2017-2018学年高中数学必修4教案：第一章 三角函数 第11课时 1-3-2三角函数的图象与性质2 精品
2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.8.2函数y=Asinωx+φ的性质课件北师大版必修420171103367
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(方法一)由图可知, A=3, ������
π
π 3
, 0 , ������
5π 6
,0 ,
则
3 5π 6
������ + ������ = π,
������ = 2, π 解得 ������ = π , 所以y=3sin 2������ + 3 . ������ + ������ = 2π, 3
1 2
(3)当函数 y=A sin(ωx+φ)+b 为偶函数(φ>0)时, φ 至少为 2 , 故 y= sin 2������ + 2
π
π
+ 4 = 2 cos 2x+ 4 为偶函数.
1 π 5 1 π 5
5
1
5
故应将函数 f (x)= 2 sin 2������ + 6 + 4
1
的图像至少向左平移至与函数y= 2 sin 2������ + 2 + 4 的图像重合时, 函数才为偶函数. 由函数图像平移知 f (x)= 2 sin 2������ + 6 + 4 的图像 y= 2 sin 2������ + 2 + 4 的图像, 故函数 f (x)的图像至少 向左平移 6 个单位长度后, 所得图像的函数才为偶函数.
π 6
故所求函数的图像可由y=3sin 2x 的图像向左平移 6
π π 3
= 3sin 2������ +
.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思根据图像求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的难点在于确定初相 φ,其基本方法是利用特殊点,通过待定系数法、逐个确定法或图像 变换法求解.
高中数学必修四 第一章三角函数 1.4.2.1 周期函数
7 2
-4
, 即������
7 2
= ������
-
1 2
.
又当 x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,
∴������
7 2
= ������
-
1 2
=2×
-
1 2
+ 1 = 0.
题型一 题型二 题型三 题型四
反思1.解答此类题目的关键是利用化归的思想,借助周期函数的 定义把待求问题转化到已知区间上,代入求值即可.
π 6
+ 2π = 2(������ + π) − π6,
∴f(x+π)=sin
2(������
+
π)-
π 6
=sin
2������-
π 6
+
2π
= sin
2������-
π 6
= ������(������).
∴T=π.
本节结束，谢谢大家！
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二 求三角函数的周期
【例 2】 求下列函数的周期:
(1)f(x)=sin
1 4
������
+
π 3
(������∈R);
(2)y=|sin x|(x∈R).
分析:对于(1),可结合周期函数的定义求解;对于(2),可通过画函
数图象求周期.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)函数 y=sin
������������
+
π 4
(������
>
0)的周期是
2π 3
,
则������
=
_____.
必修四第一章第3节 三角函数的图象和性质(一)周期性与图象
年级高一学科数学版本苏教版课程标题必修四第一章第3节三角函数的图象和性质（一）周期性与图象编稿老师王东一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破1. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象。
通过三角函数的图象研究其性质。
2. 注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用。
3. 掌握正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题。
高考命题趋势考查内容1. 对三角函数图象的考查多以选择题、填空题为主。
对数形结合思想的考查主要通过三角函数图象和单位圆中的三角函数线等来体现。
2. 三角函数的性质是考查的重点，这类题目概念性强，具有一定的综合性与难度。
能力要求熟练掌握基本技能与基本方法。
难度与赋分高考中以三基为主，多为基础题目，每年分值约为8分。
二、重难点提示重点：正弦、余弦、正切函数的周期性、图象及性质；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象及参数对函数图象变化的影响。
难点：周期函数的概念；画三角函数的图象；函数y＝A sin（ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系。
一、知识脉络图正弦函数y=sinx三角函数的图象余弦函数y=cosx正切函数y=tanxy=Asin（ωx+φ）作图象描点法（五点作图法）几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值二、知识点拨1. 正弦、余弦、正切函数的主要性质函数性质y＝sin x y＝cos x y＝tan x定义域R R{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1，1][－1，1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2（k∈Z）对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ（k∈Z）对称中心：)(0,2Zkk∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππ无对称轴对称中心：⎝⎛⎭⎫kπ2，0（k∈Z）周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡2kπ－π2，2kπ＋⎦⎤π2（k∈Z）；单调减区间⎣⎡2kπ＋π2，2kπ＋⎦⎤3π2（k∈Z）单调增区间[2kπ－π，kπ]（k∈Z）；单调减区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）单调增区间⎝⎛kπ－π2，kπ＋⎭⎫π2（k∈Z）奇偶性奇偶奇2. 函数y＝A sin（ωx＋φ）（1）用五点法画y＝A sin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找到五个特征点。
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
2017-2018学年高中数学苏教版必修4教案：第一章 三角函数 第14课时 1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(2
第十四课时 §1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象（2）【教学目标】一、知识与技能：(1) 会用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；(2) 会用图象变换的方法画y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象；(3) 会求一些函数的振幅、周期、最值等。
二、过程与方法在研究函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ) 的图象的过程中进一步体会化归的数学思想，自觉运用数形结合思想解决问题。
三、情感态度价值观：会用联系的观点看问题，了解各个量之间内在的联系。
教学重点难点：函数图象的伸缩、平移变换。
【教学过程】一．复习回顾1．x A y sin =型函数的图象-----振幅变换:2．x y ωsin =型函数的图象-----周期变换3．)sin(ϕ+=x y 型函数的图象-----相位变换 二．新课讲解问题： 函数y ＝Asin (ωx ＋ϕ)（A >0,ω>0）的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？引例 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图解：(五点法)由T ＝22π，得T ＝π 列表：描点画图：这种曲线也可由图象变换得到：方法一：即：y ＝sin x y ＝sin(x ＋3π)y ＝sin(2x ＋3πy ＝3sin(2x ＋3π)一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当_______时)或向右(当______时平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当______时)或伸长(当________时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当________时)或缩短(当________时)到原来的A 倍(横坐标不变)问题：以上步骤能否变换次序？方法二：____移 个单位横坐标变为倍纵坐标变为倍横坐标不变另外，注意一些物理量的概念:A ：称为振幅；T ＝ωπ2：称为周期；f ＝T1：称为频率；ωx ＋ϕ：称为相位x ＝0时的相位ϕ称为初相三、例题分析：例1、已知函数sin(A y =ωx )ϕ+（πϕω2,0,0<<>>A ）的图象一个最高点为A （2，3），由点A 到相邻最低点的图象交x 轴于（6， 0），求此函数的解析式。
数学(人教A版)必修4课件：1-4-3 正切函数的性质与图象
3π 7π 解得2kπ＋ 4 ≤x≤2kπ＋ 4 ，k∈Z， 5π π ∴当k＝－1时，－ 4 ≤x≤－4.
3π π 3π π ∴原函数在区间－ 4 ，4上的单调减区间为－ 4 ，－4.
第一章
1.4
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新课引入
∴当cosx＝－1时，即x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数取得最大 值．
第一章
1.4
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π 3π π y＝sinx－4在－ 4 ，4上的单调递减区间．
4．求函数
[解析]
π π 3π 由2kπ＋ ≤x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 4 2
kπ [拓展](1)正切函数图象的对称中心是 2 ，0 (k∈Z)，不存
在对称轴． π (2)直线x＝ ＋kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线 2 无限接近渐近线． π (3)函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b的周期是T＝|ω|.
第一章
1.4
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课前自主预习
第一章
1.4
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温故知新 1．下列函数在区间[0，π]上是单调函数的是( A．y＝sinx C．y＝sin2x B．y＝cos2x D．y＝cosx )
[答案]
D
第一章
1.4
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[解析] 递减函数．
结合函数 y＝cosx 的图象可知其在[0，π]上为单调
第一章
1.4
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2017-2018学年高中数学必修四教材用书：第一章 三角函
1．2.2 同角三角函数的基本关系[提出问题]设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，根据三角函数的定义知y ＝sin α，x ＝cos α，yx＝tan α. 问题1：能否根据x ，y 的关系得到sin α，cos α，tan α的关系？ 提示：能，由x 2＋y 2＝1，得cos 2α＋sin 2α＝1. 由y x ＝tan α，得sin αcos α＝tan α.问题2：上面两个关系式对任意角都成立吗？ 提示：对使三角函数有意义的任意角都成立． [导入新知]同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α其中α≠k π＋π2(k ∈Z)．[化解疑难] “同角”的含义“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin 23α＋cos 23α＝1等．[例1] (1)已知sin α＝13，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.[解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又因为α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sinα＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.[类题通法]已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m2，sin α＝±m1＋m2的值．[活学活用]已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．答案：sin α＝－45；cos α＝－35[例2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α；(2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α.[解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；(2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝32－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1 ＝34×32＋1232＋1＝2940. [类题通法] 化切求值的方法技巧(1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．[活学活用]已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α. 答案：(1)－1 (2)1[例3] 化简[解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α 1sin 2α－1＝tan α 1－sin 2αsin 2α＝tan α cos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. [类题通法] 三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．[活学活用]化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1；(2)sin2θ－sin4θ，θ是第二象限角．答案：(1)cos θ(2)－sin θcos θ[例4] 求证：tan α－sin α＝tan αsin α.[证明] ∵右边＝tan2α－sin2αα－sin ααsin α＝tan2α－tan2αcos2αα－sin ααsin α＝tan2α－cos2αα－sin ααsin α＝tan2αsin2αα－sin ααsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．[类题通法]简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．[活学活用]求证：1＋2sin θcos θcos2θ－sin2θ＝1＋tan θ1－tan θ.证明：∵左边＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θcos θθ＋sin θθ－sin θ＝θ＋cos θ2θ＋sin θθ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边， ∴原等式成立．2.sin α±cos α，sin αcos α的关系的应用[典例] 已知0<θ<π，且sin θ＋cos θ＝15，求sin θ－cos θ的值．[解] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝－1225. ∵0<θ<π，且sin θcos θ<0， ∴sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ>0. 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ ＝4925， ∴sin θ－cos θ＝75.[多维探究]1．在解决本题的过程中，sin θcos θ＝－1225<0隐含了条件sin θ>0，cos θ<0，从而得出sin θ－cos θ>0的结论．若忽视该隐含条件极易造成增解的情况，从而导致解题失误．2．本题考查了sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ以及sin θcos θ三者之间的转化．解决此类问题常涉及以下三角恒等式：①(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； ②(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；③(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；④(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.上述三角恒等式告诉我们已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．[活学活用]1．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．答案：sin θ＋cos θ＝75；tan θ＝432．若0<θ<π，sin θcos θ＝－60169，求sin θ－cos θ的值．答案：1713[随堂即时演练]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则cos α等于( ) A.45 B ．－45C ．－17D ．35答案：B2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案：B3．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为________．答案：384．已知tan α＝12，则sin αcos α的值为________．答案：255．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130° . 答案：1[课时达标检测]一、选择题1．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( ) A.513 B ．－513 C.512D ．－512答案：B2．下列结论中成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝±22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝1 答案：C3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310 C.310D ．－310答案：C4．化简(1＋tan 2α)·cos 2α等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案：C5．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－13答案：C 二、填空题6．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.答案：－357．已知0<α<π，sin α＋cos α＝13，则sin α－cos α的值是________．答案：1738．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．答案：2 三、解答题9．已知π2<θ<π且sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，求tan θ的值．解：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 整理得m 2－8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝8.当m ＝0时，sin θ＝－35，不符合π2<θ<π，舍去，当m ＝8时，sin θ＝513，cos θ＝－1213，满足题意． ∴tan θ＝sin θcos θ＝－51210．已知α是第二象限角，tan α＝－12，求cos α.解：∵α是第二象限角，∴cos α<0. 由tan α＝sin αcos α＝－12，得sin α＝－12cos α.代入sin 2α＋cos 2α＝1，得14cos 2α＋cos 2α＝1，cos 2α＝45.∴cos α＝－255.11．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值． 解：因为已知方程有两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sinθ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32.(3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为x ∈(0,2π)，所以θ＝π3或θ＝π6.。
2017-2018北师大版高中数学必修四课件：正切函数的定义、正切函数的图像与性质
栏目导 引
第一章
三角函数
(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来， “三点”是指(0， π π π π 0)， － ，－1 ， ， 1 ；“两线”是指 x＝ 和 x＝－ . 2 2 4 4 π 作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线 x＝－ ， x＝ 2 π π π ，然后描出三点 (0，0)， ， 1 ， － ，－1，用光滑的 2 4 4 曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．
第一章
三角函数
2．正切线 (1)定义：
在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1， A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边 0)，过点____________
线段AT 的延长线相交于T点，则称____________ 为角α的正切线． (2)画法：
栏目导 引
第一章
三角函数
6
π π 解析：由题意知 x＋ ≠ kπ ＋ (k∈ Z)， 6 2 π 即 x≠ ＋ kπ (k∈ Z)． 3
π 故定义域为x x≠kπ ＋ ， k∈ Z， 3
3 π f ＝_______________． 6
π π π 且f ＝ tan ＋ ＝ 3. 6 6 6
栏目导 引
第一章
三角函数
2． y＝ tan(x＋π )是 ( A ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：因为 y＝ tan(x＋π )＝ tan x，所以 y＝tan(x＋π )是奇函 数．
栏目导 引
第一章
三角函数
π x x≠kπ ＋ ，k∈ Z π 3 ___________________ 3．函数 f(x)＝tan x＋ 的定义域是 ，
2017学年高中数学苏教版必修4课件：第一章 三角函数 1.2.2
阅读教材 P16～P17 的有关内容，完成下列问题． 1．平方关系：__________________. sin2α＋cos2 α＝1
π sin α tan α＝cos αα≠kπ＋2，k∈Z 2．商数关系：____________________________.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角 α，sin23α＋cos23α＝1 都成立．( α sin 2 α (2)对任意角 α， ＝tan 都成立．( α 2 cos 2 1 3 (3)若 sin α＝ ，则 cos α＝ .( 2 2 ) )
2 2
由 sin α＋cos α＝1 得 cos α＝1－sin
3 2 16 α＝1－－ ＝ . 25 5
如果 α 是第三象限角，那么 cos α＜0. 于是 cos α＝－ 16 4 ＝－ ， 25 5
sin α 3 5 3 从而 tan α＝ ＝ －5×－4＝ . cos α 4
)
【解析】Biblioteka (1)√.符合同角三角函数的关系． α sin 2 α (2)×.等式 ＝tan 的条件是 α 2 cos 2 α cos 2≠0， α≠π＋kπ，k∈Z， 2 2 即 α≠π＋2kπ，k∈Z. 3 (3)×.因为 α 的范围不明，故 cos α＝± 1－sin α＝± . 2
4 3 如果 α 是第四象限角，那么 cos α＝ ，tan α＝－ . 5 4
同角三角函数的基本关系式揭示了同角三角函数之间的关 系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意角所在象限，必要 时必须进行讨论.
[ 再练一题] 4 1．已知 tan α＝ ，且 α 是第三象限角，求 sin α，cos α 的值． 3 sin α 4 【解】 由 tan α＝ ＝ ， cos α 3 4 得 sin α＝ cos α.① 3 又 sin2α＋cos2α＝1，② 16 2 由①②得 cos α＋cos2α＝1， 9 9 2 即 cos α＝ . 25 又 α 是第三象限角， 3 4 4 ∴cos α＝－ ，sin α＝ cos α＝－ . 5 3 5
2017-2018学年高一数学人教版必修4培优讲义 1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象知识点讲解一、正切函数的性质 1．周期性由诱导公式可知，πtan πtan ,π,2()x x x x k k +=∈≠+∈R Z ,，因此 是正切函数的一个周期. 一般地，函数()(tan 0)y A x k A ωϕω=++≠的最小正周期π||T ω=.2．奇偶性正切函数的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ,关于原点对称，由于()()()()sin tan cos x f x x x --=-=- ()sin tan cos xx f x x-==-=-，因此正切函数是 . 3．单调性和值域单位圆中的正切线如下图所示.利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：由上表可知正切函数在(,)22-,(,)22上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为π(π,2k -+ ππ)()2k k +∈Z .此外由其变化趋势可知正切函数的值域为(,)-∞+∞或R ，因此正切函数 最值.二、正切函数的图象利用正切线作出函数ππtan ,(,)22y x x =∈-的图象（如图）.作法如下：(1)作直角坐标系，并在y 轴左侧作单位圆.(2)把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线. (3)描点.（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线） (4)连线.根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x =∈R ，且ππ(2x k k ≠+∈Z)的图象，我们把它叫做正切曲线(如图).正切曲线是被相互平行的直线ππ()2x k k =+∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.参考答案：一、1．π 2．奇函数 3．没有1．正切函数的性质熟练掌握正切函数tan ,y x x =∈R 的性质： (1)定义域：π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ； (2)值域：R ； (3)最小正周期：π； (4)奇偶性：奇函数； (5)单调性：在每一个开区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 内均为增函数. 【例1】下列函数中，最小正周期为π2的是 A ．y ＝sin(2x －π3) B ．y ＝tan(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋π6)D ．y ＝tan(4x ＋π6)【答案】B【解析】函数y ＝tan(2x －π3)的最小正周期T ＝π2，故选B ．【例2】求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.正切函数tan y x =在区间π(π,2k -+ππ)()2k k +∈Z 上为增函数， 因此令πππ323k x -+<-ππ2k <+，解得ππ183k x -+<5ππ183k <+()k ∈Z , 即函数πtan(3)3y x =-的单调递增区间为ππ5ππ(,)()183183k k k -++∈Z .【易错启示】正切函数是奇函数，但是函数()tan y x ωϕ=+一般不具有奇偶性， 需要先求出定义域，再进行判断.【名师点睛】（1）正切函数tan y x =的定义域为π{|,π,}2x x x k k ∈≠+∈R Z ，这是解决正切函数相关问题首先要关注的地方.（2）求函数(n )ta y A x ωϕ=+的单调区间时，将x ωϕ+视为整体，代入函数tan y x =的单调区间即可，注意,A ω的符号对单调区间的影响. 2．正切函数的性质的应用（1）利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，实际上是将两个角利用函数的周期性或诱导公式放在一个单调区间内比较大小.（2）三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题，对于新引入的元或整体，要注意其范围的变化. 【例3】比较下列各组数的大小： （1）13πtan4与17πtan 5； （2）tan1,tan 2,tan 3,tan 4.【名师点睛】（1）比较三角函数值的大小，主要利用函数单调性及单位圆，有时可以利用引进中间量等方法．（2）有关正切函数值大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理．【例4】求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解析】由x ∈[π4，π3]，得tan x ∈[1，3]，令tan x ＝t ，则t ∈[1，3]．∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－t 2＋10t －1＝－(t －5)2＋24. 由于1≤t ≤3， ∴8≤y ≤103－4，故函数的值域是[8,103－4]．【名师点睛】利用换元法求解问题时，往往容易忽视元的范围的变化，导致错解.如该题，如果不注意元的取值范围的限制，直接求解二次函数的值域，显然就会扩大所求函数的值域而得到错解. 3．正切函数的图象及其应用 （1）tan y x =的周期性：函数sin y x =及cos y x =的周期是其对应函数sin ,cos y x y x ==周期的一半，而函数tan y x =的图象是把tan y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，但其周期与tan y x =的周期相等，均为π. （2）解三角不等式的方法一般有两种：一是利用三角函数线，借助于单位圆在直角坐标系中找出角的区域，再求出不等式的解集； 二是利用三角函数图象，先在一个周期内求出x 的范围，再在整个定义域上求出不等式的解集.利用正切函数的图象求角的范围时，主要是利用其单调性.这是数形结合思想方法的一个具体应用. 【例5】作出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象求其最小正周期和单调区间． 【答案】B【解析】y ＝|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2k ∈Z－tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k πk ∈Z，其图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|tan x |的最小正周期T ＝π，单调增区间的⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． 【名师点睛】要作出函数y ＝|tan x |的图象，可先作出y ＝tan x 的图象，然后将其在x 轴上方的图象保留，而将其在x 轴下方的图象翻到上方(即作出其关于x 轴对称的图象)，就可得到y ＝|tan x |的图象． 【例6】求下列函数的定义域：（1）函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )；（2）函数y ＝tan(sin x )． 【解析】（1）要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥－1tan x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π－π4≤x <k π＋π2，k ∈Z k π－π2<x <k π＋π4，k ∈Z ，∴k π－π4≤x <k π＋π4，k ∈Z ，故函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域为[k π－π4，k π＋π4)k ∈Z .（2）∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1， ∴函数y ＝tan(sin x )总有意义， 故函数y ＝tan(sin x )的定义域为R . 4．正确利用函数性质求解【例7】若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是________．【错解】因为函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π，其中x ＝π3.所以θ＝k π－2π3，k ∈Z .由于－π2<θ<π2，∴k ＝1时，θ＝π－2π3＝π3.【错因分析】错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(k π，0)(其中k ∈Z )，但由正切函数的图象发现：点(k π＋π2，0)(其中k ∈Z )也是正切曲线的对称中心，因此正切函数图象的对称中心的坐标是(k π2，0)(其中k ∈Z )．【正解】易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z . 因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π3.基础题1．下列说法中，正确的是 A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限内是增函数C ．y ＝tan x 在区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间内是减函数 2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是A ．{x |x ≠π4，x ∈R }B ．{x |x ≠－π4，x ∈R }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈R }D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R }3．下列函数中，在区间[0，π2]上为减函数的是 A ．y ＝sin(x －π3)B ．y ＝sin xC ．y ＝tan xD ．y ＝cos x4．下列不等式中，正确的是 A ．tan 4π7>tan 3π7B ．tan 2π5<tan 3π5C ．tan(－13π7)>tan(－15π8)D ．tan(－13π4)<tan(－12π5)5．函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是________． 6．函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标是________．7．已知函数f (x )＝2tan(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π2，求函数f (x )的单调区间．8．根据三角函数图象，写出满足下列条件的x 的取值范围． （1）－32<cos x <0；（2）3tan x －3≥0.能力题9．与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是 A ．x ＝π2B ．y ＝π2C ．x ＝π8D ．y ＝π810．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3在一个周期内的大致图象是11．直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω>0)的图象相交，则相邻两交点间的距离是A ．πB ．2πωC ．πωD ．π2ω12．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π1213A ．()f x 在定义域内是增函数B ．()f xC ．()f x 是奇函数D ．()f x 14．函数y ＝tan(cos x )的值域是________． 15．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．16．若函数f (x )＝tan 2x －a tan x (|x |≤π4)的最小值为－6，求实数a 的值．17（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；f与（2）试比较()π参考答案1．【答案】C 【解析】令x 1＝π3，x 2＝13π6，则tan x 1＝3，tan x 2＝33，即x 1<x 2，而tan x 1>tan x 2，故函数y ＝tan x 在第一象限内不是增函数，排除A 、B ；由正切函数的图象知，函数y ＝tan x 在某一区间内不可能是减函数，排除D ，故选C ．2．【答案】C【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠3π4＋k π，k ∈Z ，故选D ． 3．【答案】D 【解析】函数y ＝cos x 在[0，π2]上单调递减，故选D ．5．【答案】5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z 【解析】（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--， 由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z ， 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z, 故函数tan(2)3y x π=-的单调减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z . 6．【答案】(k π4＋π8，0)，k ∈Z 【解析】由2x －π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π8，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan(2x －π4)的对称中心坐标为(k π4＋π8，0)，k ∈Z .8．【解析】（1）如图所示．由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为(2k π＋π2，2k π＋5π6)∪(2k π＋7π6，2k π＋3π2)，k ∈Z . （2）如图所示．由3tan x －3≥0，得tan x ≥33. 由图象可知，满足不等式的x 的取值范围为[π6＋k π，π2＋k π)，k ∈Z . 9．【答案】C【解析】由正切函数图象知2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π2＋π8，k ∈Z ，故符合题意的只有C 选项．10．【答案】A【解析】∵函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的最小正周期为2π，因此可排除B 、D ，选项C 中，当x ＝π3时，y ≠0，因此排除C ，故选A ．11．【答案】C【解析】相邻两交点间的距离，即为函数y ＝tan ωx (ω>0)的最小正周期T ＝πω，故选C ．13．【答案】B【解析】()f x 在定义域内不单调，且不具有奇偶性，没有对称轴，所以A 、C 、D 错误；()f x B 正确， 故选B.14．【答案】[－tan1，tan1]【解析】∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]，又函数y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，且－π2<－1<1<π2， ∴tan(cos x )∈[－tan1，tan1]．15．【解析】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1. 故函数f (x )的定义域为(k π－π2，k π－π4)∪(k π＋π4，k π＋π2)(k ∈Z )． 又f (－x )＋f (x )＝tan()1lgtan()1x x -+--＋lg tan x ＋1tan x －1＝tan 1tan 1lg()tan 1tan 1x x x x -+⋅+-＝0，即f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．16．【解析】设t ＝tan x ，∵|x |≤π4， ∴t ∈[－1,1]．则原函数化为y ＝t 2－at ＝(t －a 2)2－a 24，对轴称为t ＝a 2. ①若－1<a 2<1，即－2<a <2时．则当t ＝a 2时，y min ＝－a 24＝－6， ∴a 2＝24(舍去，不合题意)．②若a 2≤－1，即a ≤－2时，二次函数在[－1,1]上单调递增， ∴y min ＝1＋a ＝－6，∴a ＝－7.③若a 2≥1，即a ≥2时，二次函数在[－1,1]上单调递减， ∴y min ＝1－a ＝－6，∴a ＝7，综上所述，a ＝－7或7.17．【解析】（1 ∴函数的最小正周期为4πT =．（2【名师点睛】解决函数()tan()f x A x ωϕ=+有关问题的思路：（1）采用整体代换的解题方法，即把x ωϕ+看作一个整体，然后根据正切函数的有关性质求解．（2）解题时要注意参数,A ω的符号对解题结果的影响，特别是解决与单调性有关的问题时一定要注意．。
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第十一课时 §1.3.2 三角函数的图象与性质（2）
【教学目标】 一、知识与技能：
1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；
2.能说出函数sin y x =，x R ∈和cos y x =，x R ∈的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的x 的集合。
3．理解三角函数的有关性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性等 二、过程与方法
通过作图来认识三角函数性质，充分发挥图象在认识和研究函数性质中的作用，渗透“数形结合”思想。
三、情感态度价值观：
通过正余弦函数图象的理解，使学生从感性到理性的进步，体会从图形概括抽象，使学生理解 动与静的辨证关系
教学重点难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域和值域的求法 【教学过程】 一．新课讲解：
函数性质： 1．定义域
2．值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx ｜≤1，｜cosx ｜≤1，即－1≤sinx ≤1，－1≤cosx ≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］ 其中正弦函数y =sin x ,x ∈R
①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－1 而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R
①当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝ ，k ∈Z 时，取得最小值－1 3．周期性
正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 4．奇偶性
由sin(－x)＝－sinx cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数 y ＝cosx 为偶函数
∴正弦曲线关于 对称,余弦曲线关于 对
称
5．单调性
从y ＝sinx ，x ∈［－
2
3,2π
π］的图象上可看出：
当x ∈［－
2π，2
π
］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由_____增大到_____.
当x ∈［
2
π，23π］时，曲线逐渐 ，sinx 的值由____减小到_____
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大
到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
余弦函数在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加
到1；在每一个闭区间 (k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1
6．对称性
y ＝sin x ，x ∈R
对称中心坐标_____________________ 对称轴方程_______________________
y ＝cos x ，x ∈R
对称中心坐标_____________________ 对称轴方程_______________________ 二、例题分析:
例1、求下列函数最值并求取得最值时的x 取值集合 （1） y=sin(3x+4π)-1 （2）y=sin 2
x-4sinx+5 （3） y=x
x cos 3cos 3+-
（4）4tan cos y x x =⋅； （5）264sin cos y x x =--；
例2、求下列函数的定义域和值域并判断函数的奇偶性： （1）21sin 1y x =+； （2）2sin 1sin x
y x
+=+
（3）y asinx b =+（其中,a b 为常数且0,≠b a ） （4）y=)cos(sin x
例3、指出下列函数的周期、单调区间和对称轴以及取得最值时的x 的取值集合： （1）y=1+sinx ，x ∈R （2）y=-cosx ，x ∈R （3）y ＝sin(x ＋
4π) x ∈R （4） y=sin （3
π
-2x ），x ∈R
（5)y＝3cos(
－x) x∈R
3
课堂小结：掌握三角函数的有关性质并能熟练应用。