机械优化大作业-MATLAB复合型法

机床主轴机构优化设计

机床主轴是机床中重要的零件之一，一般多为支撑空心阶梯轴。为了便于使用材料力学进行结构分析，常常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。

如图0.1所示是一个已经简化处理的专用机床双主轴的力学模型。从机床

主轴制造成本较低和加工精度较高的要求出发，需要考虑主轴的自重和外身段挠度这样两个重要因素。对于专用机床来说，并不追求过高的加工精度。因此选取零件自身重量轻为设计目标，将主轴的刚度作为约束条件。

一、 设计变量和目标函数

当主轴的材料选定之后，与主轴重量设计方案有关设计变量主轴的外径D 、孔径d 、两支承跨度l 、和外伸段长度a ，如图0.1所示。由于机床主轴的孔径主要取决于待加工棒料的直径，不能作为设计变量处理。因此，设计变量为

[][]T

T

321a D l x x x X ==

机床主轴重量最轻优化设计目标函数为

））（（）（2

2231d x x x

4

1X f -+=πρ

二、 约束条件

1. 刚度性条件

机床的加工质量在很大程度上取决于主轴的刚度，主轴刚度是一个很重要的性能指标。因此，要求主轴悬臂端挠度不超过给定的变形量y 0 。

根据材料力学可知，主轴悬臂端挠度为

）（）（）（442

31232

d x E 3x x Fx 64EJ 3a l Fa y -+=+=π

式中，）（4

4d -D 64

J π

=是空心主轴的惯性矩；E=2.1x105MPa 是主轴的弹性模

量；F 是作用主轴外伸端的力。 整理得到主轴刚度的约束条件为

0d x E 3x x Fx 64X g 442312

301≥-+-=）

（）（）（πy

2.设计边界条件

三个设计变量的边界约束条件为

max min l l l ≤≤

max min D D D ≤≤

max

min a a a ≤≤

3.具体算例

已知某机床主轴悬臂端受到的切削力F=15000N ，主轴内径d=30mm ，悬臂端许用挠度y 0=0.05mm 。要求主轴两支承跨度mm l

mm 650300≤≤，外径

mm D mm 14060≤≤，悬臂长度mm a mm 15090≤≤。

建立优化的数学模型

)30)((7854.0)(2

22

31++=x x x X f

T

T a D l x x x X ]

,,[],,[321==

0)

30()

(7009.91)(..4

42

31231≥-+?

-=x x x x X g t s

01300/)(12≥-=x X g

0650/1)(13≥-=x X g

0160/)(24≥-=x X g

0140/1)(25≥-=x X g

0190/)(36≥-=x X g

0150/1)(37≥-=x X g

4.基于matlab 程序的复合形法实现优化

（1）算法原理

复合形法来源于无约束优化问题的单纯形法，通过构造复合形来求得最优解，新的复合形通过替换旧的复合形中的坏点（目标函数最大或次大的点）得到，替换方式仍是单纯性法中的反应、压缩、扩展这几个基本方法。

（2）算法步骤

其程序框图如下：

（3）算法的MATLAB 实现

在MATLAB 中利用编程语句编写实现复合形法的函数，命名：jiangfun.m 功能：用复合形法求解约束多为函数的极值

调用格式：[x,minf]= jiangfun(f,g,X,alpha,sita,gama,beta,var,eps) 其中符号表示如下：

由目标函数级约束条件，取初始复合形

)100,90,325(0=x )95,120,380(1=x

)120,100,500(2=x )130,135,600(3=x

取α（反射系数）=1.2，β（收缩系数）=0.3，θ（紧缩系数）=0.5，γ（扩展系数）=2。

在MATLAB 中输入下列命令 >>syms s t r

>>f=0.7854*(s+r)*(t^2-900);

>>g=[1-9.7009*r^2*(s+r)/(t^4-30^4);s/300-1;1-s/650;t/60-1;1-t/140;r/

90-1;1-r/150];

>>X=[325 380 500 600;90 120 100 135;100 95 120 130]; >>[x,minf]=jiangfun(f,g,X,1.2,0.5,8,0.3,[s t r])

所得结果为：

x =300.0357

75.2442

90.0013

Minf = 1458663.2594

可以得出结论当l=300.0357mm，D=75.2442mm，a=90.0013mm时可以在满足刚度性能的条件下，得到最小的结构体积Minf=1458663.2594mm3 再乘以所选材料的密度，即可得出最小质量。

5、总结

复合形法作为求解最优化问题的一种算法，较为适合解决有约束优化问题。使用该法仅需比较目标函数值即可决定搜索方向，算法较简单，对目标函数的要求不苛刻。同时利用ＭＡＴＬＡＢ实现该方法的程序设计，较之Ｃ语言互换性以及通用性强，使用方便。

引用：《优化设计应用》——电子工业出版社

附录Ｉ：ＭＡＴＬＡＢ实现复合形算法源程序

附录Ｉ：ＭＡＴＬＡＢ实现复合形算法源程序

function [x,minf]= jiangfun(f,g,X,alpha,sita,gama,beta,var,eps)

%目标函数：f

%约束函数：g

%初始复合形：X

%反射系数：alpha

%紧缩系数：sita

%扩展系数：gama

%收缩系数：beta

%自变量向量：var

%自变量精度：eps

%目标函数最小值时的自变量值：x

%目标函数的最小值：minf

if nargin == 8

eps = 1.0e-6;

end

N = size(X);

n = N(2);

FX = zeros(1,n);

while 1

for i=1:n

FX(i) = subs(f,var,X(:,i));

end %将复合形法的顶点排序

[XS,IX] = sort(FX);

Xsorted = X(:,IX);

px = sum(Xsorted(:,1:(n-1)),2)/(n-1); %复合形前n个点的中心 Fpx= subs(f,var,px);

SumF = 0;

for i=1:n

SumF = SumF + (FX(IX(i))-Fpx)^2;

end

SumF = sqrt(SumF/n);

if SumF <= eps

x = Xsorted(:,1); %精度判断

break;

else

bcon_1 = 1;

cof_alpha = alpha;

while bcon_1

x2 = px + cof_alpha*(px - Xsorted(:,n));%反射条件

gx2 = subs(g,var,x2);

if min(gx2)>=0

bcon_1 = 0;

else

cof_alpha = sqrt(cof_alpha); %以开方的方式减小反射系数 end

end

fx2 = subs(f,var,x2);

if fx2 < XS(1)

cof_gama = gama;

bcon_2 = 1;

while bcon_2

x3 = px + cof_gama*(x2 - px); %扩展操作

gx3 = subs(g,var,x3);

if min(gx3)>=0

bcon_2 = 0;

else

cof_gama = sqrt(cof_gama); %采用开方的方式减小扩展系数 end

end

fx3 = subs(f,var,x3);

if fx3 < XS(1)

Xsorted(:,n) = x3;

X = Xsorted;

continue;

else

Xsorted(:,n) = x2;

X = Xsorted;

continue;

end

else

if fx2 < XS(n-1)

Xsorted(:,n) = x2;

X = Xsorted;

continue;

else

if fx2 < XS(n)

Xsorted(:,n) = x2;

end

cof_beta = beta;

bcon_3 = 1;

while bcon_3

x4 = px + cof_beta*(Xsorted(:,n) - px);%收缩操作 gx4 = subs(g,var,x4);

if min(gx4)>=0

bcon_3 = 0;

else

cof_beta = cof_beta/2; %减小收缩系数

end

end

fx4 = subs(f,var,x4);

FNnew = subs(f,var,Xsorted(:,n));

if fx4 < FNnew

Xsorted(:,n) = x4;

X = Xsorted;

continue;

else

x0 = Xsorted(:,1);

for i=1:n

Xsorted(:,j) = x0 + sita*(Xsorted(:,j) - x0); %对复合形进行收缩

end

end

end

end

end

X = Xsorted;

end

minf = subs(f,var,x)