【数学】2017-2018年江苏省南通市海安高级中学创新班高一(上)数学期中试卷带答案

1 2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学创新班高一（上）期中数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={﹣1，2，2m﹣1}，B={2，m2}．若B⊆A．则实数m= ． 2．（5分）函数的最小正周期为 ．

3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）= ． 4．（5分）函数的定义域为 ． 5．（5分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 cm2． 6．（5分）已知向量=（1，），=（﹣，1），则和的夹角等于 ． 7．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x）且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为 ． 8．（5分）函数的图象如图所示，若AB=5，则f（x）在[2016，2019]上的单调增区间为 ．

9．（5分）等比数列{an}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= ． 10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•= ． 2

11．（5分）已知x，y∈R，且x2+y2=2，|x|≠|y|，则的最小值是 ． 12．（5分）在数列{an}中，a2=1010，an+1﹣an≤n，an+2﹣an≥2n+1，则的值为 ． 13．（5分）已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是 ． 14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．

二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，m∈R}． （1）若m=3，求（∁RA）∩B； （2）若A∪B=A，求实数m的取值范围． 16．（14分）在△ABC中，C﹣A=，sinB=． （1）求sinA的值； （2）设AC=，求△ABC的面积． 17．（14分）已知数列{an}满足，，数列{bn}

满足． （1）求证数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}中的最大项和最小项． 18．（16分）已知，，且

．

（1）求的最值； 3

（2）若，求实数k的取值范围． 19．（16分）如图，公园内有一块边长为2a的正三角形ABC空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理．设D、E分别在AB、AC上，且DE均分三角形ABC的面积． （1）设AD=x（x≥a），DE=y，试将y表示为x的函数关系式； （2）若DE是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE的位置应在哪里？若DE是参观路线，希望其最长，DE的位置应在哪里？

20．（16分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An与Bn，对任意n∈N*，an+1

﹣an=2（bn+1﹣bn）．

（1）若，求Bn；

（2）若对任意n∈N*，都有an=Bn． ①当b1=2时，求数列{nbn}的前n项和Cn；

②是否存在两个整数s，t（1＜s＜t），使成等差数列？若存在，求出s，t的值，若不存在，请说明理由． 4

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学创新班高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）已知集合A={﹣1，2，2m﹣1}，B={2，m2}．若B⊆A．则实数m= 1 ． 【解答】解：∵集合A={﹣1，2，2m﹣1}，B={2，m2}，且B⊆A； ∴m2=2m﹣1，或m2=﹣1（舍去）； 解得m=1； 当m=1时，A={﹣1，1，2}，B={1，2}满足条件； ∴m=1； 故答案为：1．

2．（5分）函数的最小正周期为 π ． 【解答】解：根据函数y=cos（x+）的最小正周期为2π， 结合余弦函数的图象知， 函数的最小正周期为π． 故答案为：π．

3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点，则f（x）= x﹣2 ． 【解答】解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，所以，α=﹣2． 所以f（x）=x﹣2． 故答案为x﹣2．

4．（5分）函数的定义域为 ． 5

【解答】解：∵函数，∴1﹣2log2x≥0，∴log2x≤=， ∴0＜x≤，故函数的定义域为 ， 故答案为 ．

5．（5分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为 2π cm2． 【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，

∴半径r=，

∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2． 故答案为：2π

6．（5分）已知向量=（1，），=（﹣，1），则和的夹角等于 ． 【解答】解：向量=（1，），=（﹣，1）， 得到cos===0． 所以和的夹角：； 故答案为：．

7．（5分）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=f（x）且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2010）+f（2011）的值为 1 ． 【解答】解：由对于x≥0，都有f（x+2）=f（x）， ∴函数的周期为T=2 ∵函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1） ∴f（﹣2010）+f（2011）=f（2010）+f（2011） =f（0）+f（1）=log21+log2（1+1）=1． 6

故答案为：1 8．（5分）函数的图象如图所示，若AB=5，则f（x）在[2016，2019]上的单调增区间为 [2018，2019] ．

【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ），图象中AB两点距离为5， 设A（x1，2），B（x2，﹣2）， ∴（x2﹣x1）2+42=52， 解得：x2﹣x1=3， ∴函数的周期T=2×3=，解得：ω=．

∴f（x）=2sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：6k﹣4≤x≤6k﹣1，k∈Z， 当k=337时，x∈[2018，2021]时单调递增， ∴f（x）在[2016，2019]上的单调增区间为：[2018，2019]． 故答案为：[2018，2019]．

9．（5分）等比数列{an}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= 4 ． 【解答】解：∵等比数列的通项公式为an=a1qn﹣1由a5﹣a1=15，a4﹣a2=6得： a1q4﹣a1=15，a1q3﹣a1q=6解得：q=2或q= 则a3=a1q2=4或﹣4 ∵等比数列{an}的公比大于1， 则a3=a1q2=4 故答案为4

10．（5分）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，=2，则•= ． 7

【解答】解：法一：选定基向量，，由图及题意得，= ∴=（）（）=+== 法二：由题意可得

BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+1+2=7， ∴BC=，

∴cosB=== AD==， ∵， ∴=． 故答案为：﹣．

11．（5分）已知x，y∈R，且x2+y2=2，|x|≠|y|，则的最小值是 1 ． 【解答】解：由=

∵x2+y2=2，|x|≠|y|，设x2=t，（0≤t） ∴则==

∵0≤t 8

∴（t﹣1）2≤1． 故≥1．

故答案为：1．

12．（5分）在数列{an}中，a2=1010，an+1﹣an≤n，an+2﹣an≥2n+1，则的值为 1009 ． 【解答】解：∵an+1﹣an≤n， ∴an+2﹣an+1≤n+1， ∴an+2﹣an+1+an+1﹣an≤n+n+1， ∴an+2﹣an≤2n+1 ∵an+2﹣an≥2n+1， ∴an+2﹣an=2n+1， ∴a2018=（a2018﹣a2016）+（a2016﹣a2014）+…+（a4﹣a2）+a2， =4（1008+1007+…+1）+1008+1010， =4×+2×1009 =2106×1009+2×1009 =2018×1009， ∴=1009， 故答案为：1009

13．（5分）已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是 （π，10） ． 【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示： 9

则x1与x4关于原点对称，x2与x3关于原点对称，所以x1+x4=0，x2+x3=0，10＞x5

＞π．

所以10＞x1+x2+x3+x4+x5＞π． 故答案为：（π，10）．

14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．

【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），

由余弦定理得cosC=== =≥=， 当且仅当时，取等号， 故≤cosC＜1，故cosC的最小值是． 故答案为：．

二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）已知集合A={x||x|＜3}，B={x|（x﹣m+1）（x﹣2m﹣1）＜0，m∈R}． （1）若m=3，求（∁RA）∩B；