[K12配套]专题15 排列组合问题-2018年高考数学母题题源系列(浙江专版)
专题10-2 排列与组合讲-2018年高考数学一轮复习讲练测
2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布第二节 排列与组合【考纲解读】【知识清单】1. 排列与组合1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用mn A 表示．(3)排列数公式：()()()121mn A n n n n m =---+ 这里,n m N ∈æ并且m n ≤(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，()()1221!nn A n n n n =--⋅⋅= (叫做n 的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为()!!m nn A n m =-，这里规定0!1=.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示．(3)组合数的计算公式：()()()()121!!!!mmn nm m n n n n m A n C A m m n m ---+===- ，由于0!1=，所以01n C =. (4)组合数的性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -+=+；③11r r n n rC nC --=.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 对点练习：【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D 【解析】【考点深度剖析】排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与概率相结合进行考查． 【重点难点突破】 考点1 排列与组合【1-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】某校的A 、B 、C 、D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A,B 不选修同一门课，则不同的选法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 30种 D. 66种【答案】C【1-2】【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【解析】由题意可得：总的选择方法为411843C C C ⨯⨯种方法，其中不满足题意的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种．【1-3】【2017届湖北襄阳五中高三上学期开学】将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ） A ．24种 B ．28种 C ．32种 D ．16种 【答案】D【解析】不同的分法可能是小说每人一本，诗集给其中1人，共有14C ＝4种分法，可能有1人分得两本小说，则有442212A A =种分法，因此共有4＋12＝16种不同的分法．故选D ．【领悟技法】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．【触类旁通】【变式一】【2017届山西省太原市第五中学高三5月模拟】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C有222312A A⨯=种安排方法，此时有221248⨯⨯=种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有224⨯=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A=种情况，此时有22624⨯⨯=种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有222A=种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有336A =种情况，此时，共有2612⨯=种不同坐法；综上所述，共有48241284++=种不同的坐法，故选C.【变式二】【2017届福建省莆田第六中学高三下二模】某学校需从3名男生和2名女生中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙地各需要选派1人，则不同的选派方法的种数是 （ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 42 【答案】D考点2 有附加条件的排列组合问题 （1） 相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【2-1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种 【答案】D【解析】把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .（2） 相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.【2-2】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 【答案】B【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52 563600A A=种，选B.（3）定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.【2-3】,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种【答案】B（4）标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.【2-4】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【答案】B【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.（5）有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.【2-5】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种【答案】C【解析】先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C=种，选C. （6）全员分配问题分组法:【2-6】4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 【答案】36【解析】把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （7） 名额分配问题隔板法:【2-7】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 【答案】84（8） 限制条件的分配问题分类法:【2-8】某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 【答案】【解析】因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.（9）多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.【2-9】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 【答案】B【解析】按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B .（10）交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂. 【2-10】从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 【答案】252（11）定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素.【2-11】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 【答案】72【解析】老师在中间三个位置上选一个有13A 种，4名同学在其余4个位置上有44A 种方法；所以共有143472A A =种.（12）多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.【2-12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A 、36种 B 、120种 C 、720种 D 、1440种 【答案】C【解析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .【2-13】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 【答案】5760【解析】看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.（13）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:【2-14】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ）A 、140种B 、80种C 、70种D 、35种 【答案】C 【解析】（14）选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 【2-15】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【答案】2344144C A =【解析】先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.【2-16】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 【答案】120【解析】先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种.（15）部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 【2-17】以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A 、70种 B 、64种 C 、58种 D 、52种 【答案】58【解析】正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C-=个.【2-18】四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种【答案】D（16）复杂排列组合问题构造模型法:【2-19】马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【答案】10【解析】把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯35C种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.（17）元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:【2-20】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？【答案】20【解析】（18）复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:【2-21】30030能被多少个不同偶数整除？【答案】32【解析】先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为01234555555532C C C C C C +++++=个.【2-22】正方体8个顶点可连成多少队异面直线？【答案】174（19）利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.【2-23】圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？【答案】410C【解析】因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有410C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有410C 个.【2-24】某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？【答案】47C【领悟技法】排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排AB列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有1343C C 种不同的分法；而平均分为两组则有224222C C A 种不同的分法． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江省台州市高三4月调研】某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节目自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种.（结果用数字表示）【答案】1296【解析】若第8节课选修课，则第一节有3种方法，第7节有4种方法，两节自修课有6种方法，其余3节课有种方法，所以共有种方法，若第8节是自修课，那排列方法在432的基础上再乘以，结果为种方法，所以共有，故填：1296. 【变式二】【2017届山东省德州市高三4月二模】现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为__________．【答案】189【易错试题常警惕】易错典例： 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？易错分析：实际问题意义不清，计算重复、遗漏致误，本题第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后顺序，从而使取法重复．按分步原理，第一步确保1个一等品，有C 116种取法；第二步从余下的19个零件中任意取2个，有C 219种不同的取法，故共有C 116C 219＝2 736种取法．正确解析：法一 将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C 116C 24＋C 216C 14＋C 316＝1 136(种)．法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 34＝1 136(种)．温馨提醒： 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题. “至少、至多型”问题不能利用分步计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解【学科素养提升之思想方法篇】排列组合中的“分组分配”问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．【典例】1.5名志愿者分到了3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( ) A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种【答案】A 【解析】依题意5个人分配到3个学校且每校至少去一个人，因此可将5人按人数分成1,2,2与1,1,3两种，当人数是1,2,2时有C 15C 24C 22A 22×A 33＝90(种)．当人数是1,1,3时，则有C 15C 14C 33A 22×A 33＝60(种)， 在此共有90＋60＝150(种)．【典例】2.将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法有________种．(用数字作答)【答案】1560温馨提醒：(1)类型一：整体均匀分组在解决整体均分型题目时，要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数)，避免重复计数．(2)类型二：部分均匀分组解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以这样的全排列数．(3)类型三：不均匀分组解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．。
2018届高考理科数学通用版三维二轮专题复习课件排列与组合、二项式定理
10b－a ab
a x＋ n 3．(2018 届高三· 西安八校联考)已知关于 x 的二项式 3 x 的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，则实数 a
a a 5 x ＋ x ＋ n 解析：依题意得 2n＝32，n＝5，二项式 ＝ 3 3 x x
位自然数中“凹数”共有 100＋36＋9＋1＝146 个． 答案：D
解析：中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导 人站前排并与中国领导人相邻，有 A2 2种站法；其他 18 国 领导人可以任意站，因此有 A18 18种站法．根据分步计数原
18 理，共有 A2 A 2 18种站法．
答案：D
4．(2017· 浙江高考)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副 队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至 少有 1 名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：法一：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，
4 故有 C4 8－C6＝55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、
副队长各 1 人，有 A2 4＝12 种不同的选法．根据分步乘法计数原 理知共有 55×12＝660 种不同的选法．
2 法二：不考虑限制条件，共有 A2 8C6种不同的选法， 2 而没有女生的选法有 A2 6C4种， 2 2 2 故至少有 1 名女生的选法有 A2 8C6－A6C4＝840－180＝660(种)．
不同的住宿安排共有 90－18＝72 种．
答案：72
[准解·快解·悟通]
快 1.看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则． 审 2.看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法． 题 3.看到“至少”“最多”的问题，想到用直接法或间接法． 1.明确排列、组合问题求解的 4 个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分 步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”， 准 哪些是“位置”； 解 (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有 题 无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互 相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都 是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
【配套K12】专题16 离散性随机变量的分布列、数学期望-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津
母题十六 离散性随机变量的分布列、数学期望【母题原题1】【2018天津，理16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． （i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【考点分析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．试题解析：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3．()()34337012C C ,3,,C k kP X k k -⋅=== 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．【名师点睛】本题主要在考查超几何分布和分层抽样．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：（1）nN=样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数；（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．【母题原题2】【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．【答案】（I）1312；（II）1148．试题解析：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．1111 (0)(1)(1)(1)2344P X==-⨯-⨯-=，11111111111 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=． ∴随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=．∴这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望．；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题．【母题原题2】【2016天津，理16】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（II ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）详见解析． 试题解析：解：()I 由已知，有()1123442101,3C C C P A C +==所以事件A 发生的概率为13．()∏随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()2223342100C C C P X C ++==415=，()111133342107115C C C C P X C +===，()11342104215C C P X C ===．所以随机变量X 分布列为随机变量X 的数学期望()0121151515E X =⨯+⨯+⨯=． 考点：概率，概率分布与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．【母题原题3】【2015天津，理16】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】(I)635； (II) 随机变量X 的分布列为()52E X =所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【命题意图】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点，主要考查学生对取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的理解，要求学生能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．【命题规律】离散型随机变量的均值与方差如单独考查一般以客观题形式出现，主要考查利用公式进行计算，难度不大，若以解答题形式出现，一般不单独考查，常见命题方式有两种：一是与概率、分布列计算结合在一起进行考查，二是与统计结合在一起进行考查，难度中等．【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：确定概率求期望 抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0．9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0．0026，故~(16,0.0026)X B ．因此(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-=．X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=；第二步：根据概率判断合理性 如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0．0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0．0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．第三步：剔除值，求估计值 由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10．02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9．22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈，因此σ0.09≈．【方法总结】1．高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知离散型随机变量符合条件，求其均值与方差； (2)已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值； (3)已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断． 2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．3．解答题中对期望与方差的考查常与分布列结合在一起进行考查，求解此类问题要先根据随机变量的定义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量的取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据均值与方差的公式计算，若随机变量服从二项分布，可直接利用公式()()(),1E X np D X np p ==-求解．4．均值与方差的实际应用对于均值与方差的实际应用，命题模式通常是已知离散型随机变量满足两种方案，试作出判断．求解这类问题要用到均值与方差．(1)D (X )表示随机变量X 对E (X )的平均偏离程度，D (X )越大表明平均偏离程度越大，说明X 的取值越分散；反之，D (X )越小，X 的取值越集中在E (X )附近，统计中常用D （X ）来描述X 的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．1．【2018天津南开中学模拟】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．【答案】（1）．（2）分布列见解析；．【解析】分析：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的槪率为，去参加乙游戏的概率为．设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，则，（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的槪率为；（2）的所有可能取值为0，2，4．由于与互斥，与互斥，所以，，，所以的分布列是所以随机变量的数学期望．【名师点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的分布列及其期望，在解题的过程中，需要认真审题，正确使用公式计算结果．2．【2018天津部分区二模】某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队．往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有．（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（2）记选出的4名大学生中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】分析：（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，选法种数是种，选出的4名大学生仅有1名女生的选法有2种选法：从智慧队中选取1女生的选法共有种，从理想队中选取1女生的选法共有种，由此能求出选出的4名大学生仅有1名女生的概率．（II）随机变量X的取值可为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和．详解：所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以随机变量的分布列为．【名师点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档．3．【2018天津河东区二模】某中超足球队的后卫线上一共有7名球员，其中3人只能打中后卫，2人只能打边后卫，2人既能打中后卫又能打边后卫，主教练决定选派4名后卫上场比赛，假设可以随机选派球员．（1）在选派的4人中至少有2人能打边后卫的概率；（2）在选派的4人中既能打中后卫又能打边后卫的人数的分布列与期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．（2）的取值为0、1、2，则分布列为：【名师点睛】（1）本题主要考查古典概型、对立事件的概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力、分析推理能力和计算能力．（2）计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式．4．【2018天津河北区二模】某地拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抛取3个问题，已知这6个问中，甲公司可正确回答其中的4道题，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，且甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．（I）求甲、乙两家公司共答对2道题的概率；（II）设X为乙公司正确回答的题数，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）见解析．，，，，∴X得分布列为：∵∴【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．5．【2018天津十二校二模】某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）见解析．件“3个人来自于三个不同专业”，，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则，，，，．【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关．6．【2018天津十二校模拟一】2018年2月25日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1、2、3分的积分奖励，高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为321432、、，且每个问题回答正确与否相互独立．（1）记A 表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求()p A 的值； （2）记X 表示高二、一班所获得的积分总数，求X 的分布列和期望． 【答案】（1）34；（2）2316．()2139416p A ==（），()2224=39p A =（）则()()()11299531161694p A p A p A A ⎛⎫=+=-+⨯= ⎪⎝⎭； 方法二、()()129431-1-1694p A p A A ==⨯=． （2）随机变量X 的取值为：0，1，3，6，则()23701416p X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()22325114316p X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232111111111343222222228p X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232111111111643222222228p X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()013616168816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 7．【2018天津部分区上学期期末考】某大学现有6名包含A 在内的男志愿者和4名包含B 在内的女志愿者，这10名志愿者要参加第十三届全运会支援服务工作，从这些人中随机抽取5人参加田赛服务工作，另外5人参加径赛服务工作．（1）求参加田赛服务工作的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；（2）设X 表示参加径赛服务工作的女志愿者人数，求随机变量X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）518；（2）()2E X =． 【解析】试题分析：（1）根据组合数公式和古典概型概率公式计算； （2）利用超几何分布的概率公式求出概率卖得出分布列，再计算数学期望．()236451053,21C C P X C === ()146451014,42C C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()()()()()()0011223344E X P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==151******** 2.4221212142⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是：“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．8．【2018天津一中月考五】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖次能获奖的概率；（2）若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】分析：（1）间接法计算中奖概率；（2）根据二项分布的概率公式计算X 的各种取值对应的概率，得出分布列即数学期望． 详解：（1）设顾客抽奖次能中奖的概率为，．故的分布列为数学期望．【名师点睛】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，对二项分布的正确判断是解该题的关键，属于中档题．9．【2018天津耀华中学月考三】某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累积答对3题或打错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入初赛，打错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为19．（1）求选手甲可进入决赛的概率．（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【答案】（1）P6481=（2）见解析【解析】试题分析：1\*?GB2=⑴设选手甲任答一题，正确的概率为p，根据甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次打错的概率为19，列出关于p的方程，得到甲答对题目的概率，选手甲能够进入决赛包括两种情况，这两种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案；2\*?GB2ξ=⑵的取值为3，4，5，对应的事件分别是前三个题全部答对，前四个题答对了三个，其中第四题一定对，前五个题答对了三个，第五个一定答对，分别求出它们的概率，列出分布列，求出期望；()5 Pξ==22222244212121333333C C⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭827=，故随机变量ξ的分布列为：13453272727Eξ=⨯+⨯+⨯=．10．【2018辽宁葫芦岛二模】海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：)，其频率分布直方图如图：定义箱产量在(单位：)的网箱为“稳产网箱”，箱产量在区间之外的网箱为“非稳产网箱”．（1）从该养殖场（该养殖场中的网箱数量是巨大的）中随机抽取3个网箱．将频率视为概率，设其中稳产网箱的个数为，求的分布列与期望；（2）从样本中随机抽取3个网箱，设其中稳产网箱的个数为，试比较的期望与的大小．【答案】（1）E(X)=（2）相等，易知则P(X=k)=C()k·()3−k=(k=0，1，2，3)，故X的分布列为X的期望E(X)=3 =．（2）稳产网箱的频数为100·=60，依题意Y～H(100，60，3)，故E(Y)===E(X)．【名师点睛】本题考查了频率分布直方图与二项分布列的应用问题，是基础题．11．【2018四川南充高中模拟】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是．（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件，则，的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独，，所以的分布如下：．【名师点睛】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力．12．【2018四川成都七中三模】中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．参考数据：，其中【答案】（1）能（2）①②见解析【解析】分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）①求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率，②根据题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量的分布列，计算数学期望值．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：因为的观测值，值为0，1，2．，，．故随机变量的分布列为：所以．【名师点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．13．【2018江苏盐城模拟】袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为．(I)求随机变量的概率分布及数学期望；(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式．【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)．【解析】分析：（1）由题意得到的所有取值，然后利用古典概型概率计算公式求出概率，则可得出答案；（2）设，，则则，，再把、……、用表示，得到，从而说明为等比数列，由等比数列的通项公式得答案．所以随机变量的概率分布如下表：(一个概率得一分不列表不扣分)数学期望．(Ⅱ)设，．则，．，，，，，．所以，．．由此可知，．又，所以．【名师点睛】求随机变量及其分布列的一般步骤（1）明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．（2）利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；（3）按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．14．【2018安徽安庆一中模拟】为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标)、推理(能力指标)、建模(能力指标)的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养，若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下：（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望．【答案】（1）．（2）分布列见解析，．分别计算当时，的值，进而可得随机变量的分布列及其数学期望详解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，则．随机变量的分布列为：。
配套K12新课标2018届高考数学二轮复习专题七概率与统计专题能力训练19排列组合与二项式定理理
专题能力训练19 排列、组合与二项式定理能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种2.已知的展开式的各项系数和为32,则展开式中x4的系数为()A.5B.40C.20D.103.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.294.若的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.3B.4C.5D.65.展开式中的常数项为()A.-8B.-12C.-20D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为()A.1 860B.1 320C.1 140D.1 0207.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则的最小值为()A.2B.C.D.8.(2017辽宁抚顺一模)在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 6009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.21010.(2017湖北孝感第一次联考)已知二项式的展开式中含x3的系数为-,则的值为()A. B.C. D.11.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)12.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工,且甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为.14.在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.15.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有种.(用数字作答)16.(2017浙江,13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.17.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)思维提升训练19.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种20.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.821.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有()A.36种B.30种C.24种D.6种22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27B.28C.7D.823.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)24.1-90+902-903+…+(-1)k90k+…+9010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个26.(2017江西模拟)若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式的展开式中含x2项的系数为.27.设二项式的展开式中x2的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a=.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.参考答案专题能力训练19排列、组合与二项式定理能力突破训练1.B解析完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有=24种不同的排法.所以共有+4=216种不同的排法.2.D解析令x=1,得2n=32,所以n=5,则(x2)5-r x10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x4的系数为=10.3.D解析由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.C解析展开式的通项为T r+1=(x6)n-r,因为展开式中含常数项,所以6n-r=0成立,即n=r.当r=4时,n有最小值5.故选C.5.C解析因为,所以T r+1=x6-r=(-1)r x6-2r,所以当r=3时为常数项,常数项为-=-20.6.C解析依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.B解析令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,=2n+,令t=2n,t≥2,则=2n+=t+2+故选B.8.B解析若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是=1200,若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.C解析∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h,∴f(m,n)=∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.10.C解析二项式的展开式的通项公式为T r+1=x9-r x9-2r,令9-2r=3,r=3,将r=3代入得=-,解得a=-1,d x=故选C.11.-20解析(x+y)8的通项为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.12.4解析二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r x r,令r=2,得32=54,解得n=4.13.36解析先分组,再分配.共有两种分组情况:2,2,1和3,1,1.①若分成2,2,1三组,共有=18种分法;②若分成3,1,1三组,共有=18种分法.由分类计数原理知,共有18+18=36种分法.14.112解析由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式展开式的通项为T r+1=)8-r=(-2)r,求常数项则令r=0,所以r=2,所以T3=112.15.1 080解析先将6位志愿者分组,共有种方法;再把各组分到不同场馆,共有种方法.由乘法原理知,不同的分配方案共有=1080.16.164解析由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.17.660解析由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有:=660种.18.1 560解析该问题是一个排列问题,故共有=40×39=1560条毕业留言.思维提升训练19.A解析将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.20.B解析:由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13=7,即解得m=6.故选B.21.B解析首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数排除,继而所求的安排方法有=30种,故答案为B.22.C解析令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A解析本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.B解析1-90+902+…+(-1)k90k+…+9010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+889+…+88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.25.A解析不选2时,有=72种;选2,不选Z时,有=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有=36种,当2在数字的第三位时,有=18种,根据分类计数原理,共有72+72+36+18=198,故选A.26解析由题设k=2=12,所以T r+1=x r,则由题设r=2,所以含x2项的系数为=66,应填答案27.-3解析T r+1=x6-r=(-a)r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,A=a2=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3=-20a3,代入B=4A得a=-3.28.解(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。
专题10-2 排列与组合测-2018年高考数学一轮复习讲练测
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布第二节 排列与组合班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【2017届宁夏银川市高三下二模】某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A. B. C.D.【答案】C2.【2017届山东省青岛市二模】学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 A. 6种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C【解析】由于每科一节课,每节至少有一科,必有两科在同一节,先从4科中任选2科看作一个整体,然后做3个元素的全排列,共2343C A 种方法,再从中排除数学、理综安排在同一节的情形,共33A 种方法,故总的方法种数为23343330C A A -= .本题选择C 选项.3.【2017届广东省韶关市高三4月高考模拟】5位大学毕业生分配到3家单位,每家单位至少录用1人,则不同的分配方法共有( )A. 25种B. 60种C. 90种D. 150种 【答案】D4．【2012年.浙江卷.理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 【答案】D【解析】1，2，3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C =种；4个都是奇数：455C =种． ∴不同的取法共有66种，故选D ．5．【2017届山东省实验中学高三第一次诊断】现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种 A ．36 B ．9 C ．18 D ．15 【答案】B 【解析】6.学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学和生物6门不同的课程，若第一节不排语文且第六节排生物，则不同的排法共有（ ）A ．96种B ． 120种C ．216种D ．240种 【答案】A【解析】因为生物课时固定的，语文不排在第一节，那么语文的排法有14A ，其它课任意排，不同的排法共有4414A A ⋅=96种．故选A ．7.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加南京青运会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A ．152B ．126C ．90D ．54 【答案】B8.【2017届四川绵阳中学高三上学期入学】8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）A ．38CB ． 3388C AC C ． 3282C CD ．383C 【答案】C【解析】从8人中任选3人有38C 种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有22A 种，故有2238A C 种．故选C ．9.【2017届山东潍坊中学高三上学期开学考试数学（理）试卷】甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ）A.72种B.52种C.36种D.24种 【答案】C 【解析】52233523332A A A A A --，即先求出总的可能，然后减去甲丙或乙丙相邻，再减去甲乙丙三个相邻的事件.10.【2017届甘肃省第二次高考诊断】某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】C11.一个五位自然数12345,{0,1,2,3,4,5},1,2,3,4,5i a a a a a a i ∈=，当且仅当123345,a a a a a a >><<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ） A.110 B.137 C.145 D.146 【答案】D12.【2017届东北三省三校高三第二次联合模拟】在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】分类讨论.当广告牌没有蓝色时,有1 种结果;当广告牌有1 块蓝色时,有16=6C 种结果;当广告牌有2 块蓝色时,先排4 块红色,形成5 个位置,插入2 块蓝色,有25=10C 种结果; 当广告牌有3 块蓝色时,先排3 块红色, 形成4 个位置,插入3 块蓝色,有34=4C 种结果;由于相邻广告牌不能同为蓝色,所以不可能有4 块蓝色广告牌,根据分类加法计数原理有1+6+10+4=21 种结果.选B .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13.【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】由数字2,0,1,7组成没有重复数字的四位偶数的个数为__________． 【答案】10【解析】零结尾的有336A =个， 2结尾的先排首位，故有2224A ⋅=个，故有10个.14.【2014高考北京版第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻， 且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种. 【答案】3615.【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性】电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种 【答案】40【解析】除甲、乙、丙三人的座位外，还有7个座位，共可形成六个空，三人从6个空中选三位置坐上去有36C 种坐法，又甲坐在中间，所以乙、丙有22A 种方法，所以他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有326240C A ⋅=种.16.某公益活动为期三天,现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_____种．（请用数字作答） 【答案】60【解析】第一天有16C 种安排方法，第二天有25C 种安排方法，第三天有33C 种安排方法，所以共有16C 25C 33C ＝60种安排方式．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算：(1)2A 57－A 666！＋5！；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101； (3)C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210.【答案】（1）367；（2）16；（3）165.【解析】 (1)原式＝7！－6！6！＋5！＝－！＋！＝367. (2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝1A 33＝16.(3)原式＝(C33＋C23)＋C24＋…＋C210＝(C34＋C24)＋C25＋…＋C210＝(C35＋C25)＋C26＋…＋C210＝…＝C311＝165.18. 如图,从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4条不同的道路,从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.(1)从A地到C地共有多少种不同的走法?(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法?(3)从A地到C地再回到A地,但回来时要走与去时不同的道路,有多少种走法?共有14×13=182种.19. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．20. 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．(4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)．21.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数：(1)能组成多少个五位数？ (2)能组成多少个正整数？ (3)能组成多少个六位奇数？(4)能组成多少个能被25整除的四位数？ 【答案】（1）600；（2）1 630；（3）288；（4）21【解析】(1)因为万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有A 15种，其余四位上的排法有A 45种，所以共可组成A 15A 45＝600(个)五位数。
【K12教育学习资料】专题10 二项式定理-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)
母题十 二项式定理【母题原题1】【2018天津，理10】在5x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数为 ． 【答案】52【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即,n r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．【母题原题2】【2016天津，理10】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________．(用数字作答)【答案】56-【解析】展开式通项为281631881()()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，3r =，所以7x 的338(1)56C -=-．故答案为56-．【母题原题3】【2015天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 ．【答案】1516【命题意图】本类题主要考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力． 【命题规律】高考对二项式定理的考查主要考查利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型多以选择题、填空题的形式考查．【答题模板】解答本类题目，以2018年高考题为例，一般考虑如下三步： 第一步：首先求出二项展开式的通项展开式通项为355215512rrr r r r r T C x C x--+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝； 第二步：根据已知求r 令3522r -=可得：2r =， 第三步：得出结论2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．【方法总结】1．熟记二项式定理及通项5x ⎛ ⎝（1）定理 公式)()(*110N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n∈+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=+--叫做二项式定理．（2）通项kk n k n k b a C T -+=1为展开式的第1+k 项．2．活用二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即mn n m n C C -=． （2）增减性与最大值：二项式系数k n C ，当21+<n k 时，二项式系数是递增的；当21+≥n k 时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值．当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于n 2，即n nn n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即131202-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++n n n n n C C C C ．3．求展开式系数最大项：如求),()(R b a bx a n ∈+的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为121,,,+⋅⋅⋅n A A A ，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧≥≥+-11k k k k A A A A 从而解出k 来，即得．4．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nb ax +、),,()(2Rc b a c bx ax n ∈++的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1=x 即可；对形如()nby ax +的式子求其展开式各项系数之和，只需令1==y x 即可．5．若n n x a x a x a a x f +⋅⋅⋅+++=2210)(，则：)(x f 展开式中各项系数之和为)1(f ，奇数项系数之和为2)1()1(420-+=⋅⋅⋅+++f f a a a ，偶数项系数之和为2)1()1(531--=⋅⋅⋅+++f f a a a ．6．某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与b a ,的取值有关，而二项式系数与b a ,的取值无关．1．【2018天津耀华一模】在100展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的项有（ ）A ．16项B ．17项C ．24项D ．50项 【答案】B【解析】100展开式的通项为5010032110032r rr r r T C x --+=，其中r=0，1，2…100，要使系数为有理数则需要r 是6的倍数， ∴r=0，6，16，18，…96共17个值， 故系数为有理数的项有17项． 本题选择B 选项．【名师点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2．【2018江西六校联考】已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】D3．【2018北京海淀模拟】二项式62)x x-（的展开式的第二项是 A ．46x B ．46x - C ．412x D ．412x - 【答案】D【解析】根据展开式通项可得： 1514262=C ()12T x x x-=-4．【2018广东阳揭二模】已知()511x ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为40-，则a 的值为A ．2B ．2-C ．2±D ．4 【答案】C【解析】分析：首先写出51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，然后结合题意得到关于实数a 的方程，解方程即可求得最终结果．详解： 51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为： ()()555215511rr r rr r r r T C ax a C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令521r -=-可得： 3r =，结合题意可得： ()35335140a C --=-，即21040,2a a =∴=±．本题选择C 选项．【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 5．【2018华大新高考联盟4月卷】展开式中除—次项外的各项系数的和为（ ）A ．121B ．C ．61D ．【答案】B【解析】因为展开式中—次项系数为所以展开式中除—次项外的各项系数的和为，选B ．【名师点睛】 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．6．【2018河北衡水信息卷三】已知，，若，则在的展开式中，含项的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B7．【2018湖北荆州三模】已知，若，则A ．−5B ．−20C ．15D ．35 【答案】A 【解析】在中，令得，∴．∴．又展开式的通项为，∴．选A ．8．【2018全国名校联盟（五）】已知)22nx 的展开式的系数和比()31n x -的展开式系数和大992，则()212nx -的展开式中含有5x 的项为（ ）A ．532x B ．532x - C ．5992x - D ．58064x - 【答案】D【解析】取1x =则)22nx的展开式的系数和为22n，同理，在()31n x -的展开式中令1x =，则()31nx -的展开式系数和为2n，故()()222992,2322310,232,5nn n n n n -=∴-+=∴=∴=，则()212nx -的展开式中含有5x 的项是第六项： ()()555510218064C x x -=-，故选D ．9．【2018天津三模】设，则__________．【答案】211【名师点睛】本题考查二项式定理、赋值法等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．10．【2018天津市十二校二模】若（其中），则的展开式中的系数为__________．【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果．详解：因为，所以，展开式的通项为令得所以，的展开式中的系数为，故答案为．【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．11．【2018天津部分区期末考试】在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】24012．【2018天津一中模拟三】()61212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含7x 的项的系数是__________．【答案】128【解析】∵612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式是()626166122rrr r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且[]0,6r ∈，∴[]266,6r -∈-，当6r =时， 6666616264T C x x +=⨯⨯=，∴()61212x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含7x 的项的系数是128，故答案为128．13．【2018天津一中模拟五】已知二项式的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数是__________． 【答案】【解析】试题分析：由题意可得：，所以，令，所以展开式中含项的系数是10．14．【2018天津市耀华模拟（三）】二项式6⎛⎝的展开式中的常数项为_________．【答案】-160【解析】二项式6⎛ ⎝的通，项为(()66316612rrrrr r r r T C C x ---+⎛==- ⎝，令30r -=，则3r =，()333612208160C ∴-⨯⨯=-⨯=-，故正确答案为160-．15．【2018河南郑州模拟】若的展开式中的系数为，则实数的值为_______．【答案】．【名师点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．16．【2018天津滨海新区模拟】在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含7x 的项的系数是______【答案】5-【解析】分析：先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于7，求得r 的值，即可求得含7x 项的系数值．详解：二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()5210315511rrr rr rr T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1037r -=，解得1r =，可得展开式中含7x 项的系数是155C -=-，故答案是-5．【名师点睛】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为7求得r ，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式．17．【2018河北衡水金卷调研（五）】已知函数()()()513f x x x =-+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的展开式中2x 项的系数是__________． 【答案】-540。
专题20 数列综合-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)
专题20 数列综合【母题来源一】【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）22n a n =-，2n b n n =+；（2）证明见解析．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ，所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得212()()()n n n n n n S b S b S b +++=++．解得2121()n n n n b S S S d++=-，所以2*,n b n n n =+∈N ． （2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； （ii ）假设*()n k k =∈N 时不等式成立，即12k c c c +++<那么，当1n k =+时，121k kc c c c+++++<<<==．即当1n k=+时不等式也成立．根据（i）和（ii），不等式12nc c c+++<对任意*n∈N成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力．【母题来源二】【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，数列{（b n+1−b n）a n}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．【答案】（1）2q=；（2）2115(43)()2nnb n-=-+⋅．【解析】（1）由42a+是35,a a的等差中项得35424a a a+=+，所以34543428a a a a++=+=，解得48a=．由3520a a+=得18()20qq+=，因为1q>，所以2q=．（2）设1()n n n nc b b a+=-，数列{}nc前n项和为nS．由11,1,, 2.nn nS ncS S n-=⎧=⎨-≥⎩解得41nc n=-．由（1）可知12nna-=，所以111(41)()2nn nb b n-+-=-⋅，故211(45)(),22nn nb b n n---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n nb b b b b b b b b b----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n nn n--=-⋅+-⋅++⋅+．设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅．【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）． 证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当1n =时，110x =>． 假设n k =时，0k x >， 那么1n k =+时，若10k x +≤， 则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤， 矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ，所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，因此10()n n x x n *+<<∈N ．（2）由11ln(1)n n n x x x ++=++，可得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，则22()ln(1)0(0)1x xf'x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故112()2n n n n x x x x n *++-≤∈N ． （3）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥， 由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112()022n n x x +-≥->， 所以12111111112()2()2222n n n n x x x ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=， 故212n n x -≤．综上，1211()22n n n x n *--≤≤∈N ．【名师点睛】本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．【命题意图】以考查等差、等比数列的基础知识为依托，重点考查求数列的通项公式、数列的求和及不等式的证明，考查考生运算求解能力及分析问题、解决问题的综合能力． 【命题规律】1．数列的求和问题作为数列的基础知识，为数列与不等式等综合问题提供必要的准备．2．等差、等比数列的判定及综合应用是高考考查的重点，注意基本量及定义的使用，或以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或取值范围，考查分析问题、解决问题的综合能力． 3．数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等． 【方法总结】1．等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为d 的等差数列{}n a 具有如下性质：（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-，,m n ∈*N ． （2）若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,)m n,p,q ∈*N ． 特别地，①若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,)m n,p ∈*N ；②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a ++=++(,)m n,p,q,t,r ∈*N ．③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即1211.n n i n i a a a a a a -+-+=+==+=L L（3）下标成等差数列的项2,,,k k m k m a a a ++L 组成以md 为公差的等差数列． （4）数列{}(,n ta t λλ+是常数)是公差为td 的等差数列．（5）若数列{}n b 为等差数列，则数列{}n n ta b λ±(,t λ是常数)仍为等差数列． （6）若,p q a q a p ==，则0p q a +=． 2．与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质： 设等差数列{}n a （公差为d ）和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ， （1）数列{}n S n是等差数列，首项为1a ，公差为12d ．（2）232(1),,,,,k k k k k mk m k S S S S S S S ----L L 构成公差为2k d 的等差数列．（3）若数列{}n a 共有2n 项，则S S nd -=奇偶，1n n S aS a +=奇偶．（4）若数列{}n a 共有21n -项，则S S -=奇偶n a ，(,1n S n S na S n ==-奇奇偶(1))n S n a =-偶． （5）2121n n n n S a T b --=，21212121m mn nS a m T n b ---=⋅-． 3．等差数列的判定与证明的方法（1）定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ； （3）等差中项法：122(){}n n n n a a a n a ++=+∈⇔*N 为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列；（5）前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．注意：①若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； ②如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 4．等比数列及其前n 项和的性质若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，则有如下性质： （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===①L L②若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列； 数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为mq ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(kq 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn mm S q S q -=-． （7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --L ）仍组成等比数列（公比为mq ，2m ≥）． 5．等比数列的判定与证明常用的方法（1）定义法：1n na q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*N ⇔数列{}n a 是等比数列． （3）通项公式法：(0,)n n a tq tq n =≠∈*N ⇔数列{}n a 是等比数列．（4）前n 项和公式法：若数列的前n 项和nn S Aq A =-+(0,0,1)A q q ≠≠≠，则该数列是等比数列．其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：①若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． ②只满足1(0)n n a qa q +=≠的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要10a ≠． 6．数列求和的常用方法 （1）公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． （2）倒序相加法如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． （3）错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．（4）裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项方法：①1111()()n n k k n n k=-++，特别地，当时，111(1)1n n n n =-++；②1()n k n k n k n =+-++，特别地，当时，11n n n n=+-++；③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++． （5）分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． （6）并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 7．数列与函数综合（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决． 8．数列与不等式综合与数列有关的不等式的命题常用的方法有：比较法(作差作商)、放缩法、利用函数的单调性，其中利用不等式放缩证明是历年命题的热点．9．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解． 10．数学归纳法的概念一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n ∈N 时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k =≥∈N 时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，要先看项，清楚等式两边式子的构成规律，等式的两边各有多少项，再用数学归纳法证明．证明不等式时，则要注意往目标式子上凑，在证明过程中可能用到比较法、综合法、分析法、放缩法等．1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知数列{}n a ，{}n b 的各项均不为零，若{}n b 是单调递增数列，且12n n n a b b +=⋅，211n n n a a b +++=，12a b =，26a b =．（1）求1b 及数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足113c =-，1n b n n c c ++=，求数列2{}n c 的前n 项的和n S ．2．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且28S =，2n S =(1)1n n a n ++-．（1）求1a ，2a 并证明数列{}n a 为等差数列；（2）若不等式20nn S λ⋅->对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．3．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，公差0d ≠，且1S ，3S ，9S 成等比数列，数列{}n b 满足2*1122466()2n n n n n b S b S b S n +++++=-∈N ，{}n b 的前n 项和为n T ．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记12231111n n n R a a a a a a +=+++，试比较n R 与12n T 的大小．4．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，1n a +=*1()n S n +∈N（1）求通项公式n a ；（2）记12111n n T S S S =+++，求证：31222n n T -≤<．5．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】已知数列{}n a 的前n 项为*32,nn n S a n =∈-N ．（1）证明：{1}2nn a -为等比数列；（2）求数列{}2nn na 的前n 项和为n T ．6．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】在数列{}n a ，{}n b 中，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，12n n a a +=+，1235(21)21nn n b b n b a ++++=⋅+，*n ∈N ．（1）求n a 和n S ；（2）若n k ≥时，8n n b S ≥恒成立，求整数k 的最小值．7．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的*n ∈N ，都有2132n n n a a a ++=-．（1）证明数列+1{}n n a a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对任意的*n ∈N 都有1n n S m a ≥+，求实数m 的取值范围．8．【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末联考】已知等比数列{}n a 的公比(0,1)q ∈，前n 项和为n S ．若331S a +=，且2116a +是1a 与3a 的等差中项． （1）求n a ； （2）设数列{}n b 满足10b =，1()n n n b b a n *+-=∈N ，数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．求证：1()3n T n *<∈N ．9．【浙江省七彩联盟2018~2019学年第一学期高三11月期中考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且*12()n n a S n +=+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设22log ,(2)5|1|,nn na n n nb n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求21n T +．10．【江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知数列{}n a 中，14a =，n a >1314n n nn a a a a +=-+，记22212111n nT a a a =+++．（1）证明：2n a >；（2）证明：115116n na a +≤<；（3）证明：8454n nnT -<<．。
[配套K12]2018高考数学异构异模复习 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理撬题 理
2018高考数学异构异模复习考案 第十一章 计数原理 11.2 二项式定理撬题 理1. (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60答案 C解析 由二项展开式通项易知T r ＋1＝C r5(x 2＋x )5－r y r，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，对于二项式(x 2＋x )3，由T t ＋1＝C t 3(x 2)3－t·x t ＝C t 3x6－t，令t ＝1，所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 23 的项的系数为30，则a ＝( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6答案 D解析 由二项展开式的通项可得3．二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4答案 B解析 由(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ，知C 2n ＝15，∴n n －2＝15，解得n ＝6或－5(舍去)．故选B.4.已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．29答案 D解析 因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，即C mn ＝C n －mn ，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.5．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10答案 C解析 在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.6．设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案 B解析 由题意知a ＝C m2m ，b ＝C m ＋12m ＋1， ∴13C m2m ＝7C m ＋12m ＋1， 即m ！m ！m ！＝m ＋！m ＋！m ！， 解得m ＝6.7．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 答案 3解析 解法一：直接将(a ＋x )(1＋x )4展开得x 5＋(a ＋4)x 4＋(6＋4a )x 3＋(4＋6a )x 2＋(1＋4a )x ＋a ，由题意得1＋(6＋4a )＋(1＋4a )＝32，解得a ＝3.解法二：(1＋x )4展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x r ，由题意可知，a (C 14＋C 34)＋C 04＋C 24＋C 44＝32，解得a ＝3.8．在(2x －1)5的展开式中，含x 2的项的系数是________．(用数字填写答案)． 答案 －40解析 由二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(－1)r(r ＝0,1，…，5)知，当r ＝3时，T 4＝C 35(2x )5－3(－1)3＝－40x 2，所以含x 2的项的系数是－40.9．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案) 答案 －20解析 (x ＋y )8的通项公式为T r ＋1＝C r 8x8－r y r(r ＝0,1，…，8，r ∈Z )．当r ＝7时，T 8＝C 78xy 7＝8xy 7，当r ＝6时，T 7＝C 68x 2y 6＝28x 2y 6，所以(x －y )(x ＋y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7－y ·28x 2y 6＝－20x 2y 7，故系数为－20.10．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ， 令12－3r ＝3，得r ＝3. 由C r 6a6－r b r＝C 36a 3b 3＝20，得ab ＝1.所以a 2＋b 2≥2ab ＝2×1＝2.11.⎝ ⎛⎭⎪⎫x y－y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答)答案 70 解析 设⎝⎛⎭⎪⎫x y －y x 8的第r ＋1项中含有x 2y 2，则T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 8－r ⎝⎛⎭⎪⎫－y x r ＝C r 8·(－1)r·x 8－r － r 2 y r － 8- r2 ，因此8－r －r 2＝2，r －8－r2＝2，即r ＝4.故x 2y 2的系数为C 48×(－1)4＝8×7×6×54×3×2×1＝70.。
[配套K12]2018版高中数学 小问题集中营 专题5.1 易错点+柱、锥、台结构特征判断中的误区
问题1 易错点柱、锥、台结构特征判断中的误区一、问题的提出（1）对多面体、旋转体的定义理解不准确.（2）解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台，而不注意逻辑推理.（3）解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断.二、问题的探源对柱、锥、台的结构特征的判断应该紧扣定义，精确的分析定义的问题，要注意每个结构特征中细节的问题.1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面：(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．2．棱柱具有以下结构特征和特点：(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a所示．(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b所示．(4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图c所示．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台．三、问题的佐证考向1 由定义判断柱、锥、台结构特征【例1】关于棱柱有下列四个命题，其中判断错误的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 平行六面体可能是直棱柱C. 直棱柱的每个侧面都是矩形D. 斜棱柱的侧面中可能有矩形【答案】A【解析】若侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面均是矩形，此时的棱柱不一定是直棱柱，故A 错误；由平行六面体的定义可知B 正确；因为直棱柱的侧棱与底面垂直，故C正确；若侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面均是矩形，故D正确；故选A【方法总结】(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征．(2)棱锥只有一个面是多边形，此面即为底面，侧棱相交于一点.棱台两个互相平行的面，即为底面，侧棱延长后相交于一点.（2）下列说法错误的是( )A．多面体至少有四个面B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形【答案】D考向2 由图象判断柱、锥、台结构特征【例2】（1）下列说法正确的是（）A. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱【答案】D【解析】选项A,棱锥的定义是如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,选项错误;选项B,棱台是由棱锥被平行于地面的平面所截而得, 而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体也有可能不是棱台,如图所示,选项错误;选项C,棱锥的各个侧面都是等边三角形，顶角都是60度, 360660︒=︒,即这个棱锥不可能为六棱锥,选项错误;选项D, 若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的两边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，选项正确;故选D.（2）下列多面体都是棱柱吗？如何在名称上区分这些棱柱？如何用符号表示？【方法总结】棱柱的侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形．两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．四.问题的解决解决此类题目需准确理解定义，把握几何体的结构特征，并学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出反例否定即可．【跟踪训练】1.下列说法正确的是（）A. 空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上B. 空间中，三角形、四边形都一定是平面图形C. 空间中，正方体、长方体、平行六面体、四面体都是四棱柱D. 用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台【答案】A2．下列命题正确的是（）A. 棱柱的侧面都是长方形B. 棱柱的所有面都是四边形C. 棱柱的侧棱不一定相等D. 一个棱柱至少有五个面【答案】D【解析】A不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B不对，三棱柱的底面是三角形；C不对，棱柱的侧棱一定相等；D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面，故选D.3．下列空间几何体中，是棱柱的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A是棱锥，B是四棱台，C是三棱柱，D是组合体，故选C4．下列命题正确的是（）A. 有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C. 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。
浙江新高考数学文科一轮复习创新方案热点题型10.2排列与组合(含答案详析)
第二节摆列与组合考点一摆列问题[例 1] 3 名男生， 4 名女生，依据不一样的要求排队，求不一样的排队方案的方法种数：(1)选此中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)全体站成一排，男、女各站在一同；(4)全体站成一排，男生不可以站在一同；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．[自主解答 ] (1)问题即为从 7 个元素中选出 5 个全摆列，有A75＝ 2 520 种排法．(2)前排 3 人，后排 4 人，相当于排成一排，共有 A 77＝ 5 040 种排法．(3)相邻问题 (捆绑法 ) ：男生一定站在一同，是男生的全摆列，有A 33种排法；女生一定站在一同，是女生的全摆列，有 A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 A 22种排法，依据分步乘法计数原理，共有 A 33·A44·A 22＝ 288 种排法．(4)不相邻问题 (插空法 )：先安排女生共有 A 44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排共有 A 53种排法，故共有 A 44·A 53＝1 440 种排法．(5)先安排甲，从除掉排头和排尾的 5 个位中安排甲，有 A 51＝ 5 种排法；再安排其余人，有 A 66＝ 720 种排法．所以共有A15·A 66＝ 3 600 种排法．【互动研究】本例中若全体站成一排，男生一定站在一同，有多少种排法？解：(捆绑法 )即把全部男生视为一个元素，与 4 名女生构成 5 个元素全摆列，故有 A 33·A 55＝ 720 种排法．【方法例律】1．解决摆列问题的主要方法直接法把切合条件的摆列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑办理，即能够把相邻元素当作一个整体参加其余元素摆列，同时注意捆绑元素的内部摆列插空法不相邻问题插空办理，即先考虑不受限制的元素的摆列，再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中除法法定序问题除法办理的方法，可先不考虑次序限制，摆列后再除以定序元素的全摆列2．解决摆列类应用题的策略(1)特别元素 ( 或地点 )优先安排的方法，即先排特别元素或特别地点．(2)分排问题直排法办理．(3)“小公司”摆列问题中先集中后局部的办理方法．1． (2012 ·宁高考辽 )一排 9 个座位坐了3 个三口之家，若每家人坐在一同，则不一样的坐法种数为()A． 3× 3! B ．3× (3！ )3C． (3！ )4D． 9!分析：选C把一家三口当作一个摆列，而后再摆列这 3 家，所以知足题意的坐法种数为 A 33(A 33) 3＝ (3！ )4.2． (2014 南·充模拟 )将 5名实习教师分派到高一年级的 3 个班实习，每班起码 1 名，最多 2 名，则不一样的分派方案有()A．30 种B．90 种C． 180 种D． 270 种2222分析：选B选分组，再摆列．分组方法共有C5 C3，所以共有C5C3322·A 3＝ 90.A 2 A 2考点二组合问题[例 2] (1)若从 1,2,3，, ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不一样的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A． 60B． 63C． 65(2)(2013 重·庆高考 )从 3 名骨科、 4 名脑外科和灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都起码有D． 665 名内科医生中选派 5 人构成一个抗震救1 人的选派方法种数是________(用数字作答 )．[自主解答](1)由于从1,2,3， ,，9 中共有 4 个不一样的偶数和5 个不一样的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有C45＋ C44＋ C25C24＝66种不一样的取法．(2)按每科选派人数分为3,1,1 和 2,2,1 两类．入选派人数为3,1,1 时，有 3 类，共有 C33C41C51＋ C31C43C51＋ C31C41C53＝ 200 种选派方法．入选派人数为2,2,1 时，有 3 类，共有 C32C42C51＋ C32C41C52＋ C31C42C52＝ 390 种选派方法．故共有 590 种选派方法．[答案 ] (1)D(2)590【方法例律】1．解决组合应用题的一般思路第一整体分类，要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；而后局部分步，用到分步乘法计数原理．2．组合问题的常有题型及解题思路常有题型有选派问题，抽样问题，图形问题，会合问题，分组问题．解答组合应用题时，要在认真审题的基础上，分清问题能否为组合问题，对较复杂的组合问题，要搞清是“ 分类” 仍是“ 分步” 解决，将复杂问题经过两个原理化归为简单问题．3．含有附带条件的组合问题的常用方法往常用直接法或间接法，应注意“ 起码”“ 最多”“ 恰巧”等词的含义的理解，关于波及“ 起码”“ 至多”等词的组合问题，既可考虑反面情况即间接求解，也能够分类研究进行直接求解．1．某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选修课 4 门，一位同学从中选 3 门．若要求两类课程中各起码选一门，则不一样的选法的种数为()A． 30 B ．35C． 42D． 48分析：选 A法一：分两种状况：(1)2 门 A,1 门 B，有 C32C41＝ 12种选法； (2)1门 A,2门B，有 C31C42＝ 3×6＝ 18 种选法．所以共有12＋ 18＝ 30 种选法．法二：清除法： A 类 3 门， B 类 4 门，共 7 门，选 3 门， A，B 各起码选 1 门，有 C73－C33－ C43＝35－ 1－ 4＝ 30 种选法．2．两人进行乒乓球竞赛，先赢3 局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情况(各人胜败局次的不一样视为不一样情况)种数为 ()A． 10B． 15C．20D．30分析：选 C分三种状况：恰巧打 3 局，有 2 种情况；恰巧打 4 局 (一人前 3局中赢 2局，输 1 局，第 4 局赢 )，共有 2C32＝ 6 种情况；恰巧打 5 局 (一人前 4 局中赢 2 局，输 2 局，第 5 局赢 )，共有 2C42＝ 12 种情况．全部可能出现的情况种数为2＋ 6＋12＝ 20.高频考点考点三摆列与组合的综合应用1．摆列与组合是高中数学中的重要内容，也是高考命题的一个热门，多以选择题或填空题的形式体现，试题难度不大，多为简单题或中档题．2．高考对摆列与组合综合应用题的考察主要有以下几个命题角度：(1)相邻问题；(2)相间问题；(3)特别元素 ( 地点 )问题；(4)多元问题等．[例 3](1)(2013烟·台模拟)有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中拿出 4 张卡片排成一行，假如拿出的 4 张卡片所标的数______种 (用数字作答)．字之和等于10，则不一样的排法共有(2)(2014西·安模拟)某地奥运火炬接力传达路线共分 6 段，传达活动分别由 6 名火炬手达成．假如第一棒火炬手只好从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只好从甲、乙两人________种 (用数字作答)．中产生，则不一样的传达方法共有[自主解答](1)拿出的 4 张卡片所标数字之和等于10，共有三种状况：1144,2233,1234.所取卡片是1144 的共有 A 44种排法．所取卡片是2233 的共有 A 44种排法．所取卡片是1234，则此中卡片颜色可为无红色， 1 张红色， 2 张红色， 3 张红色，全部是红色，共有 A 44＋C14A 44＋ C24A 44＋ C34A 44＋ A 44＝ 16A44种排法，所以共有 18A 44＝ 18× 4× 3× 2× 1＝ 432 种排法．(2)甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 A 44种方法．乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 A 44种方法．丙传第一棒，共有C12·A44种方法．由分类加法计数原理得，共有 A 44＋ A 44＋C21·A 44＝ 96 种方法．[答案 ] (1)432 (2)96摆列与组合综合问题的常有种类及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个有关元素视为一个元向来考虑，待整个问题排好以后，再考虑它们“ 内部” 的摆列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，而后把特定元素插在它们之间或两头的空当中，它与捆绑法有同样作用．(3)特别元素 ( 地点 )优先安排法．优先考虑问题中的特别元素或地点，而后再摆列其余一般元素或地点．(4)多元问题分类法．将切合条件的摆列分为几类，而每一类的摆列数较易求出，而后依据分类计数原理求出摆列总数．1． 8 名学生和 2 位老师站成一排合影， 2 位老师不相邻的排法种数为()82828282A． A C A D．A CA分析：选A相间问题用插空法，8 名学生先排，有 A 88种排法，产生9 个空， 2 位老师插空，有 A 92种排法，所以最后有 A 88A 92种排法．2．3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数为()A． 360B． 288C．216D． 96分析：选 B先保证 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则有C32·A22·A 33·A 42种排法，再从中清除甲站两头的排法，所以所求排法种数为22322222－C3·A 2·A 3·A4－ 2C3·A 2·A2·A 3＝ 6× (6× 1224)＝ 288.3．将 4 名大学生疏派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇起码一名，则不一样的分派方案有________ 种(用数字作答 ) ．分析：选出两人当作一个整体，再全摆列．共有C42·A33＝ 36 种分派方案．答案： 36———————————[讲堂概括——通法意会 ]———————————1 个辨别——摆列问题与组合问题的辨别方法辨别方法若互换某两个元素的地点对结果产生影响，则是摆列问题，即摆列问题与选用元素摆列次序有关若互换某两个元素的地点对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选用元素组合次序没关3 个注意点——求解摆列与组合问题的三个注意点(1)解摆列与组合综合题一般是先选后排，或充足利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后办理．(2)解受条件限制的组合题，往常用直接法(合理分类 )和间接法 (清除法 )来解决．分类标准应一致，防止出现重复或遗漏．(3)关于选择题要慎重办理，注意等价答案的不一样形式，办理这种选择题可采纳清除法剖析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题．易误警告 (十二 )摆列与组合中的易错问题[典例 ]将6名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有 ________种不一样的分法．[解题指导 ]将6名教师分到 3 所中学，相当于将 6 名教师分红 3 组，相当于 3 个不一样元素．[分析 ]将6名教师分组，分三步达成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法；第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法；第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有C33种取法．依据分步乘法计数原理，共有123C6C5C3＝ 60 种取法．再将这 3 组教师分派到 3 所中学，有 A 33＝ 6 种分法，故共有 60× 6＝360 种不一样的分法．[答案 ] 360[名师评论 ] 1.假如审题不认真，极易以为有 C61C52C33＝ 60 种分法．由于此题中并无明确指出哪一所学校1名、2名、3名．2．解决摆列与组合应用题应要点注意以下几点：(1)第一要分清楚是摆列问题仍是组合问题，不可以将二者混杂．(2)在解决问题时，必定要注意方法的明确性，不可以造成重复计数．(3)分类议论时，要注意分类标准确实定，应做到不重不漏．牙语在小语种提早招生考试中，某学校获取5 个介绍名额，此中俄语 1 名，而且日语和俄语都要求一定有男生参加．学校经过选拔定下2 名，日语 2 名，西班3男2女共 5个介绍对象，则不一样的介绍方法的种数为()A． 20B． 22C． 24D． 36分析：选 C 3 个男生每个语种各介绍 1 个，共有 A 33A22种介绍方法；将 3 个男生疏为两2 2 23 2 2 2 2组，此中一组 2 个人，则共有 C3A 2A 2种介绍方法．所以共有 A 3A 2＋ C3A 2A 2＝24 种不一样的介绍方法．。
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KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 专题十五 排列组合问题 【母题原题1】【2018浙江，16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260 【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数. 【母题原题2】【2017浙江，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 【答案】600
【命题意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力． 【命题规律】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．难度基本稳定在中等. 【答题模板】求解排列组合问题，一般考虑： 第一步：分清分类和分步. 第二步：分清排列与组合，确定解题方向.根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题； 第三步：正确应用公式运算求解. KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 【方法总结】 1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度： 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 3. 有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法． 4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 5.不同元素分组：将n个不同元素放入m个不同的盒中 6、相同元素分组：将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有11mnC种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有1n个空，使用1m个“挡板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子. 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可.
1．【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第四套】集合，从集合中各取KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 【解析】分析：分别从集合A，B取一个数字，再全排列，根据分步计数原理即可得到答案．
详解： 故选：B 2．【2018届浙江省金丽衢十二校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】A
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 3．【2018届浙江省台州市高三上期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是 A. 144 B. 216 C. 288 D. 432 【答案】D 【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有11233218CCA 种排法；第二步剩余的学生全排列，共有4424A种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有1824432 种，故选D. 4．【2017届黑龙江省齐齐哈尔市一模】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 【答案】D 【解析】当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有44A中排法，共有441496A种； 当1在个位时，同样共有96种； 当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有224A种排法，再排7有3种排法，余下四数共有44A中排法，共有24244A3576A种 综上：共有192576=768 故选：D 点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问题捆绳法，不邻问题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相同元素隔板法等等. 5．【2018届浙江省台州中学高三模拟】由可组成不同的四位数的个数为__________． 【答案】 【解析】分析：此问题可以分为以下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组中任取两组；iii）从四组中任取一组，再从剩下的3组中的不同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法原理即可得出.
详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成个不同的四位数； ii)从四组中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成个不同的四位数，所以此时共有个不同的四位数； iii)从四组中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有种方法，而剩下的两个相同数字只有一种方法，由乘法原理可得此时共有个不同的四位数； 综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是，故答案是204. 6．【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】有6张卡片分别写有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是__________．（用数字作答） 【答案】34. KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑． 7．【2018届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25. 【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家， 也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法； 一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 8．【2018年天津市十二重点中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答） 【答案】16 KK12配套学习资料 配套学习资料K12页脚内容 【解析】①若末位数字为0时，则共有2228个五位数； ②若末位数字为2时，则当十位数字为1时，只有43012；当十位数字为3时，只有41032；当十位数字为4时，有10342和30142两个五位数，共有4个五位数. ③若末位数为4时，则当十位数字为1时，只有23014,；当十位数字为2时，有10324和30124两个五位数；当十位数字为3时，只有21034，共有4个五位数. 综上，这样的五位数共有84416个. 故答案为16. 9．【腾远2018年（浙江卷）红卷】北京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊位国家部委领导人要去个分会场发言（每个分会场至少人），其中甲和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有__________种（用数字作答）. 【答案】30 【解析】分析：由题意甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，所以有“”和“”两种分配方案，利用分类计数原理和排列组合的知识，即可求解. 详解：因为甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场， 所以有“”和“”两种分配方案：
当“”时，甲和丙为一组，余下人选出人为一组，有种方案； 当“”时，在丁和戊中选出人与甲丙组成一组，有种方案， 所以不同的安排方案共有种. 点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 10．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月测试】有7个球，其中红色球2个（同色不加区分），白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有______种不同的排法（用数字回答）． 【答案】408 【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后求和即可. 详解：