沪教版2020年数学必修三-第11讲 古典概率(讲义)学生版

第11讲 古典概率
【知识梳理】
概率性质1 必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0, 即P(Ω)=1,P(Φ)=0. 概率性质2 对任意的事件A, 都有0()1P A ≤≤．
互斥:如果A 与B 没有共同的基本事件，即两个子集不相交，那么有A ∩B=Φ，则两个事件不可能同时发生，或者说互斥。

对立事件:事件A 发生的否定就是事件A 不发生，它也是一个事件，称为事件A 的对立事件。

简称为非A 。

A
A=Φ A A=Ω A B=A B ⋂ A B=A B
概率性质3（可加性）. 两个不可能同时发生的事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和。

换言之，如果A ∩B=Φ，那么P(A ∪B)=P(A)+P(B)
概率性质4 对任一给定事件，其发生的概率与不发生的概率的和总是1.换言之，有 P(A)=1- P(A )
【例题解析】
知识点一：简单的古典概型
例1．在某微信群的“微信抢红包”活动中，某次所发的红包总金额为10元，被随
机分配为2.13元，3.44元，1.83元，2.60元，现有甲、乙等4人参与抢红包，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和大于5元的概率为（ ） A ．2
3
B ．1
2
C ．1
3
D ．1
4
例2．人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B ，隐性基因
记作b ；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是BB ，bB 或Bb ”），人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的，分别用D ，d 表示显性基因、隐形基因，基因对中只要出现了显性基因D ，就一定是卷舌的．生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是BbDd ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（ ）
A ．
1
16
B ．
3
16
C ．
7
16
D ．
9
16
例3．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体
玩具）先后抛掷两次，则向上的点数之和为4的概率为（ ） A ．
118
B ．
1
12
C ．1
9
D ．1
3
【名师点睛】
求解古典概率“四步”法：
1、读：反复阅读题目，收集整理题目屮的各种信息.
2、判：判断试验是否为古典概型
3、列：求出试验的样本空间和所求專件所包的样本底的个数
4、算：计算出古典概型的概率，对应用题还要作答 知识点二:较复杂的古典概型的计算
例1．四张卡片上分别写有“荣”、“八”、“耻”、“八”四个汉字，一个不识字的幼儿
随机地把它们排成一排，刚好排成“八荣八耻”的概率是（ ） A ．1
4
B ．1
6
C ．
1
12
D ．
1
24
例2．从集合A ＝{﹣1，12
，2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{12
，32
，2}中随
机选取一个数记为a ，则a k
＞1的概率为（ ） A ．1
3
B ．2
3
C ．7
9
D ．5
9
例3．将一个正四面体沿各棱的中点截去四个小三棱锥后得到一个新几何体，将此几
何体的任意两个顶点连成一条线段，则其位于原四面体表面的概率为（ ） A ．1
5
B ．2
5
C ．3
5
D ．4
5
【名师点睛】
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式，但是这类问题的解法多样，技
巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
（1）试验必须具有古典概型的两大特征—有限性和等可能性.
（2）计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.
知识点三：互斥事件、对立事件的概率
例1．一台机床有
3
1
的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是103,加工B 时,停机的概率是5
2
, 则这台机床停机的概率为（ ）
A.
30
11 B.
30
7 C.
10
7 D.
10
1 例2．盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取
一只，试求下列事件的概率： （1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中正品、次品各一只； （3）取到的2只中至少有一只正品。

例3．有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3，0.2，
0.1，0.4．
（1）求他乘火车或飞机来的概率； （2）求他不乘轮船来的概率；
（3）如果他来的概率为0.4，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
例4．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
23和3
.4
假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
（2）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； （3）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
【名师点睛】
互斥事件、对立事件的概率公式的应用：
（1）互斥事件的概率加法公式P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果.
（2）当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P （A ）+P （B ）=1，求出符合条件的事件的概率.
知识点四：概率加法公式的应用
例1．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为
170、1
69
、
1
68
，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ．
例2．甲、乙、丙三人射击同一目标，命中目标的概率分别为1
2
，1
3
，1
4
，且彼此射击
互不影响，现在三人射击该目标各一次，则目标被击中的概率为 ．（用数字作答）
例3．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为1
2
，3
4
，3
4
，且是互相独立的．将它
们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是 ．
【名师点睛】
（1）概率的一般加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P （A ∪
B ）=P （A ）+P （B ）中，事件A ，B 是互斥事件；在公式P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ∩B ）中，事件A ，B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件，可借助图形理解.
（2）利用概率的一般加法公式P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ∩B ）求解的关键在于理解两个事件A ，B 的交事件A ∩B 的含义，准确求出其概率.
【过关检测】
一、单选题
1．（2021·上海高二专题练习）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由4个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为22的概率为（ ） A ．1
240
B ．
1160
C ．
71440
D ．
1180
2．（2018·上海师大附中高二期末）从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶
中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率
A．小B．大C．相等D．大小不能确定
3.给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
4.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是
3
4
,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是( )
A.3
5B.2
5
C.1
4
D.1
8
二、填空题
5．（2021·上海高二专题练习）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______.
6．（2020·上海市七宝中学高二月考）假设一个随机数发生器一次只能从1，2，3，…，9这九个数学中等可能地选一个数，则该随机数发生器完成了(1)
n n 次选择后，选出的n 个数的乘积能被10整除的概率为________（用含n的代数式示）.
7.若事件A,B满足A∩B=⌀,A∪B=Ω,且P(A)=0.3,则P(B)=.
8.盒子中有大小、形状均相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出一个球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黄球的概率是0.18,则摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黄球的概率是,摸出的球或者是黄球或者是黑球的概率是.
三、解答题
9.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,问至少有一根熔断的概率是多少?
10.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表:
(1)求至多2人排队等候的概率;
(2)求至少2人排队等候的概率.。