正则化方法求解最小二乘解
lasso公式推导过程
lasso公式推导过程 Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）是一种用于线性回归的正则化方法，它通过加入L1正则化项来对模型进行约束。下面我将从多个角度全面地解释Lasso公式的推导过程。
首先，我们考虑普通的线性回归模型： y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε。 其中，y是因变量，x1, x2, ..., xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是回归系数，ε是误差项。
Lasso回归的目标是最小化残差平方和，并且在最小化过程中加入L1正则化项。L1正则化项是回归系数的绝对值之和与一个常数λ的乘积，λ是正则化参数。
现在，我们将目标函数写为如下形式： RSS(β) = Σ(yi β0 β1xi1 β2xi2 ... βpxip)^2 + λΣ|βj|。 其中，RSS表示残差平方和，第一项是普通线性回归的残差平方和，第二项是L1正则化项。
为了最小化目标函数，我们需要对β0, β1, β2, ..., βp进行求导并令导数为0。为了简化推导过程，我们引入矩阵表示。
令X为自变量矩阵，其中每一行表示一个样本，每一列表示一个自变量；β为回归系数向量；y为因变量向量。则线性回归模型可以写为：
y = Xβ + ε。 残差向量为： ε = y Xβ。 残差平方和为： RSS(β) = ε^Tε = (y Xβ)^T(y Xβ)。 加入L1正则化项后，目标函数变为： RSS(β) = (y Xβ)^T(y Xβ) + λΣ|βj|。 现在，我们对β进行求导并令导数为0，可以得到Lasso回归的最小二乘估计（Least Squares Estimate）：
2X^T(y Xβ) + λsign(β) = 0。 其中，sign(β)表示β的符号函数。 为了简化推导，我们假设X的列向量是线性无关的，即X的列向量之间不存在线性关系。这样，我们可以得到闭式解（Closed-form Solution）：
一看就会（废）的最小二乘法的推导
⼀看就会（废）的最⼩⼆乘法的推导⼀、预备知识：⽅程组解的存在性及引⼊ 最⼩⼆乘法可以⽤来做函数的拟合或者求函数极值。
在机器学习的回归模型中，我们经常使⽤最⼩⼆乘法。
我们先举⼀个⼩例⼦来⾛进最⼩⼆乘法。
某次实验得到了四个数据点(x,y):(1,6)、(2,5)、(3,7)、(4,10) (下图中红⾊的点)。
我们希望找出⼀条与这四个点最匹配的直线y = \theta_{1} +\theta_{2}x，即找出在某种"最佳情况"下能够⼤致符合如下超定线性⽅程组的\theta_{1}和\theta_{2}，我们把四个点代⼊该直线⽅程可得:\theta_{1} + 1 \theta_{2} = 6\\ \theta_{1}+2\theta_{2}=5\\ \theta_{1}+3\theta_{2}=7\\ \theta_{1}+4\theta_{2}=10我们要求的是\theta_{1}和\theta_{2}两个变量，但是这⾥列出了四个⽅程组，我们是⽆法求解的。
我们现在以向量空间的⾓度来解释为何⽆解，以及最⼩⼆乘法如何处理这种⽆解的情况。
Ax = b\\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix} _{4\times2} \begin{bmatrix} \theta1\\ \theta2 \end{bmatrix}_{2\times1} =\begin{bmatrix} 6\\ 5\\ 7\\ 10 \end{bmatrix}_{4\times1}我们将四个⽅程组成的⽅程组写成矩阵形式。
矩阵A代表系数，x即待求的参数，b是每个⽅程对应的值。
从线性代数的⾓度来看，要判断Ax=b是否有解可以从向量空间⾓度来看。
这⾥先给出向量空间的性质：向量空间要求取其任意取两个列向量v和w，v+w或者cv(c是⼀个常数)都要属于该向量空间，并且任意列向量数乘的排列组合cv+dw+ek(c,d,e 表⽰常数，v,w,k表⽰任意的列向量)也要属于该向量空间。
基于正则化最小二乘法的接地网腐蚀诊断方法研究
ｓｕｒ ｅｈｄ ｅｉ ｎ ｔｓｈ ｆ ｃ ｏ ｎ ｏ ｒ ｒ ｎ ｃｕａ ｌ ｊｄｅｔｅｌｃｔ ｎｏ ｕｔ ｈ ｅｕｔ ｆ ａ ｕ ｑ ａｅｍ ｔｏ ， ｌ ａ ｅｅ ｅｔ ｆ ａｄ ｍ ｅｒ ｄａｃ ｒ ｅｙ ｕ ｇ ａｉ ｆａ ｌ ｍｉ ｅ ｔ ｆ ｒ ｏａ ｔ ｈ ｏ ｏ ｆ ．Ｔ ｅｒｓｌ ｏ ｃｌ — ｃ
迅 速排 泄故 障 电流或 雷 电 流 ， 降低 变 电站 的地 电位
升 ， 障运 行 人 员 安 全 。然 而 ， 保 由于 构 成 接 地 网 的
ｙ ｎ・
＝ ，，
（） ２
（） ３
导 体 埋 在 地 下 ， 过 长 时 间 的 运行 ， 然 会 发 生 腐 经 必
蚀 甚 至 断 裂 ， 接 地 网的 电 气 连 接性 能 变坏 、 地 使 接 电阻增 高 ， 至 引起 电力 系统 事 故 。 因此 ， 了 甚 为
中 图 分类 号 ：Ｔ ６ Ｍ８２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ： ０ １ ２—１６ （ ０２ ０ ０ ７ ０ ０ ６ ３ ２ １ ）４— ２ ８— ３
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｏ ｒ ｓｏ ｉ ｇ ｓｓｍ ｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｇ ｏ ｎｄ ｎ ｔ ｒ ｔ ｄ ｎ ｃ ｒ ｏ ｉｎ ｄ ａ ｎｏ ｉ ｔ ｏ ｏ ｒ ｕ ｉ ｇ ｎｅｗｏ ｋ
Ｋｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄｓ：ｒ ｕ ｄ ｎ ｔ ｒ ｇ ｏ ｎ ｉ ｇ ｎｅｗｏ ｋ；ｃ ｒｏ ｉｎ；ｌ ａ ｔｓ ｕａ ｅ ｍｅｈｏ ｏ ｒ ｓｏ ｅ ｓ ｑ ｒ ｔ ｄ；Ｔｉ ｈ ｎ ｖ ｒ ｇ ｌ ｒｚ ｔｏ ｋ ｏ ｏ ｅ ｕ ａ ｉａｉ ｎ
０ 引 言
目前 ， 接地 网在维 护 电力 系 统 安全 运 行 方 面起 着 重要作 用 ， 它可 以 在 系统 接 地故 障 或遭 受 雷 击 时
三阶段最小二乘法步骤
三阶段最小二乘法步骤最小二乘法是一种常见的回归分析方法，用于找到一条最佳拟合曲线，使得该曲线与观测数据之间的误差平方和最小。
在实际应用中，为了提高回归模型的准确性和可靠性，可以采用三阶段最小二乘法。
三阶段最小二乘法是在传统的最小二乘法基础上，通过分阶段的方式对数据进行处理，以获得更好的拟合效果。
第一阶段：数据准备在使用最小二乘法之前，首先需要准备好数据。
这包括收集所需的观测数据，并进行数据清洗和预处理。
数据清洗的目的是去除异常值和缺失值，以确保数据的准确性和完整性。
预处理的过程包括数据的标准化、归一化等，以使数据具有可比性和可解释性。
第二阶段：模型建立在数据准备阶段完成之后，下一步是建立回归模型。
回归模型是通过拟合数据点来预测因变量与自变量之间的关系。
在三阶段最小二乘法中，可以使用多项式回归模型来拟合数据。
多项式回归模型是在线性回归模型的基础上，引入多项式函数来描述因变量与自变量之间的非线性关系。
通过调整多项式的阶数，可以灵活地拟合不同形状的曲线。
第三阶段：模型优化在模型建立之后，需要对模型进行优化。
优化的目标是找到最佳的模型参数，以使模型与观测数据之间的误差最小。
在三阶段最小二乘法中，可以采用交叉验证和正则化技术来优化模型。
交叉验证是一种通过将数据集划分为训练集和验证集，并反复训练和验证模型的方法，以选择最佳的模型参数。
正则化技术是一种通过在损失函数中引入惩罚项，以防止过拟合的方法。
总结三阶段最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过数据准备、模型建立和模型优化三个阶段的处理，可以得到更准确和可靠的回归模型。
在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的多项式回归模型和优化技术，以满足不同的需求。
通过合理使用最小二乘法，可以更好地理解和解释数据，为决策提供科学依据。
最小二乘问题的解法
Hx
x
u
w
proof
(1)显然成立， ( 2)和(3)可直接得出， 事实上 H T H H 2 ( I 2 ww T )( I 2 ww T ) I 4 ww T 4 ww T ww T I
2
w
令w ( x y ) / x y 2 , 构 造Householde r变 换 2 H I 2 ww T I ( x y )( x y ) T 2 x y 2 注意到 x T x y T y (已 知),于 是 2 x y 2 ( x y ) T ( x y ) 2( x T x y T x ) 2 ( x y ) T x 从而 2 Hx x ( x y )( x y ) T x x ( x y ) y 2 x y 2 proof
i 1 T n
这 里A a i ,, a n .
于 是, 令x ( x1 , , x n ) ,即 有Ax b. 定理得证 Th3.1.2 方程 组 Ax b的解 存在 , 并且 假定 x是其 任一 给 定的 解 , 则方 程组 的全 部解 的集 合是 x N ( A) proof : 如 果y满 足 方 程 组 , 则A( y x ) 0,即( y x ) N ( A), 于是有 y x ( y x ) x N ( A).反 之, 如 果y x N ( A),则 存 在z N ( A),使y x z, 从 而 有 Ay Ax Az Ax b. 证 毕.
最小二乘法
最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
不适定问题的tikhnonov正则化方法
不适定问题的tikhnonov正则化方法《不适定问题的tikhnonov正则化方法》一、Tikhonov正则化方法简介Tikhonov正则化方法是一种在不确定性情况下，以满足已获知条件来确定未知参数的数学方法，也称为受限最小二乘法（RLS）或Tikhonov惩罚。
它是拟合未知数据，裁剪异常数据或选择特征的常用技术。
它结合了线性代数的误差拟合和函数的模型，通过比较数据和模型来实现，并且可以消除装配数据较大的噪声。
它广泛应用于各种领域，如机器学习，图像处理，测量信号处理，医学成像，数据拟合等。
二、不适定问题不适定问题指的是拟合数据时，没有明确地标定未知数据范围或转换规则，需要解决大量不完全未知因素时，所面临的问题。
在大量实际问题中，存在着许多模型参数或者说未知量，通常我们是模糊不清的，不知道未知量到底应该取多少值，这些未知量和现实世界紧密相连，因此，很难准确的给出未知量的取值范围，这样的问题就称之为不适定问题。
三、Tikhonov正则化解决不适定问题的方法Tikhonov正则化是极其重要的方法，可以有效地解决不适定问题。
它主要基于几何形式的最小二乘拟合方法，考虑多个参数逐步克服受限性，增加惩罚力度，以抑制不具可解释性，存在明显异常点的资料变化，有效影响拟合数据偏离未知数带来的影响，使数据拟合的更加准确，能够比较准确的拟合复杂的函数。
四、Tikhonov解不适定问题优势所在Tikhonov正则化的主要优点有两个：一是克服参数之间的相关性，从而减少误差拟合；二是增加惩罚力度，从而抑制异常点。
此外，他还可以从数据中提取出更多有用的信息，增强无关事实的辨认能力，减少参数数量，从而确保拟合信息具有更强的准确性和可靠性。
因此，Tikhonov正则化有助于更好地解决不适定问题，能够提高模型的分类概率，以达到解决不适定问题的最佳效果。
五、总结Tikhonov正则化方法是一种有效地解决不适定问题的方法，它可以通过比较有约束的正则误差与受限的最小二乘拟合的误差之间的差异来拟合数据，克服参数之间的相关性，准确作出拟合结果，提高模型的分类概率，减少参数数量，以达到解决不适定问题的最佳效果。
可以确定回归模型参数的方法
可以确定回归模型参数的方法
回归模型是数据分析中常用的方法，通过对变量之间的关系建立模型，可以预测变量间的相互影响。
然而，在实际应用中，由于数据本身的复杂性和噪音，回归模型的参数往往难以确定。
本文将介绍几种确定回归模型参数的方法。
1. 最小二乘法
最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它通过最小化残差平方和来确定回归系数。
在这种方法中，通过将实际值与预测值之间的差异平方求和，得到一个最小化的目标函数，通过对目标函数求导来确定回归系数。
2. 正则化方法
正则化方法是一种在最小二乘法基础上，增加正则化项来优化模型的方法。
常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化，它们分别对回归系数的绝对值和平方和进行约束，从而避免过拟合问题，提高模型的泛化能力。
3. 岭回归
岭回归是一种正则化方法，它通过增加一个惩罚项来约束回归系数，从而避免过拟合问题。
在岭回归中，惩罚项是回归系数的平方和乘以一个超参数，超参数越大，对回归系数的限制越强。
sso回归
Lasso回归也是一种正则化方法，它与岭回归类似，但它的惩罚项是回归系数的绝对值之和乘以一个超参数。
与岭回归不同，Lasso
回归可以将一些不重要的变量的系数约束为0，从而实现变量选择的功能。
这些方法都可以用来确定回归模型参数，具体的选择应该根据数据的特点和需求来进行。
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正则化方法求解最小二乘解
最小二乘是最常用的线性参数估计方法，早在高斯的年代，就用开对平面上的点拟合线对高维空间的点拟合超平面。
考虑超定方程其中b为数据向量，A为m*n数据矩阵并且m>n,假定数据向量存在误差和观测值无关，即b=b,+e为了抑制误差对矩阵方程求解的影响，引入一校正向量△b用它去”扰动“有误差数据向量b，使校正项尽可能小，同时通过强合Ax=b +△b补偿存在与数据向量b中的不确定性(噪声或者误差)使得b+△b=bo+e+△b→b,从而实现Ax=b +△b→
Ax=bo 的转换使校正向量尽可能小，则可以实现无误差的矩阵Ax=b。
的求解矩阵方程的这一求解思想可以用下面的优化问题进行描述
d0min|Obl|l2 = ||Ax-b||2 = (Ax -b)T(Ax -b)这个方法就称之为最小二乘法ordinary least squares OLS)。