高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2第1课时基本不等式学案新人教A版必修第一册

2．2 基本不等式第1课时 基本不等式某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一个顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a 和b ，然后就把两次称得的重量的平均数a ＋b2 作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑．【问题1】这串金项链的真实重量是多少？【问题2】这样计算的重量对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？你能用学过的知识帮助他解决这个问题吗？ 1．重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立). 2．基本不等式 (1)公式：①条件：a>0，b>0； ②结论：ab ≤a ＋b 2 ；③等号成立：当且仅当a ＝b 时．(2)语言表述：两个正数的算术平均数a ＋b2 不小于它们的几何平均数ab .基本不等式的两个变形1.a 2＋b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2≥ab(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)；2.a 2＋b 22 ≥a ＋b 2 ≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号).(1)重要不等式与基本不等式成立的条件相同吗？基本不等式成立的条件能省略吗？提示：两个不等式成立的条件是不同的：前者要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．基本不等式成立的条件“a>0，b>0”不能省略，例如（－1）＋（－2）2 ≥（－1）×（－2） 是不成立的．(2)“当且仅当a ＝b 时，等号成立”的含义是什么？ 提示：一方面是当a ＝b 时取等号，即a ＝b ⇒ab ＝a ＋b 2；另一方面是仅当a ＝b 时取等号，即ab ＝a ＋b2⇒a ＝b.3．用基本不等式求最值的结论 已知x ，y 都是正数，(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y ＝P 时，和x ＋y 有最小值为2P (积定和最小)； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y ＝S 2 时，积xy 有最大值为S 24 (和定积最大). (3)应用：求和式的最小值，乘积式的最大值．使用基本不等式求最值的注意点1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．连续使用基本不等式时，取等号的条件是什么？提示：连续使用基本不等式时取等号的条件，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件相同吗？ (2)若a≠0，则a ＋4a ≥2a·4a ＝4成立吗？(3)当a ，b 同号时，b a ＋ab ≥2成立吗？ 提示：(1)不相同．(2)不成立．(3)成立．阅读教材例1的解答过程：例1 已知x>0，求x ＋1x 的最小值． 解：因为x>0，所以x ＋1x ≥2x·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1，x ＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2.如果将题目条件“x ＞0”改为“x ＜0”，你能用基本不等式求x ＋1x 的最大值吗？ 提示：因为x ＜0，所以－x ＞0，－x ＋1－x≥2()－x ·1－x ＝2，所以x ＋1x≤－2，当且仅当－x ＝1－x，即(－x)2＝1，x ＝－1时，等号成立，因此所求的最大值为－2.1．已知x>0，y>0，x y ＋2yx 的最小值为( ) A ． 2 ＋1 B ．2 2 C ． 2 －1D ． 2【解析】选B.x y ＋2yx≥2x y ·2yx＝2 2 ，当且仅当x 2＝2y 2时，等号成立， 故xy ＋2yx 的最小值为2 2 .2．(教材例题改编)设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________．【解析】因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号． 答案：400基础类型一 利用基本不等式 判断命题真假(逻辑推理)1．下列不等式一定成立的是( ) A ．x 2＋14 >x (x>0)B ．x ＋1x ≥2(x≠0) C ．x 2＋1≥2|x|(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R )【解析】选C.选项A 中，x 2＋14 ≥x(当且仅当x ＝12 时，x 2＋14＝x)，故选项A 不正确；选项B 中，x ＋1x ≥2(x>0)，x ＋1x≤－2(x<0)，故选项B 不正确；选项C 中，x 2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x ∈R )，故选项C 正确；选项D 中，x 2＋1≥1，则0<1x 2＋1≤1，故选项D 不正确．2．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab <a ＋b2B ．a<ab <a ＋b2 <bC ．a<ab <b<a ＋b2D ．ab <a<a ＋b2 <b 【解析】选B.因为0<a<b ，所以0< a <b ，所以a<ab ，同样由0<a<b 得a 2 <b2，所以a ＋b 2<b ，由基本不等式可得，ab <a ＋b 2，综上，a<ab <a ＋b 2<b.3．(多选题)(2021·枣庄高一检测)若a>0，b>0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＋1>aB ．⎝⎛⎭⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎫b ＋1b ≥4C ．(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 D ．a 2＋9>6a【解析】选ABC.对A.根据基本不等式可知a>0时，a 2＋1≥2a>a ，即a 2＋1>a ，所以A 正确； B ．当a>0，b>0时，a ＋1a≥2a ·1a ＝2，当a ＝1时等号成立，b ＋1b≥2b ·1b＝2，当b ＝1时等号成立，所以当⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，当a ＝1，b ＝1时等号成立，故B 正确；C ．(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当a ＝b 时等号成立，故C 正确；D.a 2＋9≥29a 2 ＝6a ，当a 2＝9时等号成立，又因为a>0，所以a ＝3等号成立，即a 2＋9≥6a ，故D 不正确．利用基本不等式判断命题真假的步骤第一步：检查是否满足应用基本不等式的条件． 第二步：应用基本不等式． 第三步：检验等号是否成立．基础类型二 利用基本不等式求简单问题的最值(数学运算)【典例】1.若x>0，y>0，则2x ＋1x ＋y ＋12y 的最小值是( ) A ．3 2 B ．4 2 C ．4 D ．2 【解析】选A.因为x>0，y>0， 所以2x ＋1x ＋y ＋12y≥22x ·1x＋2y ·12y＝2 2 ＋ 2 ＝3 2 ，当且仅当x ＝22，y ＝22时等号成立，因此，2x ＋1x ＋y ＋12y的最小值为32 .2．设x ，y 是正实数，满足x ＋2y ＝1，那么4y 2＋x 2的最小值为( ) A ．1 B ．23 C ．14 D ．12【解析】选D.由x ＋2y ＝1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2 2 ≤x 2＋4y 22 ， 即4y 2＋x 2≥12 ，当且仅当x ＝12 ，y ＝14时，取等号， 所以4y 2＋x 2的最小值为12.3．若4x ＋ax (x>0，a>0)当且仅当x ＝2时取得最小值，则实数a 的值为________． 【解析】因为x>0，a>0，所以4x ＋ax≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时取等号，由题意得，a 2＝2，所以a ＝16.答案：16将本例1的条件“2x ＋1x ＋y ＋12y ”改为“x ＋y ＋4x ＋1y ”，其他条件不变，如何解答？ 【解析】因为x>0，y>0，所以x ＋y ＋4x ＋1y ＝x ＋4x ＋y ＋1y≥2x ·4x＋ 2y ·1y＝4＋2＝6， 当且仅当x ＝2，y ＝1时等号成立， 因此，x ＋y ＋4x ＋1y 的最小值为6.【备选例题】若x>0，则x ＋2 020x ≥a 恒成立的一个充分条件是( ) A ．a>80 B ．a<80 C ．a>90 D ．a<90【解析】选B.因为x>0，由基本不等式x ＋2 020x≥2x ·2 020x＝4505 ，当且仅当x ＝2 020x即x ＝2505 时，取等号，要使得x ＋2 020x≥a 恒成立，则a ≤4505 ，所以x ＋2 020x ≥a 恒成立的一个充分条件是a<80.【知识拓展】利用基本不等式解不等式恒成立问题的思路对于由恒成立求参问题，常采用参变分离求最值的方法求解．如本例a 小于等于x ＋2 020x 的最小值．基本不等式的使用条件(1)一正：a ＞0，b ＞0，即：所求最值的各项必须都是正值；(2)二定：ab 或a ＋b 为定值，即：含变量的各项的和或积必须是常数； (3)三相等：当且仅当a ＝b 时取等号；即：等号能否取得． 在应用基本不等式求最值时，要逐一验证三个条件是否成立． 微提醒：定值条件决定了基本不等式应用的可行性，这是解题的关键．已知x>0，y>0，2x ＋y ＝2，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．12 C ．22 D ．14 【解析】选B.因为x>0，y>0，2x ＋y ＝2， 所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当2x ＝y ，即x ＝12，y ＝1时取等；故2≥22xy ，即xy ≤12.【加固训练】1.若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是______．【解析】由于x ＞0，y ＞0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案：812．已知x<0，则3x ＋12x 的最大值为________． 【解析】因为x<0，所以－x>0.则3x ＋12x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－x ＋（－3x ）≤－212（－x ）·（－3x ） ＝－12， 当且仅当12－x ＝－3x ，即x ＝－2时，3x ＋12x 取得最大值为－12.答案：－12综合类型 灵活利用基本不等式求最值(数学运算)拆项、凑项法①y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1 (x>－1)的最小值为________．②y ＝x ＋1x 2＋3x ＋8(x>－1)的最大值为________．【解析】①y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1 ＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1 ＋5，因为x>－1，所以x ＋1>0，所以y ≥2（x ＋1）×4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4x ＋1即x ＝1时，等号成立，故所求最小值为9. 答案：9②y＝x＋1x2＋3x＋8＝x＋1（x＋1）2＋（x＋1）＋6＝1（x＋1）＋6x＋1＋1，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≤12（x＋1）×6x＋1＋1＝11＋26＝26－123，当且仅当x＋1＝6x＋1即x＝ 6 －1时，等号成立．故所求最大值为26－123.答案：26－123点拨：①中分式的分子复杂、分母简单，可用拆项的方法，凑应用基本不等式的条件；②中分式的分母复杂、分子简单，可用分子分母同时除以某数(或式)的方法，凑应用基本不等式的条件．通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．微提醒：注意应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．【加固训练】已知x<54，则4x－2＋14x－5的最大值为________．【解析】因为x<54 ，所以5－4x>0，令y ＝4x －2＋14x －5，所以y ＝4x －2＋14x －5 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 答案：1换元法【典例】x ＋22x ＋5的最大值为________． 【解析】设t ＝x ＋2 ≥0，则x ＝t 2－2. 于是y ＝t2t 2＋1(t ≥0).当t ＝0时，y ＝0.当t>0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24.当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22 时，y 有最大值为24.由x ＋2 ＝22 ，解得x ＝－32.即x ＝－32 ，y 有最大值为24.答案：24换元法解基本不等式问题的策略换元法适用于结构复杂(如含有根式)的情况，其目的是通过换元将陌生问题转化为熟悉的问题． 【加固训练】函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________． 【解析】令t ＝x －1 ≥0，则x ＝t 2＋1， 所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝t t 2＋t ＋4. 当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；Ｋ当t>0，即x>1时，y ＝1t ＋4t ＋1 ，因为t ＋4t≥2 4 ＝4(当且仅当t ＝2时取等号)， 所以y ＝1t ＋4t＋1 ≤15 ， 即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值). 答案：15创新拓展 消元法解基本不等式问题(数学运算)【典例】已知a ，b>0，且满足a 2＋ab ＝1，则3a ＋b 的最小值为( )A ． 2B ． 3C ．2 2D ．2 3【解析】选C.因为a ，b>0，a 2＋ab ＝1，所以b ＝1a－a ， 所以3a ＋b ＝3a ＋1a －a ＝2a ＋1a ≥22a ·1a ＝2 2 ，当且仅当2a ＝1a ，即a ＝22时取等号， 所以3a ＋b 的最小值为2 2 .消元法是对于不等式中的多元问题，用一个参数表示其他参数，再利用基本不等式进行求解．创新题型 借助几何图形验证基本不等式(直观想象)【典例】(2021·汕头高一检测)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，且OF ⊥AB ，点C 在直径AB 上运动．设AC ＝a ，BC ＝b ，则由FC≥OF 可以直接证明的不等式为( )A.a ＋b 2 ≥ab (a>0，b>0)B ．a 2＋b 2≥2ab(a>0，b>0)C ．2ab a ＋b≤ab (a>0，b>0) D ．a ＋b 2 ≤a 2＋b 22 (a>0，b>0)【解析】选D.不妨设点C 在半径OB 上运动．由图形可知：OF ＝12 AB ＝a ＋b 2 ，OC ＝a －b 2. 在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22 ＝a 2＋b 22 ， 因为FC ≥OF ，所以a ＋b 2 ≤a 2＋b 22 ，(a>0，b>0).借助几何图形验证基本不等式的关注点(1)明确所证不等式中代数式的含义，挖掘几何图形蕴含的不等关系，如三角形中大边对大角、两边之和大于第三边等．(2)充分利用几何图形，找到有关线段的关系，并进行恰当的转化．【加固训练】《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a ＋b ，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是( )①由图1和图2面积相等可得d ＝ab a ＋b ； ②由AE≥AF 可得a 2＋b 22 ≥a ＋b 2 ； ③由AD≥AE 可得a 2＋b 22 ≥21a ＋1b；④由AD≥AF 可得a 2＋b 2≥2ab.A ．①②③④B ．①②④C ．②③④D ．①③【解析】选A.由图1和图2面积相等ab ＝(a ＋b)d ，可得d ＝ab a ＋b，①对；由题意知图3面积为12 ab ＝12 a 2＋b 2 AF ，AF ＝aba 2＋b 2 ，AD ＝12 BC ＝12 a 2＋b 2 ，图3设正方形边长为x ，由三角形相似，a －x x ＝x b －x ，解之得x ＝ab a ＋b ，则AE ＝2ab a ＋b；可以化简判断②③④对．1．下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(－a)＋(－1a )≤－2C ．a 2＋1a 2 ≥2D ．(－a)2＋⎝⎛⎭⎫－1a 2 ≤－2【解析】选C.由a 可正、可负，可知A ，B 错误；由于a 2＞0，所以a 2＋1a 2 ≥2a 2·1a 2 ＝2，当且仅当a 2＝1a 2 ，即a ＝±1时等号成立，所以C 正确；同理可知(－a)2＋ ⎝⎛⎭⎫－1a 2≥2，故D 错误． 2．已知x>0，函数y ＝4x ＋x 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．6【解析】选A.由题意可得，y ＝4x＋x 满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以y ＝4x ＋x ≥24x ·x ＝4，当且仅当4x ＝x ，即x ＝2时，等号成立．所以当x>0时，函数y ＝4x＋x 的最小值是4. 3．已知正数a ，b 满足ab ＝10，则2a ＋5b 的最小值是( )A ．10B ．20C ．15D ．25【解析】选B.因为正数a ，b 满足ab ＝10， 所以2a ＋5b ≥210ab ＝2100 ＝20，当且仅当2a ＝5b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝2 时，等号成立． 4.⎪⎪⎪⎪a ＋2a 的最小值是________． 【解析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a|＋2|a| ≥2|a|·2|a| ＝2 2 ，当且仅当|a|＝2|a| ，即a ＝± 2 时，取等号．答案：2 2 5．求函数y ＝4x 2＋9x 2 的最小值，并求函数取最小值时x 的值．【解析】由已知x 2>0，则y＝4x2＋9x2≥24x2·9x2＝12，当且仅当4x2＝9x2，即x＝±62时，等号成立，所以当x＝±62时，y＝4x2＋9x2的最小值为12.。