三角函数值域 苏科版 南京名师讲堂
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
苏教版高中数学必修四南京东山外语国际学校三角函数的值域与最值第课时学案
课题§18三角函数的值域与最值 课型 复习课 上课时间 20 年 月 日 教学目标 1、能将函数式化成一个角的同名三角函数的一次式或一元二次式求函数的值域与最值。
2、能使用换元法将函数化为基本的函数，如：一元二次函数等来求值域和最值。
3、简单含参数的三角函数式会进行必要的分类讨论。
重点难点教学方法及 教学辅助手段 合作探究法，实物投影仪教学过程 复备记录一、知识梳理 1、求三角函数的值域与最值的常用方法：⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷换元法。
要注意的问题有：① ；② ；③ 。
2、化归的类型有：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角ϕ，其中tan b a ϕ=，化为22sin()y a b x c ϕ=+++，求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[2,2]t ∈-上的最值求之； ⑤tan cot y a xb x =+，设tan t x =化为2at b y t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用均值定理求最值；⑥sin sin a x b y c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”。
二、基础练习1、求下列函数的最大、最小值：⑴x x y cos sin 32=最小值为 ，最大值为 。
⑵x y sin 41-= 最小值为 ，最大值为 。
⑶161545sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 最小值为 ，最大值为 。
2025中考数学一轮复习课件(苏科版)第7节 锐角三角函数
过程.
解析：（2）答案不唯一，参考如下：
若选择①②④，则计算过程如下：
如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D .
1
2
设 AD ＝ x ，∵tan C ＝ ，
∴ CD ＝2 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
第7节
考点精研
返回目录
在Rt△ ACD 中， AC ＝6 5 ，
根据勾股定理，得 x2＋（2 x ）2＝（6 5 ）2，
（2） a ＝ c ·sin A ；
（3） b ＝ c ·cos A
第7节
考点梳理
返回目录
1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ B ＝35°， AB ＝7，则 BC 的长为
（
C
）
A. 7 sin 35°
7
B.
cos35°
C. 7 cos 35°
D. 7tan 35°
第7节
考点梳理
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为 3＋ 3
.
考点精研
2
第7节
考点精研
返回目录
特殊角的三角函数值及其运算
1. 如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B ，再以 B 为
圆心， BO 长为半径画弧，两弧交于点 C ，画射线 OC ，则 sin ∠ AOC 的值
为（
D
）
A.
1
2
B.
3
3
C.
2
2
D.
3
2
1
2
3
考点梳理
返回目录
1. 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， BC ＝2， AC ＝1，则tan A ＝
初三数学上册第七章锐角三角函数复习课件苏科版
sinα
30°
cosα
•2
tanα
•3
45°
•2 •2 •1
60°
•2
➢基础训练
•1、计算：
•2、已知△ABC满足 •则△ABC是______三角形.
四、解直角三角
形
•1、在直角三角形中，利用已知的元素求出所有未知 元素的过程，叫解直角三角形.
•2、知道直角三角形中的2个元素(至少有一边)，可以求 出其它三个元素.
• cosA=______，cosB=______. • tanA=______，tanB=______.
•B •3
•5
•C
•A
•2.Rt△ABC中，∠C=900 ， •求tanB，cosA
二、三角函数增减
性
• 正切值随着锐角的度数的增大而_•_增__大_； • 正弦值随着锐角的度数的增大而_•_增__大_；
初三数学上册第七章锐角三 角函数复习课件苏科版
一、三角函数定
义 •正切：tanA=••AA的的邻对边边 •正弦：sinA=••A斜的边对边 •余弦：cosA=••A斜的边邻边
•B
•斜边c
•∠A
•对边
•A
a•C
•∠A邻边b
➢基础训练
•1.如图，△ABC中，∠C=90°，BC=3，BA=5.
•则sinA=______，sinB=______.
• 余弦值随着锐角的度数的增大而_•_减__小_.
•1、比较大小： •(1)sin250____sin430
(2)cos70____cos80
•2、已知：300＜α＜450，则： •(1)cosα的取值范围：________； •(2)tanα的取值范围：________.
高中数学 第六章《三角函数》数学竞赛讲义 苏教版
第六章 三角函数一、基础知识定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ,设它的坐标为（x ,y ）,到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ,余切函数cot α=y x ,正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.yr定理1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1,co s α=αsec 1；商数关系:tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系:tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系:s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变,符号看象限）。
高考数学文优化方案一轮复习第第五三角函数的值域与最值苏教江苏专用-资料.ppt
[－___2_， ____2__]___上的最值求解．
5．对于函数 y＝acssiinnx＋＋db，根据正弦函数的有界性也可转化为斜
率问题求解．
又∵sinx≤1，∴－23≤sinx≤1.
∴siny－cos 2x＝13－sinx－ (1－s in2x )
＝ (sinx－12)2－1112.
当
sinx＝12时，siny－cos
2x
有最小值－11， 12
当 sinx＝－23时，siny－cos2x 有最大值94.
考点二 利用有界性求三角函数的最值
的值域是________．
答案：[－1，
2 2]
4．f(x)＝2cos2x＋ 3 sin2x＋a(a 为常数)在区间[0， π2]上的最小值为－4，那么 a 的值等于________．
答案：－4
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 可化为二次函数的三角函数求最值
将所给的三角函数转化为二次函数，通过配 方法．结合数形结合方法求得函数的值域与 最值问题．
【解】 (1)f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2(x－1π2) ＝ 3sin(2x－π6)＋1－cos2(x－1π2)
＝2[ 23sin2(x－1π2)－12cos2(x－1π2)]＋1
＝2s in[2 (x－1π2)－π6 ]＋ 1 ＝2s in(2x－π3)＋1 .
∴T＝22π＝ π. (2)当 f(x)取最大值时，sin(2x－π3)＝1，
解：y＝21(1－cos2x)＋ 23sin2x－1
苏教版高考经典【备考高考】2019数学热点难点名师精讲专题24+三角形中的范围问题你处理好了吗含答案
考纲要求:1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====uu r uu r uu r uu r . 2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围.基础知识回顾: 1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。
其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。
如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B Ca A=2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-变式：()()2221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值3、三角形面积公式：（1）12S a h =⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===（3）211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=6、辅助角公式：()22sin cos sin a A b B a b A ϕ+=++，其中tan baϕ=应用举例:类型一、与边长有关的范围问题【例1】【海南省海南中学2018届高三第五次月考】设锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若,求的取值范围. 【答案】（1）（2）即：即：又的取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于基础题．【例2】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)】在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求的值；（2）)若角是钝角，且，求的取值范围.【答案】(1) .(2) .∴，①∵，∴，∴，②由①②得的范围是.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.类型二、与周长有关的范围问题【例3】【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】已知函数.（1）求的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在中，内角、、所对的边分别是、、，且，，求周长的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为，，对称中心为，（2）由，∴，∴的对称中心为，（2）∵，∴，∴，∴，得：，，∴又，∴，∴点睛：第（2）周长范围还可用正弦定理化边为角，利用三角函数性质求得：解：∵，∴，∵，∴∴，∴由正弦定理得：∴，∴∵，∴∴的周长范围为【例4】【四川省2015级高三全国Ⅲ卷冲刺演练（一）】在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得. 故的周长的取值范围为.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.类型三、与面积有关的范围问题【例5】【2018年5月2018届高三第三次全国大联考（新课标Ⅲ卷）】在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，求的面积的取值范围．【答案】（1）；（2）由正弦定理可得，即，∵，∴，∴，∵，∴，即.又，可得.【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．【答案】（1）见解析;（2）.方法、规律归纳: 1、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。
苏教版高中数学必修四南京东山外语国际学校三角函数的值域与最值第课时学案
课题§18三角函数的值域与最值 课型 复习课 上课时间 20 年 月 日 教学目标 1、能将函数式化成一个角的同名三角函数的一次式或一元二次式求函数的值域与最值。
2、能使用换元法将函数化为基本的函数，如：一元二次函数等来求值域和最值。
3、简单含参数的三角函数式会进行必要的分类讨论。
重点难点教学方法及 教学辅助手段 合作探究法，实物投影仪教学过程 复备记录一、知识梳理 1、求三角函数的值域与最值的常用方法：⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷换元法。
要注意的问题有：① ；② ；③ 。
2、化归的类型有：①sin y a x b =+，设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之；②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角ϕ，其中tan b aϕ=，化为22sin()y a b x c ϕ=+++，求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设sin cos t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[2,2]t ∈-上的最值求之； ⑤tan cot y a xb x =+，设tan t x =化为2at b y t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用均值定理求最值；⑥sin sin a x b y c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”。
二、基础练习1、求下列函数的最大、最小值：⑴x x y cos sin 32=最小值为 ，最大值为 。
⑵x y sin 41-= 最小值为 ，最大值为 。
⑶161545sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 最小值为 ，最大值为 。
2021年高中苏教版数学必修4名师导学：第1章 第10课时 三角函数的图象与性质（1）
第10课时三角函数的图象与性质(1)教学过程一、问题情境先观看一个物理试验:这个试验的名称叫做“砂摆试验”,就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上,我们通过试验看看落在木板上的细砂轨迹是什么?二、数学建构这个曲线在实际生活中经常遇到,同时它也是我们平常所学习过的一个函数的图象,该曲线就是我们这阶段正在学习的正弦函数或余弦函数的图象,点明课题:正弦函数、余弦函数的图象及其画法.首先争辩一下正弦函数y=sin x的图象画法,问题1对于正弦函数y=sin x,在上节课我们已知道正弦函数是周期函数,那么这对作出正弦函数y=sin x的图象有没有挂念?(正弦函数y=sin x是周期函数,它的最小正周期为2π;由于正弦函数的周期为2π,因此我们只需画出一个周期的图象,然后依据周期性就可以得到整个函数的图象了)问题2假如请你画,你会选择怎样的区间?(选择最生疏的区间[0,2π])问题3作函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象最基本的方法是什么?其具体步骤又是什么?(描点法(列表、描点、连线))下面可以结合同学的预习,投影呈现利用描点法作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]上的图象.(1)列表:x0πππ…2πy010 0(2)描点;(3)连线.(如图1)(图1)问题4以上我们利用描点法作出了正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,在上面作图中,你觉得有不满足的地方吗?(描点越多,图象越精确,感觉描的点还不够多(等等))同学可能不会留意点的位置精确度不高,老师可作如下点评:在上面的作图中,我们只是借助于有限的几个特殊角进行描点,这样作出的图象精确度就会打折扣,假如图画得不精确,会影响后面更深化地争辩正弦函数的性质.问题5有没有方法精确地标出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]上任意一点Q(x0, sin x0)呢?(同学可能会供应下面的方法1,在前面指、对数函数和幂函数中已经多次使用过:方法1:我们可以借助计算机计算出sin x0,从而接受描点法作出正弦函数的图象(如图2):x sin x x sin x0010.8414710.10.0998331.10.8912070.20.1986691.20.9320390.30.295521.30.9635580.40.3894181.40.985450.50.4794261.50.9974950.60.5646421.60.9995740.70.6442181.70.9916650.80.7173561.80.9738480.90.7833271.90.9463(图2)老师可以接着提问下面的问题:可不行以不借助电脑而直接利用尺规来描点作图呢?(换句话说就是能否利用几何图形表示出sin x0)方法2:借助正弦线描点作出正弦函数的图象.第一步:列表.首先在单位圆中画出0,,,,…,2π的正弦线,并在x轴上[0,2π]这一段相应的分成12等份.其次步:描点.把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点.第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线平移后的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象(如图3).(图3)作法点评:相比较方法1,方法2作出的图象较为精确了,特殊对于利用正弦线作图,图象的变化一目了然:(老师可以再用动画演示一下)当自变量x由0渐渐增大时,图象在递增并且呈上凸外形,在处函数达到最大值,在递减且上凸,过了π点,在连续递减并且下凸,到π达到最小值,之后在递增且下凸……问题6以上作出了y=sin x,x∈[0,2π]的图象,那么y=sin x,x∈R的图象怎么作出呢?(先作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,然后将作出的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sin x,x∈R的图象(如图4)).(图4)一般来说,我们将正弦函数的图象叫做正弦曲线.[3]问题7再观看y=sin x,x∈[0,2π]的图象,其图象变化有没有一些关键特征?观看正弦函数在[0,2π]内的图象,可以发觉起关键作用的点有以下五个:(0, 0),,(π, 0),,(2π, 0).事实上,描出这五点后,函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象外形就基本确定了.因此在精确度要求不高时,我们经常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就得到函数的简图.五点法的几点总结:(1)留意五点的特征:最高点(波峰)、最低点(波谷)、平衡点(使得sin x, cos x等于0的点),它们属于三种特殊的函数值(正弦值为1,-1, 0);(2)五点的横向间隔相等,其长度等于周期的;(3)五点是连续变化的五点.问题8能否以正弦曲线的画法为基础,作出余弦函数y=cos x,x∈R的图象呢?你现在有几种方法?用平移变换法作y=cos x,x∈R的图象(放手让同学独立思考,自主活动,通过自己的探究得出余弦函数的图象.实际上,只要同学能够想到正弦函数和余弦函数的内在联系,即cos x=sin,通过图象变换,由正弦函数图象得出余弦函数图象的方法是比较简洁想到的),由于cos x=sin,所以只需将y=sin x,x∈R 的图象向左平移个单位即得.课件演示:由于y=cos x=cos(-x)=sin=sin,所以余弦函数y=cos x,x∈R与函数y=sin,x∈R是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由正弦函数的图象向左平移个单位得到,如图5所示.(图5)余弦函数的图象叫做余弦曲线.问题9对比正弦曲线、余弦曲线,这两类曲线有相像之处吗?(这两个曲线外形一模一样,只不过是在坐标轴上的位置不同而已)问题10能否也用五点快速作出余弦曲线的图象?(同正弦函数图象一样,打算余弦曲线图象的也是五个关键点:(0, 1),,(π,-1),,(2π, 1),假如精确度要求不高,也可以借助此五点作出余弦函数在一个周期内的图象,进而利用周期性作出整个图象)课件演示:“余弦函数图象的五点作法”(略)三、数学运用【例1】用“五点法”画出下列函数的简图:(1)y=2cos x,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R.(见同学用书P19)[处理建议]第(1)小题中,x分别取0,,π,,2π这五个值就可以找到关键的五个点;第(2)小题中,2π相当于正弦函数中的x,所以应当是2x分别取0,,π,,2π这五个值,然后得到x分别取的五个值.可让同学先尝试自己列表、作图,老师然后指出不足.[规范板书]解(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x0π2πcos x10-1012cos x20-202描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(1)).(例1(1))(2)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:x0π2x0π2πsin2x010-10描点画图,然后由周期性得整个图象(如图(2)).(例1(2))[题后反思]如何找到五点是解决本题的关键,应依据五点的图形特征来列表,即应当是图象上的最高、最低点,与x轴的交点.而描点的时候应当是x的取值和对应的y值组成一个点的坐标.思考函数y=2cos x与y=cos x的图象之间有何联系?函数y=sin2x与y=sin x的图象之间有何关系?(函数y=2cos x的图象应当是由函数y=cos x的图象上全部点的横坐标不变而纵坐标变为原来的2倍得到;函数y=sin2x的图象应当是由函数y=sin x 的图象上全部点的纵坐标不变而横坐标变为原来的得到)【例2】画出函数y=sin x+|sin x|的简图.(见同学用书P20)[处理建议]引导同学先求出三角函数的周期,然后作出在一个周期内的图象.要重视对函数解析式的变形.[规范板书]函数的周期为2π,在x∈[0,2π]时,y=作出函数图象如图:(例2)[题后反思]通过本例的学习,体会在数学解题中的等价转化思想,培育同学的分析、解决问题的力气.变式求函数y=sin x+|sin x|的值域.答案[0, 2].[题后反思]通过变题,让同学清楚画好函数图象是今后争辩函数的性质的基础.四、课堂练习1.用“五点法”画出函数y=2sin x的简图.解略.2.用“五点法”画出函数y=cos x-1的简图.解略.3.利用函数y=cos x的图象写出方程cos x=的解集.解.4.利用函数y=sin x的图象写出不等式sin x>的解集.解,k∈Z.五、课堂小结1.正弦函数图象的几何描点作图法(利用三角函数线来描点).2.正弦函数图象的五点作图法(留意五点的选取).3.由正弦函数的图象平移得到余弦函数的图象.4.重视利用正弦、余弦函数的图象来争辩函数的性质.。
特殊角的三角函数-苏科版九年级数学下册课件
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新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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CONTENTS
余弦：
cosA＝∠A斜的边邻边
＝
b c
正切：
tanA＝∠ ∠AA的 的对 邻边 边
＝
a b
B
c
a
A bC
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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CONTENTS
2
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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特殊角的三角函数值
问题1 根据所学知识，将下表内容补充完整.
B
30°
45°
60°
2 1
1
sinθ
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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4.把一个直尺与一块三角板按如图所示放置，若sin∠1= 2 ，则
2
∠2的度数为（ B ）
A.120° B.135° C.145° D.150°
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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5.计算：
2
（1）sin30°÷cos45°=_____2____； （2）cos30°·tan30°-tan45°=_____1_2___；
4
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
利用特殊角的三角函 数值进行简单运算
特殊角的三 角函数
30°、45°、60° 角的三角函数值
由特殊角的三角函数 值求特殊角
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实际应用
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这样形式的三角函数的值域，变形的思想是把函
数式化为同名同角的形式，再利用基本三角函数、 一次函数、二次函数的求值域的方法解决问题．
y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x ＋dsinx＋ecosx＋f 下面三种特殊的类型，大家一定要熟练掌握： ①当a＝b＝c＝0，或d＝e＝0时，此时函数分别为 同角正余弦的一次齐次式或二次齐次式，最终化y ＝Asin(x＋)＋B的形式求出值域；
＝2sinx－(1－sin2x) ＝sin2x＋2sinx－1 ＝(sinx＋1)2－2，
因为 sinx∈[－1，1]， 根据二次函数 y＝(x＋1)2－2 在[－1， 1]上为增函数，
所以值域为[－2，2]．
方法：
求关于正弦、余弦同角但不同次的和的形式的 函数 y＝asin2x＋bcos2x＋csinx① 或函数 y＝asin2x＋bcos2x＋ccosx②的值域，
变式练习 1：求下列函数的值域： （1）y＝sinx＋ 3cosx． （2）y＝3sin2x－ 3cos2x． 解： （1） 因为 y＝2sin(x＋ )， 3
（2）因为 y＝2 3sin(2x－6)， 所以 y∈[－2 3， 3]． 2
y＝6sinxcosx－ 3cos2x＋ 3sin2x．
分析：
刚才解决了y＝asin2x＋bcos2x＋csinx或函数y＝ asin2x＋bcos2x＋ccosx这两种类型函数的值域， 特征是一次只有正弦或余弦中的一个，二次为 正弦或余弦平方. 而本题与上面有两处不同，一是一次既有正弦 也有余弦，二是二次是正弦与余弦的积. 由于这两点不同，这就使我们用平方关系进行 化同名不易操作了，而且此式中正弦、余弦的 地位完全相同，也给我们消元带来难处，不知 消那一个，消哪一个都不公平.
解：
令 sinx＋cosx＝t，则 2sinxcosx＝t2－1， t∈[－ 2，1)∪(1， 2]． y＝t＋1，t∈[－ 2，1)∪(1， 2]， 所以 y∈[1－ 2，2)∪(2，1＋ 2]．
这一讲我们主要讨论了形如 y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x ＋dsinx＋ecosx＋f
其中 sinxcosx 直接逆用公式化为 sin2x， 而把 cos2x＝ 1＋cos2x 2cos x－1 变形得 cos x＝ ①，把 cos2x＝1－ 2
2 2
1－cos2x 2sin x，变形得 sin x＝ ②，用这两个公式可 2
2 2
以分别把 sin2x，cos2x 化为一次，①②常称为降幂公 式．
一般是先用平方关系的变形公式 sin2x＝1－cos2x， cos2x＝1－sin2x，化函数表达式为同名同角三角函数，
然后再换元，转化为二次函数再求值域，
如求函数 y＝asin2x＋bcos2x＋csinx 的值域， 可以如下变形： y＝asin2x＋bcos2x＋csinx ＝(a－b)sin2x＋csinx＋b， 令 sinx＝t，则 t∈[－1，1]， 且 y＝(a－b)t2＋ct＋b，t∈[－1，1]， 一般再根据二次函数的图象和单调性， 求出 y 的取值范围，即所求函数的值域．
三角函数的值域
南京市第十三中学
周
德
同学们已经知道三角函数 y＝sinx， y＝cosx， y＝tanx的值域分别为
[－1，1]，[－1，1]， (－∞，＋∞).
没有没同学考虑过把这些函数进行 加、减、乘、除等运算后得到的新的与
三角函数有关的函数的值域是多少？
如函数y＝sinx＋cosx的值域是多少？
例2．求函数y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域． 解： 因为 y＝2sinxcosx－(cos2x－sin2x)
＝sin2x－cos2x ＝ 2sin(2x－4)，
所以 y∈[－ 2， 2]．
方法：
求函数 y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 的值域，首先 是降次，化二次为一次，
y＝dsinx＋ecosx＋f，y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x
②当b＝d＝0，或b＝e＝0时，此时函数为同角正余 弦非齐次式，最终化为关于cosx或sinx的二次函数 y＝asin2x＋ccos2x＋dsinx＋f， 后再求值域； 2 2
y＝asin x＋ccos x＋ecosx＋f.
例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域． 解： 因为 y＝sinx＋cosx
2 2 ＝ 2(sinx 2 ＋cosx 2 ) ＝ 2(sinxcos4＋cosxsin4) ＝ 2sin(x＋4)．
所以值域 y∈[－ 2， 2]．
方法： 求函数 y＝asinx＋bcosx 的值域，
y＝sin4x＋2sinx－cos4x．
例3．求函数y＝2sinx－cos2x的值域． 题型：求三角函数的值域问题 特征：同角正余弦非齐次式．
分析： 上面两类问题最终都化为 y＝Asin(x＋)＋B的形式，
然后再求值域．
那么函数y＝2sinx－cos2x 能化为上面的类型吗？
因为化同次后角就不同，而角同则次数就不同， 因此， 这个函数不可能化为 y＝Asin(x＋)＋B 的形 式． 实际上，我们把函数表达式化为
令 sinx＋cosx＝t，则 2sinxcosx＝t2－1， t∈[－ 2， 2]． 12 5 y＝t＋t －1＝(t＋2) －4，
2
根据 t∈[－ 2， 2] 5 得 y∈[－4，1＋ 2]．
方法：
求关于正弦、余弦同角但不同次形式的函数 y＝a(sinx＋cosx)＋bsinxcosx 的值域，
有些同学这样想，
因为－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，
相加得－2≤sinx＋cosx≤2,
即y＝sinx＋cosx的值域为[－2，2]．
你认为这样得到的结果正确吗？
如果正确，则y能取到－2，也就 是sinx，cosx都取－1，这两个值能同 时取到－1吗？ 根据sin2x＋cos2x＝1知道，显然 不可能．其中一个取－1，另一个只 能取0，因此y不可能取到－2． 从而值域一定不是[－2，2]．
③当a＝c，d＝e时，此时函数为同角正余弦非齐次 式，最终化为关于cosx＋sinx的二次函数后再求值 域． y＝d(sinx＋cosx)＋bsinxcosx＋f.
部分类似的高考题
1． （06 浙江文）函数 y＝2sinxcosx－1，x∈R 的值域是 _____．答:[－2，0]．
2． （09 江西理）函数 y＝(1＋ 3tanx)cosx，x∈[0，2)的最 大值是________．答:2.
一般先是提取 a2＋b2,
a b 化为 y＝ a ＋b (sinx 2 2＋cosx 2 2)， a ＋b a ＋b a b 然后令 2 2＝cos， 2 2＝sin． a ＋b a ＋b
2 2
则 y＝ a2＋b2(sinxcos＋cosxsin) ＝ a2＋b2sin(x＋)．
从而，值域为[－ a2＋b2， a2＋b2]．
我们也可以从图像上看，我们先 在同一直角坐标系中画出y＝sinx，y ＝cosx的图像． 我们可以用叠加法作出函数y＝sinx＋cosx 的图像，观察其值域不是[－2，2]． y
y＝cosx
O
y＝sinx＋cosx
x
y＝sinx
例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域． 题型：求三角函数的值域问题 特征：同角正余弦的一次齐次式 ．
所以 y∈[－2，2]．
例2．求函数y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x的值域． 题型：求三角函数的值域问题 特征：同角正余弦的二次齐次式 ．
分析： 同学们刚才解决了一次齐次式
y＝asinx＋bcosx的值域，
找一找要求的函数 y＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x 与已解决的函数y＝asinx＋bcosx 的联系，
变式练习 2：求下列函数的值域： （1）y＝sin2x＋ 3sinxcosx． （2）y＝sin4x＋2sinxcosx－cos4x． 1 解： （1） 因为 y＝sin(2x－6)＋2，
1 3 所以 y∈[－2，2]． （2）因为 y＝ 2sin(2x－4)，
所以 y∈[－ 2， 2]．
这样，y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 1－cos2x 1 1＋cos2x ＝a ＋2bsin2x＋c 2 2 c－a c＋a 1 ＝2bsin2x＋ 2 cos2x＋ 2 ， c－a c＋a 1 如果把2b， 2 ， 2 分别记为 A，B，C， 则 A，B，C 为常数， 从而 y＝Asin2x＋Bcos2x＋C ＝ A2＋B2sin(2x＋)＋C， 值域为[－ A2＋B2＋C， A2＋B2＋C]．
例1．求函数y＝sinx＋cosx的值域．
分析：
同学们除知道三角函数
y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为
[－1，1]，[－1，1]，(－∞，＋∞)外，
还知道哪些与三角函数有关的函数值域？
大家一定不会忘记函数y＝Asin(x＋)
这类三角函数吧，它的值域是什么呢？
当A＞0时，值域是[－A，A]，
我们为了避免矛盾，是否可以考虑把正弦、余 弦一起消去？ 根据前面讲的用同角三角函数之间关系进行求值 可知，只要令sinx＋cosx＝t，则2sinxcosx＝t2－1， 这样函数转化为y＝t＋t2－1为一个关于t的二次函 数，根据t的取值范围可求出y的值域．
例4．求函数y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域 ． 解：
变式练习 3：求函数 y＝cosx－cos2x 的值域．
解：
因为 y＝－2cos2x＋cosx＋1 12 9 ＝－2(cosx－4) ＋8， 又 cosx∈[－1，1]， 9 所以 y∈[－2，8]．
例4．求函数y＝sinx＋2sinxcosx＋cosx的值域 ． 题型：求三角函数的值域问题 特征：同角正余弦非齐次式．