《同角三角函数的基本关系》教学设计
同角三角函数的基本关系教学设计
同角三角函数的基本关系教学设计一、引言同角三角函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学和大学数学的基础。
本文将介绍同角三角函数的基本关系教学设计。
二、教学目标1. 理解同角三角函数的定义及其意义；2. 掌握正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系；3. 能够运用同角三角函数解决实际问题。
三、教学过程1. 同角三角函数的定义及其意义1.1 定义：对于任意一个锐角∠A，其正弦值sinA等于∠A所在直角三角形中对边与斜边之比，余弦值cosA等于邻边与斜边之比，正切值tanA等于对边与邻边之比，余切值cotA等于邻边与对边之比。
1.2 意义：同一锐角所对应的四个函数值互相依赖，其中一个确定时其他三个也随之确定。
因此，在求解某些几何问题时可以通过已知一个函数值来求出其他函数值。
2. 正弦、余弦、正切、余切四种同角三角函数的基本关系2.1 正弦和余弦：sin²A + cos²A = 1证明：根据勾股定理可得sin²A + cos²A = 1 - sin²A，即sin²A + sin²A = 1，故sin²A + cos²A = 1。
2.2 正切和余切：tan A × cot A = 1证明：tan A × cot A = (sin A / cos A) × (cos A / sin A) = 1。
2.3 正弦和余切：sin A × cot A = cos A证明：sin A × cot A = sin A × (cos A / sin A) = cos A。
2.4 余弦和正切：cos A × tan A = sin A证明：cos A × tan A = cos A × (sin A / cos A) = sin A。
3. 运用同角三角函数解决实际问题3.1 求解直角三角形的边长对于一个已知锐角∠A及其对边a或邻边b，可以通过正弦、余弦、正切、余切四种函数求出其他两个未知量。
《同角三角函数的基本关系式》 说课稿
《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节，同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容，它是三角函数恒等变形的基础，也是解决三角函数问题的重要工具。
通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的定义，掌握三角函数之间的内在联系，为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，具备了一定的函数知识和代数运算能力。
但对于三角函数之间的关系，学生还缺乏系统的认识和理解。
此外，由于三角函数的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生逐步掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系式：平方关系和商数关系。
（2）能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对关系式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
（2）通过例题和练习，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。
2、教学难点（1）关系式的推导和证明。
（2）灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程，使学生掌握基本概念和方法。
（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。
（3）练习法：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
同角三角函数基本关系式教案
第一章 三角函数任意角的三角函数同角三角函数的基本关系教学目标1.掌握三种基本关系式之间的联系;2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法;3.牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力;4.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. 教学重难点 重点：同角三角函数基本关系式：22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==的运用； 难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式运用. 教学设计一、自主学习问题1:任意角的三角函数是怎样定义的?问题2:sinα,cosα,tanα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?问题3:设P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,x 和y 之间有什么关系?sinα和cosα之间有什么关系?这个关系对于任意角都成立吗?二、自主探究同角三角函数的基本关系式:1.平方关系:2.商的关系:同角三角函数的基本关系式的变形:三、合作探究、典例精析【例1】已知sinα=13,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.【例2】已知sinα=-35,求cosα,tanα的值【例3】已知cosα=-817,求sinα,tanα的值.【例4】已知tanα=2,求下列各式的值:(1)sinα+cosαsinα-cosα;(2)sinαcosαsin 2α-cos 2α;(3)sinαcosα.【例5】求证:cosx 1-sinx =1+sinx cosx. 四、课堂练习、巩固基础1.(1)已知sinα=1213,并且α是第二象限角,求cosα,tanα.(2)已知cosα=-45,求sinα,tanα.2.已知tanα=5,求下列各式的值.(1)5sinα-3cosα7sinα+9cosα;(2)cos 2α4sin 2α+2sinαcosα-3; (3)2sin 2α-3cosαsinα+5cos 2α.五、课堂小结1.通过观察、归纳,发现同角三角函数的基本关系.2.同角三角函数关系的基本关系的应用.3.应用同角三角函数的基本关系式的基本关系的变形解决计算和证明问题.六、达标检测+cos 22022等于( )D.不能确定 2.已知sinα=-34,α是第四象限角,则tanα的值为( )A.3√77B.√74 3√77 √743.已知tanα=4,求(1)sinα-2cosα2sinα+5cosα;(2)1sin 2α+2sinαcosα.4.已知tanα=√3,π<α<3π2,求cosα-sinα的值.5.已知tanα=-34,求sinα,cosα的值.。
教学设计1：同角三角函数关系(省一等奖)
同角三角函数关系
教学目标：掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及运用
教学难点：同角三角函数的基本关系式的灵活运用
教学过程：
一、问题情境：
sin230°+cos230°=____, sin245°+cos245°=______,
sin260°+cos260°=____, sin2135°+cos2135°=____,
猜想：sin2+cos2=________, 你能证明吗？
二、学生活动：
探究：设角的终边与单位圆交于点P(x,y),则cos=___,sin==__所以，点P的坐标还可表示为________.
又因为PO的长为1，所以，sin2+cos2=_____,还可得到tan=____
思考：你还有其它证明方法吗？
三、知识建构：
同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）商数关系：
拓展：倒数关系：
注意：
四、知识运用：
例1、已知sin=4
5
，且是第二象限角，求cos, tan的值.
小结：
例2、已知tan=12
5
，求sin,cos的值.
小结：
例3、化简，其中是第二象限角. 小结：
例4、求证：
sin
1cos
α
α
+
=
1-cos
sin
α
α
小结：
练习：书P17 1-6 ; P23 9
五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：
书P23 7、8、10、12（2）。
中职数学基础模块5.2.2同角三角函数的基本关系式教学设计教案人教版
＝sin2－cos2 ＝sin2－(1－sin2) ＝2 sin2－1
＝右边．
因此 sin4 －cos4 ＝2 sin2 －1．
（2）原式右边＝tan2 (1－cos2 )
＝tan2 －tan2 α cos2
＝tan2
－csoins22
cos2
＝tan2 －sin2
＝左边．
教师提示：证明恒等式一般 从繁到简，从高次到低次．从左 向右，或从右向左，或从两头向 中间来证明．
例 3 化简：sintaθn－θ－co1s θ ．
解
原式＝sicsnoiθns－θθc－os1θ
＝
sinθ－cos sin θ－cos
θ θ
cos θ
＝cosθ．
教师小结化简方法： 把切函数化为弦函数． 练习：教材 P142，练习 A 组第 2 题，练习 B 组第 1 题．
通过讨论探 究，使学生进一 步熟练公式的各 种变形.培养学 生的发散思维， 提高综合运用知 识分析问题、解 决问题的能力．
的 解决问题的方法．
构
想
中职中专数学教学设计教案
教师行为
复习三角函数定义、单位圆和三角函数
线、勾股定理．
y P(cos ，sin )
1
sin
O cos x
学生行为 教师提出问题，学生回答．
设计意图
推出
sin2＋cos2＝1
sin cos
＝tan
这两个基本关系
式．
☆补充设计☆
在单位圆中，由三角函数的定义和勾股
度．为下面运用 公式化简和证明
因为 是第二象限角，
所以
cos ＝－
6 6
，代入③式得
sin α＝－ 5 cos α
同角三角函数的基本关系教案
同角三角函数的基本关系教案教案：同角三角函数的基本关系教学目标：1.理解同角三角函数的概念和性质。
2.掌握同角三角函数之间的基本关系式。
3.能够灵活运用同角三角函数的基本关系进行计算和证明。
教学重点：教学难点：教学准备：教材、白板、彩色笔。
教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）1.引导学生回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
2.提问：是否存在一个三角函数，它的值恰好是一个角的正弦值的倒数？反余弦的倒数？正切的相反数？引出同角三角函数的概念。
Step 2：同角三角函数的定义和性质（20分钟）1.讲解同角三角函数的定义：正割函数、余割函数、余切函数。
2.指导学生进行练习，求特定角的正割值、余割值和余切值。
3.总结同角三角函数的定义和性质，并进行板书记录。
Step 3：同角三角函数的基本关系（30分钟）1.引导学生根据同角三角函数的定义，设获得正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数的关系式，并进行推导。
2.引导学生利用同角三角函数的定义，进一步推导同角三角函数之间的基本关系式，并进行证明。
3.提醒学生注意数学符号的运用，确保表述的准确性。
4.分步解释和板书同角三角函数的基本关系。
Step 4：经典例题演练（30分钟）1.带领学生进行同角三角函数的基本关系的例题演练，注重每一步计算过程的意义和结果的解释。
2.引导学生归纳总结同角三角函数的基本关系式，并进行笔记整理。
Step 5：综合案例分析（20分钟）1.给出一个综合案例，要求学生结合所学的同角三角函数的基本关系进行证明和计算。
2.引导学生合理安排解题思路，按照步骤进行推导和计算。
3.引导学生进行思考和讨论，根据解题过程中出现的问题和困难进行解释和总结。
4.学生互相讨论和交流解题思路和方法。
Step 6：课堂小结（10分钟）1.整理同角三角函数的基本关系的要点。
2.概述同角三角函数的应用领域和意义。
拓展延伸：1.探究其他同角三角函数之间的关系，如正割函数和余割函数的关系等。
《同角三角函数的基本关系》 说课稿
《同角三角函数的基本关系》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《同角三角函数的基本关系》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“同角三角函数的基本关系”是三角函数中的重要内容，它是三角函数化简、求值、证明的重要工具，也是后续学习三角函数图像和性质的基础。
在教材的编排上，本节内容位于三角函数的定义之后，通过对三角函数定义的深入研究，得出同角三角函数的基本关系。
这样的安排，既符合学生的认知规律，又体现了数学知识的内在联系。
二、学情分析学生在之前已经学习了三角函数的定义，对三角函数有了一定的认识，但对于同角三角函数的基本关系还比较陌生。
在这个阶段，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和运算能力，但对于抽象的数学概念和公式的理解和应用还存在一定的困难。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系：平方关系和商数关系。
（2）能够运用同角三角函数的基本关系进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对同角三角函数基本关系的推导，培养学生的逻辑推理能力。
（2）通过运用同角三角函数的基本关系解决问题，提高学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在探索同角三角函数基本关系的过程中，感受数学的严谨性和科学性。
（2）通过解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和应用意识。
四、教学重难点1、教学重点（1）同角三角函数的基本关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
（2）运用同角三角函数的基本关系进行三角函数的化简、求值和证明。
2、教学难点（1）同角三角函数基本关系的灵活运用。
（2）对“同角”的理解。
五、教法与学法1、教法（1）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
同角三角函数的基本关系（教案）
1.2.2 同角三角函数的基本关系（教案）吴川一中 陈亮 任教班级：高一47、48班一、教学目标：1. 知识与能力理解同角三角函数的基本关系式，会用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明.2. 过程与方法通过在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形得出三角函数基本关系式. 3. 情感、态度与价值观培养学生用数形结合思想方法解决问题的能力.二、教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用(求值、化简、恒等式证明).三、教学难点：关系式在解题中的灵活运用和对学生思维灵活性的培养.四、教学方法与手段：本节主要涉及到两个公式，均由三角函数定义和勾股定理推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并灵活运用.要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．五、教学过程： 【探究引入】 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此你能得到什么结论？分析：221MP OM +=22sin cos 1αα+=.思考2：上述关系反映了角α方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ 分析：当角α的终边在坐标轴上时，上述关系也成立.思考3：设角α的终边与单位圆交于点 P （x ，y ），根据三角函数定义，有tan (0)yx xα=≠，由此可得sin α、cos α、tan α之间满足什么关系？分析：sin tan cos ααα=. 思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？分析：()2a k k Z ππ≠+∈.【讲授新课】 1.同角三角函数基本关系： （1）平方关系：22sin cos 1αα+=；（2）商数关系：sin tan cos ααα=，()2a k k Z ππ≠+∈. Ⅰ、【新知理解训练】判断以下等式是否恒成立：①()22sin cos 1;αβαβ+=≠ ②22sin cos 122αα+=； ③sin 2tan 2.cos 2ααα=Ⅱ、说明：① 注意这里“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都成立.② 2sin α是()2sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能写成“2sin α或sin 2α”.③ 对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、逆用、变形用），如：22sin 1cos αα=-， cos α= ()212sin cos sin cos αααα±⋅=± sin cos tan ααα=， s i n c o s t a n ααα=⋅. 2、典型例题 题型一、化简 例1. 化简下列各式:(1) 2422sin cos sin cos ββββ++; (2 ) 222cos 112sin αα--.分析：（1）一提取公因式2cos β，便“柳暗花明”； （2）逆用平方关系：式子中的“1”用22"sin cos "αα+一代，结果不打自招.解：（1）原式=()222222sin cos cos sin sin cos 1.ββββββ++=+=（2）原式=()22222222222cos sin cos cos sin 1.sin cos 2sin cos sin αααααααααα-+-==+-- 【点评】灵活运用平方关系、商数关系及其变式是解决化简问题的灵丹妙药.变式训练：化简下列各式: (1) ()221tan cos αα+⋅ (2) 1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+--⋅+-.答案：（1）1； （2）sin cos αα-. 题型二、已知一个三角函数值，求另外两个三角函数值（简称“知一求二”）例2．（1）已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan αα．（2）已知4cos 5α=-，求sin ,tan αα．分析：由已知条件和sin α的值可依平方关系求得cos α的值，再由商数关系可求得tan α的值，但不知α所在象限时要对α所在象限进行分类讨论.解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴2222125cos 1sin 1()()1313αα=-=-=，又∵α是第二象限角，∴cos 0α<，即有5cos 13α=-，从而 sin 12tan cos 5ααα==-．（2）∵22sin cos 1αα+=， ∴222243sin 1cos 1()()55αα=-=--=，又∵4cos 05α=-<， ∴α在第二或三象限.① 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3tan cos 4ααα==-；② 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3tan cos 4ααα==．【点评】三角函数的结果都要用分情况叙述的形式表达出来，而不用cos a α=±或sin b α=±或tan c α=±的书写形式，因为三角函数值的符号受限制，不是无条件的，这不同于“由21x =可以推出1x =±”的情形.变式训练：《中》191P-变.（07全国Ⅰ）已知α是第四象限角，5tan12α=-，则s i nα等于( D )A.15B.15- C.513D.513-六、板书设计1.同角三角函数基本关系：（1）平方关系.（2）商数关系.2、题型一、化简例1.变式训练：3、题型二、知一求二例2．变式训练：七、小结1. 同角三角函数基本关系及其变式.2. 化简.3. 求值：①知一求二；②弦化切.八、作业课本第20页练习题第2题，22页B组第2、3题.九、教学后记本节真正体现“高、大、优”的课堂教学特色，但内容多、时间紧，要合理安排、讲练结合.。
同角三角函数的基本关系教学设计
同角三角函数的基本关系教学设计同角三角函数的基本关系教学设计引言在数学中，三角函数是非常重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程以及计算机图形学等。
同角三角函数是三角函数中的一类特殊函数，它们具有一些基本关系，如正切函数与余切函数、正弦函数与余弦函数等。
掌握同角三角函数的基本关系对于学生理解三角函数的性质以及解决实际问题具有重要意义。
本文将针对同角三角函数的基本关系进行教学设计，以帮助学生更好地掌握这一概念。
1. 教学目标同角三角函数的基本关系教学旨在帮助学生达到以下目标：1) 理解同角三角函数的定义及其关系；2) 掌握同角三角函数的性质和特点；3) 能够应用同角三角函数的基本关系解决实际问题；4) 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
2. 教学内容同角三角函数的基本关系教学内容包括以下几个方面：1) 同角三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等；2) 同角三角函数的关系：正弦函数与余弦函数、正切函数与余切函数的关系；3) 同角三角函数的性质：周期性、对称性、奇偶性等；4) 同角三角函数的图像及其特点。
3. 教学方法为了帮助学生更好地理解和掌握同角三角函数的基本关系，我们将采用以下教学方法：1) 概念讲解与示例分析：通过讲解同角三角函数的定义及其关系，并结合具体的示例，帮助学生建立起对同角三角函数的基本认识；2) 图像展示与观察：展示同角三角函数的图像，帮助学生观察图像的特点，并与函数的性质进行联系；3) 练习与应用：提供大量的练习题和实际问题，让学生应用所学的同角三角函数的基本关系解决问题，培养学生的数学思维和解决问题的能力；4) 总结与回顾：总结同角三角函数的基本关系，并回顾相关的重要概念和性质，帮助学生对所学知识进行深度理解和灵活运用。
4. 教学步骤基于以上教学方法和内容，我们可以设计以下教学步骤来进行同角三角函数的基本关系教学：步骤1：介绍同角三角函数的定义及其关系。
苏教版数学高一《同角三角函数关系》(第一课时)教案
课 题：1.2.2 同角三角函数关系(一)教学目的：1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式2．正确运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值运算3．通过利用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式，培养学生融会贯通 前后数学知识的能力，进一步感受数学的整体性、连贯性。
教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及其应用教学难点：已知一个三角函数值（但不知角的范围）求出其他三角函数值结果不惟一时的分类讨论授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：通过对三角函数的定义的进一步研究，得到同角三角函数的三个基本关系式： （1）平方关系：1cos sin 22=+αα； （2）比值关系：αααcos sin tan =； 使学生进一步了解三个三角函数之间的关系，从而达到可以熟练运用公式进行求值、化简求值运算以及恒等式证明。
在化简求值中注意（1）ααcos sin ±与ααcos sin •之间的相互转变；（2）切式和弦式的互换等。
教学过程：一、问题情境：1． 复习：（1）任意角的三角函数的定义：比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan（2）三角函数的定义与点P 在α终边上的位置无关。
2．情境：计算下列各式的值：90cos 90sin .122+30cos 30sin .222+3cos 3sin.3ππ 43cos43sin.4ππ3．问题：通过上述几个问题的计算，你能归纳出αsin 与αcos ，ααcos ,sin 与αtan ，之间有什么关系吗？ 二、意义建构1．猜想： 1cos sin 22=+ααα=ααtan cos sin 2．理论证明：（采用定义）αααππαααααtan cos sin )(221cos sin cos ,sin 122222==⨯=÷=∈+≠=+∴===+xyx r r y r x r y Z k k rx r y r y x 时，当且3．点题：这两种关系，称为同角三角函数的基本关系。
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. . 1.2.2 同角三角函数的基本关系 (名师：卓忠越) 一、教学目标 （一）核心素养 通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力. （二）学习目标 1．牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力； 2．探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上； 3．牢固掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力； 4．灵活运用同角三角函数关系式的不同变形,提高三角恒等变形的能力. （三）学习重点 1．理解并掌握同角三角函数关系式； 2．熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法. （四）学习难点 1．已知某角的一个三角函数值，求其余的各三角函数值时符号的确定； 2．掌握同角三角函数的关系式,并能灵活运用于解题,提高分析、解决三角函数的思维能力. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 . . （1）熟记0，30，45，60，90五个特殊角的三角函数值 （2）阅读教材P18—P20 2．预习自测 （1）已知4cos5，且为第三象限角，求sin、tan的值
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定 【解题过程】∵在第三象限 ∴sin0,tan0
∴由22sincos1得：2243sin1cos1()55
由sintancos得：3tan4
【思路点拨】利用两组三角函数公式和三角函数符号判定，代入解方程求解. 【答案】3sin5，3tan4
（2）化简：（1）costan； （2）222cos112sin 【知识点】两组关系式的基本应用 【解题过程】（1）sincostancos.sincos
（2）2222222222222cos12cossincoscossin112sinsincos2sincossin 【思路点拨】（1）“切化弦”，统一函数名称从而实现化简的目的； （2）利用221sincos进行“1”的代换，统一分子分母为齐次式. 【答案】（1）sin；（2）1 （3）求证：（1）4422sincossincos
（2）4222sinsincoscos1
【知识点】两组关系式的基本应用 【解题过程】（1）法一：左边=442222sincos(sincos)(sincos) . . 22sincos=右边
法二：右边22sincos
2222(sincos)(sincos)
44sincos=左边
（2）左边=222222sin(sincos)cossincos1=右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”的基本准则，即可从左化到右，也可从右化到左，或左右都往中间化得到相同的结果. 【答案】见解题过程 (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）任意角的三角函数的定义 （2）任意角的三角函数值的符号法则 （3）初中所学的同角锐角三角函数的基本关系 2．问题探究 探究一 结合任意角的三角函数的定义，探究同角三角函数的基本关系★ ●活动① 类比初中所学知识，猜想同角三角函数的基本关系 回顾初中学习锐角三角函数的相关知识，在Rt△ACB中，∠C=90，三边长分别为,,acb，锐角A的三角函数的定义是什么？ sin,cos,tanabaAAAccb 锐角A的这三个三角函数之间有什么关系呢？ 22sincos1AA；sintancosAAA
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗？ 【设计意图】从已有的知识出发，类比探究知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基 . . 础，体会由特殊到一般的数学思想. ●活动② 回归定义，证明猜想，得到结论 你能根据任意角的三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗？ 2222222
22sincos()()1yxyxrrrrr
sintancosyyr
xx
r
也就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切. 【设计意图】运用定义给予严格证明，肯定猜想的正确性，是解决数学问题的常用方法. ●活动③ 架构迁移，熟悉公式结构和使用条件 为了让学生及时熟悉公式，要求学生完成以下的课堂练习：
（1）22sin30cos30_________；（2）
22sin()cos()44xx
___________；
（3）22sin2cos2xx___________；（4）22sin30cos45________________．
学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题： ①注意“同角”指相同的角，例如：145cos30sin22、12cos2sin22
、
22sin()cos()1++；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancossin中0cos，且tan需有意义等. 【设计意图】通过练习，感知并理解同角的意义和公式的使用条件，培养严谨的数学思维习惯. 探究二 同角三角公式的灵活运用 ●活动① 探究两个公式的等价变形式及应用 由等价变形式22cos1sin，已知余弦值可以求正弦值；
由等价变形式22sin1cos，已知正弦值可以求余弦值. . . 但比如: 2cos1sin，此时，cos、sin的符号受所在象限的限制，不是无条件的.
例1.已知5sin13，其中在第四象限，求cos,tan的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定 【数学思想】方程的思想 【解题过程】 第一步：定号 ∵在第四象限 ∴cos0,tan0 第二步：定值
∴由22sincos1得：22512cos1sin1()1313
由sintancos得：5tan12
【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解. 【答案】125cos,tan1312
同类训练1：已知3sin5，求cos,tan的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定 【数学思想】方程的思想和分类讨论思想 【解题过程】 第一步：定象限 ∵3sin05 ∴在第一或第二象限
第二步：定号、定值 （1）当在第一象限时，cos0,tan0
∴由22sincos1得：2234cos1sin1()55 . . 由sintancos得：3tan4
（2）当在第二象限时，cos0,tan0
∴2234cos1sin1()55，3tan4
【思路点拨】涉及开方运算，符号判断取决于角所在象限.当角所在象限不确定时，需逐一分情况讨论.
【答案】4cos53tan4或4cos53tan4
同类训练2：已知1tan2，其中在第三象限，求sin,cos的值.
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定 【数学思想】方程的思想 【解题过程】 第一步：定号 ∵在第三象限 ∴sin0,cos0 第二步：定值
由22sincos1sin1cos2解方程得：525sin,cos55
【思路点拨】sin,cos,tan共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个. 【答案】525sin,cos55
【设计意图】通过计算熟练掌握公式，并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中的应用 ●活动② 强化提升、灵活应用