第三章 n维向量空间

第三章 n 维向量空间

1．教学目的和要求：

(1) 理解n 维向量、向量的线性表示的概念.

(2) 理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.

(3) 了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.

(4) 了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.

(5) 理解向量空间的概念以及会求向量空间的基和维数，了解向量在基下的坐标，了解内积、欧式空间、标准正交基以及正交矩阵的概念. 2．教学重点：

(1) 向量的线性表示，判断向量组线性相关与线性无关. (2) 向量组的极大线性无关组的求法. (3) 向量组的秩与矩阵秩的关系. (4) 向量空间的判别.

3．教学难点： 向量组的线性相关性的判别与极大线性无关组的求法.

4．本章结构： 从向量的运算引出向量组的线性相关性的概念，进而推出向量组

线性相关性的判别方法，又讨论了向量组的极大线性无关组，从而定义了向量组的秩，将向量组与矩阵联系起来，这样向量组的秩与矩阵的秩之间的关系就对应起来了，最后介绍了向量空间和欧式空间的概念，讨论了向量空间的基和维数。

5．教学内容：

§3.1 n 维向量的定义

1. 定义

定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a , 称为n 维行向量．

i a –– 称为向量 的第i 个分量

R i a –– 称 为实向量（下面主要讨论实向量） C i a –– 称 为复向量 零向量：)0,,0,0(

负向量：),,,()(21n a a a

列向量：n 个数n a a a ,,,2

1 构成的有序数组, 记作

n a a a 21 , 或者T

21),,,(n a a a , 称为n 维列向量．

零向量：

000 负向量： n a a a 21)( 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．

2. 例题

例1(向量与矩阵的关系) 对于n m 的矩阵A ，

则A 的行为n 维行向量，A 的列为m 维列向量。

例2(向量与线性方程组) 一个m 个方程，n 个未知量的线性方程组

可以用矩阵和向量来表示。

§3.2 n 维向量的线性运算

1．定义

线性运算：),,,(21n a a a , ),,,(21n b b b 相等：若),,2,1(n i b a i i , 称 ． 加法：Δ

),,,(2211n n b a b a b a 数乘：),,,(21Δ

n ka ka ka k

减法：Δ )( ),,,(2211n n b a b a b a 2．线性运算律：

),,,(21n a a a , ),,,(21n b b b , ),,,(21n c c c (1) (5) 1

a a a a a a a a a a a a mn mj m m n j n j A 21222221111211 n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111

(2) )()( (6) )()(l k l k

(3) (7) k k k )( (4) )( (8) l k l k )( 3．例题

例 设

(1) 求 的负向量； (2) 计算.23

§3.3 向量组的线性相关性

1．线性组合与线性表示

对n 维向量 及m ,,1 , 若有数组m k k ,,1 使得

m m k k 11, 称 为m ,,1 的线性组合, 或 可由m ,,1 线性表示．

例如，

有

，

所以称 是4321,,, 的线性组合，或 可由4321,,, 线性表示。

判别 是否可由向量组m ,,,,321 线性表示的定理：

定理1 向量 可由向量组m ,,,,321 线性表示的充分必要条件是： 以m ,,,,321 为系数列向量，以 为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。

2．向量组的线性相关性

对n 维向量组m ,,1 , 若有数组m k k ,,1 不全为0, 使得 011 m m k k

称向量组m ,,1 线性相关, 否则称为线性无关． 线性无关：对n 维向量组m ,,1 , 仅当数组m k k ,,1 全为0时, 才有 011 m m k k

称向量组m ,,1 线性无关, 否则称为线性相关．

例1 用定义判断线性相关性

,]6,1,2,3[,]7,4,0,1[T

T 12342100050100,,,,3001000001

210005010025303001000001 1234=2530 即

(1) 向量 ,,,0线性相关； (2) 向量 ,,,线性相关； 判定线性相关的定理

定理2 向量组m ,,,21 3214120 线性相关 其中至少有一个向量可由其余321,, 个向量线性表示．

推论：向量组m ,,,21 3214120 线性无关 任何一个向量都不可由其余321,, 个向量线性表示．

定理3 n 维向量组m ,,,21 线性相关 0 Ax 有非零解，其中

),,,(21m A 。

推论：n 维向量组m ,,,21 线性无关 0 Ax 只有零解，其中),,,(21m A 。

例2 已知T

T T )7,4,2(,)5,2,0(,)1,1,1(321 ，试讨论向量组321,, 的

线性相关性。

例3 判断向量组

)0,,0,0,1(1 e , )0,,0,1,0(2 e , …, )1,0,,0,0( n e 的线性相关性．

定理4 若向量组m ,,,21 线性无关, ,,,,21m 线性相关, 则 可由m ,,,21 线性表示, 且表示式唯一． 一些结论：

(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关； (2) 含零向量的任何向量组线性相关； (3) 基本向量组n e e e ,,,21 线性无关；

(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；

(5) m>n 时， m 个n 维向量必线性相关. 特别：m=n+1 ； (6) n 个n 维向量线性无关 它们所构成方阵的行列式不为零； (7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量.

例4 已知向量组321,, 线性无关, 证明向量组 211 , 322 , 133 线性无关．

证 设 332211k k k , 则有

332221131)()()(k k k k k k 因为321,, 线性无关, 所以

00322131k k k k k k , 即

000110011101321k k k