函数与极限经典练习题
函数极限练习题
函数极限练习题1. 计算下列函数在x趋近于0时的极限：(a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)(b) \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)(c) \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)2. 求函数\(f(x) = \frac{1}{1+x^2}\)在\(x\)趋近于无穷大时的极限。
3. 判断下列函数是否在\(x\)趋近于0时存在极限，并求出极限值：(a) \(f(x) = \frac{1}{x}\)(b) \(f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}\)4. 计算函数\(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)在\(x\)趋近于\(\pi\)时的极限。
5. 求函数\(f(x) = \frac{1}{x}\)在\(x\)趋近于0时的左极限和右极限，并判断\(f(x)\)在\(x = 0\)处是否连续。
6. 判断函数\(f(x) = \frac{x^3 - 3x + 1}{x^2 - 1}\)在\(x\)趋近于1时是否可导，并说明理由。
7. 计算函数\(f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}\)在\(x\)趋近于0时的极限。
8. 求函数\(f(x) = x \sin \frac{1}{x}\)在\(x\)趋近于0时的极限。
9. 判断函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)在\(x\)趋近于1时的极限是否存在，并求出极限值。
10. 计算函数\(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)在\(x\)趋近于无穷大时的极限。
高三数学函数极限练习题及答案
高三数学函数极限练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求lim(x->2)(f(x))的值。
A. 16B. 18C. 20D. 242. 已知函数g(x) = sin(2x) / x，求lim(x->0)(g(x))的值。
A. -2B. -1C. 0D. 23. 已知函数h(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1)，求lim(x->1)(h(x))的值。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数k(x) = (x - 3) / (x^2 - 9)，求lim(x->3)(k(x))的值。
A. 1B. 0C. 1/3D. 35. 已知函数m(x) = sqrt(x + 1) - 1，求lim(x->0)(m(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. 26. 已知函数n(x) = e^x - 1，求lim(x->0)(n(x))的值。
A. 1B. eC. 0D. 27. 已知函数p(x) = ln(1 + x)，求lim(x->0)(p(x))的值。
A. 1B. ln(2)C. -1D. 08. 已知函数q(x) = (1 - cosx) / (x^2)，求lim(x->0)(q(x))的值。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/59. 已知函数r(x) = tanx / x，求lim(x->0)(r(x))的值。
A. 1B. 0C. ∞D. -∞10. 已知函数s(x) = x^2 / (1 - cosx)，求lim(x->0)(s(x))的值。
A. 0B. 1C. 2D. ∞11. 已知函数t(x) = (x - sinx) / x^3，求lim(x->0)(t(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. ∞12. 如果lim(x->a)(f(x))存在，则称函数f(x)在x=a处的极限存在。
函数极限练习题
函数极限练习题1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x 2-6x+10)=2; (3) ; (4) =0;(5) cos x = cos x 0 2.根据定义2叙述 f (x) ≠ A. 3.设 f (x) = A.,证明 f (x 0+h) = A. 4.证明:若 f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A 为何值时反之也成立? 5.证明定理3.16.讨论下列函数在x 0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x](3) f (x)=7.设 f (x) = A,证明 f () = A +∞→x limxx 56+2lim →x +∞→x lim11522=--x x -→2lim x 24x -0lim xx →0lim xx →0lim x x →0lim →h 0lim x x →0lim xx →xx⎪⎩⎪⎨⎧<+=>.0,1.0;0.0;22x x x x x +∞→x lim 0lim x x →x18.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x 0∈[0,1](当x 0=0或1时,考虑单侧极限).习 题求下列极限：（1）2（sinx －cosx －x 2）; (2); (3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)； （6）；（7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明： （1）[f(x)±g(x)]=A ±B; （2）[f(x)g(x)]=AB; （3）=(当B ≠0时)设f(x)=, a 0≠0,b 0≠0,m ≤n,试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明 0lim xx →2lim π→x 0lim →x 12122---x x x 1lim →x 12122---x x x 0lim →x ()()3232311x x x x +-+-1lim →x 11--m n x x 4lim→x 2321--+x x 0lim →x xax a -+2+∞→x lim()()()902070155863--+x x x -∞→x limx x x cos -0lim →x 4sin 2-x xx 0lim x x →0lim xx →0lim xx →0lim xx →0limx x →)()(x g x f BAnn n n mm m m b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----11101110 +∞→x lim 0lim xx →=，其中n ≥2为正整数. 6. 证明a x=1 (0<a<1) 7.设 f(x)=A, g(x)=B. (1)若在某∪0(x 0)内有f(x) < g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？（2）证明：若A>B,则在某∪0(x 0)内有f(x) > g(x). 8.求下列极限（其中n 皆为正整数）： (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) (提示：参照例1)9．（1）证明：若 f (x 3)存在，则 f (x)= f (x 3) （2）若 f (x 2)存在，试问是否成立 f (x) = f (x 2) ? 习 题叙述函数极限f(x)的归结原则,并应用它证明cos x 不存在.设f 为定义在[a,+)上的增(减)函数.证明: = f(x)存在的充要条件是f 在[a,+)上有上(下)界. (1)叙述极限 f (x)的柯西准则; (2)根据柯西准则叙述 f (x)不存在的充要条件,并应用它证明sin x 不存在. 0limx x →nx f )(n A 0lim →x 0lim x x →0lim xx →-→0lim x nx x x+11+→0lim x nx x x+11lim →x 12--+++x nx x x n 0lim→x xx n11-+∞→x lim[]x x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x 0lim →x +∞→n lim +∞→n lim ∞+∞→n lim ∞-∞→n lim -∞→n lim -∞→n lim4. 设f 在∪(x 0)内有定义.证明:若对任何数列{x n }∪(x 0)且x n =x 0,极限f(x n )都存在,则所有这极限都相等. 提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f 为∪0(x 0)上的递减函数.证明:f(x 0－0)和f(x 0+0)都存在,且 f(x 0－0) =f(x), f(x 0+0)= f (x) 6.设 D(x)为狄利克雷函数,x 0∈R 证明D(x)不存在. 7.证明:若f 为周期函数,且f(x)=0,则f(x)=0 8.证明定理3.9习 题求下列极限(1) ; (2)(3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10)求下列极限(1) ; (2) (a 为给定实数);(3) ; (4) ; ⊂∞→n lim ∞→n lim ()00supx u x -∈)(00inf x u x n∈0lim x x →+∞→x lim xx x 2sin lim 0→()230sin sin limx x x →2cos lim 2ππ-→x x x xxx tan lim 0→30sin tan lim xx x x -→x xx arctan lim 0→xx x 1sin lim +∞→a x a x a x --→22sin sin lim114sin lim-+→x xx x x x cos 1cos 1lim20--→xn x-∞→-)21(lim ()x x ax 101lim +→()xx x cot 0tan 1lim +→xx x x 1011lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→(5) ; (6) (为给定实数) 证明: 利用归结原则计算下列极限: (1) ; (2)习 题证明下列各式(1) 2x －x 2=O(x) (x →0); (2)x sin (x →0+);(3)(x →0);(4) (1+x)n = 1+ nx+o (x) (x →0) (n 为正整数) (5) 2x 3+ x 2=O(x 3) (x →∞) ;(6) o (g(x))±o(g(x)) =o(g(x))(x →x 0) (7) o(g 1(x))·0(g 2(x))=o(g 1(x)g 2(x)) (x →x 0) 应用定理3.12求下列极限：(1) (2) 证明定理3.13求下列函数所表示曲线的渐近线：(1) y = ; (2) y = arctan x ; (3) y =试确定a 的值，使下列函数与x a当x →0时为同阶无穷小量： (1) sin2x －2sinx ; (2)－ (1－x); (3); (4)12)1323(lim -+∞→-+x x x x x n xβα)1(lim ++∞→βα,12cos 2cos 2cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x xcox nn n πsinlim∞→)(23x O x =)1(11o x =-+xx x x x cos 1arctanlim-∞→xx x cos 111lim 20--+→x 1xx x 24323-+x+11x x sin 1tan 1--+53243x x -试确定a 的值，使下列函数与x a当x →∞时为同阶无穷大量： (1); (2) x+x 2(2+sinx);(3) (1+x)(1+x 2)…(1+x n).证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列{x n }s ，使得x n →+∞(n →∞)证明：若f 为x →r 时的无穷大量，而函数g 在某U 0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg 为x →r 时的无穷大量。
高数函数与极限习题
已li知me1 2,求lif(mx) 由lxi0m1fe(3xx)s1i2xn12 x0 3x
x0
从而由等 价无穷小 的代换性 质得
lim12 f(x3)xsin2x x0
1f(x)si2nx1
2lim x0
e3x1
1limf(x)si2nx 3x0 2x
由limsin2x1 x0 2x
lim
x
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 连续函数的
上连续
运算性质
间断点定义
第一类
可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类
无振 穷荡 间间 断断 点点
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
连续函数 的性质
1、连续的定 义
连续的充要条件 闭区间的连续性
第二类
2、间断点的定义
单侧连续
3、初等函数的连续性
间断点的分类
f (x) xn
lxi(ma0ax1axnn11axnn)
例 利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程 至少有一实根 证
fx(nx)与a0同号
故由函数极限的保号 性质可知
又 n 是奇 数，所以
故由零点定理知
和差化积 sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
xn1xn12(xanxn) xn112(xnxan) a 设x10,证xn明 112(xnxan)有(极 a0)限
函数的极限练习题
函数的极限练习题函数的极限练习题在数学中，函数的极限是一个重要的概念。
它描述了当自变量趋向于某个特定值时，函数的取值会趋近于一个确定的值。
函数的极限在微积分、数学分析等领域中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解函数的极限。
1. 练习题一：求函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限。
解答：要求函数在 x = 2 处的极限，我们需要计算当 x 趋近于 2 时，函数 f(x)的取值趋近于多少。
首先，我们可以直接代入 x = 2，得到 f(2) = 2(2)^2 - 3(2)+ 1 = 9。
但是这只是函数在 x = 2 处的取值，并不能代表极限。
为了求得极限，我们需要通过一些特定的方法。
我们可以通过代入一些接近 2 的数值来观察函数的取值情况。
当 x = 1.9 时，f(x) = 2(1.9)^2 - 3(1.9) + 1 ≈ 7.51；当 x = 1.99 时，f(x) = 2(1.99)^2 - 3(1.99) + 1≈ 8.9501；当 x = 1.999 时，f(x) = 2(1.999)^2 - 3(1.999) + 1 ≈ 8.995001。
可以看出，当 x 趋近于 2 时，函数 f(x) 的取值趋近于 9。
因此，我们可以得出结论：函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1 在 x = 2 处的极限为 9。
2. 练习题二：求函数 g(x) = sin(x) / x 在 x = 0 处的极限。
解答：要求函数在x = 0 处的极限，我们同样需要通过一些特定的方法来计算。
直接代入 x = 0，我们会得到一个无法计算的形式，即 0/0。
这时，我们需要利用三角函数的性质和极限的定义来求解。
首先，我们可以利用泰勒级数展开式来近似表示函数g(x)。
根据泰勒级数展开，sin(x) 可以近似表示为 x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...，而 x 可以看作是 x^1。
极限的练习题
极限的练习题一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在x=2处的极限为：A. 1B. -1C. 0D. 不存在2. 函数f(x) = sin(x)/x在x趋近于0时的极限为：A. 0B. 1C. ∞D. -∞3. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x趋近于无穷大时的极限为：A. 0B. ∞C. -∞D. 1二、填空题4. 计算极限lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1) = _______。
5. 函数f(x) = (x^2 + 1)/(x - 1)在x趋近于1时的左极限和右极限分别为lim(x→1-) f(x) = _______，lim(x→1+) f(x) = _______。
6. 函数f(x) = sin(x)在x趋近于无穷大时的极限为 _______。
三、解答题7. 求函数f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x - 1)/(x - 1)在x=1处的极限，并说明理由。
8. 给定函数f(x) = 1/x，求其在x趋近于0时的极限，并讨论其左极限和右极限是否相等。
9. 证明函数f(x) = x^2/(x^2 + 1)在x趋近于无穷大时的极限为1。
四、证明题10. 证明当x趋近于0时，sin(x)与x是等价无穷小。
11. 证明函数f(x) = x - tan(x)在x趋近于0时的极限为0。
12. 证明函数f(x) = (e^x - 1)/x在x趋近于0时的极限为1。
五、应用题13. 某工厂生产的产品数量随时间变化，其生产函数为P(t) = 100t^2 - 50t + 5，求当时间t趋近于无穷大时，产品数量的增长趋势。
14. 某物体从静止开始下落，其速度v随时间t变化，速度函数为v(t) = gt，其中g为重力加速度。
求当时间t趋近于无穷大时，速度v的极限。
15. 一个投资项目，其收益函数为I(x) = 1000e^(0.05x)，其中x为投资年数。
大学数学函数极限练习题
大学数学函数极限练习题1. 计算函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 当 \( x \) 趋近于 2 时的极限。
2. 求函数 \( g(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) 在 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
3. 确定函数 \( h(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 当 \( x \) 趋近于0 时的极限。
4. 计算函数 \( p(x) = \frac{e^x - 1}{x} \) 当 \( x \) 趋近于0 时的极限。
5. 求函数 \( q(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
6. 确定函数 \( r(x) = \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1} \) 当 \( x \) 趋近于 1 时的极限。
7. 计算函数 \( s(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 当 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
8. 求函数 \( t(x) = \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \) 当 \( x \) 趋近于 0 时的极限。
9. 确定函数 \( u(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) 在 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
10. 计算函数 \( v(x) = \frac{\tan(x)}{x} \) 当 \( x \) 趋近于0 时的极限。
11. 求函数 \( w(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 在 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
12. 确定函数 \( x(x) = \frac{e^x - x - 1}{x^2} \) 当 \( x \) 趋近于 0 时的极限。
13. 计算函数 \( y(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x} \) 当 \( x \) 趋近于 0 时的极限。
14. 求函数 \( z(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} \) 在 \( x \) 趋近于无穷大时的极限。
函数极限练习题
函数极限练习题 1.按定义证明下列极限: (1) =6 ; (2) (x2-6x+10)=2;
(3) ; (4) =0; (5) cos x = cos x0
2.根据定义2叙述f (x) ≠ A.
3.设f (x) = A.,证明f (x0+h) = A. 4.证明:若f (x) = A,则| f (x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立?
5.证明定理3.1 6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限: (1)f(x)=; (2) f(x) = [x]
(3) f (x)= 7.设 f (x) = A,证明f () = A
xlimxx562limxxlim11522x
x
2limx
24x
0limxx
0limxx
0limxx0limh
0limxx0limxx
xx
.0,1.0;0.0;22xxxx
x
xlim0lim
xxx
1 8.证明:对黎曼函数R(x)有R (x) = 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限). 习 题 求下列极限： （1）2（sinx－cosx－x2）; (2);
(3) ; (4) ; (5) (n,m 为正整数)； （6）； （7）（a>0）; (8) . 利用敛性求极限： (1) ; (2) 设 f(x)=A, g(x)=B.证明： （1）[f(x)±g(x)]=A±B; （2）[f(x)g(x)]=AB;
（3）=(当B≠0时) 设 f(x)=, a0≠0,b0≠0,m≤n, 试求 f(x) 设f(x)>0, f(x)=A.证明
0limxx
2limx0limx
12122xx
x
1limx12122xxx0limx323
2311xxxx
1limx11mnxx4limx2321xx
0limxxaxa2xlim90
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数与极限经典练习题
数学作为一门精妙的学科，其基石之一就是函数与极限的研究。
在
学习这两个概念时，我们常常会遇到一些经典练习题。
通过这些题目
的解答，我们能够更好地理解和掌握函数与极限的性质。
下面，我将
为大家分享几道经典练习题。
题一：求函数在点a处的极限
已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)在x = 2处的极限。
解析：要求一个函数在某一点的极限，我们需要通过极限的定义来
进行计算。
根据定义，当我们从函数的自变量x接近给定点a，且不等
于a时，函数f(x)的值趋于一个特定的常数L，我们将其表示为
lim(x→a)f(x) = L。
首先，我们将x = 2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 9。
然后，我们需要判断极限L的值是否等于f(2)。
在这道题中，L就等于
f(2)，因此函数f(x)在x = 2处的极限为9。
题二：判断函数的极限是否存在
设函数f(x) = |x - 3|，判断l im(x→3)f(x)是否存在。
解析：对于这道题，我们需要考虑函数在极限点周围的取值情况。
当我们取x = 3时，f(x) = |3 - 3| = 0。
然而，当我们从x的值趋近3时，
f(x)的值由于函数含有绝对值符号的存在而产生两种情况。
当x > 3时，f(x) = x - 3；
当x < 3时，f(x) = -(x - 3)。
因此，当x趋近于3时，f(x)的值无法趋近于一个特定的常数，而
是在0的两侧分别趋近于正无穷大和负无穷大。
因此，函数f(x)在x =
3处的极限不存在。
题三：求函数在无穷远处的极限
设函数f(x) = 1 / x，求lim(x→∞)f(x)的值。
解析：在这道题中，我们需要考虑函数在无穷远处的取值情况。
当
我们取x的值趋近于正无穷大时，函数f(x)的值会趋近于0。
换句话说，函数f(x)的极限lim(x→∞)f(x) = 0。
这是因为当x取一个较大的正数时，1 / x会趋于接近0的一个很小
的正数。
另一方面，当x取一个较大的负数时，1 / x会趋于接近0的
一个很小的负数。
而当x趋近于正无穷大时，函数f(x)的值会无限逼近0。
通过解答这些经典的函数与极限练习题，我们可以更加深入地理解
与掌握函数与极限的性质。
函数与极限不仅仅存在于数学课本中，而
是贯穿于我们生活中的各个方面。
因此，只有通过不断地练习与思考，我们才能够更好地应用函数与极限的原理解决实际问题。