数学史与数学文化学习体会

三峡学院现代数学进展课程论文

数学史与数学文化学习体会

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学（师）

姓名

年级2012级

学号

指导教师

2015年5月

数学史与数学文化学习体会

：力丹

（三峡学院数学与统计学院2012级数本2班）

摘要：通过实例叙述了中外数学发展进程中凝练出的数学哲学思想的变革和相互联系，概括了数学哲学思想的重要性、实用性以及数学和哲学水乳交融相辅相成的紧密联系。最后分五个方面对数学史和数学文化课程学习的感悟体会和学习意义进行了总结提炼。

关键词：数学史；哲学；思想；数学文化；感悟.

引言

我认为：数学史与数学文化作为一门课程一门学科，教授给我的绝不仅仅只停留在数学作为一门科学在不断发展演变的历程中不胜枚举的中外数学家以及数学发展史中具体事例和思想运动，更涵而又丰满地是教授我一种数学的哲学思想、事物的发展规律、唯物理性客观的世界观和方法论，是对我们今后人生的指引和极大丰富。同时也是对身为理工科大学生人文情操和文化素养的磨练及沉淀，这才是我认为学习完数学史数学文化这门课程的精神核。

数学史的离不开数学哲学，否则，就不能达到应有的深度。法国伟大的数学家亨利·庞加莱曾说：“如果我们想要预测数学的未来，那么适当的途径是研究这们学科的历史和现状”在谈到数学史对数学的重要性时，英国数学家格莱舍有一段经典名言：“任何一种企图将一个学科和它的历史割裂开来，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大。”无独有偶，德国数学家汉克尔也形象地指出过数学的这一特点：“在大多数学科里，一代人的建筑被下一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏。惟独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼。”数学是历史的科学，是由历史成果积累而成的。

经过数学史课程的学习，我被数学文化中深刻的哲学思想而深深吸引。通过老师课堂上的丰富举例；通过一个个生动、紧、严肃、活泼的数学家形象和事例；通过数学史上一次次的猜想、命题、假设、证明，一次次地发展变革，更是引发了我对数学的发展规律和其本质哲学思想变革的不断思索。

中国早期的数学哲学思想

【1】《墨经》数学哲学思想的特点

纵观墨家的数学成就，只是一些分散的数学知识积累。既没有形成一个完整的公理体系，也没有使用任何数学符号、几何图形、公式方程来反映其数学思想，仅在文字上进行了高度抽象的概括，却没有妨碍墨家科学思想在数学上体现。墨家科学思想的突出特点是将技术的应用与发展研究相结合，“巧传则求其故”。巧指工艺技巧，传指世代相传，求就是探索寻找，故就是原因、道理．即在世代相传的手工技巧中找寻出规律并将其总结成科学真理，从而达到“以往知来，以知见隐”．思格斯说：“数学的无限是从现实中借来的??，所以它不能从它自身、从数学的抽象来说明而只能从现实来说明．旧墨家的数学思想正是从社会生产与社

会实践中产生的，“摹略万物之然，探究其所以然”的实证主义科学态度使得墨家的科学活动有了明确的指导思想，这种对待自然科学求真唯实的作风不但促进了战国时期科学技术的发展，而且逼近了近代科学发展的基础，为古代中国科学发展开辟出一条有可能走向近代科学的道路。

【2】《九章算术注》的数学哲学思想

徽是我国古代伟大的数学家，所著《九章算术注》一书，是他毕生研究数学的结晶，在这本书里集中体现了徽对待数学的根本观点，即唯物数学观点唯物数学观点是徽数学哲学思想的重要方面．中国古代数学史上，对于数学来源和作用的认识，徽是持唯物观点的代表者．徽在思想上，作为算学的“九九之术”来源于观天察地的实践的思想是十分明确的。徽序言中的“庖牺氏始画八卦”，意在表明八卦，从而表明“九九之术”产生之远古，而并非宣扬神秘主义事实上，1977年在我国发现的“裴岗文化”遗址表明：“伏羲——女蜗”时代的晚期，正值新旧石器时代的“过渡时期”，这时，农业的发展推动了天文学的发展，古人从观天察地的实中建立起八卦体系，后来这种八卦体系在《周易》中被记述下来，实际乃是我国古代科学数学发展的历史见证．

徽对于数学起源认识的唯物观点，更表现在他的“数学树”观念上他在《九章算术注原序》中论述数学是一棵大树的思想时指出：事类相推，各有所归故枝条虽多而同本干知，发其一端而已．即是说，《九章》所述的数学知识，犹如一株枝繁叶茂的大树，都发于空间形式的数量关系，故进一步说，数学树之端实际上乃是空间形式与数量关系的统一．且两者意义是相互联系的．例如，在用“矩”测物体时，就离不开“度”与“量”这种数形统一观向来在徽数学研究的实践中得到r充分体现例如，他用广、从两数乘积及广、袤、高三数乘积分别定义几何量——长方形面积和长方体体积，据此证明《九章》中一系列面积、体积公式．与此同时，几何的原理和方法叉成功地被应用于诸如整勾股数等代数公式的证明中．徽对数学的唯物观点还表现在他在具体工作中的精神和对数学研究中附会阴阳奇偶说的批判在《九章算术》成书后，

在对数学作用的认识上，徽既肯定了数学在实践和理论上的作用．唯物地表达了数学在认识自然界方面的重要作用．虽然徽的唯物数学观相比同时期的西方数学哲学思想要先进得多．但是，由于中国传统文化是封建制度方法下的文化，而传统数学作为传统文化的一部分，也不免打上封建方法的烙印，表现出对圣贤的迷恋和膜拜．圣贤无所不能，无所不知，无论什么都要打出圣贤的招牌才最有力，几乎成为共识徽《九章算术注原序》中“周公制礼而九数”的说法，正是这种烙印的一种表现．因此，徽的唯物数学观具有时代的局限性．

综上所述，徽虽然生活在封建制度方法下的古代晋朝，却能客观地总结前人的实践经验，唯物地创造性地发展我国的数学科学，不失为我国和世界同时期的伟大数学家，“徽”这个名字在数学科学史上必将光照千秋．

西方数学哲学思想的演变历程及举例

数学史上产生过三次数学危机，而三次危机的产生与解决，客观上揭示了数学在矛盾运动的过程，也就是数学史的一个缩影．事物的辩证本性和辩证联系常常是以悖论的形式出现的。三次数学危机正是由悖论引起的．悖论是科学发展的一种强有力的在的逻辑力量，思维虽然不能完整地把握客观事物的辩证矛盾，但由于悖论的出现，却使人看到了旧的理论同客观事物的辩证性质之问的尖锐矛盾，在这种情况下，必然产生出新概念、新思想、新方法和新理论，悖论一旦得到解决，科学便随之得到突破性的发展．

【1】悖论，芝诺悖论——数学史中的第一次数学危机

公元前五世纪的毕达哥拉斯学派相信“宇宙问的一切现象都能归结为整数和整数比”，希帕索斯发现的“正方形一边与对角线不可通约”即悖论，严重冲击了当时希腊人的普遍信条，在惊异不安之后，还是被迫努力寻求对“自然数及其比不能包括一切几何量”这一事实的理解。毕氏学派提出单子论概念去解决这一悖论。而单子论又受到芝诺悖论的否定．进一步促使人们从直觉、经验转向追求逻辑和理性，引导出柏拉图、亚里士多德、欧几里得的公理几何体系和逻辑学的出现和发展。而无理数的理论直到十九世纪才完成。

【2】徽积分悖论——数学史中的第二次数学危机

微积分这门学科的莫基人，人们公认是牛顿和莱布尼兹，但在微积分理论初创时期，不论是牛顿还是莱布尼兹，都无法越过从有限到无穷小量的鸿沟．他们的证明都要依靠一个模糊的原理，即一个无穷小量既可以是一个极其微小的量，同时又可以是零，这就直接违反了最基本的逻辑规则．“什么是无穷小”引出的微积分悖论造成了第二次数学危机．宣称“存在就是被感知”的主观唯心主义者贝克莱呼之为“逝去量的鬼魂”，旨在挽救、宣扬唯心主义，所有的数学家、自然科学家、哲学家都在各抒己见。在近两个世纪的争论、探讨中达朗贝尔、波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄里克列、外尔斯特拉斯等人都做了大量的工作，建立了“一”的极限、连续定义，将导数、积分建立在严格的极限基础之上，最终以外尔斯特拉斯、戴德金、康托尔建立实数理论及由此的极限理论，消除了微积分理论中的悖论，克服了第二次数学危机。极限理论是微积分理论的基础，它的建立体现了人们对无穷小量认识的深化过程，在微积分的历史上，这个过程虽然是曲折的，但是人们的思想终于突破了形而上学的框框，掌握了无穷小量的辨证本质，这是唯物辩证法的一个胜利。徽积分悖论的消除还有重大的科学意义，它使得在微积分理论的基础上建设起来的高楼大厦，再也无需有基础下陷之忧虑了．进人二十世纪之后，它对社会生产和科学技术的许多领域都产生了更加巨大的推动作用．

【3】罗素悖论——数学史中的第三次数学危机

1900年正当庞加莱在国际数学家大会上宣称“数学已经被算术化了，现在的数学已经绝对严格”之时，罗素悖论导致了第三次数学危机，因为“集合的集合”究竟属于哪类集合的疑难，作为集合论基础的皮亚诺公理出现了漏洞，使现代数学大厦出现了一条裂缝。为解决这场危机，逻辑主义、直观主义和形式主义三学派开展了长达半个世纪的争论，至今虽以统一“数学基础”而使罗素悖论的震波渐趋平息，但彻底消除基础的裂痕已无可能．不过，人们还是获得了重大进步，如类型论、公理集合论等，对数学、逻辑、语言，乃至科学、哲学理论等都有了更加冷静、本质的认识，这是作为“智慧的人”的一步重大的提高．【4】微积分中蕴涵的丰富哲学思想

微积分中蕴涵着丰富的哲学思想，如“量变到质变”、“对立统一规律”、“特殊存在于一般之中”等。1．积分概念中蕴涵的哲学思想定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的产生是解决实际问题的需要，解决的基本方法是：①有限分割，②以直代曲或以匀代变的近似计算，③有限积累的求和，④极限转化比如定积分的概念是由求曲边梯形的面积引出的，和式ni=lΣfi）△xi表示n个矩形面积之和；当0时，lim，ni=lΣf(i)△xi 则是曲边梯形的面积。马克思曾对微积分作过一番历史考察．他把这一时期称为“神秘的微积分”时期．并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的(而且在几何应用上是惊人的)结果.

【5】非欧几何的哲学思想

认识论的变革法国哲学家、数学家加莱说过：非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的．束缚住任何理论的两难论题：即科学的原理耍么是必然真理(先验综合的逻辑结论)；要么是断言的真理(感官观察的事实)．他指出：原理可能是简单的任意约定．但是这些约定决不是同我们的心灵和自然界无关的，它们只能靠着一切人的默契才能存在，它们并且紧密地依赖着我们所生活的环境中的实际外界条件，事实上正是由于这一点。对于探索未知或目前无法感知的事物．我们可以在哲学的领域里依靠我们对自然界的认识作某种“默契约定”，这是认识一切事物的开始和基础．另外，我们在理论评判中，放弃非彼即此的评判，爱时斯坦就说过：这种非彼即此的评判是不正确的．这些评判家、数学家的评判尤疑是非欧几何创立后，其对思想、理论建立．特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的在影响，像“相对论”的产生、特别是对时空的进一步认识，集合论、现代分析基础、数理逻辑、量子力学等学科建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果．非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消限．

【5】潜无穷与实无穷中的辩证法

任何事物的部都包含着互相对立又互相统一的两个方面，徐利治教授在谈到“潜在无限”和“实在无限”时明确提出“两种无限只不过是对同一对象的两个侧面的反映．”实际上既不存在没有潜在无限的实无限，也不存在没有实无限的潜无限，实无限都必须是某一潜无限基础上飞跃而完成的无限过程，潜无限都是某一个实无限的初始片断．可见，无穷观的发展过程中也蕴含着丰富的辩证法涵.

显然，三次危机的产生和消除过程包含了丰富的哲学问题。每一次危机的消除都促进了学的发展，而哲学的发展也是数学得以突破的主要因素之一。学习这段历史的过程，也是我们历经人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性的过程．历史就是智慧，它横跨千年，把从原始的信仰到辩证地理性的分析之间那漫长曲折的历程都展现在我们面前．品味每个智慧的节点，从经验论到唯理论，再从形而上学到辩证法，不断的矛盾，不断的反思，促使我们逐步摒弃不正确的思想，树立健康的哲学观念，而随之提高的哲学修养必然导致我们对数学更深层次的思考．这样也必然会再次遇到矛盾，数学的发展又将在矛盾的解除中实现，哲学理论亦将再次走向深入.

一部数学史纵贯五千年，横亘东西方，其中蕴涵的哲学意义已是十分充盈，而现代数学还在迅猛发展，有许多问题亟待解决，这就需要我们在数学史教学中加强哲学观念的培养，对科学中最一般的、最深刻的价值、真、善、美抱以热烈的感情，去上下求索。因为：不论运用怎样的思维原则和思想方法，最终还是属于哲学.

渗透于实际生活中数学哲学思想

【1】特殊化思想

特殊化思想的意义在于当研究的对象比较复杂时，通过对其特殊情况的研究，将会使我们对研究的对象有个初步了解，并且帮助我们熟悉所面临的问题的类型，这对于进一步处理以至最终解决这个问题有很大好处。另外，事物的共性存在于个性之中。对个别的特殊情况的讨论，常常可以凸现问题的关键，从而揭示出问题的本质。只要我们寻找到题目蕴涵的特殊和一般之间的联系，运用特殊化思想能起到事半功倍的效果.

【2】转化思想

数学方法论中所论及的转化是指把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到

一类已经能解决或者解决比较容易解决的问题中去，正所谓正难则反的思想，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。该方法在解题中被广泛用到。大学数学的学习中我们经常利用该方法，比如将多元函数的微分和积分相关问题转化为一元函数的微分和积分等.

【3】函数思想

函数的思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决。对于一些常见的实际问题的处理我们需要转化为数学问题，分析变量之间的联系，要构造函数，利用相关函数的思想借助导数等相关定理解决问题.

【4】数形结合的思想

“数缺形时少直觉形缺数时难入微数形结合万般好”说的就是数形结合的思想就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的性质，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题.在大学数学的解题中，根据题中“数”的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征规律来研究解决问题，可以化抽象为直观，易于显露出问题的在联系.

数学史课程学习的意义和感悟

数学史与数学文化的学习过程中加强了我们理工科大学生本身薄弱欠缺的科学人文精神，不但引导我们了解数学与人类社会发展的相互作用，追寻数学发展的历史轨迹，而且让我们充分体会数学中蕴含的哲学思想、美学价值及其应用的广泛性，帮助我们树立正确的价值取向，培养形成高尚的人格，为提高理工大学生整体素质打下良好的基础。具体分以下五点介绍下课程结束后我的学习体会和学习感想：

【1】从数学家的道德品质中感受人格魅力．培养人文精神

课程对我们进行人文精神培养，弘扬了数学家高尚的道德品质，培养了我们探索未知，追求真理的人文精神。以数学的在精神为导向，引导我们树立正确人生观。数学精神是人类文明的崇高精神，是一种敢于坚持数学思想的勇气和不断追求真理的意识。把数学知识与其建立的背景有机地结合起来，这是以数学史实帮助我们领悟数学精神和数学发展的一般规律。诚实、，是数学理性精神的本质特征。数学语言的精确性使得数学中的结论不会模棱两可，数学中不存在伪科学，不允许有任何弄虚作假的行为存在。数学让人不迷信权成，不屈服干权贵；数学让人坚持原则，忠于真理.

培养我们自尊、自信、自爱的独立人格。又理智、自律是科学文化人的重要人格特征。数学能够去其浮躁，净化人的灵魂。数学的思维方式，教育人们理智地思考问题，三思而后行。数学发展史中的公理化方法、结构方法、数学模型方法拓扑等方法，培养我们思维的条理性、整体性、创造性深刻性，久而久之，养成从全局出发，抓住事物的本质，自觉按客观规律办事的习惯.

【2】以数学家的道德实践为榜样，学会敢干坚持真理

通过学习数学史与数学文化，了解到数学家在追求真理时所表现出来的奉献精砷，在数学研究中的艰辛劳动，数学家的成功与失误，数学家的成长与发展道路，数学家的品德力量等等，让我认识到数学发展过程中看似简简单单的公式和定理背后，都有前人巨大的付出和汗水，所有这些也深深地激励和鞭策我们，在普遍存在的崇拜“歌星”，轻视“科星”的环

境中，不同流合污，不随波逐流，学会敢干坚持真理.

数学的前进和发展的道路郜不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例都说明了这一点．数学家们或是坚持真理，不畏权成，或是坚持不懈，努力追求，很多人甚至付出毕生的努力．阿基米德在敌人破城而人危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”欧拉31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，它的论文多而且长，以致在他去世之后的1 0年，他的论文仍在科学院的院刊持续发表。经过学习数学史，可以让我们正确看待学习过程中遇到的困难，重新树立学习数学的信心.

【3】从数学家的思维方法获得思想启迪，树立科学世界观

数学本身充满了矛盾、运动、发展和变化，体现着唯物论的辩证法，是体现唯物论和辩证法非常广泛具体的学科。数学中有许多概念都是从客观现实中抽象出来的，从古至今许多前人总结的法则公式结论都是按照“从实践中来，到实践中去”或遵循“由特殊到一般，再由一般到特殊”的认识规律而产生、推导、归纳概括推广、发展、应用的.

让我们在今后的学习探索过程中处处体会到数学中的矛盾转化原理：对于一个数学问题(或生活中的问题)，可以通过把未知转化为已知的问题，或者将复杂的问题转化为简单的问题去解决，这我们在学习和日常生活中解决实际问题提供了帮助。同时使我们在学习中体验和领会事物的绝对与相对、现象与本质、静止与运动、具体与抽象、特殊与一般，量变与质变、实践与认识、对立与统一的辩证关系，培养我们的科学思维方法，提高分析和解决问题的能力.

【4】以数学史为镜，明事理，知荣辱，担责任

学习数学史让我更清楚了一个事实：古代中国的数学有其辉煌的一面．例如“祖氏原理”比西方称之为的“卡瓦列原理”要早1000年，要宪的“高次方程数值解法”，比西方国家早出500多年，九韶的“大衍求一术”，现被公认为“中国剩余定理”，比西方同类结果早500年．朱世杰的“招差术”比西方同类结果早300多年．等等，并且中国古代的数学常以歌谣形式和算法口诀出现，形式活泼、朗朗上口，深入民间。然而古代中国的数学因“重算法，轻演译”，再加上古时“天朝帝国”的妄大、自守，导致16、17世纪．当近代数学在欧洲蓬勃兴起之时，中国数学就明显地落后了。学习数学史就是要让我们学会以史为镜，明事理．知荣辱，担责任，正式历史和现实，在实现个人价值的同时努力奋斗，为日后中国的数学事业发展添砖加瓦.

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