高中数学 椭圆的定义章节

教学章节：椭圆的定义

教学目标：

1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；

2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。

教学重点：。 教学难点：。 教学过程：

（1） 复习

提问：动点轨迹的一般求法？

（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）

（2） 引入

举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等； 计算机：动态演示行星运行的轨道。 （进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）

（3） 教学实施

投影：椭圆的定义：

平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c 表示），常数一般用2a 表示。（讲解定义时要注意条件：

022>>c a ）

计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。 提问：如何求轨迹的方程？ （引导学生推导椭圆的标准方程） 板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）

（推导中注意：1易为学生所接受；2刃而解；3）其中焦点为F 1（c -，0）、F 2222c a b -=；4）如果焦点在y 轴上，c -）

、F 2

（0,c ），只要将方程中x ，y 互换就可得到它的方程）

投影：椭圆的标准方程：

12

2

22=+b y a x （0>>b a ） 122

22=+b

x a y （0>>b a ） 投影：例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程 （由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出a 、b 、c 即可） 形成性练习：课本P74：2，3

（4） 小结本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:

①椭圆的定义中,022>>c a

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定 ③a 、b 、c 的几何意义

教学章节：椭圆及其标准方程

教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的定义。

2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件 画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力 的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立 思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；

教学重点：椭圆的定义及标准方程。

教学难点：椭圆的定义及标准方程的推导。 教学过程：

一：椭圆概念的引入：

1：举例：（1）汽车油罐横界面的轮廓，沙丁鱼罐头（由学生自己举例） （2）天体行星和卫星运行的轨道。 （3）立体几何中作园的一种直观图。

2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？ （2）在这个运动过程中，什么是不变的？ 答：两个定点，绳长。

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变） 3：由此总结椭圆定义：

平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

4：说明（1）注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方： （2）两个定点------两点间距离确定。 绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。 （3）思考：

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（极限：线段）。 在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（极限：圆）。 注意到条件：

由此，椭圆的形状与两定点间距离，绳长有关。（为下面离心率概念作铺垫） 二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤：

2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。 设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数）

{}a PF PF P P 221=+=∴

221)(y c x PF ++= 又，

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得：

)()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>

022>-∴c a

令2

2

2

b c a =-∴代入，得：

222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：

122

22=+b

y a x ，此即为椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。 其中2

2

2

b c a +=

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程， 说明：

（1） 其中：2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。 焦距2c ，而由

（2） 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换x,y 轴）焦点则变成：

只要将此方程中的x,y 调换，即可得：122

22=+b

x a y ，此也是椭圆的标准方程。

三：巩固练习：

1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c 的值。

①1222

2=+y x ②1242

2=+y x ③12

42

2=-y x ④36942

2

=+x y 变形为：13

222

22=+y x

总结：注意到a 2>b 2

，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。 2：求三量： 四：例题讲解：

1：平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离之和是10的点的轨迹方程。 问：这个轨迹是什么？------椭圆 如何确定？-------定式定量。 2：已知B,C 两定点，

12=BC ，三角形ABC 的周长为16，求A 的轨迹方程。

4：若

116242

2=++-k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是？ 五：总结

教学章节：椭圆及其标准方程

教学目标：

1． 使学生掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程； 2． 能根据定义推导出椭圆的标准方程；

3． 能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题； 4． 培养学生形数结合的重要数学思想方法。

教学重点：。 教学难点：。 教学过程： （一）、复习提问：

1、求曲线方程的步骤有哪些？

2、圆的一般方程是什么？主要特点是什么？

（二）、引言：我们已经学习过两种曲线，这节课我们再学习一种常见的曲线——椭圆。

（动画展示太阳系行星运动轨迹）通过播放动画提出如下问题：太阳系行星运动轨道是什么曲线？使椭圆的形象更加鲜明。

（三）、新课：

1、椭圆的定义：（动画展示）

①投影：（课件演示椭圆生成过程）通过动点轨迹的形成过程，给出轨迹的直观形象，以便于抽象概括。

②小黑板：（实物演示椭圆生成过程）

让学生观察分析，同时回答下列问题：所作的轨迹上的动点，满足什么条件？试用语言概括。并且讨论为什么要规定“常数大于|F1F2|”，分析常数等于|F1F2|和常数小于|F1F2|时的点的轨迹是什么？（字幕展示椭圆的定义以及焦点、焦距的概念。）

2、根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程：

推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出椭圆的标准方程。过程如下：

①建系设点；②列式；③变换；④化简；⑤证明。（板书过程）

3、椭圆的标准方程的特点：（字幕投影）

①椭圆标准方程中总有a＞b＞0，

②椭圆焦点总在长轴上，

③对于a、b、c有关系式c2＝a2－b2成立。

４、剖析例题：

在掌握了椭圆的定义及其标准方程基础上，字幕展示例题。

例１：平面内两个定点距离是８，写出到这两个定点的距离的和是１０的点的轨迹的方程。

此题中距离和的值可以改动，当其等于8或小于8时其点的轨迹分别是线段和无轨迹，可进一步加深学生对椭圆定义的理解。

例２：三角形ABC中，AB固定，|AB|=10，且sinA+sinB=2sinC，求点C的轨迹方程。

在屏幕上用动画显示解题过程，板书解题步骤。通过例1与例2，巩固对“椭圆的定

义和椭圆的标准方程”的掌握，会应用椭圆的定义求椭圆的标准方程。

（四）、课堂练习：

为了更好地完成教学目的，巩固本节的重点，掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程，通过投影仪展示出精选的练习题。

1、写出满足两个焦点的坐标是（-2，0）和（2，0），并且经过点P（5/2，—3/2）的椭圆标准

方程。

2、已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。

让学生板演，然后在屏幕上显示解题过程，对学生进行规范解题训练。

（五）、课堂小结：（字幕显示）

总结本节课学习的主要内容，使学生明确学习目的。

四、主帧设计：

y

M

教学章节：椭圆的简单几何性质

教学目标：

知识目标：1：熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。 2：掌握标准方程中a,b,c 的几何意义 3：椭圆的第二定义。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题； （3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力；

教学重点：椭圆的简单几何性质与第二定义。

教学难点：椭圆的第二定义。 教学过程：

一：复习引入

1：概念：椭圆，焦点，焦距。 2：标准方程：

3：请学生在黑板上作出椭圆的草图，注意标出所有可以确定的量值及点的坐标。 教师同在黑板作出椭圆的草图，注意作出矩形框以界定椭圆的范围。 评议学生的作业。

根据草图说明，注意标准方程中a,b 是如何定义的。 二：新课讲授：

以椭圆标准方程122

22=+b

y a x 为例进行说明。

1：范围：

观察椭圆的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围： 椭圆在四条直线a x ±=b y ±=,围成的矩形内侧。 注意：从椭圆的方程如何验证？

从标准方程12222=+b y a x 可知012222≥=-b y a x ，由此椭圆上点的坐标都适合不等式122

≤a

x

即2

2

a x ≤，a x ≤即椭圆在四条直线a x ±=

b y ±=,围成的矩形内侧。

2：对称性：

椭圆122

22=+b y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆

122

22=+b

y a x 的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3：顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

在椭圆122

22=+b y a x 的方程里，对称轴是x,y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个

交点)0,()0,(2a A a A -，他们是椭圆122

22=-b

y a x 的顶点。

令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交点),0(),0(2b B b B -，他们是椭圆122

22=+b

y a x 的

四个顶点。

注意：椭圆的顶点有四个顶点，它们分别是长轴和短轴的四个端点。 长轴：线段21A A 叫做椭圆的长轴，它的长等于2a ，a 叫做椭圆的长半轴长。 短轴：线段21B B 叫做椭圆的短轴，它的长等于2b ，b 叫做椭圆的短半轴长。 4：离心率：

1） 概念：椭圆焦距与长轴长之比。

2） 定义式：a

c

e =

3） 范围：10<

4） 考察椭圆形状与e 的关系：

0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。

,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。 说明：

1） 其中定点---焦点，定直线----准线。

对于12222=+b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2

1:-=

相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c

a x l 2

2:=

对于12222=+b y a x 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 2

1:-=

相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线c a y l 2

2:=

2） 位置关系：c a a x 2

<≤

3） 焦点到准线的距离c

b 2

其上任意点),(y x P 到准线的距离：（分情况讨论）

四：练习：已知椭圆

19

252

2=+y x 上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离。 五：总结

教学章节：椭圆的几何性质

教学目标：掌握椭圆的焦半径公式，焦点弦公式，通径，直线和椭圆的位置关系等椭圆的相关内容。 教学重点：习题课。 教学难点：习题课。 教学过程：

一：椭圆的第二定义： 应用：

1：椭圆)0( 122

22>>=+b a b

y a x ，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。

2：椭圆

19252

2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离为2.5，求P 点到椭圆右焦点的距离。 3：椭圆 136

1002

2=+y x 上一点P 到两焦点的距离之比为1：3，求此点到左右准线的距离。（若求此点的坐标又如何求解？）

4：求经过M(1，2)以y 轴为准线，离心率为0.5的椭圆的坐定点的轨迹方程。 设椭圆左顶点P(x,y)，由P 到左焦点距离于P 到y 轴距离之比为0.5，则有 二：椭圆的焦半径及其应用：

1：定义：椭圆上任意一点M 与椭圆焦点21F F 的连线段，叫做椭圆的焦半径。 2：焦半径公式的推导：

设椭圆)0( 122

22>>=+b a b

y a x 及椭圆上任意一点M ),(00y x （注意和其在椭圆的左半个还是右

半个无关）， 则2

0202

1

)(y c x MF ++=，2

0202

2

)(y c x MF +-=

02

2

2

14cx MF MF =-∴，a MF MF 221=+ 又

????

?-=-=+=+=∴0

02001ex a x a c

a MF ex a x a c a MF

即有焦点在x 轴上的椭圆的焦半径公式：

?

?

?-=+=0201ex a MF ex a MF 同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：

??

?-=+=0

201ey a MF ey a MF

（其中21F F 分别是椭圆的下上焦点）

注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关。 可以记为：左加右减，上减下加

?????

=+=

-∴

2221021a MF MF x a c MF MF

焦半径公式的推导还有其他方法，其中最为简单的就是利用椭圆的第二定义： 由第二定义：

e d MF =1

1，∴

e c

a x MF =+

2

01

又c

a x 2

0≤

0201ex a a c

c a ex MF +=+=∴

同理：0202ex a a

c

c a ex MF -=-

= 3：焦半径公式的应用：

1）：椭圆)0( 122

22>>=+b a b

y a x ，其上一点P(3,y)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方

程。

2）P 为椭圆

19

252

2=+y x 上的点，且P 与21F F 的连线互相垂直，求P . 3）椭圆

19

2522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证821

=+x x

4）设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点， 求证：一线段P F 2位直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切。 三：直线与椭圆： 1：位置关系： 相交（两个公共点） 相离（无公共点） 相切（一个公共点）

若直线b kx y l +=:，二次曲线0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C

将b kx y l +=:代入0:

22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到

关于x 的二次方程02

=++c bx ax （*） 若0>?，相交

0=?，相切 0

在圆的几何性质的学习中，判断直线和圆的位置关系可以除了上述的代数法，还可以直接通过圆的几何性质也既是几何法进行判断，但在椭圆中，由于对椭圆的纯几何性质没有进行过细致的学习，则一般情况下，无法直接使用几何方法，而判断直线和椭圆的位置关系常常只能用代数法进行。 当然，具体问题具体分析。如下面这个例子：

直线b kx y l +=:与焦点在x 轴的椭圆

172

2

2=+a y x 总有公共点，则a 的取值范围？ 2：相交弦长： 弦长公式：21k a

d +?

=

，其中a 和?分别是02=++c bx ax （*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kx y l +=:的斜率。 当代入消元消掉的是y 时，得到02

=++c by ay

，此时弦长公式相应的变为：

211k

a d +?=

3：焦点弦：

定义：过焦点的直线割椭圆所成的相交弦。 焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到： 设两交点),(),(2211y x B y x A 当椭圆焦点在x 轴上时，

焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 过左焦点：)(221x x e a AB ++= 过右焦点：

)(221x x e a AB +-=

当椭圆焦点在y 轴上时， 过左焦点：

)(221y y e a AB ++=

过右焦点：)(221y y e a AB +-=

4：通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。 直接应用焦点弦公式，得到：

a

b d 2

2=