知识讲解 简谐运动及其图象

简谐运动及其图象编稿：张金虎审稿：吴嘉峰【学习目标】1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。

2．知道什么样的振动是简谐运动。

3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。

4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。

5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。

6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。

7．能用公式描述简谐运动的特征。

【要点梳理】要点一、机械振动1．弹簧振子弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子．2．平衡位置平衡位置是指物体所受回复力为零的位置．3．振动物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动．振动的特征是运动具有重复性．要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线．4．振动图像（1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间t，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡位置的位移x，建立坐标系，如图所示．（2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移x 随时间t 变化的规律．（3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所示，在x t -图像中，某时刻质点位置在t 轴上方，表示位移为正（如图中12t t 、时刻），某时刻质点位置在t 轴下方，表示位移为负（如图中34t t 、时刻）．（4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正负表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反．如图所示，在x 坐标轴上，设O 点为平衡位置。

A B 、为位移最大处，则在O 点速度最大，在A B 、两点速度为零．在前面的x t -图像中，14t t 、时刻速度为正，23t t 、时刻速度为负．要点二、简谐运动1．简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动．简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速运动．物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动．2．实际物体看做理想振子的条件（1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内．3．理解简谐运动的对称性如图所示，物体在A 与B 间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则有：（1）时间的对称：4OB BO OA AO T t t t t ====，OD DO OC CD t t t t ===，DB BD AC CA t t t t ===．（2）速度的对称：①物体连续两次经过同一点（如D 点）的速度大小相等，方向相反．②物体经过关于O 点对称的两点（如C 与D 两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．4．从振动图像分析速度的方法（1）从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点1P 在1t 时刻的速度方向，取大于1t 一小段时间的另一时刻1t ＇，并使11t t ＇-极小，考查质点在1t ＇时刻的位置1P ＇（11t x ，＇＇），可知11x x ＜＇，即1P ＇位于1P 的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明1t 时刻质点速度方向沿x 轴的负方向．同理可判定2t 时刻质点沿x 轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动． 若12x x ＜，由简谐运动的对称特点，还可判断1t 和2t 时刻对应的速度大小关系为12v v ＞。

（2）从图像斜率分析：图像切线斜率为正，速度方向为正方向，图像切线斜率为负，速度方向为负方向，斜率绝对值表示速度大小．斜率大、速度大．要点三、描述简谐运动的基本概念1．全振动一个完整的振动过程，称为一次全振动．不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的．2．周期（1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期，用T 表示．（2）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（s ）．（3）意义：周期是表示振动快慢的物理量．周期越长表示物体运动得越慢，周期越短表示物体运动得越快．（4）简谐运动的周期公式：2m T kπ=． 要点诠释：公式中m 为做简谐运动物体的质量，k 为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小的比例常数．3．振幅（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用A 表示．（2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m ）．（3）意义：振幅是表示振动强弱的物理量．要点诠释：①振幅是一个标量，是指物体偏离平衡位置的最大距离．它没有负值，也无方向，所以振幅不同于最大位移．②在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关．在一个稳定的振动中，物体的振幅是不变的．③振动物体在一个全振动过程通过的路程等于4个振幅，在半个周期内通过的路程是两个振幅，但14个周期内通过的路程不一定等于一个振幅．可以比一个振幅大，也可以比一个振幅小． 4．频率（1）定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫故振动的频率，用f 表示．常把物体在1 s 内完成的全振动次数叫做频率．（2）单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹（Hz ）．（3）意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动得越慢．（4）周期与频率的关系：1T f=。

（5）固有频率和固有周期：振子获得能量后，物体开始振动．物体的振动频率，只是由振动系统本身的性质决定，与其他因素无关，其振动频率叫固有频率，振动周期也叫固有周期．要点四、简谐运动的描述1．简谐运动的表达式：sin()x A t ωϕ=+（1）式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示振动的时间．（2）A 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅．（3）ω叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢．与周期T 及频率f 的关系： 22f Tπωπ==。

所以表达式也可写成：2sin x A t T πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或sin(2)x A f t πϕ=+． （4）ϕ表示0t =时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．t ωϕ+代表了简谐运动的质点在t 时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位．（5）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：cos ()2x A t πωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位t ωϕ+ 是随时间变化的量．（6）相位每增加2π就意味着完成了一次全振动．2．测量弹簧振子周期的方法弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成n 次全振动所用的时间t ，则t T n=． n 值取大一些（如50）可以减小周期的测量误差．3．计算振动物体通过的路程的方法一个周期内，振子的运动路程为4A ．若全振动的次数为n ，则振动物体通过的路程为4nA ．4．对一次全振动的认识对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断：一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了一次全振动；二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍．5．相位差是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异．设两简谐运动A 和B 的振动方程分别为：111s i n ()x A t ωϕ=+， 222sin()x A t ωϕ=+，它们的相位差为2121()()t t ϕωϕωϕϕϕ∆=+-+=-．可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差．若210ϕϕϕ∆=->，则称B 的相位比A 的相位超前ϕ∆，或A 的相位比B 的相位落后ϕ∆；若210ϕϕϕ∆=-<，则称B 的相位比A 的相位落后ϕ∆，或A 的相位比B 的相位超前ϕ∆．（1）同相：相位差为零，一般的为2012n n ϕπ∆==　（，　，　，）．（2）反相：相位差为π，一般的为(21)012n n ϕπ∆=+=　（，　，　，）．要点诠释：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，相位差的取值范围：πϕπ-<∆≤．6．振动图像的信息如图所示，则（1）从图像上可知振动的振幅为A ；（2）从图像上可知振动的周期为T ； （3）从图像上可知质点在不同时刻的位移，1t 时刻对应位移1x ，2t 时刻对应位移2x ；（4）从图像上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符（表示方向），如1t 时刻质点的速度较2t 时刻质点的速度小，1t 时刻质点的速度为负，2t 时刻质点的速度也为负（1t 时刻是质点由最大位移处向平衡位置运动过程的某一时刻，而2t 时刻是质点由平衡位置向负的最大位移运动过程中的某一时刻）；（5）从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符，如1t 时刻的加速度较质点在2t 时刻的加速度大，1t 时刻质点加速度符为负，2t 时刻质点加速度符为正；（6）从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差．7．简谐运动的周期性简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断：（1）若21t t nT =－，则12t t 、两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同．（2）若2112t t nT T -=+， 则12t t 、两时刻，描述运动的物理量x F a v （、、、）均大小相等，方向相反．（3）若2114t t nT T -=+ 或2134t t nT T -=+， 则当1t 时刻物体到达最大位移处时，2t 时刻物体到达平衡位置；当1t 时刻物体在平衡位置时，2t 时刻到达最大位移处；若1t 时刻，物体在其他位置，2t 时刻物体到达何处就要视具体情况而定．【典型例题】类型一、简谐运动的基本概念例1 关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（ ）．A ．平衡位置就是物体振动范围的中心位置B ．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移C ．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大D ．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移【思路点拨】平衡位置是物体所受回复力为零时所在的位置．【答案】B【解析】平衡位置是物体可以静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置无关．如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置应在台面上，所以A 项不正确；振动位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变，振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大，所以只有选项B 正确．【总结升华】位移和平衡位置是机械振动问题中非常重要的概念．位移的正负方向应该作出规定，平衡位置则是物体所受回复力为零时所在的位置．举一反三:【高清课堂：简谐振动及其图像例1】【变式1】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，则（ ）A ．振幅是2cmB ．振动频率为4HzC ．3s t =时，质点速度为正且最大D ．4s t =时，质点速度为正且最大【答案】A C【高清课堂：简谐振动及其图像例2】【变式2】一质点作简谐运动，图象如图所示，在0.2s 到0.3s 这段时间内，质点的运动情况是（）A．沿负方向运动，且速度不断增大B．沿负方向运动的位移不断增大C．沿正方向运动，且速度不断增大D．沿正方向的加速度不断减小【答案】C D类型二、振动图像的理解例2 （2015 东城一模）如图甲所示，弹簧的一端与一个带孔小球连接，小球穿在光滑水平杆上，弹簧的另一端固定在竖直墙壁上。