的组成元素.初一同学对于线段的计算感应有点摸不着头绪.这是介绍几个计算办法,供同学们参考.1. 利用几何的直不雅性,寻找所求量与已知量的关系例1. 如图1所示,点C分线段AB为5：7,点D分线段AB为5：11,若CD＝10cm,求AB.图1阐发：不雅察图形可知,DC＝AC －AD,按照已知的比例关系,AC、AD均可用所求量AB暗示,这样通过已知量DC,即可求出AB.解：因为点C分线段AB为5：7,点D分线段AB为5：11所以又又因为CD＝10cm,所以AB＝96cm 2. 利用线段中点性质,进行线段长度变换例 2. 如图2,已知线段AB＝80cm,M为AB的中点,P在MB上,N为PB的中点,且NB＝14cm,求PA的长.图2阐发：从图形可以看出,线段AP等于线段AM与MP的和,也等于线段AB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与MP的长或者求出线段PB的长即可.解：因为N是PB的中点,NB＝14所以PB＝2NB＝2×14＝28又因为AP＝AB－PB,AB＝80所以AP＝80－28＝52（cm）说明：在几何计算中,要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解,要做到步步有按照.3. 按照图形及已知条件,利用解方程的办法求解例 3. 如图3,一条直线上顺次有A、B、C、D四点,且C为AD的中点,,求BC是AB的多少倍？图3阐发：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又C为AD的中点,即,不雅察图形可知,,可得到BC、AB、AD又一个方程,从而可用AD辨别暗示AB、BC.解：因为C为AD的中点,所以因为,即又由<1>、<2>可得：即BC＝3AB例4. 如图4,C、D、E将线段AB分红2：3：4：5四部分,M、P、Q、N辨别是AC、CD、DE、EB的中点,且MN＝21,求PQ的长.图4阐发：按照比例关系及中点性质,若设AC＝2x,则AB上每一条短线段都可以用x的代数式暗示.不雅察图形,已知量MN＝MC＋CD＋DE＋EN,可转化成x的方程,先求出x,再求出PQ.解：若设AC＝2x,则于是有那么即解得：所以4. 分类讨论图形的多样性,注意所求结果的完整性例5. 已知线段AB＝8cm,在直线AB上画线段BC＝3cm,求AC的长.阐发：线段AB 是固定不变的,而直线上线段BC的位置与C点的位置有关,C点可在线段AB上,也可在线段AB的延长线上,如图5.图5解：因为AB＝8cm,BC＝3cm所以或综上所述,线段的计算,除选择适当的办法外,不雅察图形是关头,同时还要注意规范书写格局,注意几何图形的多样性等.【练习】1. 已知如图6,B、C两点把线段AD分红2：3：4三部分,M是线段AD的中点,CD＝16cm.求：（1）MC的长；（2）AB：BM的值.图62. 如图7所示,已知AB＝40cm,C为AB的中点,D为CB上一点,E为DB的中点,EB＝6cm,求CD的长.图7【答案】1. （1）2cm；（2）4：52. 8 cm列方程解应用题的办法一. 直译法设元后,视元为已知数,按照题设条件,把数学语言直译为代数式,即可列出方程.例1. （2004年山西省）甲、乙两个建筑队完成某项工程,若两队同时开工,12天就可以完成工程；乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天.问单独完成此项工程,乙队需要多少天？解：设乙单独完成工程需x天,则甲单独完成工程需（x－10）天.按照题意,得去分母,得解得经检验,都是原方程的根,但当时,,当时,,因时间不克不及为正数,所以只能取.答：乙队单独完成此项工程需要30天.点评：设乙单独完成工程需x天后,视x为已知,则按照题意,原原本本的把语言直译成代数式,则方程很快列出.二. 列表法设出未知数后,视元为已知数,然后综合已知条件,掌控数量关系,辨别填入表格中,则等量关系不难得出,进而列出方程（组）.例2. （2004年海淀区）在某校举办的足球角逐中规定：胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某班足球队介入了12场角逐,共得22分,已知这个队只输了2场,那么此队胜几场？平几场？解：设此队胜x场,平y场由列表与题中数量关系,得解这个方程组,得答：此队胜6场,平4场.点评：通过列表格,将题目中的数量关系显露出来,使人明白,从胜、平、负的场数之和等于12,总得分22分是胜场、平场、负场得分之和.建立方程组,利用列表法求解使人易懂.三. 参数法对庞杂的应用题,可设参数,则往往可起到桥梁的作用.例3. 从A、B两汽车站相向各发一辆车,再隔相同时间又同时收回一辆车,按此规律不竭发车,且知所有汽车的速度相同,A、B间有骑自行车者,觉察每12分钟,后面追来一辆汽车,每隔4分钟迎面开来一辆汽车,问A、B两站每隔几分钟发车一次？解：设汽车的速度为x米/分；自行车的速度为y米/分,同一车站收回的相邻两辆汽车相隔m米.A、B两站每隔n分钟发一次车.则从A站发来的两辆汽车间的距离为12［（汽车行进速度）－（自行车行进速度）］,从B站发来的两辆汽车间的距离为：4［（汽车行进速度）＋（自行车行进速度）］.由题意,得得：所以由（3）得,又由（4）得答：A、B两站相隔6分钟发车一次.点评：本例不必直接设元,因为无从着手,需要的已知量较多,但又是未知的,而选用x、y、m、n的参数,从而很容易列出方程组,使庞杂的问题迎刃而解.四. 线示法运用图线,把已知和未知条件间的数量关系,用线性图暗示出来,则等量关系可一目了然.例4. A、B两地间的路程为36里,甲从A地,乙从B地同时出发相向而行,二人相遇后,甲再走2小时30分钟到达B地,乙再行走1小时36分钟到达A地,求二人的速度？解：设甲的速度为x里/小时,乙的速度为y里/小时,2小时30分小时,1小时36分小时.从出发到相遇时间小时,甲从A到相遇点C要走里,乙从C地到A走了里；乙从B到C要走里,甲从C到B走里,从图1可以看清.图1于是解得答：甲、乙二人的速度辨别是8里/小时,10里/小时.点评：把速度、时间、距离三者关系用线性图暗示,再把数量关系写在直线图上,则等量关系一目了然.圆与圆位置关系中罕见帮助线的作法1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角,沟通两圆的角的关系.例1. 如图1,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过A、B辨别作直线CD、EF,且CD//EF,与两圆相交于C、D、E、F.求证：CE＝DF.图1阐发：CE和DF辨别是⊙O1和⊙O2的两条弦,难以直接证明它们相等,但通过连结AB,则可得圆内接四边形ABEC和ABFD,利用圆内接四边形的性质,则易证明.证明：连结AB因为又所以即CE//DF又CD//EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE＝DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距机关直角三角形,解决有关的计算问题.例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B 两点,两圆的半径辨别为和,公共弦长为12.求的度数.图2阐发：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧,要求的度数,可利用角的和或差来求解.解：当AB位于O1、O2异侧时,如图2.连结O1、O2,交AB于C,则.辨别在和中,利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时,如图3图3则综上可知或3. 两圆相切,作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4,⊙O1和⊙O2外切于点P,A是⊙O1上的一点,直线AC切⊙O2于C,交⊙O1于B,直线AP交⊙O2于D.求证PC平分.图4阐发：要证PC平分,即证而的边散布在两个圆中,难以直接证明.若过P 作两圆的公切线PT,与AC交于T易知由弦切角定理,得又是的一个外角所以又从而有即PC平分4. 两圆相切,作连心线利用连心线经过切点的性质,解决有关计算问题.例4. 如图5,⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A,⊙O1经过圆心O2,作⊙O2的直径BC,交⊙O1于点D,EF为过点A的公切线,若,求的度数.图5阐发：是弦切角,要求其度数,需将其转化为圆周角或圆心角,因此连结O1O2、O1A,则O1O2必过点A,且O2A为⊙O1的直径,易知.连结DA,则于是又为锐角所以从而有5. 过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线,机关直角三角形.例5. 如图6,⊙O1与⊙O2外切于点O,两外公切线PCD和PBA切⊙O1、⊙O2于点C、D、B、A,且其夹角为,,求两圆的半径.图6阐发：如图6,连结O1O2、O1A、O2B,过点O2作,机关,下面很容易求出结果.请同学们自己给出解答.（答案：两圆的半径辨别为3和1）几何证明的几种特殊办法一、分化法即把一个图形分化成几个简单的图形或分红具有某种特殊关系的图形,然后借助于分化后的图形的性质来推导出所要证明的问题的一种办法.例1. 如图1,ABCD是任意四边形,E、F将AB分红三等分,G、H将CD分红三等分.求证：四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的三分之一.阐发：四边形问题我们常联系成三角形问题来解决.于是考虑连结AC、AH、HF、FC,由题意和“等底等高的三角形面积相等”知：所以所以又所以故二、特殊化法即先考察命题的某些特殊情形,从特例中探索一般规律,或从特例中得到启发,从而解决一般问题的一种办法.例2. 如图2,设P为∠AOB的平分线上一定点,以OP为弦作一圆,辨别交OA、OB于C、D.求证：OC与OD的和为定值.阐发：学生往往找不到定值是什么,若将“弦OP”特殊化为“直径OP”,则△OPC和△OPD是全等直角三角形,因而,OC＝OD＝,于是判断OC与OD的和为定值.故过P作PE⊥OA,PF⊥OB,连PC、PD,可证△PCE≌△PDF,所以CE＝DF,OE＝OF.所以即OC＋OD为定值.三、扩充法即把图形扩充为另一个图形,借助于扩充后图形的性质来推导出所要证明的问题的一种办法.例3. 如图3,已知AD为△ABC的边BC上的中线,O为AD一点,BO、CO与AC、AB辨别交于E、F.求证：EF∥BC阐发：要证两线平行,考虑到平行线的判定,而这里只有BD＝DC,故考虑延长OD至G,使DG＝OD,扩充得到平行四边形BGCO,则,OF∥BG,所以,故EF∥BC.四、类比转换法即将所要论证的问题进行转换并与其类似的问题对比,从而得到启发,使问题得以解决的一种办法.例 4. 如图4,在△ABC中,已知AB＝AC,∠BAC＝108°,AH⊥BC于H,∠DAC＝.求证：阐发：这类问题常转换为：,而在直角三角形ADH和AEH中,和辨别为∠DAH的余弦和∠AEH的正弦,由题意可计算知∠DAH＝∠AEH ＝18°,联想到,该问题得证.五、面积法即利用面积定理,结合图形中的面积关系,找到与问题相关的数量关系,使问题得到解决的一种办法.例5. 如图5,平行四边形ABCD中,E在AD 上,F在AB上,且DF＝BE,DF与BE交于G.求证：CG平分∠BGD.阐发：证明角平分线有两种经常使用办法：这条射线分得的两个角相等或这条射线上一点到角两边的距离相等.连CE、CF,作高CH、CP,此题图中有,而DF＝BE,故高CP＝CH,于是CG平分∠BGD.六、代数法即按照图形的有关性质布列方程、不等式或函数式等,再利用相关代数知识来解题的一种办法.例6. 如图6,在凸四边形ABCD中,AB＝2,P是AB 边的中点,如果∠DAB＝∠ABC＝∠PDC＝90°,求证：四边形ABCD的面积的最小可能值是 4.阐发：显然,四边形ABCD 的面积的大小与AD、BC的大小有关.故令AD＝x,BC＝a,四边形ABCD 的面积＝y,DF⊥CB于F,由题意：AP＝PB＝1,BF＝AD＝x,DF＝AB＝2,.所以所以因x、y均为正实数,故由一元二次方程的根的判别式得时间：二O二一年七月二十九日。
初中几何问题的代数解法探索
初中几何问题的代数解法探索
作者：郑群耀
来源：《学校教育研究》2019年第02期
用代数方法解初中的几何问题是几何中常见的一种方法，在求线段的长度、角的大小等常规题中经常要用到，同时，在解求极值问题、存在性问题、三角函数等问题时，也常要把几何问题代数化，即通过设未知数，再找出等量关系列出方程或方程组得以解决，下面举几个例子来加以说明。
说明：此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去.题目涉及多种情况，因此，也应该有多个等量关系，如、和等，再根据这些等量关系分别列出方程，从而求出t的值。
综合以上例子，我们在求几何中的线段长度、角的度数、函数之间关系式时，常要通过找出题中隐含的等量关系，把几何问题转化为方程问题来解决；在求几何的极值问题时常把它转化为求二次函数的极值问题；在解存在性、可能性问题或动点问题时，常把它转化成解方程求根的情况的问题来解决，当方程无解或解得的方程的解不符合要求的时，则不存在，否则存在，特别是所列方程是一元二次方程时，常通过其根的判别式来判定。
当然，以上所举例子的解题思路只是一般的解题思路，而对于具体的问题，还应该进行具体分析，从而找出最佳的解题方案。
用代数方法解决几何问题
几何法不仅作 了多条辅助线 ， 而且证 明过程 中涉及多个
三角形 ， 多 次推导 得到垂 心和外 心 ， 再得 到解 答 ， 十分繁 琐 ， 而代数法简单明 了．
例３ ． 设 ＡＢ Ｃ Ｄ 是矩形 ， 为矩形所在 平面上一点 ， 直 线
例１ ． 如图 １ ， 在等腰直 角 △ Ａ Ｂ ｃ中 ，
用 代 数 方 法 解 决 几 何 问题
华南师范大 学数 学科 学学院（ ５ １ ０ ６ ３ １ ） 王君 玉 吴康
学 生在 遇到平 面几何 难题 时 ， 往 往无 从下手 ， 几何 难题 涉 及 的知 识点 较 多 ， 而 且通 常需 要做 一些 难 以想 到 的辅 助 线， 这 样造 成了 比较 大 的困难 ， 有没有 更好 的方 法解 决几何
。
代数 法 ： 设 ／ ＡＢ Ｅ＝ ａ ， ｚ Ｅ Ｂ Ｃ ＝ ’ ． ‘ ＋ ＝９ ｏ ｏ ， ｌ ＝ ｆ
９ ０。一 ， ＢＡ ： １， Ａ ： ， ＢＥ ： ， ＢＣ ： ， ｃ 。ｓ ， ８ ：
／
图３
＼
图４
ｃ 。 ｓ （ ４ ５ 。 一 ） ＝ｃ ｏ ｓ ４ ５ 。 ＋ｓ ｉ ｎ ４ ５ ￣ ｓ ｉ ｎ 口＝
使Ｚ Ｅ Ｂ Ｃ＝ ６ ０ 。 ， 在Ｂ Ｅ延长 线上取一点 Ｄ， 使Ｚ ＤＣ Ｂ＝ ４ ０ 。 ，
连 Ｄ Ａ ， ＤＭ， ＤＣ ， Ｅ Ａ易知 Ｃ Ａ＆ ＤＢ ， Ｂ Ａ Ｘ ． ＤＣ， 即 Ａ为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的
垂心 ， 知Ｚ Ａ ＤＢ ＝ ３ ０ 。 ．
直角坐标系． 设 Ｄ（ ｄ ， ０ ） ， Ｂ （ Ｏ ， ｂ ） ， Ｃ （ ｄ ， ｂ ） ， Ｋ （ ｐ ， ｑ ） 直线 Ｋ Ａ： ｙ ’ Ｃ Ｆ ‘ ・
如何用形解决简单的代数问题
如何用形解决简单的代数问题代数问题是数学中常见的一类问题，需要通过符号与变量的运算来求解。
然而，有时候简单的代数问题却会让人感到头疼。
那么，有没有一种方法能够帮助我们更轻松地解决这些问题呢？答案是肯定的，那就是利用形状和图像来解决简单的代数问题。
在本文中，我将介绍如何运用形状和图像解决简单的代数问题，希望能给大家带来一些帮助。
一、代数问题的难点在解决代数问题时，最大的难点之一是理解问题和找到问题的隐含信息。
有时候，代数问题的表达方式很抽象，不容易直接理解。
此时，利用形状与图像来辅助理解将有助于我们更好地把握问题的本质。
二、运用形状解决问题1.例题一假设有一段铁丝长度为x，现在要将这段铁丝分成三段，每段的长度分别是x-3、2和x+1，问这段铁丝的长度是多少？解析：首先，我们可以将这个问题用一个形状来表示。
我们可以将长度为x的铁丝表示为一条直线，然后在直线上用虚线将其分成三段。
分别记为AB, BC, CD，其中AB的长度为x-3，BC的长度为2，CD的长度为x+1。
根据题意，我们知道这三段的长度之和等于整段铁丝的长度。
通过观察这个图形，我们可以得到方程：(x-3) + 2 + (x+1) = x。
通过简单的计算，我们可以得到x的值为4。
2.例题二现在有一个正方形的面积为x，要将其边长增加2，问增加后的正方形的面积是多少？解析：与例题一类似，我们可以用一个形状来表示这个问题。
首先，我们可以将正方形表示为一个具有四条相等边的图形。
然后，我们可以将这个正方形分为两个部分，一个部分为原来的正方形，另一个部分为增加后的正方形。
我们可以通过观察这个图形得到下面方程：(x + 2)² = x通过简单的计算，我们可以得到x的值为-2。
三、运用图像解决问题在解决一些简单的代数问题时，我们还可以通过绘制图像来更好地理解问题并求解出答案。
1.例题一现在有一条长为x的绳子，要将它切成三段，第一段为长x-2，第二段为长5，第三段为长x+1，问这条绳子的长度是多少？解析：我们可以将这个问题用一个直角坐标系来表示。
15 求解几何问题的代数法
例3 下列四个命题是同真的: 命题1 若直线a平行于平面β 上的一条直线b，则a//β . 命题2 若直线a垂直于直线b上的一个平面β ，则a⊥b. 命题3 若平面α 平行于直线b上的一个平面β ，则α //b. 命题4 若平面α 垂直于平面β 上的一条直线b，则α ⊥β .
注意，在这组对偶命题中，在把某一直线换成平面时，
单对偶命题，双对偶命题，三对偶命题，… 有时为了保证对偶命题有意义，必须同时调换一个 命题中的多个元素及其相应的关系。
• 例如，若是平面换直线，则“在平面上的直线”必须相 应地换成“在直线上的平面”，反之亦然.
例1 下列四个命题是同真的. 命题l 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 直线平行. 命题2 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 直线垂直. 命题3 通过空间一点能作且仅能作一个平面与已知 平面平行. 命题4 通过空间一点能作且仅能作一条直线与已知 平面垂直.
向量知识在处理立体几何问题中的重要应用主
要是通过向量的各种运算来体现的. 这一节，我们重点来看一看向量的内积与外积 在处理立体几何问题中的一些应用与应用方法.
向量的内积
空间向量的数量积与两向量所成的角紧密联系
在一起，因此，在讨论空间直线与直线、直线 与平面、平面与平面的位置关系时，常可运用 向量的数量积运算来处理.在讨论空间二直线共 面或异面时，因均可归结为共面的情形处理， 因而也可运用向量的数量积运算来处理. 这样处理，可以把几何论证代数化. 立体几何中的一些垂直问题，运用向量的空间 结构特点及数量积来处理非常方便.
题的工具. 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及 的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积比表 示有关几何量或其比，从而把要论证的几何量之间的 关系转化为有关面积之间的关系，并通过图形面积的 等积变换对所论问题来进行求解的方法，我们称之为 面积法. 所谓面积法，就是运用图形的面积关系，建立一个或 几个关于面积的方程或不等式，通过推理或演算，解 决问题的一种方法．这种方法对研究等底、等高或同 底、同高图形的性质特别有效．
数学中的代数与几何的综合应用
数学中的代数与几何的综合应用在数学的广袤领域中，代数和几何犹如两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒。
然而，当它们相互融合、协同作用时，所展现出的力量和魅力更是令人叹为观止。
代数为几何提供了精确的量化工具，几何则为代数赋予了直观的形象表达，二者的综合应用在解决各种数学问题以及实际生活中的难题时，发挥着至关重要的作用。
代数与几何的结合，最常见的体现便是在解析几何中。
通过建立坐标系，我们可以将几何图形中的点、线、面等元素用代数方程来表示。
比如，一条直线可以用形如 y ＝ kx ＋ b 的方程来描述，其中 k 为斜率，b 为截距。
而一个圆则可以用方程（x a)²＋（y b)²＝ r²来表示，其中（a, b) 为圆心坐标，r 为半径。
这种将几何对象转化为代数方程的方法，使得我们能够运用代数运算来研究几何图形的性质。
例如，要求两条直线的交点，只需联立它们的方程求解即可。
如果是求一个点到一条直线的距离，也可以通过相关的代数公式进行计算。
这种方法不仅简化了几何问题的求解过程，还为我们提供了一种通用且系统的研究手段。
在实际应用中，代数与几何的综合应用更是无处不在。
比如在物理学中，运动轨迹的研究就离不开这两者的结合。
假设一个物体做平抛运动，我们可以通过建立直角坐标系，利用代数中的运动学公式和几何中的图形关系，来描述物体在不同时刻的位置、速度和加速度等物理量。
通过求解相关的代数方程，我们能够准确地预测物体的运动轨迹和最终的落点。
再比如在工程设计中，代数与几何的综合应用也发挥着重要作用。
当设计一个桥梁的结构时，工程师需要考虑桥梁的承重能力、稳定性以及美观性等多个因素。
通过建立几何模型，并运用代数中的力学公式进行计算和分析，能够确定桥梁各个部分的尺寸、形状和材料，以确保桥梁的安全性和可靠性。
在数学竞赛和考试中，代数与几何的综合问题也是常见的题型。
这类问题通常需要我们灵活运用代数和几何的知识，通过巧妙的转化和推理来求解。
利用代数方法解几何问题
利用代数方法解几何问题在数学学习中，几何问题一直是让很多学生感到头疼的难题。
几何问题需要我们对形状、图形进行分析和推理，而这种直观的思维方式对于一些学生来说并不容易掌握。
然而，代数方法作为一种辅助工具，能够帮助我们更好地解决几何问题。
一、代数方法的基本思想代数方法是将几何问题转化为代数方程或方程组的求解问题。
通过引入代数变量，我们可以将几何问题的约束条件用代数方程来表示，从而利用代数的求解方法来解决问题。
这种方法可以帮助我们通过计算来得到准确的结果，避免了一些繁琐的几何推理过程。
二、代数方法的应用举例1. 长方形面积问题假设一个长方形的宽度是x，长度是2x+4，我们需要求解这个长方形的面积。
利用代数方法，我们可以建立如下的方程：面积 = 宽度 ×长度代入已知条件，得到：(x) × (2x+4) = 面积化简方程，得到：2x^2 + 4x = 面积通过求解这个方程，我们可以得到长方形的面积。
2. 直角三角形斜边问题假设一个直角三角形的两条直角边分别是x和y，我们需要求解这个直角三角形的斜边长度。
利用代数方法，我们可以利用勾股定理建立如下的方程：斜边^2 = 直角边^2 + 直角边^2代入已知条件，得到：斜边^2 = x^2 + y^2通过求解这个方程，我们可以得到直角三角形的斜边长度。
三、代数方法的优势和注意事项1. 优势代数方法能够将几何问题转化为代数方程，通过求解方程来得到准确的结果。
这种方法不仅能够简化计算过程，还能够避免一些繁琐的几何推理。
对于一些复杂的几何问题，代数方法能够提供更直接、更简便的解决思路。
2. 注意事项在应用代数方法解决几何问题时，需要注意以下几点：（1）建立准确的方程：需要仔细分析几何问题的约束条件，正确地将其转化为代数方程。
（2）合理选择代数变量：选择合适的代数变量可以简化方程的形式，降低求解的难度。
（3）检验结果：在求解过程中，需要将得到的代数解转化为几何意义上的结果，并进行检验，确保结果的正确性。
例谈代数法解初中平面几何计算题
例谈代数法解初中平面几何计算题平面几何题是初中数学课程中要求学生们学习的重要内容，在几何题的学习过程中对学生们的思维度有着很高的要求，而且初中平面几何的学习是在为以后的立体几何等内容打基础，所以这就要求学生们在学习初中平面几何的过程中能够熟练掌握学习的方法与解法. 对于初中平面几何中的题目学生在做题时要善于转换思维与方法，在学习的过程中有很多的几何题目都很难用平时直接的方法进行求解与证明，但是如果换用代数法进行求解就会非常方便，所以这就要求学生们在学习初中平面几何的过程中熟练掌握代数法，在运用的过程中学生可以适当地借助一些辅助线等条件来完成所求内容，教师可以在不断的练习中锻炼学生的思维能力和解题逻辑能力，让学生们在学习平面几何的过程中学会用代数法巧妙解决平面几何问题.1. 用代数法解决有关三角形问题三角形是初中平面几何题目中出现频率最高的图形，教师在教学过程中对三角形的讲解内容也非常多而且这一图形中要求学生们记住和掌握的内容和性质也比较多. 例如有关三角形的相似问题，相似是学生们在学习三角形过程中的重要内容，学生们在解有关三角形相似的几何题目中常常会出现没有思绪的情况，在用一般的方法无法解决时，这就要求学生们换一种思维方式与解题方法来考虑问题，从另一个角度对所解题目进行求解，运用代数法将题目中的各种未知量设成未知数并作为已知条件使用，列出它们与已知量之间的数量关系和方程关系进行求解.例如图在△ABC中，AD垂直于BC且交于点D，BE垂直于AC且交于点E ，AD = BC，M为BC的中点，AD交BE 于H，求DH + HM与BC 之间的数量关系.分析该题用纯几何方法很难找出DH + HM与BC之间的关系，但如果考虑用代数知识通过计算，即数形结合法来求解，学生在解题的过程中会很容易找出答案，解题过程如下：解设AD = BC = 2，则BM = CM = 1，设DM = x，CD = 1 - x，BD = 1 + x，因为∠BDH = ∠ADC，∠HBD = ∠CAD，所以△BHD∽△ACD，所以DH ∶CD = BD ∶AD，所以DH = ■（1 - x2），在Rt△MHD中，MH2 = DH2 + DM2，MH2 = ■（1 - x2）2 + x2，所以MH = ■（1 + x2），所以DH + HM = ■（1 - x2）+ ■（1 + x2）= 1，又因为■BC = 1，所以DH + HM = ■BC.在对该题进行求解时代数法的使用大大降低了该题目的难度，通过设适当的未知数，将含有未知数的代数式参与到解题的运算中，用未知数表示同一图形中的相关量，再根据条件建立方程关系进行求解，使此题在解答时变得更加简明.2. 用代数法解决有关圆的计算圆是初中生在学习平面几何过程中非常重要的知识，而且在平时做练习和考试的题目中有关圆出现的题目也非常多，对学生们的测试形式并不是单单只有平面圆的图形，往往跟其他图形相结合对学生所掌握的知识进行测试，在有关圆与其他图形方面的知识有很多，如圆内四边形所有的性质，三角形内切圆、外接圆的各边和中线重线等性质，所以在做有关圆与其他图形相结合的题目时如果用一般的方法进行计算很难得出正确答案，而且在计算的过程中很容易被某些未知条件阻挡，所以当学生遇到有关题目且无法解出答案时可以换一种思考的方式寻求答案，代数法可以在解题的过程中将未知视为已知，通过平面几何解题常用的方法数形结合对未知量进行设解进行计算，这样在解题的过程中只需列出有关的计算式子就可以对未知量进行求解，而且大大减少了学生在解题过程中由于未知量而无法顺利解题的困扰.3. 用代数法解决组合图形问题初中生在平时的平面几何题目的练习过程中遇到的大多数计算题目都是以组合图形的形式出现在学生们的面前，一般情况下单一的图形对学生所学知识的考验程度并不高，而且单一的图形并不能对学生所学的有关平面几何进行综合能力的考验，但是在解决有关组合图形的问题时往往由于图形复杂学生无从插手，而且这类题目中往往涉及的位置条件比较多在计算的过程中很难进行直接计算，所以这就需要学生们在解决这类题目时运用代数法进行求解，在解题的过程中将未知量设成未知数且把它当成已知量进行计算，有了这些条件学生就可以通过数形结合的方式列出相关的关系方程对该题进行计算，在逻辑关系上这些计算方程也会非常简明，让学生在解决这类题目时变得得心应手.代数法在初中数学平面几何的计算题目中应用的范围很广，它可以解决多类相关题目而且该方法是数形结合的最好体现，通过图形列出它们之间的数量关系，而且运用代数法进行解题时大大降低了平面几何题目的难度，学生在做题的过程中也能很好地锻炼思维能力，平面几何图形的学习往往要求学生们在解题的过程中拥有数形结合的能力，在平时练习的过程中没有头绪时使用代数法将图形与它们之间的数量关系完美的结合在一起来进行求解，使所解题目变得更简明. 所以这就要求教师在平面几何的教学过程中要鼓励学生们运用代数法进行平面几何题目的有关计算，在不断地练习中让学生们的思维变得更加活跃，解题逻辑变得更加清晰.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
／
：
分析： 这道题如果我们用常规的
解法消除根式 ， 需要平方两次 ， 较麻 烦． 但是如果我们能仔细观察这道题
它课件 资料 的证法都 大致相 同． 即
先用 平方 消 去绝 对值 ，再 用递推 法去证 明 ． 如果我 们能仔 细观察 到 它左 边 是分式 这 一特 点 ，并把它
责任 编辑
师道 ・ 教研
罗
峰
２ ＂ 年第 １ ００ １ 期
三 、运 用 之 妙
＿＿ １＋
－
反之 ，如果 利 用 到 而二 定 点
、
ｌ ＋ａ
叶 ｌ
＝
因此 ，一 ＜ ｏ １Ｋｅ＝
ｌ十彻
的距 离之 差为 常量 的动点 轨
一
迹是双曲线的性质 ，同样可 以得出 在 区间 （ １ ） 内任一 值都是 某 一 ，１
７２
１ ．
在探索解题思路的时候 ，如果
当几何 形体在某 种范 围内改变时 ，
数量关系也随着相应 变化 ，从而可
以探讨 出规律 ，加以推广 ． 例 ２ 设 ａ 、Ｃ均 为正 数 ， 、ｂ
１ １ １
建立 ， 数形结合 的高度统一 ， 使许
多几何 问题 可 以用 代数方 法解 决．
且 ａｂｃ ｌ ＋ ＋＝ ，求证 ＋ ｜ ＞９ ｛＋ ｔ ．
我们 知道 ，几何 图形除它的直
观性可以启示我们去发现某些数量
我们知道数量关 系赋予几何形 体 ，一方面可以在形 体上 改进数量
关 系 ，另一方 面也 比较容 易看 出 ，
关系外 ，它的许多几何性质也可以
作为推 导一 些数 量关 系的依 据． 早
在公 元二 、三世纪 ，古人为证 明勾 股定 理而作 的方 图，至今看来还 是 令人赞 叹 的范例 ． 随着坐 标系 的 但
的特点， 给二次根式赋以几何意义． 联 系平面上 的两点 间的距 离公式 ， 将
ｒ一 一 —＝＝＝ ——一
像上， 取三点 Ａ（ ， ）Ｂ（ ，１） 。 ， ｂ
ａ ｏ
，
变 ＝ （｝ ｚ 成 、叶 ）（ ｚ ／ ＋ ｝）
ｒ— ——— —— ——— ——— —＝ ＝＝ ——一
ａ ｏ ｃ
反过来同样可 以用几何图形 的直 观 性去解决某些代数疑难问题 ，这一 方法 如果用得恰如其分 ，也会收到
奇效．
例 ３ 设 ｌ Ｉ１ Ｉ ｌ１求证 ａ ＜ ，ｂ ＜ ，
分析 ：这道题在我们高 中数学 课 本 中使用 的是代 数证 法． 但如果我
们 改用 几何 证 法 ，则可 起 到事 半功 倍 的独 到效 果 ． ，在反 比例 函数 ｙ ＿＿ 如图 ：ｌ 的图 ＿
、俨 ） ） 形 ， ／ ｝２ 式 再 （ ＋ （ 的
解 ：在直角 坐标 系中取三 点 ， Ｉ＿０ １ ，） 盹 －＇ ）
根据 两点 问的距离公式 ，就可以轻
ｃｙ ｝ ） 双 线 Ｑ（ｂ，）则有 ： ｐ ）＝ ＋＋ ． 曲 ａ ６ ， ： ， （ ０ 由
ｙ 的 凹性 可知 ，Ｇ在 曲线 的上 ： 方 ，贝 有 Ｉ Ｊ
一
ｃ（ 上 ）则 这三 点构成 的三 角形 ，
，
看成 是一 条 直线 的斜 率 ，那么 只
要 能 证 明 这 条 直 线 的倾 斜 角 在 ＋ ５ 之间摆 动 即可 ． ４。 因此 ，作 出此
图 ，在 图上 取 两 点 Ｐ （ １ － ） 一 ，ａ ，
的重 心 为 Ｇ ，ｏ 即 铷＝＿＿。 ６ 。ｙ ． ） １（＋ ＋ ＿
０ ，
●
＜ ｌ ｌ
分析 ： Ａ
ｙ ｆ Ａ
ｙ。 Ｃ ／
例 １ 对于 ａ Ｒ，其 中 Ｒ为实 ｅ （
这 道 题 不
－
数集 ）试 确 定
、 ｎ ａ 的值堍 ／２ ＿
＝、 叶１一 ／
论 是 现 行
Ｉ
的 高 中 课 止 ． … ． 本 还 是 其
Ｉ
ｌｆ ＿
ｌ＜ Ｊ
１
一
十 —
１
—
任何位 置上 ，直线 尸 Ｑ都在 Ｐ Ｃ与 Ｐ 之 间 ，但 Ｋ ＝ Ｄ ＝， １ ＝
＜
ａ
ｂ
Ｃ
ａ ＋ｂ＋ ｃ
ｌ１ ＝ ，则 ：－ ＜（ ＜ ． １ ａ １ ｆ）
。 １条件 ，可 以得到 ： ：
≥９即为 所 证 ．
案例解来自读 巧用几何知识解决代数 中的疑难 问题
文／ 山市南海区九 江职业技 术学校 佛 李 淑青
一
、
形 神 兼 备
个 ａ的函数值． 二 、形异神同
去模仿学过的例题 ， 套用现成 的公
式 ，寻找条件与结论 的联 系，常常 会 因循守旧 ，导致封 闭性 的思维定 势 ． 方法 虽能 奏效 ，但难 以培 这种 养 学 生 的灵 活性 和创 造 性 ． 因此 ， 只有培养发散思维 ，学生才能在遇 到一些有意义的题 目时，不致于满 足现有的解 法和常规 的思路 ，而能 够针对题 目的特 点 ，发掘与其它对 象的联系 ，找到出奇制胜 的途径．
＋一
由条件
易求 出结果．
ｆ ｆｌ ｂ｝ｌ ａ ＜ ，ｆ ＜ ，可知 ：Ｐ在直线
＝ １ ，且在 Ｃ（ ，） 一 上 ａ １ 、Ｄ（ａ － ） － ， Ｉ 两点 之 间． 然 ，无论 Ｐ在 Ａ 显 曰的
１ 代 换 后 可 得
≥— 由 已知 ０ ６ ＋＋
则在 Ａ ，Ｆ 中， ｌ Ｆ￣ Ｆ３ ｆ