材力讲稿第5章弯曲变形
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学-第5章 弯曲内力
材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
材料力学第五章 弯曲应力-正式_new
切应力使横截面发生翘曲， 引起与中性层平行的纵截面的 挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无正应力假设 都不成立.
16
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，当 l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。
横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、 离中性轴最远处：
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
19
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA=F/2
FRB
F
解：（1）作出弯矩图 最大弯矩为Fa；
A
B
C
2a
a
（2）求惯性矩、抗弯截面系数
平面弯曲时横截面
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
二、纯弯曲
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪
力等于零，而弯矩为常量，所以该段
Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
F
B
D
a
+
F
5
三、 纯弯曲时的正应力 1.实验
1）.变形现象
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
h
d
z y
b
z
y D d
z
16
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，当 l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。
横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、 离中性轴最远处：
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
19
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA=F/2
FRB
F
解：（1）作出弯矩图 最大弯矩为Fa；
A
B
C
2a
a
（2）求惯性矩、抗弯截面系数
平面弯曲时横截面
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
二、纯弯曲
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪
力等于零，而弯矩为常量，所以该段
Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
F
B
D
a
+
F
5
三、 纯弯曲时的正应力 1.实验
1）.变形现象
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
h
d
z y
b
z
y D d
z
材料力学 (主占元)第5章弯曲内力PPT课件
P
+
x
x
20
计算步骤
(1)计算支座反力。
(2)在待求内力的横截面处，将杆件用假 想的截面切开, 并任取一段为研究对象， 画出受力图, N、FQ 和M 均按正向假设 。
(3)由平衡方程∑Fx=0计算轴力N , ∑Fy=0计算剪力FQ ; 以该横截面的形心 为矩心，由∑MO = 0 计算弯矩M。
21
练习. 悬臂梁AB 如图所示，已知P、M及角α， 且AB= 4b，AC = 2b，CD = b 试求截面1 和2 的轴力、剪力和弯矩。
q m2
M1
A
.
c.
P1
P3
FQ1
1m 1m 1m 1m 1m
Y 0
P 1 P 2 P 3 q 1 F Q 1 0 F Q 1p 1p 2p 3 q 1
1 2 3 2 1 0 16
P2 m1
q m2
M1
A
.
c.
P1
P3
FQ1
1m 1m 1m 1m 1m
MC 0
P 1 5 P 2 4 m 1 P 3 2 m 2 q 1 1 2 M 1 0
最后结果的符号具有双重含义。 c. 不要将材料力学对FQ、M的符号规定与
列平衡方程中力与力偶的符号混淆。
14
例5－2 求图示悬臂梁1－1截面的内力。
P2=2kN
m2=1kNm
1
q=2kN/m
m1=2kNm
A
B
P1=1kN
1 1m
P3=3kN
1 11 1 m mm m
2
1
m
m
15
解：截面法：
P2 m1
P b P a F Q (x ) R A P L P La x l
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学 第五章ppt课件
A A
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
材料力学 第五章 弯曲应力
因为 y 是对称轴，所以
I yz 0
该式自动满足
中性轴是截面的形心主轴
E EIz 2 M M Z A y dA A y dA
1 M E IZ
EIZ 称为抗弯刚度
y E E
My
I
Z
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩 横截面对中性轴的惯性矩 求应力的点到中性轴的距离
y
Z
O
x
y
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力 均相等 。
y E E
1 以及中性轴的位置？
M
中性轴
静力学方面
M 在横截面上法向内力元素 dA
O Z
x
dA
构成了空间平行力系。
dA
y
Z
y
N Aσ dA 0
l AB1 B1 B y (d) l dx AB1 O1 O 2
1 d dx
因为 是个非负的量，于是
A
C
d
o1
y
dx
d
o2
B1
B
y
（a ）
C
y
o1
x
d
Z
O
dx
o2
d
A
y
B1
B
y y
C
y
o1
A y
d
该式说明 ， 和 y 成正比 ,， 而与 z 无关 。变
解 ：
C 截面为危险截面。最大弯矩 +
I yz 0
该式自动满足
中性轴是截面的形心主轴
E EIz 2 M M Z A y dA A y dA
1 M E IZ
EIZ 称为抗弯刚度
y E E
My
I
Z
该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式 式中 ： M Iz y 横截面上的弯矩 横截面对中性轴的惯性矩 求应力的点到中性轴的距离
y
Z
O
x
y
上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ；在距中性轴为 y的同一横线上各点处的正应力 均相等 。
y E E
1 以及中性轴的位置？
M
中性轴
静力学方面
M 在横截面上法向内力元素 dA
O Z
x
dA
构成了空间平行力系。
dA
y
Z
y
N Aσ dA 0
l AB1 B1 B y (d) l dx AB1 O1 O 2
1 d dx
因为 是个非负的量，于是
A
C
d
o1
y
dx
d
o2
B1
B
y
（a ）
C
y
o1
x
d
Z
O
dx
o2
d
A
y
B1
B
y y
C
y
o1
A y
d
该式说明 ， 和 y 成正比 ,， 而与 z 无关 。变
解 ：
C 截面为危险截面。最大弯矩 +
材料力学第五章
思考：
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
FSC
q0 x q ( x) l
是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的 合力代替来求截面C的内力？
§5-3 剪力和弯矩
例题 解： 1. 确定支反力 Fy 0 FAy FBy 2 F
M
FAy 2. 用截面法研究内力 FSE ME FAy FBy
A
0
FBy 3a Fa 2 F a F 5F FBy FAy 3 3 F 5F F 0 F 2 F F y SE SE 3 3 a 5F 3a M 0 2 F M O E 2 3 2 3Fa ME 2
a
F
b
A
FAY
x1
C x2
l
B
FBY
例题5-3 图示简支梁C点受集中力作用。 试写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。 解：1．确定约束力 M A＝0， M B＝0
FS
Fb / l
FAy＝Fb/l
FBy＝Fa/l
Fa / l
Fab / l
M
2．写出剪力和弯矩方程 ＝Fb / l 0 x1 a x AC FS x1 M x1 ＝Fbx1 / l 0 x1 a FS x2 ＝ Fa / l a x2 l CB M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
FCy
D
FBy 29kN
§5-2
受弯杆件的简化
q =20kN/m F MA Me=5kN· m C A B FAx D E K FBy FAy 1m 3m 1m 1m
AB梁
F F
0.5m
x y
0 0 0
FAx 0
材料力学《第五章》弯曲应力
O2
1
2
O z
y
距中性层为 y 处纵向纤维 ab的变形：
dx
1
2
弯曲前： ab = O1O2 = dx
弯曲后： ab = (r + y)dq
中性层长度不变：
O1
O2
y
a
b
1
2
O1O2 = O1O2 = dx = r dq ab = dx = r dq
M
dq r
M
1
2
ab 的伸长：
O1
D ab = ab – ab = (r + y)dq –r dq = ydq a
∴ 最大弯曲正应力
σmaxMIm zyaxIz
M ymax
令 Wz = Iz /ymax ，称 Wz 为横截面的抗弯截面系数。
∴
σ max
M Wz
四、公式适用条件
1. 纯弯曲：平面假设条件下；
2. 弹性范围内，且 Ec = Et 3. 对称弯曲，y 轴为梁横截面的纵向对称轴。
∴ 公式 1 M 、σ My
应力s 仍按线性规律分布，纯弯曲正应力公式仍可适用。
2. 当 FS 随截面位置变化时： 因 FS不同，各横截面翘曲程度不同，各纵向纤维将产生附加的 伸长或缩短，将产生附加的正应力s。
但当梁 l > 5h 时，FS产生的附加正应力 s 与 M 引起的 s 相比很小，
在工程计算中可略去，纯弯曲正应力公式仍可适用，误差 <1%。
Oy M
yzz s
s
y
dA
令 Iz = ∫A y2dA，称 Iz 为横截面对 z 轴的惯性矩。
横截面一定时， Iz 一定。
∴
上海交通大学
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a