2016中考--圆---知识点总结
备战中考--第29讲圆的有关性质--(附解析答案)
备战2019中考初中数学导练学案50讲第29讲圆的有关性质【疑难点拨】1. 圆的定义在证题中的作用我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．垂径定理的应用类型：（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．【基础篇】一、选择题：1.（2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．2.（2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A．B．5 C．D．53.（2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm4.（2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5°D．35°5.（2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°二、填空题：6.（2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是．7.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80°．8.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．三、解答与计算题：9.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．10.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE ⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．【能力篇】一、选择题：11.（2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°12.（2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．B．2 C．2D．813.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．75二、填空题：14.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是．15.（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为 cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．三、解答与计算题：16.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．17.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．【探究篇】19. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5. (1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长； (2)如图②，若点P 是CB ︵的中点，求PA 的长．20.（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．第29讲圆的有关性质【疑难点拨】1. 圆的定义在证题中的作用我们知道，定理是推理证明的重要依据，而定义在证题当中也有不可忽视的作用．利用圆的定义解某些几何问题，其特点是要找出到定点的距离等于定长的点，然后以定点为圆心定长为半径画圆，利用圆的有关性质使问题简捷、巧妙地得到解决．2. 垂径定理及其推论是证明两条线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．垂径定理的应用类型：（1）如图（1），基于圆的对称性，下列五个结论：①弧AC＝弧CB；②弧AD＝弧DB；③AE＝BE；④AB⊥CD；⑤CD是⊙O的直径，只要满足其中的两个，另外三个结论一定成立；（2）设半径 OA为 r，弦心距OE为 d，弦AB为 2a，由OE⊥AB得，AE＝a，在Rt△AOE中，满足r2＝d2，＋a2，利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”．3. 圆周角定理及其推论应用注意事项：（1）同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用等边对等角以及三线合一的性质来进行证明和计算；（2）当出现圆的直径时，往往通过作辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．（3）同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，它们所对的其余各组量也相等．（4）一条弦（除直径外）所对应的弧有优弧、劣弧之分，因此所对的圆周角也有两种情况：①优弧所对应的圆周角是钝角；②劣弧所对应的圆周角是锐角，这一组圆周角互补；一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．【基础篇】一、选择题：1.（2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O 于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．【考点】垂径定理和勾股定理【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．2.（2018·山东威海·3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A．B．5 C．D．5【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故选：D．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．3.（2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm【考点】垂径定理【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，BC=．∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=．故选D．【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．4.（2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5.（2018·湖北省宜昌·3分）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，∴∠OCB=90°，∵OD∥AB，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°，故选：D．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．二、填空题：6.（2018·广东·3分）同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD= 80°．【考点】圆周角定理；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质由AB∥CD得到∠C=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠C=80°．故答案为80°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了平行线的性质．8.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（2，0）．【考点】确定圆的条件；坐标与图形性质．【专题】网格型．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．三、解答与计算题：9.如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后根据垂径定理求得CD的长，然后在直角△OAM中，利用勾股定理求得OM的长，即可证得．【解答】证明：设圆的半径是r，ON=x，则AB=2x，在直角△CON中，CN==，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=2，∵OM⊥AB，∴AM=AB=x，在△AOM中，OM==，∴OM=CD．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．10.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE ⊥AC，垂足为点E．求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．【考点】等边三角形的判定；圆周角定理．【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，从而得到平行线，得到∠ODB=∠A，∠ODB=∠B，则∠A=∠B，得到AC=BC，从而证明该三角形是等边三角形；（2）再根据在圆内直径所对的角是直角这一性质，推出30°的直角三角形，根据30°所对的直角边是斜边的一半即可证明．【解答】证明：（1）连接OD，得OD∥AC；∴∠BDO=∠A；又OB=OD，∴∠OBD=∠ODB；∴∠OBD=∠A；∴BC=AC；又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，连接CD，则CD⊥AB；∴D是AB中点；∵AE=AD=AB，∴EC=3AE；∴AE=CE．【点评】本题中作好辅助线是解题的关键，连接过切点的半径是圆中常见的辅助线作法之一．另外还要掌握等边三角形的判定和性质以及30°的直角三角形的性质．【能力篇】一、选择题：11.（2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58° C．32° D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出=，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．12.（2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．B．2 C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．13.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR的度数是（）A．60 B．65 C．72 D．75【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】根据等边三角形和正方形的性质，求得中心角∠POR和∠POD，二者的差就是所求．【解答】解：连结OD，如图，∵△PQR是⊙O的内接正三角形，∴PQ=PR=QR，∴∠POR=×360°=120°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠AOD=90°，∴∠DOP=×90°=45°，∴∠AOQ=∠POR﹣∠DOP=75°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．二、填空题：14.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确．”请你回答：小亮的作图依据是垂径定理．【考点】垂径定理的应用；作图—复杂作图．【分析】利用垂径定理得出任意两弦的垂直平分线交点即可．【解答】解：根据小亮作图的过程得到：小亮的作图依据是垂径定理．故答案是：垂径定理．【点评】此题主要考查了复杂作图以及垂径定理，熟练利用垂径定理的性质是解题关键．15.（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10 cm．【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15，∴B1C1=30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2==10∴D1D2=10﹣10．故答案为30，10﹣10，三、解答与计算题：16.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC 的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，可得：∠CPD=∠COB；（2）根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°﹣∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴．∴∠COB=∠DOB=∠COD．又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB．（2）解：∠CP′D+∠COB=180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP′D+∠COB=180°．【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及圆内接四边形的性质求解．17.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．再次阅读后，发现AB= 1 寸，CD= 10 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】根据题意容易得出AB和CD的长；连接OB，设半径CO=OB=x寸，先根据垂径定理求出CA的长，再根据勾股定理求出x的值，即可得出直径．【解答】解：根据题意得：AB=1寸，CD=10寸；故答案为：1，10；（2）连接CO，如图所示：∵BO⊥CD，∴．设CO=OB=x寸，则AO=（x﹣1）寸，在Rt△CAO中，∠CAO=90°，∴AO2+CA2=CO2．∴（x﹣1）2+52=x2．解得：x=13，∴⊙O的直径为26寸．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，运用勾股定理得出方程是解答此题的关键．18. （2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．【分析】（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 【探究篇】19. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5. (1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长； (2)如图②，若点P 是CB ︵的中点，求PA 的长．(1)如图①所示，连接PB ，∵AB 是⊙O 的直径且P 是AB ︵的中点，∴∠PAB ＝∠PBA ＝45°，∠APB ＝90°，又∵在等腰三角形△ABP 中有AB ＝13，∴PA ＝AB 2＝132＝1322(2)如图②所示：连接BC ，OP 相交于M 点，作PN⊥AB 于点N ，∵P 点为弧BC 的中点，∴OP ⊥BC ，∠OMB ＝90°，又因为AB 为直径∴∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠OMB ，∴OP ∥AC ，∴∠CAB ＝∠POB ，又因为∠ACB ＝∠ONP ＝90°，∴△ACB ∽△ONP ，∴AB OP ＝ACON，又∵AB ＝13，AC＝5，OP ＝132，代入得ON ＝52，∴AN ＝OA ＋ON ＝9，∴在Rt △OPN 中，有NP 2＝OP 2－ON 2＝36，在Rt △ANP 中，有PA ＝AN 2＋NP 2＝117＝313，∴PA ＝31320. （2016•宁夏）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED ，若ED=EC ． （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2，求CD 的长．（1）证明：∵ED=EC ， ∴∠EDC=∠C ，∵∠EDC=∠B ，（∵∠EDC+∠ADE=180°，∠B+∠ADE=180°，∴∠EDC=∠B ） ∴∠B=∠C ， ∴AB=AC ； （2）方法一： 解：连接AE ， ∵AB 为直径， ∴AE ⊥BC ， 由（1）知AB=AC ，∴BE=CE=BC=，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD=a，由（1）知AC=AB=4，则AD=4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2=AB2﹣AD2=42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得：BD2=BC2﹣CD2=（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2=（2）2﹣a2整理得：a=，即：CD=．。
【中考面对面】河南省2016中考英语 第一部分 教材知识梳理 九全 Units 3-4课件 人教新目标版
九年级(全)
Units 3-4
教材例句讲考点
考点一 suggest的用法 考点二 辨析deal with与do with 考点三 辨析used to do sth., be/get used to doing sth. 与be used to do sth. 考点四 辨析pride与proud
考向3：suggest sb.(宾格)/one’s doing sth. 意 为“建议某人做某事”。如： You should suggest him/his giving up
smoking. 你应该建议他戒烟。
考向4：suggest vt. 暗示、表明。suggest + that从句，其宾语从句的时态应与主句suggest的
辨析used to do sth., be/get used 考点三 to doing sth. 与be used to do sth.(2015年3次)
I didn’t use to be popular in school, but now I
get tons of attention everywhere I go. 我以前在学
可数名词。如：
He seems to have a good deal of money.他似乎有 很多钱。
【考点冲关】 C 3. —How do we these math problems, Jack? —Maybe we can ask Mr. Zhang for help. A. do with B. agree with C. deal with D. begin with D her 4. The mother really doesn’t know naughty dog. A. what to make with B. how to do with C. what to deal with D . what to do with
《2016年中考语文说明文阅读说明方法复习建议之--零失误、圆我梦》教案
说明文阅读说明方法和作用复习建议之零失误、圆我梦教学设计富源县老厂镇老厂中学陈龙选一、教学课题说明文的说明方法及其作用二、教材分析（一）内容概述：说明文是以说明为主要表达方式来解说事物、阐明事理而给人知识的文章载体，它通过揭示概念来说明事物特征、本质及其规律。
说明方法是用以支撑说明文的主要手段，常见的说明方法有：举例子、分类别、下定义、摹状貌、作诠释、打比方、列数字、列图表和引用等。
（二）教学目标分析1.知识与技能目标：学习一个考点，通过复习，让学生掌握说明文说明方法的基本知识。
2.过程与方法目标：解决两个问题，通过例题讲解、练习，让学生掌握说明文阅读中的解题思路及技巧。
3.情感与价值观目标：学习三种方法，培养学生认真、细心的学习品质。
三、教学准备多媒体课件导学案四、教学的重难点本着2013-2015年中考考点，在吃透教材、分析总结的基础上，我确定了以下教学重点和难点：重点：掌握说明文阅读中说明方法及其作用的解题思路及技巧。
难点: 说明文阅读中说明方法的零失误技法的学习运用。
五、教学方法故事法、归纳法、比较法、引导法六、教学课时一课时七、教学过程（一）新课导入采用楚庄王“”一飞冲天一鸣惊人”的故事导入的方式导入新课。
切入“零失误、圆我梦”教学主题。
（二）中考说明文说明方法教学1、分析比对近3年曲靖市中考说明文考点、分值，引起学生对本题的重视。
2、教师让学生听写10中说明方法，针对错误的学生进行分析、归纳、总结达到零失误目标。
教会学生归纳总结零失误法。
3、准确掌握说明方法，分析失误原因，总结应对方法。
（三）中考说明文说明方法的作用教学讲述举例子、作比较两种说明方法的作用，让学生在准确判断、正确书写的基础上表述说明方法的作用。
并通过练习让学生掌握该知识点。
让学生通过说明文方法的总结学习，一方面培养学生自我分析，自我总结，自我提高的能力，另一方面培养学生的阅读兴趣，增强学生的文学修养和爱国情怀。
（四）实战练习通过分析总结2016年有关说明文的出题范畴，有针对性的内容，让学生结合导学案训练说明文的考点，通过训练可以检测学生本节课的学习效果。
(已整理)2015-2016广东省中考化学必考知识点(最新整理)
B．用硝酸银溶液和硝酸可以区别食盐水和蒸馏水
C．石灰石、大理石等矿石中都有含有较多的碳酸盐，可以用石灰水鉴定
D．加入氧化铁除去硫酸镁溶液中含有的少量盐酸，可以得到纯净的硫酸镁溶液
B. 分子在不停地运动
C. 原子可以直接构成物质
D. 原子是化学变化的最小粒子
8-3．下列有关分子和原子的说法，正确的是（
）
分子
原子
A 是保持物质化学性质的最小粒子
是化学变化中的最小粒子
B
不停运动
静止不动
C
化学反应前后，分子种类不变 化学反应前后，原子种类不变
D
分子间有一定的间隔
原子间没有距离
考点 9、化合价计算
属的活动性顺序是
（
）
A.丁＞丙＞甲＞乙 B.乙＞甲＞丙＞丁 C.丙＞丁＞甲＞乙 D.丁＞丙＞乙＞甲
考点 15 物质除杂和鉴别
重点是:常见酸碱盐、气体的鉴别和除杂.
鉴别的思路：一要选择合适的试剂，二要设计出正确的实验步骤，三要出现不同的现象。
鉴别的依据：根据物质的特性进行鉴别。特性包括：颜色、溶解性、伴随明显现象的特征反应。常见气
B．KN03
C．NH4N03
7-3．下列关于化肥的说法中，正确的是（
）
D．Ca(H2P04)2
A．(NH4)2SO4 属于复合肥料
B．从外观即可把 NH4Cl 与 KCl 区别开
C．农作物所必需的营养元素只有氮、磷和钾三种 D．NH4HCO3 不能与碱性物质混放或混用
2
考点 8、分子和原子
重点是：分子和原子的概念、性质，常考点是分子间存在间隔。
如：A + BC = AC + B ④复分解反应：由两种化合物相互交换成分，生成另外两种化合物的反应 如：AB + CD = AD + CB 考点 3、原子结构示意图（常考点是阴离子、金属非金属元素的判断等） （1）、原子结构示意图（请说说各部分所表示的涵义）
人教版九年级数学中考复习第一轮专题--6.强化训练第六章 圆
∵DO=BO, ∴∠ODB=∠OBD, ∴∠AOD=2∠ODB=∠EDO. ∵∠CAB=∠CDB=45°=∠EDO+∠ODB=3∠ODB, ∴∠ODB=15°=∠OBD. ∵∠BAF=∠DBA=15°,
∴AF=BF,∠AFD=30°. ∵AB 是直径,∴∠ADB=90°, ∴AF=2AD,DF= AD, ∴BD=DF+BF= AD+2AD,
C.G,H,E
D.H,E,F
5.(2018 福建)如图,AB 是☉O 的直径,BC 与☉O 相切于点 B,AC 交
☉O 于点 D,若∠ACB=50°,则∠BOD 等于( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.80°
第 5 题图
第 6 题图
6.(2018 哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切
(1)求证:EG 是☉O 的切线;
(2)延长 AB 交 GE 的延长线于点 M,若 AH=2,CH=2 2,求 OM 的 长. (1)证明:连接 OE,如图,
∵GE=GF,∴∠GEF=∠GFE. 而∠GFE=∠AFH,∴∠GEF=∠AFH. ∵AB⊥CD,∴∠OAF+∠AFH=90°, ∴∠GEA+∠OAF=90°. ∵OA=OE,∴∠OEA=∠OAF, ∴∠GEA+∠OEA=90°,即∠GEO=90°, ∴OE⊥GE,
第23讲 与圆有关的位置关系
1.(2011.(2019 南岗)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以
点 A 为圆心作圆,如果圆 A 与线段 BC 没有公共点,那么圆 A 的半
2016年中考数学必须掌握的考点-数理整理和概率统计
2016年中考数学必须掌握的考点:数理整理和概率统计
五、数据整理和概率统计(9个考点)考点20确定事件和随机事件考核要求(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。
考点21事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。
注意(1)在给可能性的大小排序前可先用”一定发生、”很有可能发生、”可能发生、”不太可能发生、”一定不会发生等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确。
中考英语知识点：形容词、副词的比较级和最高级
中考英语知识点：形容词、副词的比较级和最高级2016中考英语知识点：形容词、副词的比较级和最高级一.形容词、副词的比较级和最高级构成：1.单音节词和少数双音节词的比较级和最高级的构成情况构成方式原级比较级最高级一般情况加-er或-est newlong newerlongernewestlongest以e 结尾的'词加-r或-st finelate finerlaterfinestlatest以“辅音+y”结尾的词变y为i再加-er 或-estearlyhappyearlierhappierearliesthappiest重读闭音节的词末尾只有一个辅音字母先双写辅音字母，再加-er或-esthotthinfathotterthinnerfatterhottestthinnestfattest2.多音节词和部分双音节词在其前面加more或 most。
如：原级比较级最高级useful -- more useful -- most usefuldifficult -- more difficult -- most difficultdelicious -- more delicious -- most delicious3.有几个形容词、副词的比较级和最高级属于不规则变化：原级比较级最高级good / wellbetter bestbad / ill worse worstmany / muchmore mostlittle less leastold older（新旧或年龄）/elder（兄弟姐妹的长幼关系）oldest/ eldestfar farther（表示距离，译为“更远”）/ fufarthest/ furthest rther（表示程度，译为“进一步的”）总结为“两好，两坏，两多，一少，一老，一远” 不规则。
注意： healthy--healthier----healthiestfriendly---friendlier---friendliestcrowded---more crowded---most crowded二.形容词、副词比较级的用法1.形容词的比较级可以单独使用：Be more careful next time. 下次小心点。
中考数学《与圆有关的计算》复习课件
回练课本 1.(1)半径为 4,圆心角为 90°的扇形弧长
为 2π ;
(2)50°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm,
则此弧所在圆的半径是 9 cm .
若圆锥的底面圆半径是 5,则圆锥的母线 l=
.
22.(2014 珠海)已知圆柱体的底面半径为 3 cm,高为 4 cm,则圆柱体
的侧面积为( A )
A.24π cm2 C.12 cm2
B.36π cm2 D.24 cm2
基础训练
1.(2019 温州一模)如图,已知扇形的圆心角∠AOB=120°,半径 OA=2,则扇形的弧长
2.圆、扇形面积计算
(1)半径为 R 的圆面积 S=
πR2
.
(2)半径为 R 的圆中,圆心角为
n°的扇形面���������积���������为������ S 扇= ������������lR
或 S 扇= ������������������ .
2.(1)半径为 4,圆心角为 90° 的扇形面积为 4π ; (2)一个扇形的半径是 24 cm,面积是 240π cm2,则扇 形的圆心角是 150° .
3
即 V=13πR2h.
(3)如图所示,“粮仓”的容积为45π m3 (单位:m).
4.正多边形与圆
(1)正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做
正多边形.
(2)圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的
外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接
圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一
2020年中考数学压轴题训练-圆的综合(学案)
第03讲中考压轴题-圆的综合考点梳理一．近5年中考双压轴之圆的综合考点归纳二．题型概述几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。
它常用相似图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。
三．解题策略1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论）2.一般策略：①认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；②也可由结论逆向分析获得问题突破的逆向分析法；③还可以是双向的综合分析策略。
年份知识点2015考察圆切线的性质求边长，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识2016考察圆的切线证明，翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，，相似三角形的判定与性质．2017考察圆垂径定理求半径、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐角三角函数等知识2018考察圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质2019考察圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值问题3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径，作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。
感悟实践1、（2015年深圳中考第22题）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．2、（2016年深圳中考第22题）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC（1）求CD的长；（2）求证：PC是⊙O的切线；（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．3、（2017年深圳中考第22题）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．上的动点，且cos∠4、（2018年深圳中考第22题）如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为 晦ABC（1）求AB的长度；（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．5、（2019年深圳中考第22题）闯关练习1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．2．如图，A（﹣5，0），B（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P 从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．3．如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．4．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．5．己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）求证：P是线段AF的中点；（3）若⊙O的半径为5，AF=，求tan∠ABF的值．考场直播1．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DE•DF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．2．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．（1）求弦AB的长；（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．能力平台1．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求sin∠E的值．2．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．3．如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP．（1）求∠OAC的度数；（2）如图①，当CP与⊙A相切时，求PO的长；（3）如图②，当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？4．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D 两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．5．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O直径BD=6，连接CD、AO．（1）求证：CD∥AO；（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若AO+CD=11，求AB的长．6.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．7.如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化．（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2．当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）经过圆心M；当b=时，直线l：y=﹣2x+b（b≥0）与⊙M相切；（2）若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0）、B（6，0）、C（6，2）．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．21。
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2016 年中考数学复习计划 ............................................................................................................................................... 4 一、第一轮复习（3-4 周） .............................................................................................................................................. 4 1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题为辅.........................................4 （1）目的：过三关 ............................................................................................................................................................ 4 （2）宗旨：知识系统化.................................................................................................................................................... 4 2、第一轮复习应注意的问题 ........................................................................................................................................... 4 （1）必须扎扎实实夯实基础 ........................................................................................................................................... 4 （2）必须深钻教材，不能脱离课本 ............................................................................................................................... 4 （3）掌握基础知识，一定要从理解角度出发 ..............................................................................................................4 二、第二轮复习（3 周）................................................................................................................................................... 4 1、第二轮复习的形式：“突出重点，综合提高”----练习专题化，专题规律化 .................................................4 （1）目的：融会贯通考纲上的所有知识点 ..................................................................................................................4 （2）宗旨：建立数学思想，培养数学能力 ..................................................................................................................5 2、第二轮复习应注意的问题 ........................................................................................................................................... 5 （1）专题的划分要合理.................................................................................................................................................... 5 （2）保证一定的习题量.................................................................................................................................................... 5 （3）注重多思考，并及时总结规律 ............................................................................................................................... 5 三、第三轮复习（2-3 周） .............................................................................................................................................. 5 1、第三轮复习的形式：“模拟训练，查缺补漏” ......................................................................................................5 目的：突破中考分数的非知识角度的障碍 ..................................................................................................................... 5 2、第三轮复习应注意的问题 ...............................................................................................................................查缺补漏 ...................................................................................................................................5 （2）克服不良的考试习惯 ............................................................................................................................................... 5 （3）总结适当的应试技巧 ............................................................................................................................................... 5 第一章 实数......................................................................................................................................................................... 6 考点一、实数的概念及分类 （3 分）......................................................................................................................6 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3 分）.................................................................................................6 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10 分） .......................................................................................6 考点四、科学记数法和近似数 （3—6 分） ..........................................................................................................6 考点五、实数大小的比较 （3 分）..........................................................................................................................7 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大） ............................................................................................7 第二章 代数式..................................................................................................................................................................... 8 考点一、整式的有关概念 （3 分）..........................................................................................................................8 考点二、多项式 （11 分）........................................................................................................................................ 8 考点三、因式分解 （11 分）.................................................................................................................................... 8 考点四、分式 （8~10 分） ...................................................................................................................................... 9 考点五、二次根式 （初中数学基础，分值很大） ................................................................................................9 第三章 方程（组）........................................................................................................................................................ 11 考点一、一元一次方程的概念 （6 分） ...............................................................................................................11 考点二、一元二次方程 （6 分） ...........................................................................................................................11 考点三、一元二次方程的解法 （10 分） ............................................................................................................11 考点四、一元二次方程根的判别式 （3 分）.......................................................................................................11 考点五、一元二次方程根与系数的关系 （3 分） ..............................................................................................11
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第十二章圆
考点一、圆的相关概念（3分）
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随
之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
考点二、弦、弧等与圆有关的定义（3分）
（1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
（2）直径
经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）
直径等于半径的2倍。
（3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论（3分）
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
考点四、圆的对称性（3分）
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（3分）
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论（3~8分）
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点七、点和圆的位置关系（3分）
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d
d>r点P在⊙O外。
考点八、过三点的圆（3分）
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
考点十、直线与圆的位置关系（3~5分）
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做
交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d
直线l与⊙O相离d>r；
考点十一、切线的判定和性质（3~8分）
1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
考点十二、切线长定理（3分）
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
考点十三、三角形的内切圆（3~8分）
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
考点十五、正多边形和圆（3分）
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形
的外接圆。
考点十六、与正多边形有关的概念（3分）
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点十八、弧长和扇形面积（3~8分）
1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为180rnl
2、扇形面积公式
lRRnS213602
扇
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积
rlrlS2
2
1
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。
补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）
1、相交弦定理
⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AEBE=CEDE
2、弦切角定理
弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。
弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。
即：∠BAC=∠ADC
3、切割线定理
PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，
则PCPBPA2