高一数学排列组合综合应用试题
排列组合综合题型及答案
排列组合综合题型1.10件不同厂生产的同类产品（1）在商品评选会上，有两件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？（168048=p ）（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？（504004826=·p p ）2.把4个班平均分给两个教师任教，问不同的分配方法有多少种？（624=C ）3.从5名男生、3名女生中选5名担任5门不同学科的课代表，求符合下列条件的方法数：（1）女生必须少于男生；（2）女生甲担任语文课代表；（3）男生乙必须是课代表，但不任数学课代表；（4）女生甲必须任语文课代表，男生乙必须任课代表，但不任数学课代表。
（（1）5520)(552335134555=++P C C C C C （2）84047=P （3）33601447=P P （4）3601336=P P ）4.从一班50人中选出5人，从二班52人中选出5人，组成两个5人小组（一、二班人混合选），然后各组选正、副组长各1人，共有多少种选法（答案用组合数表示）？（)21(2525510552550P P C C C ）5.从6名短跑运动员中选4人组成1004´米接力队，甲不跑第一棒，乙不跑最后一棒，有几种选法？（252)(24351435=-+P P C P 或252)2(22334424223313341244=+-++P P P C C P P C C P ）6.按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？（均只要求列式）（1）平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2426C C ）（2）平均分成三份，每份2本；（332426/p C C ）（3）甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；（332516C C C ）（4）甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；（33332516P C C C ）（5）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（332516C C C ）（6）甲、乙、丙三人中。
高中排列组合练习题
高中排列组合练习题高中排列组合练习题在高中数学中，排列组合是一个重要的概念，也是一个常见的考点。
它涉及到数学中的计数问题，通过排列和组合的方法，可以求解不同情况下的可能性。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来深入理解排列组合的概念和应用。
1. 小明有5本不同的数学书和3本不同的英语书。
他想从这些书中选择2本数学书和1本英语书，问他有多少种选择的方法？首先，我们可以计算数学书的选择方法。
由于小明有5本不同的数学书，选择其中2本的方法可以通过排列数来计算，即A(5,2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 × 4 = 20。
接下来，我们计算英语书的选择方法，由于小明有3本不同的英语书，选择其中1本的方法可以通过排列数来计算，即A(3,1) = 3! / (3-1)! = 3! / 2! = 3。
最后，我们将两种选择方法相乘，即20 × 3 = 60。
所以，小明有60种选择的方法。
2. 有6个人参加一场比赛，其中前3名将获得奖品。
问有多少种可能的获奖情况？这个问题可以通过排列数来解决。
首先，我们可以计算第一名的选择方法，即A(6,1) = 6! / (6-1)! = 6! / 5! = 6。
接下来，我们计算第二名的选择方法，由于第一名已经确定，所以第二名的选择方法为A(5,1) = 5! / (5-1)! = 5! / 4! = 5。
同理，第三名的选择方法为A(4,1) = 4! / (4-1)! = 4! / 3! = 4。
最后，我们将三种选择方法相乘，即6 × 5 × 4 = 120。
所以，可能的获奖情况有120种。
3. 有8个人参加一场晚会，其中要选出一个主持人和一个助理。
问有多少种可能的选择方法？这个问题可以通过排列数来解决。
首先，我们可以计算主持人的选择方法，即A(8,1) = 8! / (8-1)! = 8! / 7! = 8。
接下来，我们计算助理的选择方法，由于主持人已经确定，所以助理的选择方法为A(7,1) = 7! / (7-1)! = 7! / 6! = 7。
高中数学排列组合试题集（含答案）
绝密★启用前2019-2020学年度学校2月月考卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（）A ．12B ．14C ．16D ．182．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种3．凸10边形内对角线最多有( )个交点A ．210AB ．210C C ．410AD ．410C 4．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A ．30 B ．36 C ．60 D ．725．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）A ．240B ．480C ．720D ．9606．设集合(){}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A ．60B ．90C ．120D ．1307．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种8．从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0,,m n m n N <≤∈），共有1mn C +种取法．在这1mn C +种取法中，可以视作分为两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111mn C C -⋅种取法．显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m mn n n C C C -++=成立．试根据上述想法，下面式子1122m m m k m kn k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1,,,k m n k m n N ≤<≤∈）应等于 （ ）A ．m n k C +B ．+1m n kC + C ．+1m n k C +D ．kn m C +9．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ）A ．300种B ．150种C ．120种D ．90种10．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A ．72 B ．60 C ．36 D ．3011．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（不同排课顺序共有（ ）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（ ）A ．234B ．363C ．350D ．34613．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A B 、、C 、D 、E ，除B 与E 、D 与E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有（们单独会晤的不同方法共有（ ）A ．48种B ．36种C ．24种D ．8种14．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有( )A ．14种B ．16种C ．20种D ．30种15．一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a b c <<，c d e >>（如12430，13531等）， 则在所有的五位数中“凸”数的个数是( )A ．8568B ．2142C ．2139D ．113416．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A ．50种 B ．60种C ．120种D ．210种17．6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A ．24B ．36C ．48D ．6018．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 （ ）A ．18B ．24C ．30D ．3619．某学校高三有四个优秀的同学甲､乙､丙､丁获得了保送到重庆大学､西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会,若每所大学至少保送1人,且甲同学要求不去重庆邮电大学,则不同的保送方案共有( )种A ．24B ．36C ．48D ．6420．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种21．若多项式()210011x x a a x +=++()()91091011a x a x +++++L ，则9a =（ ） A ．9 B ．10 C ．-9 D ．-1022．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A ．2764B ．916C ．81256 D ．71623．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ）A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种24．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）A ．100种B ．60种C ．42种D ．25种25．设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．13026．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ） A ．72 B ．144 C ．150 D ．18027．第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A ．60B ．90C ．120D ．15028．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ）A ．90B ．15C ．36D ．2029．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足则满足①②条件的矩阵的个数为( )A ．48B ．72C ．144D ．264名同学准备拼车去旅游，其中其中()1班、()2班，()3班、年元旦假期，高三的高三的8名同学准备拼车去旅游，()4班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中()1班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A．18种B．24种C．48种D．36种31．从1，3，5，7，9中任取两个数，从0，2，4，6，8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．2100 B．2200 C．2160 D．240032．安排A，B，C，D，E，F，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义义工A不安排照顾老人甲，义工B 工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人乙，则安排方法共有（）A．30种B．40种C．42种D．48种33．为庆祝中国人民解放军建军90周年，南昌市某校打算组织高一6个班级参加红色南昌新四军军部旧址等5个红色旅游景旅游活动，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，旅游点选取了八一南昌起义纪念馆，南昌新四军军部旧址等点．若规定每个班级必须参加且只能游览1个景点，每个景点至多有两个班级游览，则这6个班级中没有班级游览新四军军部旧址的不同游览方法数为（）A．3600 B．1080 C．1440 D．252034．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A．10 B．11 C．12 D．15第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明卷的文字说明参考答案1．B【解析】从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为5,4,3,2,1.要求4,1不相邻，分四类：①先排5,4时，则1只有1种排法，3,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；②先排5,3时，则4只有1种排法，1,2在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；③先排2,1时，则4只有1种排法，5,3在剩余的两个位上，这样有2222A A 4=种排法；④先排3,1时，则这样的排法只有两种，即43512,21534综上共有142444=+++种，故选B. 考点：排列与计数原理知识的运用.2．D【解析】【分析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.【详解】不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()22323234432C A A A ⋅⋅=种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()2212232223144C A C A A ⋅⋅⋅=种；从而所求的结果为432144288-=种.故选D. 【点睛】本小题主要考查涂色问题，本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、考查相邻问题、考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立考查对立事件的方法，属于中档题.3．D【解析】【分析】【分析】根据凸n 边形内对角线最多有个交点的公式求得.【详解】【详解】凸n 边形内对角线最多有4n n C - 个交点，又10441010C C -= ，故选D. 【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题.4．C【解析】【分析】记事件:A 2位男生连着出场，事件:B 女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求出场顺序的排法种数为()()()()5555A n A B A n A n B n A B ⎡⎤-⋃=-+-⋂⎣⎦，再利用排列组合可求出答案。
(完整版)高中数学排列组合习题.docx
1、体育 南 有 4 个大 ，北 有 3 个大 ，某学生到 体育 跑步， 他 出 的方案有（）种。
2、某公共汽 上有10 名乘客，沿途有5 个 站，乘客下 的可能方式有（）种3、（ 1） 4 名同学 跑步、跳高、跳 三个 目，每人 一 ，共有多少种 名方法？（ 2） 4 名同学争跑步、跳高、跳 三 冠 （各 目冠 都只有一人），共有多少种可能的 果？4、从集合 {1 ， 2，⋯， 10} 中任 出三个不同的数，使 三个数成等比数列， 的等比数列的个数 （）5、有 4 位教 在同一年 的四个班中各教一个班的数学，在数学 要求每位教 不能在本班 考， 考的方法有（ ）种。
A．8B．9C．10D．116、3 人玩 球游 ，由甲开始并做 第一次 球，4 次 球后，球仍回到甲手中，有多少种不同的球方式呢？7、集合 A ＝ {a,b,c,d},B={1,2,3,4,5} 。
（ 1）从集合 A 到集合 B 可以建立多少个不同的映射？（ 2）从集合 A 到集合 B 的映射中，要求集合 A 中元素的象不同， 的映射有多少个8、 一个各 都不相等的凸五 形的各 行染色，每条 都可以染 、黄、 三种不同的 色，但 是不允 相 相 的 染相同的 色， 不同的染色方法共有（）种。
9、用 5 种不同 色 中的 A 、 B 、C 、D 四个区域涂色， 定一个区域只涂一种 色，相 的区域 色不同，共有（ ）种不同的涂色方案。
10、将 1,2,3填入 3×3 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如 是一种填法， 不同的填写方法共有 A ．6种 B ．12种 C ．24种 D ．48种 11、如 所示的五个区域中， 中心区域是一幅 画， 要求在其余四个区域中涂色， 有四种 色可供 ． 要求每个区域只涂一种 色，相 区域所涂 色不同， 不同的涂色方法种数()A ． 64B ． 72C.84 D ． 9612、（ 13 山 ）用 0,1, ⋯ ,9 十个数字 , 可以 成有重复数字的三位数的个数 （ ）A ． 243B． 252C． 261D．27913、（ 13 福建） 足 a, b1,0,1,2 , 且关于 x 的方程 ax 22 x b 0 有 数解的有序数 (a, b) 的个数 （ ） A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 10 k 2m14、（ 16 全国）定 “ 范 01 数列”{ n } 如下：{ n } 共有 2 ，其中0，1，且 任意 ， a 1 , a 2 ,L , a k 0 1 a a m m m 中 的个数不少于 的个数。
高中数学专题强化训练1排列组合的综合应用含解析新人教A版选修2
专题强化训练(一) 排列、组合的综合应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为( )A ．(34,34)B ．(43,34)C ．(34,43)D ．(A 34，A 34)C [由题意知本题是一个分步乘法问题，首先每名学生报名有3种选择，根据分步乘法计数原理知4名学生共有34种选择，每项冠军有4种可能结果，根据分步乘法计数原理知3项冠军共有43种可能结果．故选C.]2．若C 3n ＝C 4n ，则n ！3！(n －3)！的值为( ) A ．1B ．20C ．35D ．7 C [若C 3n ＝C 4n ，则n (n －1)(n －2)3×2×1＝n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，可得n ＝7， 所以n ！3！(n －3)！＝7！3！4！＝7×6×53×2×1＝35.] 3．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )A ．C 23C 397B ．C 23C 397＋C 33C 297 C ．C 5100－C 13C 497D ．C 5100－C 597 B [根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C 23C 397种，“有3件次品”的抽取方法有C 33C 297种，则共有C 23C 397＋C 33C 297种不同的抽取方法，故选B.]4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种D [和为偶数共有3种情况：取4个数均为偶数有C 44＝1种取法；取2奇数2偶数有C 24·C 25＝60种取法；取4个数均为奇数有C 45＝5种取法，故共有1＋60＋5＝66种不同的取法．]5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )A ．60B ．120C ．240D ．480A [先将4个熟悉道路的人平均分成两组有C 24·C 22A 22种．再将余下的6人平均分成两组有C 36·C 33A 22种．然后这四个组自由搭配还有A 22种，故最终分配方法有12C 24·C 36＝60(种)．] 二、填空题6．有8名男生和3名女生，从中选出4人分别担任语文、数学、英语、物理学科的课代表，若某女生必须担任语文课代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)720 [由题意知，从剩余10人中选出3人担任3个学科课代表，有A 310＝720种．]7．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．20 [分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C 23＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C 24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．]8．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种．(用数字作答)96 [甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A 44种方法．丙传第一棒，共有C 12·A 44种方法．由分类计数原理得，共有A 44＋A 44＋C 12·A 44＝96(种)方法．]三、解答题9．现有5名教师要带3个不同的兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，求不同的带队方案有多少种？[解] 第一类，把甲、乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，有C 23A 33＝18(种)，第二类，先把另外的3人分配到 3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36(种)，根据分类加法计数原理可得，共有18＋36＝54(种)．10．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A．300B．216 C．180D．162C[分两类：第一类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C23·C22·A44＝72(个)符合要求的四位数；第二类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，根据分步乘法计数原理可知，共有C12·C23·(A44－A33)＝108(个)符合要求的四位数．根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)，故选C.]2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为() A．360 B．520C．600 D．720C[根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.] 3．将10个运动员名额分给7个班，每班至少1个，则不同的分配方案的种数为________．84[因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空隙．在9个空隙中选6个位置插隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班．每一种插板方法对应一种分配方案，则共有C69＝C39＝9×8×73×2×1＝84种分配方案．] 4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x－2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]5．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种方法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种放法．。
高中数学选择性必修三 精讲精炼 6 排列与组合综合运用(精练)(含答案)
6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)【题组一 排队型】1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有( )种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有( ) A ．2016种 B ．1512种 C ．1426种 D ．1362种【答案】B【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有39C 种不同的组合. 选出的4个名称的不同分析顺序有44A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有33A 种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有()343943 1 512C A A ⋅-=(种)，故选：B3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( ) A ．408种 B ．240种 C ．192种 D ．120种【答案】A【解析】将六艺全排列，有66A 种，当“射”排在第一次有55A 种， “数”和“乐”两次相邻的情况有2525A A 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有2424A A 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有652524652524A A A A A A 408--+=种，故选：A .4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为( ) A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A =种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A =种插法；所以共有2420480⨯=种不同的安排方法.故选：A5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( ) A ．400种 B ．720种 C ．960种 D ．1200种【答案】C【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有6621440A ⨯=种， 而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有5522480A ⨯⨯=种， 故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440480960-=种.故选：C.6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120 B ．156 C ．188 D ．240【答案】A【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种)故选：A7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C【解析】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为( ) A ．12 B ．59C ．67120D ．133240【答案】D【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有66720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则5个元素全错位544=D (常用数据知识)，当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，所以概率为126666449399133=720240⨯+⨯==C C P A .故选：D. 9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ､F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】当E ，F 排在前三位时，有()22322324A A A =种安排方案；当E ，F 排在后三位时，有()()1222332272C A A A =种安排方案：当E ，F 排中间两位时，有()1122232224C A A A =种安排方案.综上，不同的安排方案共有247224120++=(种)，故选：D.10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==故选：B 11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ). A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=(种).对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=(种)，其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=(种).综上，共有()41922521776⨯+=(种).故选：B12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)由于一些特殊原因，高一的12345,,,,A A A A A ，5个节目，1A 必须在其余4个节目前面演出；高二的123,,B B B ，3个节目，1B 必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A ，B ，C 三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．【答案】(1)8789A A ；(2)15421542535s A A A A A ⨯⨯⨯；(3)15991999C ；(4)4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯. 【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有88A 种不同的排法， 再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有79A 种方法， 由分步计数原理可得，共有8789A A 种不同的出场顺序.(2)高一的5个节目全排列，有55A 不同的排法，其中1A 必须在其余4个节目前面有44A 种， 高二的3个节目全排列有33A 不同的排法，其中1B 必须在其余2个节目前面有22A 种， 初中、高一和高二的15个节目全排列有1515A 种不同的排法，所以1A 在其余4个节目前面演出；1B 在其余2个节目前面演出，共有15421542535sA A A A A ⨯⨯⨯种. (3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生， 可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板， 把2000根荧光棒分为1600份，共有15991999C 种不同的分法.(4)由题意，可分为两类：①若11,12和13,14在同一组中，共有488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式； ②若11,12和13,14不在同一组中，共有6683201283C C C A ⨯488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式， 由分类计数原理，可得共有4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯不同的安排方式. 13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数； (Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； (Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率． 【答案】(Ⅰ)360；(Ⅱ)192；(Ⅲ)1560；(Ⅳ)35【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为6613602A =； (Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424192A A C ⋅⋅=种不同排法；(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为221131114464216321442232231560C C C C C C C C A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅； (Ⅳ)记A ：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式232432252535A A A A A ⋅⋅=⋅ 【题组二 数字型】1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？【答案】(1)648个；(2)156个；(3)2296个；(4)1140个.【解析】()1由题意，无重复的三位数共有1299972648A A=⨯=个；()2当百位为1时，共有299872A=⨯=个数；当百位为2时，共有299872A=⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A+=个数，所以315是第727212156++=个数；()3无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A=个数；当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有1218841792A A A=个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；()4当选出的偶数为0时，共有1335180A A=个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A=个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.14 3472C A⋅=个.(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即323472A A=个(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即132354531200C C C A=个【题组三分组分配型】1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员．．工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1人有1225C C种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有( ) A ．86种 B ．100种 C ．112种 D ．134种【答案】B【解析】若只有1人参加数学竞赛，有221124244222()(44325)6C C C C A A +=⨯+⨯=种安排方法，若恰有2人参加数学竞赛，有21243263236C C A =⨯⨯=种安排方法，若有3人参加数学竞赛，有3242428C A =⨯=种安排方法，所以共有56368100++=种安排方法． 故选：B4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=， 所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；(3)先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)． 【题组四 涂色型】1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A ．36种B ．24种C ．12种D ．9种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P -ABC 的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3216⨯⨯=种不同的涂法， 第二步：涂三棱柱ABC -111A B C 的三个侧面，先涂侧面11AA B B 有122C =种涂法，再涂11BB C C 和11CC A A 只有1种涂法， 所以涂三棱柱的三个侧面共有212⨯=种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6212⨯=种涂法，故选：C2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )A ．720种B ．2160种C ．4100种D ．4400种【答案】C【解析】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数为354320⨯=种； 考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数为()5434332160⨯⨯⨯⨯⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数为33531620A ⨯=种．所以共有方法数为320216016204100++=种． 故选：C ．3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【答案】C【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，(1)当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法， ①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法； ②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法. (2)当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法； ②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法. 故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法. (3)当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，(i )若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；(ii )若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法. 故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法. 综上，共有240192168600++=种涂色方法. 故选：C.4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法； 第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法； 第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：6543434320⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D.5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种【答案】B【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576 264【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；(2)若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种． 故答案为：①576；②264.7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种.故答案为：48．8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)【答案】72【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有1112423248C C C A=种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有343224C⨯⨯=种.综上共有：482472+=种.故答案为：729．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种 本题正确结果：42010．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种. 【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂,,A B C ，再涂,,D E F .第一类：若5种颜色都用上，先涂,,A B C ，方法有35A 种，再涂,,D E F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A ⋅⋅=种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂,,A B C ，方法有34A 种，再涂,,D E F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A ⋅⋅⋅=种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种；先涂,,A B C ，方法有33A 种，再涂,,D E F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A ⋅⨯=种； 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案是1920.11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A 、B 、C 、D 、E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【解析】因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域C、E各有4种方法, 区⨯⨯⨯⨯=.域A、B一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法54443960故答案为：960．12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案.所以共有32222296故答案为：9613．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】192【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法； 第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，。
高中数学排列组合经典题型练习题(有答案)
高中数学排列组合经典题型练习题(有答案)高中数学排列组合经典题型练题姓名。
班级。
学号：说明：1.本试卷满分100分，考试时间80分钟。
2.填写答题卡的内容用2B铅笔填写。
3.提前5分钟收取答题卡。
评卷人：得分：一．单选题（每题3分，共30分）1.将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中。
若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）。
A.12种。
B.16种。
C.18种。
D.36种2.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）。
A.60种。
B.63种。
C.65种。
D.66种3.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（）。
A.1120.B.8640.C.5640.D.28804.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的数有（）。
A.360个。
B.48个。
C.24个。
D.12个5.某校3名艺术生报考三所院校，其中甲、乙两名学生填报不同院校，则填报结果共有（）。
A.18种。
B.19种。
C.21种。
D.24种6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有（）。
A.1120种。
B.1136种。
C.1600种。
D.2736种7.一排座位共8个，3人去坐，要求每人的左右两边都有空位置的坐法种数为（）。
A.6种。
B.12种。
C.24种。
D.36种8.有8人排成一排照相，要求A、B两人不相邻，C，D，E三人互不相邻，则不同的排法有（）。
A.种。
B.960种。
C.768种。
D.720种9.有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间至多有2人，且甲乙不相邻，则不同的站法有（）。
A.36种。
B.24种。
C.60种。
D.120种10.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中，其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（）。
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编(附答案)
历年(2019-2024)全国高考数学真题分类(排列组合与二项式定理)汇编考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．232．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．203．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．234．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．238．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.810．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13B ．25C ．23D ．4511．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6-C ．12D ．12-2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5-B ．5C ．10-D ．104．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24参考答案考点01 排列组合综合1．（2024∙全国甲卷∙高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【详细分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【答案详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B2．（2023∙全国甲卷∙高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A ．120B ．60C ．30D ．20【详细分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【答案详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种. 故选：B.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.【答案详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有24C 6=件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有1122C C 4=，所以这2名学生来自不同年级的概率为4263=. 故选：D.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A ．30种 B ．60种 C ．120种 D ．240种【答案】C【详细分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【答案详解】首先确定相同得读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分步乘法公式则共有1265C A 120⋅=种，故选：C.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A ．4515400200C C ⋅种 B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种【详细分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【答案详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯=人，高中部共抽取2006020600⨯=， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种. 故选：D.6．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A ．12种 B ．24种C ．36种D ．48种【答案】B【详细分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【答案详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B7．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【详细分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【答案详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种， 故所求概率2172213P -==. 故选：D.8．（2021∙全国乙卷∙高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C【详细分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【答案详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【名师点评】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.9．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【详细分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【答案详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.10．（2021∙全国甲卷∙高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【答案详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.11．（2020∙海南∙高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种 B．3种 C．6种 D．8种【答案】C【详细分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【答案详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C【名师点评】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.12．（2020∙山东∙高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种【答案】C【详细分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【答案详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选：C【名师点评】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.13．（2019∙全国∙高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【详细分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【答案详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【名师点评】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要详细分析元素是否可重复，其次要详细分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．考点02 二项式定理综合1．（2024∙北京∙高考真题）在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．12 D ．12-【答案】A【详细分析】写出二项展开式，令432r-=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【答案详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r T x xr --+==-=，令432r-=，解得2r =， 故所求即为()224C 16-=. 故选：A.2．（2022∙北京∙高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-【答案】B【详细分析】利用赋值法可求024a a a ++的值. 【答案详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=， 令=1x -，则()443210381a a a a a -+-+=-=， 故420181412a a a +++==， 故选：B.3．（2020∙北京∙高考真题）在52)-的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【详细分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【答案详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrr r r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C.【名师点评】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．4．（2020∙全国∙高考真题）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【详细分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【答案详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C【名师点评】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及详细分析能力，属于中档题.5．（2019∙全国∙高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【详细分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【答案详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【名师点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．。
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高一数学排列组合综合应用试题
1.完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，
从这9个人中选1人完成这项工作，一共有多少种选法？（）
A．5B．4C．9D．20
【答案】C
【解析】完成一项用方法一有5种，用方法二有4种，因此共有4+5=9种.
【考点】分类加法计数原理.
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有多少种选法？（）
A．11B．12C．30D．36
【答案】C
【解析】第一步从6人中选一人担任正班长，有6种情况；第二步从剩余5人中选一人担任副班长，有5种情况，有分步乘法计数原理得有
【考点】步乘法计数原理.
3.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X
表示取出球的最大号码. 则X所有可能取值的个数是（）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解析】随机变量的可能取值为取值个数为4.
【考点】离散型随机变量的取值.
4.（本题满分10分）
从5名男医生、4名女医生中选出3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则
不同的组队方案共有多少种？
【答案】70
【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，
那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的
组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，
有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排
列（将选出的这些元素按要求进行排序）
试题解析：第一类，男医生1人，女医生2人，有种，第二类，男医生2人，女医生1人，有
种，因此共有30+40=70.
【考点】排列组合的综合应用.
5.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，
相应的图案中总的点数记为a
n ，按上述规律，则a
6
=_________，a
n
=
_________．
【答案】,.
【解析】由于，因此构成的是公差为3的等差数列，因此.
.
【考点】等差数列的概念和通项公式.
6.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有
【答案】28
【解析】0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，分3种情况讨论：
①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，
与2、4全排列，有A
33=6种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；
②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A
3
3=6种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；
故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；
③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，
则这样的五位数共有12+8+8=28种；
故答案为28．
【考点】简单排列组合应用问题，计数原理。
点评：中档题，简单排列、组合的应用问题，注意应用分类计数问题。
解本题的关键，是要注意数字0不能放在首位，其次列举时要按照顺序进行，做到不重不漏。
7.登上一个四级的台阶，可以选择的方式共有 ( )种．
A．3B．4
C．5D．8
【答案】D
【解析】考查分类讨论思想的应用，注意做到不重复不遗漏；一步登一个台阶有1种，即1111；2步登一个台阶，1步登两个台阶有3种112,121,211；1步登三个台阶，1步登一个台阶有2种13,31；1步登2个台阶有1种22；一步登4个台阶有1种，共有1+3+2+1+1=8种，所以选D 8.中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽取十名幸运小观众，现采用系统抽样的方法抽取，其组容量为（）
A．10B．100C．1000D．10000
【答案】C
【解析】略
9.某旅馆有1个三人间，2个两人间可用，有三个成年人带两个小孩来投宿，小孩不宜单独住一间（必须有成人陪同），且不要求房间里都住有人，则不同的安排住宿的方法有（）种
A．60B．62C．64D．66
【答案】A
【解析】略
10.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（l）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲不站左端，乙不站右端．
【答案】（l）480（2）240（3）480（4）144（5）504
【解析】本题考察的是排列组问题，求解时一般遵循特殊元素特殊位置优先考虑，相邻的捆绑，
不相邻的插空的求解原则，有时用到去杂法试题解析：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【考点】排列问题。