静力学第四章(4-8节)

8
δr 1
B
FB N F SB
δr 2
A
F SA
FA N
地面光滑
F1 N
例题：若斜块A和滑块B 例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； ）：有摩擦； 有摩擦 ）：无摩擦 无摩擦。 （2）：无摩擦。 该系统是否是理想约束? 该系统是否是理想约束?
i =1
）：有摩擦 （1）：有摩擦 是非理想约束 ）：
F
1
θ
F2 y = −2W F3 y = −2W F4 y = −2W F5 x = − F
将 x,δy用 表 δ δθ 示
δyi = − L sin θ δθ / 2
(i = 1,2,3,4) δx5 = 4 L cosθ δθ
2
3
4
2W
2W
2W
2W
不 计 摩 擦
x
(4WL sinθ − 4FL cosθ )δθ = 0
7
n
讨论： 讨论： 哪些约束 是理想约束? 是理想约束
F' A
F oy
O m1g
A
θ
δrA ϕ
F N
F A
i =1
∑ F N i • δ ri = 0
B
n
δ rB ?
F ox
1、光滑固定面和可动铰链支座2222222222222222222222222222 、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 、 3、连接物体的光滑铰链 、 4、二力杆和不可伸长的柔索 、 5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶 、刚体在固定面上纯滚动 不计滚阻力偶 不计滚阻力偶)
• 什么是虚功？ 什么是虚功？ • 什么是虚位移原理的适用条件？ 什么是虚位移原理的适用条件？
4
§4-4、虚位移 与虚功 一、虚位移
δr A
O
A
•虚位移（virtual displacement)： δ r 虚位移 ： 在给定瞬时，质点或质点系为 给定瞬时， 微小位移 位移。 约束容许 的 任何 微小位移。
∑F •δr =0
i i
2
问题:已知各长为 ，重为W 问题:已知各长为L，重为 ，求系统在图示位 置平衡时，所需水平力F 的大小? 置平衡时，所需水平力 的大小?
∑F •δr =0
i i
F
θ θ
x F = 4L sin θ
δx F = 4L cosθ ⋅ δθ L δyW L − sin θ ⋅ δθ = 2 yW = cosθ
= ( F NB + F SB ) • δ r1 = FSB • δr1 < 0
）：无摩擦 （2）：无摩擦 是理想约束 ）：
i =1
∑ F N i • δ ri = 0
9
n
§4-6、虚位移原理 一、虚位移原理
(virtual work principle)
∑F
i =1
n
i
• δ ri = 0
具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质 虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质 平衡的充要条件是 点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是： 点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有
A
δ r2 = 2 a δθ
δ rC = δ r2
n
δθ
δr2
F2
δ r1 = δ rC
1 3
(5)
i =1
∑ F i • δ ri = 0
Q ≠0 δθ
1 MA = 2a( F + F ) 1 2 3
F1δ r1 + F2δ r2 − M Aδθ = 0
( F1 2a + 2 aF2 − M A )δθ = 0 3 15
∑F
i =1
n
i
• δ ri = 0
11
δrA
δrC1
A
δθ
[δ r A ] AB = [δ r B ] AB
mg 1
O
δrC2 M mg 2
ϕ δrB
B
F
Q δ r A = δ rB
∑ δW = 0
，
δrA = Lδθ
FδrB − Mδθ = 0
mg 3
Q ≠0 δθ
12
FLδθ − Mδθ = ( FL − M ) δθ = 0
18
解：系统的自由度 k = 2 确定广义坐标为 θ ,ϕ 根据虚位移原理
i =1 2
∑ {Fix δ x i + Fiy δ y i } = 0
(−2mgl sin θ − mgl cos θ )δθ + ( − mgl sin ϕ + mgl cos ϕ )δϕ = 0
O
θ
x
l1
m1
ϕ
独立的 而且是任意的 任意 因为： 因为：δθ , δϕ 是独立的,而且是任意的. 有: − 2 mgl sin θ + mgl cos θ = 0
l2
F y = m2 g 2
m2
m1 g
y
F
m2 g
将 x,δ 用 ,δϕ表 . δ y δθ 示
δx1 = l1 cosθδθ δy1 = −l1 sin θδθ δx2 = l1 cosθδθ + l2 cos ϕδϕ δy2 = −l1 sin θδθ − l2 sin ϕδϕ
代入虚位移原理得： 代入虚位移原理得： 虚位移原理得
2
2W
O
2W
2W
2W
Q δθ ≠ 0
代入公式得: 代入公式得
不计摩擦
∑F •δri = FδxF + 4(2wδyW ) = 0 i F = W tanθ 3
虚位移原理
∑F •δr =0
i i
提出的, 由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 ， 提出的 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 完善的. 由 拉格朗日 完善的 虚位移原理是静力学的普遍原理， 虚位移原理是静力学的普遍原理，它给 出了质点系平衡的充分和必要条件。 出了质点系平衡的充分和必要条件。 • 什么是虚位移？ 什么是虚位移？
θ θ
非定常约束
o o
x x
dr δr d δrr
δ
A rA
6
y y
二、虚功
δW = F • δr
• 虚功（virtual work)： ：
作用于质点或质点系上的力 虚位移上所作的功. 作用于质点或质点系上的力在虚位移上所作的功. 上所作的功
F = Fx i + F y j + Fz k
δ r = δ xi + δ yj + δ zk
5
虚位移 δ r ，无限小实位移 问题：两者的区别与联系？ 问题：两者的区别与联系？
dr
在何种情况下有： 在何种情况下有 d r ∈ 在定常约束下， 定常约束下 实位移是虚位移之一。 实位移是虚位移之一 之一 在非定常约束下， 定常约束下 实位移不是虚位移。 实位移不是虚位移。 不是虚位移
δr u
LF − M = 0
M=L F
用力的平衡方程的方法求解： 用力的平衡方程的方法求解： A
（1）研究OA杆 研究 杆
θ = 900
∑M
F
o
=0
mg 1
O
C1
M θ mg 2
C2
FAx L − M = 0 (1)
ϕ
mg 3
B
杆和滑块B （2）研究AB杆和滑块 研究 杆和滑块
∑F = 0
x
FAy F Ax
∑ F • δr + ∑ F
i =1 i i i =1
n
n
Ni
• δri = 0
i =1
|| 0
10
例：已知 OA=L，求 ， 系统在图示位置平衡 时，力偶矩 M 与力 F 的关系。 的关系。 解：
A
θ = 900
mg 1
O
C1
M θ mg 2
C2
ϕ
mg 3
B
F
基本步骤： 基本步骤：
1. 确定系统是否满足原理的应用条件。 确定系统是否满足原理的应用条件。 2. 分析主动力作用点的虚位移。 分析主动力作用点的虚位移。 3. 求主动力的虚功之和 。
二、虚位移原理的广义坐标形式
例题:已知各杆长为 ,重为W 求维持平衡所需力F 的大小? 例题:已知各杆长为L,重为 ，求维持平衡所需力 的大小?
解：系统的自由度 k=1 ,
5
y
θ
∑δWi = ∑F •δri = ∑F δxi + F δyi =0 i ix iy
F1 y = −2W
yi = L cosθ / 2 (i = 1,2,3,4) x5 = 4 L sin θ
− mgl sin ϕ + mgl cos ϕ = 0
l2
m1 g
y
m2
F
m2 g
1 tanθ = , tanϕ =1 2 令： Q1 = −2mgl sinθ + mgl cosθ Q2 = −mgl sin ϕ + mgl cosϕ
δ rA
θ = 90
0
δr A
ϕ
A
δrቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB B
δ rA
ϕ
δ rB
O
θ
δr B δ rB B
虚 位 移 特 点：
1、不同瞬时或位置，虚位移不同. 不同瞬时或位置，虚位移不同.
[δ rA ] AB = [δ rB ] AB 2、必须满足约束条件. 必须满足约束条件. 是无限小的，不是有限位移. 3、是无限小的，不是有限位移. 虚位移不只有一个或一组. 4、虚位移不只有一个或一组. {δ rA , δ rB } { rA,δr } δ B