2018年数学一轮复习每日一题复数的概念文
2018届高三理科数学答题模板 复数的概念与运算
复数的概念与运算知识梳理【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
【复数的运算】1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
【复数的运算律】1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3示范例题【2017年高考全国Ⅰ卷，理3】 设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质.【点拨】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成(,)z a bi a b R =+∈的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.答题思路【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：构造（求出）未知复数 设(,)z a bi a b R =+∈，根据具体的要求设定,a b （或求出,a b ）；第二步：借助复数四则运算，求出需求结果由z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋（bc －ad ）c 2＋d 2i(c 2＋d 2≠0)；z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 等求出需求的结果；第三步：关注易错点，检验①共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ， b ＝－d ；②|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.【方法总结】 1．复数的相关概念(1)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，是实数；当b ≠0时，是虚数；当a ＝0且b ≠0时，是纯虚数．(2)复数相等：如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(3)共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d . 2．复数的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．3.常用结论 (1)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，n ∈N *.(2)(1±i)2＝±2i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 4．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 5．复数的模向量OZ →的长度叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 6．模的运算性质(1)|z |2＝|z －|2＝z ·z －； (2)|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|； (3)1122||||z z z z =.真题练习1．【2017年高考全国Ⅲ卷】复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意：12z i =--，在第三象限. 所以选C. 【考点】复数运算【点拨】首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2.【2017年高考全国Ⅱ卷】31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】D 【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：()()3+13212i i i i i -+==-+，故选D 。
高考数学一轮复习 每日一题 复数的几何意义 文
复数的几何意义高考频度：★★★☆☆难易程度：★☆☆☆☆典例在线（2017年高考北京卷）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ．(–∞，1)B ．(–∞，–1)C ．(1，+∞)D ．(–1，+∞) 【参考答案】B【试题解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【解题必备】（1）复数与复平面内的点之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点（有序实数对）．复数的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值或取值范围．（2）复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ . 学霸推荐1．复数21iz =-(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ．(3,1)-B ．(1,3)-C ．(1,)+∞D ．(,3)-∞-3．若复数()13i z a =-+（a ∈R ）在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a 的值等于A ．1B ．2C ．5D ．61．【答案】A 【解析】21i 1i z ==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1)，在第一象限．故选A ． 2．【答案】A3．【答案】B【解析】由题知复数在复平面内对应的点为()1,3a -,又点在直线2y x =+上,则123a -+=,可得2a =.故本题选B.。
2018高考总复习数学(理科)课件：第十章 第2讲 复数的概念及运算
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点分布 2011 年新课标卷第 2 题考查复 1．理解复数的基 数的运算； 本概念，理解复 2012 年新课标卷第 2 题考查复 数相等的充要条 数的除法运算与共轭复数的 件． 概念； 2．了解复数的代 2013 年新课标卷Ⅰ第 2 题考查 数表示法及其几 复数的运算； 何意义． 2014 年新课标卷Ⅰ第 3 题考查 3．会进行复数代 复数的运算及求复数的模； 数形式的四则运 2015 年新课标卷Ⅰ第 3 题考查 算，了解复数代 复数的运算； 数形式的加、减 2016 年新课标卷Ⅰ第 2 题考查 运算的几何意义 复数的概念
－4.解得 a＝0.故选 B.
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点1
复数的概念
例1：(1)(2016年新课标Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相 等，其中 a 为实数，则 a＝( A．－3 B．－2 )(导学号 58940188) C．2 D．3
解析：(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由已知，得 a－2＝ 1＋2a.解得 a＝－3.故选 A. 答案：A
基础诊断
考点突破
课堂总结
3．(2016 年四川)设 i 为虚数单位，则复数(1＋i)2＝( C ) A．0 B．2 C．2i D．2＋2i
解析：由题意，得(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.故选 C. 4．(2015 年新课标Ⅰ)已知复数 z 满足(z－1)i＝1＋i，则 z ＝( C )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
1＋2i 1＋2i－i ＝ 解析：∵(z－1)i＝1＋i，∴z＝ ＝2－i.故 2 i －i 选 C.
基础诊断 考点突破 课堂总结
高考数学一轮复习 每日一题之复数的概念 理
复数的概念高考频度：★★★★☆难易程度：★☆☆☆☆典例在线（2017年高考天津卷）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为___________． 【参考答案】2- 【试题解析】i (i)(2i)(21)(2)i 212i 2i (2i)(2i)555a a a a a a -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． 【解题必备】（1）复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部应满足的方程(组)即可．需要注意的是：讨论一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都是有意义的．（2）复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求参数．解题时，将两个复数分别分离实部与虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．（3）对于复数i z a b =+(,)a b ∈R ，当0b ≠时，z 为虚数，当0b =时，z 为实数，当0,0a b =≠时，z 为纯虚数．学霸推荐1．设i 是虚数单位，复数1i 2i a +-为纯虚数，则实数a = A ．2B ．2-C ．12-D ．122．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =-，1b =-D ．1a =，1b =-3．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则i iz z +⋅= A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i1．【答案】A 【解析】设1ii 2i a b +=-，则1i i(2i)2i a b b b +=-=+，所以1b =，2a =．故选A ．2．【答案】D3．【答案】C 【解析】由题意21i(1i)ii i(1i)1i 1i 1i 2i i i zz +++⋅=+-=++=-++=，故选C ．。
专题1 复数的概念与运算-2018年高考全国1卷文科数学真题分析及相似模拟题集训Word版含解析
专题1 复数的概念与运算-2018年高考全国1卷文科数学真题分析及相似模拟题集训【母题原题1】【2018新课标1，文2】设，则( )A. B. C. D.【答案】C【名师点睛】该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.【母题原题2】【2017新课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【答案】C【解析】∵i(1+i)2=2i2=-2,i2(1-i)=-1+i,(1+i)2=2i,i(1+i)=-1+i,∴(1+i)2=2i为纯虚数,故选C.【考点】复数的运算与性质.【名师点睛】(1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．【母题原题3】【2016新课标1，文2】设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3【答案】A【解析】由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.∵(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高.考查的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.【命题意图】 高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1.理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3.会进行复数代数形式的四则运算；4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解.【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：第一步：构造（求出）未知复数 设(,)z a bi a b R =+∈，根据具体的要求设定,a b （或求出,a b ）； 第二步：借助复数四则运算，求出需求结果 由z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bdc 2＋d 2＋（bc －ad ）c 2＋d 2i(c 2＋d 2≠0)；z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 等求出需求的结果；第三步：关注易错点，检验 ①共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d ；②|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.【方法总结】 1．复数的相关概念(1)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当且仅当b ＝0时，是实数；当b ≠0时，是虚数；当a ＝0且b ≠0时，是纯虚数．(2)复数相等：如果a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ；a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0.(3)共轭复数：a ＋b i(a ，b ∈R )与c ＋d i(c ，d ∈R )互为共轭复数⇔a ＝c ，b ＝－d . 2．复数的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )．3.常用结论 (1)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，n ∈N *.(2)(1±i)2＝±2i ，(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2. 4．复数的几何意义(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 5．复数的模向量OZ →的长度叫作复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 6．模的运算性质(1)|z |2＝|z －|2＝z ·z －； (2)|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|； (3)1122||||z z z z. 模拟题1．【吉林省吉大附中2018届高三第四次模拟】若复数， 则( )A. 1B.C.D. 3【答案】C点睛：本题考查了复数的综合运算、共轭复数和复数模的定义与应用，属于简单题。
高考数学一轮总复习 专题30 复数的概念及运算 理
〔备选题〕例5设关于 x 的方程是 x2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0.
(1)若方程有实数根，求锐角 θ 和实数根； π
.
【解析】(1)∵z＝zz212＝22（1－1＋3ii）2＝45(－3＋i)， ∴z＝zz221在复平面上对应的点位于第二象限. (2)设 z＝ai(a≠0)，则有(2－i)·ai＝4－2bi，即 a＋2ai
＝4－2bi，即 a＝4，2a＝－2b，解得 b＝－4. 故选 C.
(3)
z1
＋
z2
＝
3 a＋5
A.－2
B.2
C.－4
D.4
(3)复数 z1＝a＋3 5＋(10－a2)i，z2＝1－2 a＋(2a－5)i，
若 z1＋z2 是实数，则实数 a 的值为__3__. (4)复数 z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i 在复
平面内对应的点分别为 A、B、C，若∠BAC 是钝角，
则实数 c 的取值范围为 4119，9∪(9，＋∞)
所以m2 ＝1 且m2 ＝n，解得 m＝2，n＝1，
所以 m＋ni＝2＋i，故选 C.
(3)∵(1＋ai)2＝－1＋bi，∴1－a2＋2ai＝－1＋bi，
∴21a－＝ab2＝，－1，∴ab＝＝2
2，2 或ab＝＝－－2
2， 2，
∴|a＋bi|＝ a2＋b2＝ 2＋8＝ 10.
(4)①|z1×z22|＝|z1||z22|＝|z1||z2|2＝8. ②z1×z22是虚部为正数的纯虚数，∴z1×z22＝8i, z22 ＝ 38＋i i＝8i（ 43－i）＝2＋2 3i.设复数 z2＝a＋bi(a， b∈R)，∴a2－b2＋2abi＝2＋2 3i, a22a－b＝b22＝23，，解之 得ab＝ ＝1 3，或ab＝ ＝－ －1.3， ∴z2＝±( 3＋i).
高三数学复习复数的概念与四则运算2018高考题汇总
复数的概念与四则运算【母题原题1】 复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i 【答案】B【解析】分析:先分母实数化化简复数，再根据共轭复数的定义确定结果. 详解：，∴共轭复数为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.【母题原题2】 已知a ，b ∈R ， 2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ______，ab=________.【答案】 5 2【解析】由题意可得22234a b abi i -+=+，则223{ 2a b ab -==，解得224{ 1a b ==，则225,2a b ab +==．【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a ， b ）、共轭为a bi -等．【命题意图】考查对复数概念的理解、复数四则运算法则，考查复数的基础知识的掌握和基本的运算能力. 【命题规律】主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数模的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算居多．【答题模板】以2018年高考题为例，解答此类题目，一般考虑如下三步： 第一步：计算化简.即利用复数的四则运算法则，将所给复数化简； 第二步：明确复数的实部、虚部.第三步：写出共轭复数.根据共轭复数的概念，写出共轭复数. 【方法总结】1.处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2. 复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成－1.除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化. 3. 对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ，22()(),(,,.)+++-=∈++，a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi4.2i 1=-中的负号易忽略. 1． 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，所以共轭复数是 ，故选 .2．【2018届云南省玉溪市适应性训练】设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为（ ）A.B.C.D.【答案】A2． 已知（﹣1+3i ）（2﹣i ）=4+3i （其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. i D. ﹣i【答案】A【解析】分析：根据复数除法得，再得z，根据复数概念得结果.详解：因为（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i，所以因此，虚部为1,选A.3．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求复数z，再求复数z的虚部得解.详解：由题得所以复数z的虚部为.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的虚部概念，意在考查复数的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数a+bi的实部是a,虚部是b，不是bi.5 已知i是虚数范围，若复数z满足411iz=-+，则•z z=（）A. 4B. 5C. 6D. 8 【答案】B【解析】由411iz=-+，得41121z ii=-=+-，则25z z z⋅==，故选B．6.若复数（是虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由复数乘法求得，再由共轭复数定义得结论.详解：由题意，∴，故选D.7.在复平面内，复数满足则对应的点为于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出对应的点的坐标即可.详解：由，得，，则对应的点的坐标为，位于第二象限，故选B.8.已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.9.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B10．复数的虚部为，的共轭复数．【答案】，．【解析】试题分析：∵，∴虚部为，共轭复数．10.若复数满足（为虚数单位），则__________；__________．【答案】. .11.设复数52zi=-（其中i为虚数单位），则复数z的实部为__________ ，虚部为__________．【答案】 2 1【解析】()()()5252 222iz ii i i+===+ --+所以复数z的实部为2，虚部为1.。
高中数学一轮复习 第5讲 复数的概念及运算
第5讲 复数的概念及运算随堂演练巩固1.若复数11z =+i 23z ,=-i,则12z z ⋅等于( ) A.4+2i B.2+i C.2+2iD.3+i【答案】 A【解析】 ∵11z =+i 23z ,=-i,∴12(1z z ⋅=+i)(3-i)=3-i+3i-i 242=+i.故选A.2.已知2i ia b +=+i (a b ,∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b 等于( )A.-1B.1C.2D.3【答案】 B【解析】 ∵2i ia b +=+i,∴a +2i=b i+i 2.∴a +2i=-1+b i.由复数相等知a =-1,b =2,∴a +b =1,选B.3.若a b ,∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i=b +i,则( )A.a =1,b =1B.a =-1,b =1C.a =1,b =-1D.a =-1,b =-1 【答案】 C【解析】 由(a +i)i=b +i,得a i-1=b +i,所以a =1,b =-1. 4.复数i 212i -+等于( )A.iB.-iC.3455--iD.3455-+i【答案】 A【解析】 ∵(i 2)(12i)5ii 212i (12i)(12i)5---===++-i,∴i 212i -=+i. 5.已知复数i ia --i 对应的点在复平面坐标系的第二、四象限的角平分线上,则实数a = .【答案】 -2【解析】 i ia --i=-1-(a +1)i.由题意知a +1=-1,∴a =-2.课后作业夯基 基础巩固1.i 是虚数单位,复数3i 1i+-等于( )A.1+2iB.2+4iC.-1-2iD.2-i【答案】 A 【解析】 (3i)(1i)3i 33i i 1121i(1i)(1i)2+++++-===+--+i.2.如果2(m +i)(1+m i)是实数,则实数m 等于( ) A.1B.-12D.2-【答案】 B【解析】 方法一:2(m +i)(1+m i 23)m m =+i+i+m i 22m =-m +3(1)m +i.∵2(m +i)(1+m i)为实数,∴310m +=.∴m =-1. 方法二:代入验证法.将m =-1代入检验,可知.方法三:若2(m +i)(1+m i)为实数,则2(m +i)(1+m i)=2(m -i)(1-m i),求解可知. 3.在复平面内,复数1i i+对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 D 【解析】 i(1i)1i i 11ii i 1++-===-⋅-i,对应的点为(1,-1),故选D. 4.复数5i 12i-等于( )A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i【答案】 C 【解析】 5i(12i)5i105i 212i(12i)(12i)5+-+===-+--+i.5.已知复数z z =是z 的共轭复数,则zz 等于( ) A.14B.12C.1D.2【答案】 A【解析】 方法一:∵z ==∴z =.∴3114124zz +===+.方法二:∵z ==∴|z |2142===.∴zz =|z |214=.6.i 是虚数单位,若17i 2ia b +=+-i (a b ,∈R ),则ab 的值是( )A.-15B.-3C.3D.15【答案】 B 【解析】 ∵(17i)(2i)17i 132i5+++==-+-i,∴a =-1,b =3,ab =-3.7. i 为虚数单位3571111ii i i,+++等于 ( ) A.0B.2iC.-2iD.4i【答案】 A【解析】 357244211111111iii i ii i i ii i i+++=+++⋅⋅⋅⋅1111i i i i=-+- =0.8.已知0<a <2,复数z 的实部为a ,虚部为1,则|z |的取值范围是( ) A.(1,5) B.(1,3)C.(15),D.(13),【答案】 C【解析】 |z |21a =+,∵0<a <2,∴2115a <+<.9.设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 . 【答案】 2【解析】 z (2-3i)=6+4i,∴(64i)(23i)64i 23i(23i)(23i)z +++==--+21218i 8i 12i 213+++==i.故|z |22022=+=.10.复数z =x +y i (x y ,∈R )满足|z -1|=x ,则复数z 对应的点Z(x ,y )的轨迹方程为 . 【答案】 221(0)y x x =-≥【解析】 由|z -1|=x ,得|(x -1)+y i|=x ,所以222(1)(0)x y x x -+=≥,整理,得221(0)y x x =-≥.11.(2011上海春招,14)为求解方程510x -=的虚根,可以把原方程变形为432(1)(1)0x x x x x -++++=,再变形为22(1)(1)(1)0x x ax x bx -++++=,由此可得原方程的一个虚根为 . 【答案】151025i 151025i44--±--+±+,中的一个【解析】 由题意可知,22432(1)(1)(1)(1)[()(2)()x x ax x bx x x a b x ab x a b x -++++=-+++++++1],比较二次项、三次项系数知 121a b ab +=,⎧⎨+=,⎩解得 1515a b ⎧+=,⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 或 1515a b ⎧-=,⎪⎪⎨+⎪=.⎪⎩由此得原方程的一个虚根为151025i 151025i44--±--+±+,中的一个.12.当实数m 取何值时,复数22(3z m m m =-+i)-[4+(5m +6)i]为实数?为虚数?为纯虚数?【解】 先把复数z 整理成2(34)z m m =--+2(56)m m --i.(1)当2560m m --=,即m =-1或m =6时,z 是实数. (2)当2560m m --≠,即1m ≠-且6m ≠时,z 是虚数.(3)当 22340560m m m m ⎧--=,⎨--≠,⎩即 1416m m m m =-=,⎧⎨≠-≠,⎩或且∴m =4时,z 是纯虚数.13.已知复数1z 满足1(2)z -(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数2z 的虚部为2,且12z z ⋅是实数,求2z .【解】 ∵1(2)(1z -+i)=1-i,∴12z =-i. 设22z a =+i a ,∈R .12(2z z ⋅=-i)(a +2i)=(2a +2)+(4-a )i.∵12z z ⋅∈R ,∴a =4, ∴242z =+i.14.已知复数12z =+i 121i2(2i 1)z z z +,=,+-(1)求2z ;(2)若△ABC 的三个内角A 、B 、C 依次成等差数列,且μ=cosA+2icos 22C ,求|2z μ+|的取值范围.【解】 21[(2i)i]21i 2i (1)(2i 1)(2i)i 12z +++====-+-+--i. (2)在△ABC 中,由于内角A 、B 、C 依次成等差数列,∴B=60o ,A+C=120o .又2z μ+=cosA+2icos 22C -i=cosA+(2cos 21)2C -i=cosA+icosC,∴|2z μ+|2=cos 2A +cos 21cos2A 1cos2C 22C ++=+=cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos120ocos(A-C)112=-cos(A-C).由于A+C=120o ,∴A-C=120o -2C.∴-120o <A-C<120o .∴12-<cos ()1A C -≤.也就是12≤|2z μ+|254<,≤|2z μ+|<拓展延伸15.设z 是虚数1z zω,=+是实数,且12ω-<<.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围; (2)设11z u z-=,+求证:u 为纯虚数;(3)求2u ω-的最小值.【解】(1)∵z 是虚数,∴可设z =x +y i x y ,,∈R ,且0y ≠,∴1z x y z ω=+=+i 1i x y x y +=++i 22i x y x y -++2222()yx x y x y x y=++-++i. ∵ω是实数且0y ≠,∴220yy x y -=+. ∴221x y +=,即|z |=1.此时2x ω=.∵12ω-<<,∴-1<2x <2,从而有112x -<<.即z 的实部的取值范围是12(1)-,.(2)证法一:2222221(i)(1i)(1x yi)12i 111i 1(1)(1)x y x y x y y y z u z x y x x y x y -+--+-----=====-++++++++i,∵1(1)02x y ∈-,,≠,∴01yx≠+.∴u 为纯虚数.证法二:∵z 为虚数,且|z |=1,∴z z ⋅=1,即z 1z =.1111111u u ()1111111z z z z z z z z z z z z------+=+=+=+++++++ 11011z z z z --=+=++. ∴u 为纯虚数.(3)22(1y u x xω-=--+i 2) 22()1y x x =+=+2x +2211222212(1)3111(1)x x x x x x x x x --=+=-+=++-,++++ ∵112x -<<,∴1+x >0.于是222(1)31u x xω-=++-≥+222(1)311x x+⋅=,+当且仅当22(1)1x x+=,+即x =0时等号成立.∴2u ω-的最小值为1,此时z =±i.。
创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第10章 复数、算法与框图、推理与证明 第2节 精品
[答案] 11
易错警示23 循环结束的条件判断不
[解析] 12－4×1＋3≤0，x＝2，n＝1； 22－4×2＋3≤0，x＝3，n＝2； 32－4×3＋3≤0，x＝4，n＝3； 42－4×4＋3>0，此时输出 n 值，故输出的 n 的值为 3. [答案] 3
考点一 算法的基本结构(基础型考点——自主练透) [方法链接]
1．解决程序框图问题要注意几个常用变量： (1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 i＝i＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如 S＝S＋i. (3)累乘变量：用来计算数据之积，如 p＝p×i. 2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环 结构的条件及循环次数．
赋值语句 变量＝表达式 将表达式代表的值赋给变量
(2)条件语句 ①程序框图中的__条__件__结__构__与条件语句相对应． ②条件语句的格式及框图 a．IF－THEN格式
b．IF－THEN－ELSE格式
(3)循环语句 ①程序框图中的__循__环__结__构__与循环语句相对应． ②循环语句的格式及框图． a．UNTIL语句
算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高 考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：
(1)与统计的交汇问题； (2)与函数的交汇问题； (3)与线性规划的交汇问题； (4)与数列求和的交汇问题．
角度一 与统计的交汇问题 1．某班有 24 名男生和 26 名女生，数据 a1，a2，…，a50 是该班 50 名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩 不为 0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A， 男生平均分：M，女生平均分：W.为了便于区别性别，输入时， 男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图 中空白的判断框和处理框中，应分别填入( )
创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：第10章 复数、算法与框图、推理与证明 第3节 精品
思路点拨 (1)利用 an＝Sn－Sn－1 推导S1n的递推关系得证，
(2)由(1)得到数列
1Sn的通项，再利用
an＝Sn－Sn－1 求出
an.
(1)证明：当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0， 得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以S1n－Sn1－1＝2， 又S11＝a11＝2，故S1n是首项为 2，公差为 2 的等差数列．
(2)演绎推理的理论依据 其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有 元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性 质P.
跟踪训练 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n ∈N*)．证明： (1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an.
[解析] 当 m＞n＞0 时，xm2＋yn2＝1 为椭圆，|AC|＋|BC|＝ 2 m，由正弦定理知，s|AinCB| ＝s|BinCA| ＝s|iAnBC| ⇒s|iAnCB|＋＋s|BinCA| ＝s|iAnBC|
⇒ sin
2m A＋sin
B＝si2ncC⇒e＝
c＝ m sin
sin C A＋sin
如图 2 所示，正四面体 P－ABC 中，过点 P 作 PE⊥平面
ABC，则 E 为底面正三角形 ABC 的中心，球心在 PE 上，设为
O，于是 OA＝OP＝R，OE＝r，设正四面体棱长为 a，则 AE＝
33a，PE＝
6 3 a.
Rt△AOE 中有 R2＝( 36a－R)2＋( 33a)2.解得 R＝ 46a，
[解析] 等式左边的特征：第 1 个等式有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，故第 n 个等式左边有 2n 项正 负交错，应为 1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n；等式右边的特征： 第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个有 n 项，且有前几个的规律不难发现第 n 个等式右边应为n＋1 1＋ n＋1 2＋…＋21n.
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1
复数的概念
高考频度：★★★★☆难易程度：★☆☆☆☆
典例在线
（2017年高考天津卷）已知aR，i为虚数单位，若i2ia为实数，则a的值为___________．
【参考答案】2
【试题解析】i(i)(2i)(21)(2)i212i2i(2i)(2i)555aaaaaa为实数，则20,25aa．
【解题必备】（1）复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题，只需把复数化为代数
形式，列出实部、虚部应满足的方程(组)即可．需要注意的是：讨论一个复数在什么情况下是实数、虚数
或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都是有意义的．
（2）复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求参数．解题时，将两个复数分别分离实部与虚
部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．
（3）对于复数izab(,)abR，当0b时，z为虚数，当0b时，z为实数，当0,0ab时，
z
为纯虚数．
学霸推荐
1．设i是虚数单位，复数1i2ia为纯虚数，则实数a
A．2 B．2
C．12 D．12
2．若,abR，i为虚数单位，且(i)iiab，则
A．1a，1b B．1a，1b
C．1a，1b D．1a，1b
3．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若1iz，则iizz
A．2 B．2i
C．2 D．2i
2
1．【答案】A
【解析】设1ii2iab，则1ii(2i)2iabbb，所以1b，2a．故选A．
2．【答案】D
3．【答案】C
【解析】由题意21i(1i)iii(1i)1i1i1i2iiizz，故选C．