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高考数学刷题首选卷第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试34二元一次不等式组与简单的线性规划

考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决一、基础小题1．不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案 C解析由y (x ＋y －2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项．2.已知点A (－3，－1)与点B (4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) 答案 B解析 (－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，所以－7＜a ＜24.故选B.3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A ．3 B.52C ．2D ．2 2 答案 C解析因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A (0，1)，B (1，0)，C (2，3)，故|AB |＝2，|AC |＝22，所以其面积为12×|AB |×|AC |＝2.4．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则3x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6 答案 C解析作不等式组的可行域，如图：令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z 2表示一系列平行于y ＝－32x 的直线，并且z2表示该直线的纵截距．显然，把直线y ＝－32x 平移至点A 处，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，3x ＋y －4＝0得A (1，1)．所以z max ＝3x ＋2y ＝3＋2＝5.故选C.5．已知点(a ，b )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥－1内的任意一点，则3a －b 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0 答案 B解析根据题意可知(a ，b )在如图阴影中，设z ＝3a －b .则b ＝3a －z ，所以－z 可以理解为y ＝3x ＋t 中的纵截距t .因而当y ＝3x ＋t 过点(0，2)时，t 最大为2.即－z 最大为2，所以z 最小为－2.6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －y ≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝x ＋3y 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，3]C ．[3，＋∞) D．[2，＋∞) 答案 D解析作不等式组表示的平面区域，如图．平移直线x ＋3y ＝0到点A 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －1＝0，解得点A 12，12，所以z min ＝12＋32＝2，无最大值．故选D.7．在如图所示的平面区域内有A (5，3)，B (1，1)，C (1，5)三点，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的值是( )A.23B.12 C ．2 D.32答案 B解析由题意知，当z ＝ax ＋y 与直线AC 重合时最优解有无穷多个．因为k AC ＝－12，所以－a ＝－12，即a ＝12.故选B.8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2 B.322 C ．4 D ．3答案 D解析画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1，2)，B (4，1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析由不等式2x ＋y <6，得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1，2，3，此时整点有(1，1)，(1，2)，(1，3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2，1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.故选C.10．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为( )A ．11280元B ．12480元C ．10280元D ．11480元答案 B解析设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10，0≤y ≤20，8x ＋2.5y ≥100，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10，8)，B (10，20)，C (6.25，20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10，8)时，运费最低，且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12480(元)，选B.11．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数y ＝log a x (a >1)的图象上的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞) B．(1，3) C ．[3，＋∞) D．(1，3] 答案 C解析作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥10，x ＋3y ≤6表示的平面区域D ，如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋3y ＝6，解得点A (3，1)．由a >1，对数函数的图象经过可行域，此时满足log a 3≤1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞)，故选C.12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2，2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2，2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.二、高考小题13．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45 答案 C解析由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出基本直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2，3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21.故选C.14．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 9解析不等式组表示的可行域是以A (5，4)，B (1，2)，C (5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z ＝x ＋y 的最大值在顶点A 处取得，即当x ＝5，y ＝4时，z max ＝9.15．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案 6解析根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由z ＝3x ＋2y 可得y ＝－32x ＋12z ，画出直线y ＝－32x ，将其上下移动，结合z2的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2＝0，y ＝0，解得B (2，0)，此时z max ＝3×2＋0＝6.16．(2018·全国卷Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________．答案 3解析作出可行域如图阴影部分．由图可知目标函数在直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点(2，3)处取得最大值3.17．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．答案－2 8解析由约束条件得可行域是以A (1，1)，B (2，2)，C (4，－2)为顶点的三角形区域(含边界)，如图．当直线y ＝－13x ＋z3过点C (4，－2)时，z ＝x ＋3y 取得最小值－2，过点B (2，2)时，z ＝x ＋3y 取得最大值8.18．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．答案 3解析由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，则y ＝12x ＋12z ，当直线y ＝12x ＋12z 过A (1，2)时，z 取得最小值3.三、模拟小题19．(2018·山西太原模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( ) A.53，5 B ．[0，5] C.53，5 D ．－53，5答案 D解析作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是－53，5.20．(2018·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A.12，2B.12，43C.12，2D.43，2 答案 C解析作不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得B (2，1)，平面区域M 即为图中阴影部分△ABC ，直线y ＝kx 经过区域M 内的点A 时，k ＝2，直线y ＝kx 经过区域M 内的点B 时，k ＝12，故12≤k ≤2，故选C.21．(2018·长沙统考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋3y ≤4，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－12答案 A解析作不等式组表示的平面区域如图．当直线l ：y ＝－ax ＋z 经过△AOB 区域时，l 在y 轴上的最大截距为4，则点B (2，0)为最优解，所以z ＝2a ＝4，即a ＝2，故选A.22．(2018·太原模拟)已知不等式ax －2by ≤2在平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}上恒成立，则动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32 答案 A解析作平面区域{(x ，y )||x |≤1且|y |≤1}，如图1所示．该平面区域表示正方形ABCD 内部(含边界)．令z ＝ax －2by ，因为ax －2by ≤2恒成立，则函数z ＝ax －2by 在该平面区域要求的条件下，z max ＝2恒成立．当直线ax －2by －z ＝0过点A (－1，1)或B (1，1)或C (1，－1)或D (－1，－1)时，有⎩⎪⎨⎪⎧－a －2b ≤2，a －2b ≤2，a ＋2b ≤2，－a ＋2b≤2，再作该不等式组表示的可行域，即菱形EFGH 内部(含边界)．如图2所示．其中H (－2，0)，F (2，0)，E (0，1)，G (0，－1)，所以动点P (a ，b )所形成平面区域的面积为12×4×2＝4.故选A.23．(2018·湖北八市联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，2x －y ≥m .若z ＝x ＋2y 有最大值4，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－2C ．－1D ．1 答案B解析可行域所表示区域为三条直线所封闭的三角形区域(含边界)，如图阴影部分所示．依题意，有直线y ＝－12x ＋z 2的纵截距z2有最大值2，则结合图形可知需满足直线2x －y＝m 过点(0，2)，从而m ＝2×0－2＝－2，故选B.24．(2018·河北石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13 D ．－75 答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3，2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min＝1－125＝－75.故选D. 25．(2018·河北石家庄质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥3，y －2≤0，则y ＋1x的最大值为________．答案 3解析题设中的约束条件如图中阴影部分所表示的区域，则y ＋1x表示可行域内点P (x ，y )与B (0，－1)的连线的斜率，由图知，当P 位于A (1，2)时，y ＋1x 取得最大值2＋11＝3.26．(2018·福州模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两个工种，已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元，该厂每个月木工最多完成8000个工作时，漆工最多完成1300个工作时，根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．答案2100000解析依题意，设每个月生产x 把椅子、y 张桌子，那么利润t ＝1500x ＋2000y .其中x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N *，4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，可行域如图中阴影部分所示，对于不同的t 值，t＝1500x ＋2000y 表示一组斜率为－34的平行线，且t 越大，相应的直线位置越高；t 越小，相应的直线位置越低．依题意，要求t 的最大值，需把直线t ＝1500x ＋2000y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，显然当直线通过点B 时，处在这组平行线的最高位置，此时t 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ＝8000，2x ＋y ＝1300，得点B (200，900)，从而t max ＝1500×200＋2000×900＝2100000(元)，即生产200把椅子、900张桌子可获得最大利润2100000元．一、高考大题1．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．二、模拟大题2．(2018·广东佛山月考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3，4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4，2)．3．(2018·福建泉州质检)画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3，8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．。

2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试37直接证明与间接证明文含解析

考点测试直接证明与间接证明高考概览考纲研读.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点．了解反证法的思考过程和特点一、基础小题．命题“对于任意角θ，θ－θ＝θ”的证明：“θ－θ＝(θ－θ)·(θ＋θ)＝θ－θ＝θ”过程应用了( )．分析法．综合法．综合法、分析法综合使用．间接证明法答案解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于°”，应假设( )．三个内角至多有一个大于°．三个内角都不大于°．三个内角都大于°．三个内角至多有两个大于°答案解析“三角形内角至少有一个不大于°”即“三个内角至少有一个小于等于°”，其否定为“三角形内角都大于°”．故选.．若，，是不全相等的实数，求证：＋＋>＋＋.证明过程如下：∵，，∈，∴＋≥，＋≥，＋≥.又∵，，不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得(＋＋)>(＋＋)．∴＋＋>＋＋.此证法是( )．分析法．综合法．分析法与综合法并用．反证法答案解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设>>，且＋＋＝，求证<”索的因应是( )．－> ．－>．(－)(－)> ．(－)(－)<答案解析<⇔－<⇔(＋)－<⇔＋＋－－<⇔－＋＋<⇔－－>⇔(－)(＋)>⇔(－)(－)>.．若＝＋，＝＋，≥，则，的大小关系是( )．> ．＝．< ．由的取值确定答案解析令＝，则＝≈，＝＋≈，∴<.据此猜想≥时<.证明如下：要证<，只要证<，只要证＋＋<＋＋，只要证＋<＋＋，只要证<，∵<成立，∴<成立．故选.．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )窗口……过道………窗口，．，．，．，答案解析由已知图形中座位的排序规律可知，被除余的数和能被整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的组座位号知，只有符合条件．．有名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：号或号选手得第一名；观众乙猜测：号选手不可能得第一名；观众丙猜测：，，号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：，，号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有人猜对比赛结果，此人是( )．甲．乙．丙．丁答案解析若，号得第一名，则乙丙丁都对，若号得第一名，则只有丁对，若，号得第一名，则甲乙都对，若号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对．故选.．记＝＋＋＋…＋，则与的大小关系是．答案<解析∵<，<，…，＝<，∴＝＋＋＋…＋<＋＋…＋＝.二、高考小题．(·山东高考)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋＝至少有一个实根”时，要做的假设是( )．方程＋＋＝没有实根．方程＋＋＝至多有一个实根．方程＋＋＝至多有两个实根．方程＋＋＝恰好有两个实根答案解析“方程＋＋＝至少有一个实根”的否定是“方程＋＋＝没有实根”．三、模拟小题．(·山东济南模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程＋＋＝(≠)有有理数根，那么，，中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )．假设，，都是偶数．假设，，都不是偶数．假设，，至多有一个偶数．假设，，至多有两个偶数答案解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故选.．(·宁夏银川调研)设，，是不全相等的正数，给出下列判断：①(－)＋(－)＋(－)≠；②>，<及＝中至少有一个成立；③≠，≠，≠不能同时成立．其中正确判断的个数为( )．．．．答案解析①②正确；③中，≠，≠，≠可以同时成立，如＝，＝，＝，故正确的判断有个．．(·长春模拟)设，，都是正数，则＋，＋，＋三个数( )．都大于．都小于．至少有一个不大于．至少有一个不小于答案解析假设＋，＋，＋都小于，则有＋＋＋＋＋<.因为，，都是正数，所以＋＋＋＋＋＝＋＋≥＋＋＝，这与＋＋＋＋＋<矛盾，故假设不成立，所以＋，＋，＋至少有一个不小于.故选.．(·山东烟台模拟)设>>，＝－，＝，则，的大小关系是．答案>解析解法一(取特殊值法)：取＝，＝，则<.解法二(分析法)：－<⇐＋>⇐<＋·＋－⇐·>，显然成立．一、高考大题．(·北京高考)设为正整数，集合＝{αα＝(，，…，)，∈{，}，＝，，…，}．对于集合中的任意元素α＝(，，…，)和β＝(，，…，)，记(α，β)＝[(＋－－)＋(＋－－)＋…＋(＋－－)]．()当＝时，若α＝(，，)，β＝(，，)，求(α，α)和(α，β)的值；()当＝时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素α，β，当α，β相同时，(α，β)是奇数；当α，β不同时，(α，β)是偶数．求集合中元素个数的最大值；()给定不小于的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素α，β，(α，β)＝.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．解()因为α＝(，，)，β＝(，，)，所以(α，α)＝[(＋－－)＋(＋－－)＋(＋－－)]＝，(α，β)＝[(＋－－)＋(＋－－)＋(＋－－)]＝.()设α＝(，，，)∈，则(α，α)＝＋＋＋.由题意知，，，∈{，}，且(α，α)为奇数，所以，，，中的个数为或.所以⊆{(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(，，，)，(，，，)；(，，，)，(，，，)；(，，，)，(，，，)；(，，，)，(，，，)．经验证，对于每组中两个元素α，β均有(α，β)＝.所以每组中的两个元素不可能同时是集合的元素．所以集合中元素的个数不超过.又集合{(，，，)，(，，，)，(，，，)，(，，，)}满足条件，所以集合中元素个数的最大值为.()设＝{(，，…，)(，，…，)∈，＝，＝＝…＝－＝}(＝，，…，)，＋＝{(，，…，)＝＝…＝＝}，所以＝∪∪…∪＋.对于(＝，，…，－)中的不同元素α，β，经验证，(α，β)≥.所以(＝，，…，－)中的两个元素不可能同时是集合的元素．所以中元素的个数不超过＋.取＝(，，…，)∈且＋＝…＝＝(＝，，…，－)．令＝{，，…，－}∪∪＋，则集合的元素个数为＋，且满足条件．故是一个满足条件且元素个数最多的集合．．(·江苏高考)记′()，′()分别为函数()，()的导函数，若存在∈，满足()＝()且′()＝′()，则称为函数()与()的一个“点”．()证明：函数()＝与()＝＋－不存在“点”；()若函数()＝－与()＝存在“点”，求实数的值；()已知函数()＝－＋，()＝，对任意>，判断是否存在>，使函数()与()在区间(，＋∞)内存在“点”，并说明理由．解()证明：函数()＝，()＝＋－，则′()＝，′()＝＋，由()＝()且′()＝′()，得此方程组无解．因此，()＝与()＝＋－不存在“点”．()函数()＝－，()＝，则′()＝，′()＝，设为()与()的“点”，由()＝()且′()＝′()，得即(*)得＝－，即＝－，则＝＝.当＝时，＝－满足方程组(*)，即为()与()的“点”，因此，的值为.()′()＝－，′()＝，≠，′()＝′()⇒＝－>⇒∈(，)，()＝()⇒－＋＝＝－⇒＝－，令()＝－－＝，∈(，)，>，设()＝－＋＋－，∈(，)，>，则()＝－<，()＝>⇒()·()<，又()的图象在(，)上连续不断，∴()在(，)上有零点，则()在(，)上有零点．因此，对任意>，存在>，使函数()与()在区间(，＋∞)内存在“点”．二、模拟大题．(·贵州安顺调研)已知函数()＝－，求证：对于任意的，∈，均有≥.证明要证明≥，即证明≥－·，因此只要证明－(＋)≥－(＋)，即证明≥，因此只要证明≥，由于，∈时，>，>，由基本不等式知≥(当且仅当＝时，等号成立)显然成立，故原结论成立．．(·山东临沂三校联考)已知数列{}的前项和为，且满足＋＝.()求数列{}的通项公式；()求证：数列{}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解()当＝时，＋＝＝，则＝.又＋＝，所以＋＋＋＝，两式相减得＋＝，所以{}是首项为，公比为的等比数列，所以＝.()证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为＋，＋，＋(<<，且，，∈*)，则·＝＋，所以·－＝－＋.①又因为<<，且，，∈*，所以－，－∈*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．。

高考数学(理)二轮专题练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式S 1n ＝ 1．已知前 n 和 S n ＝a 1＋ a 2＋ a 3＋ ⋯ ＋a n ， a n ＝ .S n － S n －1n由 S n 求 a n ，易忽视 n ＝1 的状况．[1] 已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ＝ n 2＋ 1， a n ＝ ________. 答案2， n ＝ 12n － 1，n ≥22．等差数列的相关观点及性(1) 等差数列的判断方法：定法a n ＋ 1－ a n ＝ d(d 常数 )或 a n ＋1－ a n ＝ a n － a n －1 (n ≥ 2)．(2) 等差数列的通： a n ＝ a 1＋ ( n － 1)d 或 a n ＝ a m ＋ (n － m)d.(3) 等差数列的前 n 和： S n ＝n a 1＋ a n ， S n ＝ na 1＋ n n －d.22(4) 等差数列的性①当公差 d ≠0 ，等差数列的通公式a n ＝ a 1＋ (n － 1) ·d ＝ dn ＋ a 1 －d 是对于 n 的一次函数， n n －d 2 d且斜率公差 d ；前 n 和 S n ＝ na 1＋2d ＝n ＋(a 1－ )n 是对于 n 的二次函数且常数220.②若公差 d>0，增等差数列；若公差 d<0，减等差数列；若公差d ＝ 0，常数列．③当 m ＋ n ＝ p ＋ q ，有 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q ，特地，当 m ＋ n ＝ 2p ，有 a m ＋ a n ＝ 2a p .④ S n ， S 2n － S n ， S 3n － S 2n 成等差数列．nn ，且 S 10＝ 12，S 20＝17， S 30 ()[2] 已知等差数列 { a } 的前 n 和 SA ．15B ． 20C ． 25D ．30答案 A3．等比数列的相关观点及性(1) 等比数列的判断方法：定法a n＋1＝ q(q 常数 )，此中 q ≠0， a n ≠0或a n＋1＝a n(n ≥ 2)．如一a na n a n －1个等比数列 { a n } 共有 2n ＋ 1 ，奇数之100，偶数之120， a n ＋ 1＝5.6(2) 等比数列的通： a n ＝ a 1q n － 1 或 a n ＝a m q n － m.(3) a 1－q n a 1－ a n q等比数列的前 n 和：当 q ＝1 ， S n ＝ na 1 ；当 q ≠1 ， S n ＝1－ q＝.1－ q易警告：因为等比数列前n 和公式有两种形式，此在求等比数列前n 和，第一要判断公比 q 能否1，再由q 的状况乞降公式的形式，当不可以判断公比q 能否1 ，要q 分 q ＝ 1 和q ≠1两种情况求解．(4) 等比中：若a ， A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中．得注意的是，不是任何两数都有等比中，只有同号两数才存在等比中，且有两个，即 ± ab.如已知两个正数 a ， b( a ≠b)的等差中A ，等比中B ，A 与B 的大小关系A>B.(5) 等比数列的性当 m ＋ n ＝ p ＋ q ，有a m ·a n ＝ a p ·a q ，特地，当 m ＋ n ＝ 2p ，有 a m ·a n ＝ a2p.[3] (1)在等比数列 { a n } 中，a 3＋ a 8＝ 124，a 4a 7＝－ 512，公比 q 是整数，a 10＝________.(2) 各均正数的等比数列 { a n } 中，若 a 5·a 6＝ 9， log 3a 1＋log 3a 2＋ ⋯＋ log 3a 10＝ ________.答案(1)512 (2)104．数列乞降的方法(1) 公式法：等差数列、等比数列乞降公式；(2) 分乞降法； (3) 倒序相加法； (4) 位相减法；(5) 裂法；如：11－ 1；1 ＝ 1 1 1 n n ＋＝n ＋ kk －n ＋ k.n n ＋ 1 nn(6) 并法．数列乞降要明确：数、通，并注意依据通的特色取适合的方法．[ 4] 数列 { a n } 足 a n ＋ a n ＋1 ＝12(n ∈ N ， n ≥ 1)，若 a 2＝ 1，S n 是 { a n } 的前 n 和， S 21 的________．9 答案25．在求不等式的解集、定域及域，其果必定要用会合或区表示，不可以直接用不等式表示．[ 5]不等式－ 3x 2＋ 5x － 2>0 的解集 ________．2答案， 16．不等式两头同乘以一个数或同除以一个数，必个数的正．两个不等式相乘，必注意同向同正才能行．[6] 已知 a ， b ， c ， d 正数，且 c>d ， “a>b ”是 “ac>bd ”的 ________条件．答案充足不用要a＋ b7．基本不等式：≥ ab (a，b>0)2(1) 推行：a2＋ b2 a＋ b2(a， b>0) ．≥≥ ab≥221＋1a b(2) 用法：已知 x， y 都是正数，①若 xy 是定 p，当 x＝ y ，和 x＋y 有最小 2 p；②若和 x＋ y 是定 s，当 x＝y ， xy 有最大1 2 4s .易警告：利用基本不等式求最，要注意“一正、二定、三相等”的条件．[7]1＋4的最小是 ________．已知 a>0， b>0， a＋ b＝1， y＝a b答案 98．解性划，要注意界的虚；注意目函数中y 的系数的正；注意最整数解．[8]x≥0，定点 A(0,1)，点 P(x， y)的坐足条件|PA|的最小是 ________．y≤x，答案22易点 1 忽等比数列中公比的分致例 1等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，若 S3＋ S6＝ S9，数列的公比q 是 ________．解－ 1找准失分点当 q＝ 1 ，切合要求．好多考生在做本都想自然地q≠1.正解①当 q＝ 1 ， S3＋ S6＝ 9a1， S9＝9a1，∴ S3＋ S6＝ S9建立．②当 q≠1 ，由 S3＋ S6＝ S9得 a1－ q 3＋ a1－ q6＝ a1－ q91－ q1－ q1－ q∴q9－ q6－ q3＋ 1＝ 0，即 (q3－ 1)(q6－ 1)＝ 0.36∵ q≠1，∴ q － 1≠0，∴ q ＝ 1，∴ q＝－ 1.易点 2忽分或不妥致例 2 若等差数列 { a n} 的首 a1＝ 21，公差 d＝－ 4，求： S k＝ |a1 |＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|.解由意，知a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，25，即数列 { a n} 的前 6大于 0，从第 7 开始，此后各均小于 0.所以由 a n≥0，解得 n≤4|a1|＋ |a2 |＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132所以 S k＝ 2k2－ 23k＋132.找准失分点忽了 k≤6 的状况，只出了k≥7 的状况．正解由意，知 a n＝ 21－ 4(n－1)＝ 25－ 4n，所以由25，即数列 { a n} 的前 6 a n≥0，解得 n≤4大于 0，从第 7 开始，此后各均小于0.当 k≤6 ，S k＝ |a1|＋ |a2 |＋⋯＋ |a k|＝ a1＋ a2＋⋯＋a k＝－ 2k2＋ 23k.当 k≥7 ， |a1|＋ |a2|＋ |a3|＋⋯＋ |a k|＝(a1＋ a2＋ a3＋⋯＋a6 )－ (a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2(a1＋ a2＋⋯＋a6)－ (a1＋ a2＋⋯＋ a6＋ a7＋ a8＋⋯＋ a k)＝2k2－ 23k＋132，－2k2＋23k k所以 S k＝k .2k2－23k＋易点 3忽等比数列中的含条件致例 3各均数的等比数列{ a n} 的前 n 和 S n，若 S10＝10，S30＝ 70， S40＝________.解150 或－ 200找准失分点数列 S10， S20－ S10， S30－ S20， S40－S30的公比 q10>0.忽视了此含条件，就生了增解－ 200.正解b1＝ S10， b2＝ S20－ S10，b3＝ S30－S20，b4＝S40－S30，b1， b2， b3， b4是以公比r ＝q10>0 的等比数列．∴b1＋ b2＋ b3＝ 10＋ 10r＋ 10r 2＝ S30＝ 70，∴r2＋ r－ 6＝ 0，∴ r ＝ 2 或 r＝－ 3(舍去 )，∴ S40＝ b1＋ b2＋ b3＋ b4＝－ 24＝150. 1－ 2答案 150易点 4忽基本不等式中等号建立的条件致例 4 已知： a>0，b>0， a＋ b＝ 1，求 a＋12＋ b＋12的最小．a b121 22 21 1错解由 a ＋ a ＋ b ＋b ＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 42 ＋ 4≥4 1 ≥2ab ＋ab ab · ＋ 4＝ 8，ab得 a ＋1a 2＋ b ＋1b 2的最小值是 8.找准失分点两次利用基本不等式，等号不可以同时取到．正解1 2＋1 2a ＋ ab ＋b221 1 2211＝ a ＋ b ＋ a 2＋ b 2＋ 4＝ (a ＋ b)＋ a 2＋b 2＋ 4 21122＝ [(a ＋ b) －2ab]＋＋－＋ 41＝ (1－ 2ab) 1＋a 2b 2 ＋ 4由 ab ≤a ＋ b 2＝ 1，得 1－ 2ab ≥1－1＝ 1，24 2 211且 a 2b 2≥16,1＋ a 2b 2≥17.1 2511 2＋ 1 2 的最小值是 25∴原式 ≥时，等号建立 )， ∴a ＋ab ＋ b2.2×17＋ 4＝ 2 (当且仅当 a ＝ b ＝21．在等差数列 { a n } 中，已知 a 3＋ a 8＝ 10，则 3a 5＋ a 7 等于 ( )A ．10B ．18C ． 20D ．28答案 C分析因为 a 3＋ a 8＝ 10，所以由等差数列的性质，得a 5＋ a 6＝ 10，所以 3a 5 ＋ a 7＝2a 5＋ 2a 6＝ 20，选 C.1 12．若 a |b|；③ a0，所以 a ＋ b<ab ，即 ① 正确；1 1 <0，得1 > 1，由 < a b a b两同乘 |ab|，得 |b|>|a|，故 ② ；由 ①② 知 |b|>|a|， a<0， b<0，所以 a>b ，即 ③ ， B.1 13．已知， x>1 ， y>1，且 4ln x ， 4，ln y 成等比数列， xy 有 ()A ．最小 eB ．最小 eC ．最大 eD ．最大e答案 A分析x>1， y>1，且 1ln x ，1， ln y 成等比数列， 1ln x ·ln y ＝ ( 1 )2，即 1＝ ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y )2，44 4 4 42ln x ＋ ln y ≥1， ln xy ≥1，故 xy ≥e.4．等比数列 { a n } 的前 n 和 S n ，若 S 10∶ S 5＝ 1∶ 2， S 15∶ S 5 等于 ( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3答案A分析∵ { a n } 是等比数列，∴ S 5， S 10－ S 5， S 15－ S 10 也组成等比数列，S 5＝ 2k(k ≠0)， S 10＝k ，可得 S 10－ S 5＝－ k ，而得 S 15－ S 10＝12k ，于是 S 15＝ 32k ，3故S 15∶S 5＝2k ∶ 2k ＝ 3∶ 4.5．把一数列挨次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，⋯ 循分 (1)， (3,5)，(7,9,11) ，(13)， (15,17) ，(19,21,23) ， (25) ，⋯ ，第50 个括号内各数之和 ()A ．195B ．197C ． 392D ．396答案 C分析将三个括号作一，由 50＝ 16×3＋2，知第 50 个括号第 17 的第二个括号，即第 50 个括号中是两个数．又因每中含有6 个数，所以第 48 个括号的最末一个数数列 {2 n － 1} 的第 16×6＝96 ，第 50 个括号的第一个数数列 {2 n － 1} 的第 98 ，即 2×98－ 1＝ 195，第二个数2×99－ 1＝ 197，故第 50 个括号内各数之和 195＋ 197＝ 392.故 C.6．已知点 A(m ， n)在直 x ＋ 2y － 1＝ 0 上， 2m ＋ 4n 的最小 ________．答案 2 2分析点 A(m ，n)在直 x ＋ 2y －1＝ 0 上， m ＋ 2n ＝ 1；2m ＋ 4n ＝ 2m ＋22 n ≥2 2m ·22n ＝2 2m ＋2n＝ 2 2.a＋b27．已知 x>0， y>0， x， a， b，y 成等差数列， x，c， d， y 成等比数列，的最小cd是 ________．答案4分析由 x， a， b， y 成等差数列知a＋b＝ x＋ y，①由 x， c，d， y 成等比数列知 cd＝ xy，②a＋ b2a＋ b 2x＋ y 2x2＋ y2＋ 2xy≥4，∴a＋ b2把①② 代入得＝＝xy cd 的最小 4.cd cd xy0≤x≤ 28．已知平面直角坐系xOy 上的地区 D 由不等式 y≤2定．若 M(x，y) D 上的x≤ 2y点，点 A 的坐→ →( 2， 1)， z＝ OM ·OA的最大 ________．答案4分析画出可行域 D ，如中暗影部分所示，而→ →2x＋ y，z＝ OM·OA＝∴y＝－ 2x＋z，令 l0： y＝－ 2x，将 l0平移到点 ( 2， 2)，截距 z 有最大，故 z max＝2× 2＋ 2＝ 4.9．已知函数 f(x)＝－ax＋x，*)，且2(a>0， a≠ 1)．数列 { a n} 足 a n＝ f(n)(n∈Nx－5xa{ a n} 是增数列，数 a 的取范是 ________．答案(4,8)分析∵ { a n} 是增数列，a4－2>0a<8∴ a>1，a>1，－a×6＋ 4<a2a<－ 7或a>42∴ 4<a<8.10．已知正数列{ a n} ，其前 n 和 S n足 8S n＝ a2n＋ 4a n＋3，且 a2是 a1和 a7的等比中．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2) 符号 [x] 表示不超数x 的最大整数，b n＝ [log 2(a n＋ 34)] ，求 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n.解(1)由 8S n＝ a2n＋ 4a n＋ 3，①知 8S n－1＝a2n－1＋4a n－1＋ 3(n≥2， n∈N)．②由① －②得 8a n＝ (a n－ a n－1)( a n＋ a n－1)＋4a n－ 4a n－1，整理得 (a n－ a n－1－ 4)(a n＋ a n－1)＝ 0(n≥2， n∈N)．∵{ a n} 正数列，∴a n＋ a n－1>0，∴a n－ a n－1＝ 4(n≥2， n∈N )．∴{ a n} 公差 4 的等差数列，由 8a1＝ a21＋ 4a1＋3，得 a1＝ 3 或 a1＝ 1.当 a1＝ 3 ， a2＝ 7， a7＝ 27，不足 a2是 a1和 a7的等比中．当 a1＝ 1 ， a2＝ 5， a7＝ 25，足 a2是 a1和 a7的等比中．∴ a n＝ 1＋(n－1)4＝ 4n－ 3.(2) 由 a n＝ 4n－ 3 得 b n＝ [log 2a n＋ 3( 4)] ＝ [log 2n] ，由符号 [x]表示不超数 x的最大整数知，当2m≤n<2 m＋1，n [log 2n]＝ m，所以令S＝ b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ [log 2 1]＋ [log 22]＋ [log 23]＋⋯＋ [log 22 ]＝ 0＋ 1＋ 1＋ 2＋⋯＋ 3＋⋯＋ 4＋⋯＋n－ 1＋⋯＋ n.∴S＝ 1×21＋ 2×22＋ 3×23＋ 4×24＋ (n－ 1) ×2n－1＋ n，①2345n2S＝ 1×2 ＋2×2 ＋ 3×2 ＋ 4×2 ＋( n－ 1) ×2 ＋ 2n.②－S＝ 2＋ 22＋ 23＋ 24＋⋯＋2n－1－ (n－ 1)2n－ n＝－2n－ 1－ (n－ 1)2n－n＝ (2－ n)2n－ n－ 2，1－ 2∴S＝ (n－ 2)2n＋n＋ 2，即 b1＋ b2＋ b3＋⋯＋ b2n＝ (n－ 2)2n＋ n＋ 2.。

2020高考数学刷题首选单元测试五不等式推理与证明算法初步与复数文含解析

单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·南昌摸底)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 B 解析因为z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i ，则复数z 的虚部为－1，故选B. 2．(2018·太原三模)已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，故选C.3．(2018·大庆质检一)若m >n >0，p <q <0，则一定有( ) A.m q >np B.m q <n p C.m p >n qD.m p <n q答案 B解析由m >n >0，p <q <0，可得|m |>|n |>0，|p |>|q |>0，所以n p <m q ，而m p ，m q ，n p ，n q均为负数，所以n p >m q .而m p 与n q的大小则无法比较，故选B.4．(2018·青岛质检)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ＋z (1＋i)＝3－4i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，故z ＋z (1＋i)＝a ＋b i ＋(a －b i)(1＋i)＝(2a ＋b )＋a i ＝3－4i ，则a ＝－4，b ＝11，故z ＝－4＋11i ，则在复平面内，复数z 所对应的点为(－4，11)，位于第二象限．故选B.5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 D解析不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2，1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.7．(2018·长春质检)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b 有最大值4 B.ab 有最小值12 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值 2.故选C.8．(2018·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为( )A．120 B．84 C．56 D．28答案 B解析第一次循环，i＝0＋1＝1，n＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1；i<7，第二次循环，i＝1＋1＝2，n＝1＋2＝3，S＝1＋3＝4；i<7，第三次循环，i＝2＋1＝3，n＝3＋3＝6，S＝4＋6＝10；i<7，第四次循环，i＝3＋1＝4，n＝6＋4＝10，S＝10＋10＝20；i<7，第五次循环，i＝4＋1＝5，n＝10＋5＝15，S＝20＋15＝35；i<7，第六次循环，i＝5＋1＝6，n＝15＋6＝21，S＝35＋21＝56；i<7，第七次循环，i＝6＋1＝7，n＝21＋7＝28，S＝56＋28＝84；i ＝7，结束循环，输出S＝84.故选B.9．(2018·湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．10．(2018·山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1 B.12 C.14 D.16答案 D解析作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max＝1，即(ab )max ＝16.11．(2018·河南郑州三模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为( )答案 C解析由题意可知，5288用算筹式表示，从左到右依次是横式5，纵式2，横式8，纵式8.故选C.12．(2019·邯郸调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 答案 A解析因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4(b －1)＋16(a －1)(a －1)(b －1)＝4b ＋16a －20ab －(a ＋b )＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2 b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析因为a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5为实数，所以－a ＋25＝0，解得a ＝－2.14．(2018·长春质检二)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序框图是依据更相减损术写出来的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出a 的值为________．答案 13解析第一次循环得：a ＝91－39＝52；第二次循环得：a ＝52－39＝13；第三次循环得：b ＝39－13＝26；第四次循环得：b ＝26－13＝13，此时a ＝b ，所以输出13.15．(2018·大庆质检一)若f (x )＝e x ln a ＋e －xln b 为奇函数，则1a ＋2b的最小值为________．答案 2 2解析由f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，则有f (0)＝ln a ＋ln b ＝0，即ab ＝1.从而1a ＋2b≥22ab ＝22，当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时，取等号． 16．(2018·豫南九校联考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x ，y )∈D ，不等式t －4<x －2y ＋6<t ＋4恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (3，5)解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．设z ＝x －2y ＋6，平移直线y ＝12x ，可知z ＝x －2y ＋6在A (3，4)处取得最小值1，在C (1，0)处取得最大值7，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －4<1，t ＋4>7，解得3<t <5.故实数t 的取值范围是(3，5)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(2018·湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2. 19．(本小题满分12分)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解不等式x 2－x －2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，即为(2x ＋5)(x ＋k )<0，(*)当－k ＜－52，即k ＞52时，(*)的解集是－k ，－52，此时－2不在不等式组的解集中，所以k >52不符合题意；当－k ＝－52，即k ＝52时，(*)无解，也不符合题意；当－k ＞－52，即k <52时，(*)的解集是－52，－k .要使不等式组的整数解的集合为{－2}，借助数轴可得－2<－k ≤3，解得－3≤k <2，又k <52，所以－3≤k <2.综上，实数k 的取值范围是[－3，2)．20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．解 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.21．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)是否存在m 对所有的实数x 不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．解 (1)不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立；当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m (1－m )<0，则m 无解．综上可知，不存在这样的m . (2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72，解②得1－32<x <1＋32.由①②，得－1＋72<x <1＋32.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x－200 ＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000.∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．。

高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》经典测试题含解析

【高中数学】数学《推理与证明》高考知识点一、选择题1．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )A．100820182⨯⨯B．100920182C．1008⨯2020220202⨯D．1009【答案】C【解析】【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯；第二行第一个数为：1422=⨯；第三行第一个数为：21232=⨯；第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；故选C ．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【分析】【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=，111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.5．若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A ．12nn c c c d n++⋯+=B ．12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C ．n d =D ．n d =【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．【详解】解：Q 数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列Q 正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ，则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴121n n d c q-=∴n d =故选：D ．【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．6．设a ，b ，c 都大于0，则三个数1a b +，1b c +，1c a+的值（） A ．至少有一个不小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．至多有一个不小于2 D ．至多有一个不大于2【答案】A 【解析】【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，即可得出答案【详解】因为a ，b ，c 都大于01111116a b c a b c b c a a b c +++++=+++++≥ 当且仅当1a b c ===时取得最小值若12a b +<，12b c+<，12c a +<则1116a b c b c a+++++<，与前面矛盾所以三个数1a b +，1b c +，1c a+的值至少有一个不小于2 故选：A 【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，掌握基本不等式是解题的关键.7．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．8．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论. 【详解】由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，丁：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，所以可以断定值班人是甲. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.9．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中，猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中，由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基10．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -，首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试33 一

考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32答案 A解析不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x x －1≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C解析不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[2，－∞) B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值X 围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1}答案 C解析当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，36k 2－4k k ＋8≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1.6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选 A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14 C ．12 D ．－1答案 C解析若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1－m －3m <0，f1＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx－3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝⎛⎭⎪⎫2，115D ．[－1,3]答案 A解析设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4a ＋2≥0，f 1≥0，f 3≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．答案 {x |0<x <2}解析不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值X 围为________．答案 m ≤9解析由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值X 围是________．答案 [45,80)解析因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤a5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值X 围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．答案 (a ，－a )解析因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·某某高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值X 围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1，23解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，23. 14．(2015·某某高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典某某高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝2m 2－1<0，f m ＋1＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典某某高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·某某二模)若a 0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d 0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·某某二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值X 围为(－2,1)．故选B.19．(2019·某某实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154B ．72C ．52D ．152答案 C解析因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·某某高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( ) A.63B ．233C ．433D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2019·某某模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值X 围．解由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 2．(2019·某某质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x.若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，某某数a 的取值X 围．解因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧h a ＝0≤0，ha ＋1＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－34. 3．(2019·某某八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，某某数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式．解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12；∴－12a －1＝0，∴a ＝－2.(2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a；若a ＝－1，则1a＝－1，不等式的解集为∅；若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1.当a ＞0时，不等式为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a.综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅；当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a＜x ＜－1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a .4．(2019·某某正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值X 围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0，因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <－a ＋1a ；当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·某某河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，因为a >0，且0<x <m <n <1a，所以x －m <0,1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。

高考数学考点练习第五章不等式推理与证明算法初步与复数35基本不等式试题文

考点测试35 基本不等式一、基础小题 1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a >0且b >0⇒a ＋b2≥ab ，但a ＋b2≥ab ⇒/ a >0且b >0，只能推出a ≥0且b ≥0.2．函数f (x )＝x ＋1x(x <0)的值域为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x ·1－x＝－2.3．设0<x <2，则函数y ＝x 4－2x 的最大值为( )A ．2B ．22C ． 3D ． 2答案 D解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x 4－2x ＝2·x 2－x ≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号．4．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象的最低点的坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)答案 D解析 y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当x ＝0时取最小值．5．设0<a 0，即ab >a ，D 错误，故选B.6．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，故排除D.应选C. 7．若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C 解析 ∵xy ≤x ＋y24，x >0，y >0，∴1xy≥4x ＋y2，x ＋y xy ≥4x ＋y ，∴x ＋y ＋4x ＋y≤5. 设x ＋y ＝t ，即t ＋4t≤5，得到t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a a .又1a ＋1b >21ab，∴v <ab .故a <v <ab ，故选A.9．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 1x ＋1y ＝(4x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝16，y ＝13时等号成立，此时x ，y 值存在，所以1x ＋1y的最小值为9，故选C.10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均存储时间为x8天，且每件产品每天的存储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与存储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，存储费用是x8元，总的费用y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，得x ＝80(件)，故选B.11．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5D ．5答案 B 解析 2a 2＋1ab ＋1aa －b－10ac ＋25c 2＝2a 2＋a －b ＋b ab a －b －10ac ＋25c 2＝2a 2＋1ba －b－10ac ＋25c 2≥2a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22－10ac ＋25c 2(b ＝a －b 时取“＝”)＝2a 2＋4a2－10ac ＋25c 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋4a 2＋(a －5c )2≥4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝2，b ＝22，c ＝25时取“＝”，故选B.12．设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，且a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则M 的取值范围是________．答案 [8，＋∞) 解析 M ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．二、高考小题13．[2015·福建高考]若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析因为直线x a＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 14．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 C解析依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为22，故选C.15．[2014·重庆高考]若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3答案 D解析由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，且a >0，b >0，∴a ＝4bb －3，由a >0，得b >3.∴a ＋b ＝b ＋4b b －3＝b ＋4b －3＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7，即a＋b 的最小值为7＋4 3.16．[2014·福建高考]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析设底面的边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160.(当且仅当x ＝y 时取等号) 故该容器的最低总造价是160元．17．[2015·重庆高考]设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．答案 3 2解析令t ＝a ＋1＋b ＋3，则t 2＝(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋2a ＋1·b ＋3 ≤9＋a ＋1＋b ＋3＝18，当且仅当a ＋1＝b ＋3时，即a ＝72，b ＝32时，等号成立．即t 的最大值为3 2.18．[2015·山东高考]定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．答案2解析由x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，得x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy .因为x >0，y >0，所以x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．三、模拟小题19．[2016·兰州一模]在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x＋4e x －2答案 D解析当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2中等号取不到，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x＝2时等号成立，故选D.20．[2017·长春质检]设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A ．1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值12C ．a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2，故选C.21．[2017·浙江金丽衢联考]若函数f (x )＝2x 2－ax －1(a <2)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a 的值为( )A ．0B ．32C ．1D ．12答案 B解析由题意得f (x )＝2x 2－a x －1＝2x －12＋4x －1＋2－ax －1＝2(x －1)＋2－ax －1＋4≥22x －1·2－ax －1＋4＝24－2a ＋4，当且仅当2(x －1)＝2－ax －1，即x ＝1＋2－a 2时，等号成立，所以24－2a ＋4＝6，即a ＝32，故选B. 22．[2016·广州一模]设a ＝x 2－xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ，若对任意的正实数x ，y ，都存在以a ，b ，c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，72D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 答案 A解析对任意的正实数x ，y ，由于a ＝x 2－xy ＋y 2≥2xy －xy ＝xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，b ＝p xy ，c ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立，且三角形的任意两边之和大于第三边，所以xy ＋2xy >p xy ，且p xy ＋xy >2xy ，且p xy ＋2xy >xy ，解得1b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．答案 3解析令log a b ＝t ，由a >b >1，得0<t <1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2 a －1·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．24．[2016·杭州一模]设x >0，y >0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，则当x ＋1y 取最小值时，x 2＋1y2＝________.答案 12解析 ∵x >0，y >0，∴当x ＋1y取最小值时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2取得最小值，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝x 2＋1y 2＋2xy，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1y 2＝16y x ，∴x 2＋1y 2＝2x y ＋16y x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1y 2＝4x y ＋16y x ≥24x y ·16y x ＝16，∴x ＋1y≥4，当且仅当4x y＝16y x，即x ＝2y 时取等号，∴当x ＋1y取最小值时，x ＝2y ，x 2＋1y 2＋2x y ＝16，即x 2＋1y2＋2×2y y ＝16，∴x 2＋1y2＝16－4＝12.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2016·湖南浏阳月考]已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0. ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0.∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1.(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22. ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0.∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0.∴x ＋y ≥2. 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.2．[2017·河南驻马店月考]某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1.所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x ) ＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x()x 2＋x＝96000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240. 故y 与x 的函数关系是y ＝96000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96000x＋240x －160≥296000x·240x －160＝2×4800－160＝9440，当且仅当96000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9440万元．3．[2017·保定月考]某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？解 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元，∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0，解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝⎛⎭⎪⎫81n＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)．方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)，当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)，两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.4．[2016·南京质检]为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值(精确到0.1，参考数据：2取1.4)．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f (x )＝4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x－4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10.则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4. 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综合得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． (2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度g (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x－a －4≥214－x ·16a14－x－a －4＝8a －a －4.因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

2020高考数学刷题首秧第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试36合情推理与演绎推理文含解析

考点测试合情推理与演绎推理高考概览考纲研读.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于”，你认为这个推理( )．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．是正确的答案解析大前提是任何实数的绝对值大于，显然是不正确的．故选.．一个蜂巢里有只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了个伙伴；第二天，只蜜蜂飞出去各自带回了个伙伴；……，如果这个过程继续下去，那么第天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )只．只．只．只答案解析根据题意可知，第一天共有蜜蜂＋＝只；第二天共有蜜蜂＋×＝只；第三天共有蜜蜂＋×＝只；……；故第天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂＋×＝只．故选.．已知数列{}的前项和＝(≥)，而＝，通过计算，，，猜想＝( )答案解析由＝，可得＋＝，即＝，同理可得＝，＝，故选.．()已知是三角形一边的长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为；()由＝，＋＝，＋＋＝，可得到＋＋＋…＋－＝.则()()两个推理过程分别属于( )．类比推理、归纳推理．类比推理、演绎推理．归纳推理、类比推理．归纳推理、演绎推理答案解析()由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；()由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选.．观察下列各式：＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则＋＝( )．．．．答案解析记＋＝()，则()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝＋＝；()＝()＋()＝.通过观察不难发现()＝(－)＋(－)(∈*，≥)，则()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝；()＝()＋()＝.所以＋＝.．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．某校高三有个班，班有人，班有人，班有人，由此推各班人数都超过人．由三角形的性质，推测空间四面体的性质．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分．在数列{}中，＝，＝，由此归纳出{}的通项公式答案解析，是归纳推理；是类比推理；运用了“三段论”是演绎推理．．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第个图形中小正方形的个数是( )．(＋)．(－)答案解析由题图知第个图形的小正方形个数为，第个图形的小正方形个数为＋，第个图形的小正方形个数为＋＋，第个图形的小正方形个数为＋＋＋，…，则第个图形的小正方形个数为＋＋＋…＋＝.．法国数学家费马观察到＋＝，＋＝，＋＝，＋＝都是质数，于是他提出猜想：任何形如＋(∈*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第个费马数＋＝＝×不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( )．归纳推理的结果一定不正确．归纳推理的结果不一定正确．类比推理的结果一定不正确．类比推理的结果不一定正确答案解析法国数学家费马观察到＋＝，＋＝，＋＝，＋＝都是质数，于是他提出猜想：任何形如＋(∈*)的数都是质数，这是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理，由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以结果不一定正确．．甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生，已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )．甲是教师，乙是医生，丙是记者．甲是医生，乙是记者，丙是教师．甲是医生，乙是教师，丙是记者．甲是记者，乙是医生，丙是教师答案解析由于“甲的年龄和记者不同”，则甲不是记者，又“记者的年龄比乙小”，则乙也不是记者，从而丙是记者，而“丙(记者)的年龄比医生大”，且“记者的年龄比乙小”，所以乙不是医生，而是教师，从而甲是医生，故选.．已知结论：“在正△中，若是边的中点，是△的重心，则＝”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体－中，若△的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等”，则＝( )．．．．答案解析如图设正四面体的棱长为，则易知其高＝，此时易知点即为正四面体内切球的球心，设其半径为，利用等积法有××＝××，＝，故＝－＝－＝，故∶＝∶＝.．如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标，点(，)处标，点(，－)处标，点(，－)处标，点(－，－)处标，点(－，)处标，点(－，)处标，点(，)处标，依此类推，则标签为的格点的坐标为．答案(，)解析因为点(，)处标＝，点(，)处标＝，点(，)处标＝，点(，)处标＝，依此类推得点(，)处标.．对于命题：如果是线段上一点，则·＋·＝；将它类比到平面的情形是：若是△内一点，有△·＋△·＋△·＝；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体－内一点，则有．答案－·＋－·＋－·＋－·＝解析由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：是四面体－内一点，则有－·＋－·＋－·＋－·＝.二、高考小题．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )．乙可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩答案解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选.．(·北京高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．乙盒中红球不多于丙盒中红球．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，错误．故选.解法二：设袋中共有个球，最终放入甲盒中个红球，放入乙盒中个红球．依题意知，甲盒中有(－)个黑球，乙盒中共有个球，其中红球有个，黑球有(－)个，丙盒中共有(－)个球，其中红球有(－－)个，黑球有(－)－(－－)＝个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选.．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有和，和，和.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是.”则甲的卡片上的数字是．答案和解析由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是和.若丙的卡片上的数字是和，则乙的卡片上的数字是和，甲的卡片上的数字是和，满足题意；若丙的卡片上的数字是和，则乙的卡片上的数字是和，此时，甲的卡片上的数字只能是和，不满足题意．故甲的卡片上的数字是和.．(·北京高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，＝，，.()记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是；()记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的是．答案() ()解析设线段的中点为(，)．()由题意知＝，＝，，，由题图知最大，所以，，中最大的是.()由题意知＝＝，＝，，.的几何意义为点(，)与原点连线的斜率．比较，，的斜率，由题图可知的斜率最大，即最大．．(经典陕西高考)观察分析下表中的数据：多面体面数()顶点数()棱数()三棱柱五棱锥立方体猜想一般凸多面体中，，所满足的等式是．答案＋－＝解析因为＋－＝，＋－＝，＋－＝，故可猜想＋－＝.．(·福建高考)一个二元码是由和组成的数字串…(∈*)，其中(＝，，…，)称为第位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由变为，或者由变为)．已知某种二元码…的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：⊕＝，⊕＝，⊕＝，⊕＝.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么利用上述校验方程组可判定等于．答案解析因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝≠，所以二元码的前位码元都是对的；因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝，所以二元码的第、位码元也是对的；因为⊕⊕⊕＝⊕⊕⊕＝⊕⊕＝⊕＝≠，所以二元码的第位码元是错的，所以＝.三、模拟小题．(·河南郑州二模)平面内凸四边形有条对角线，凸五边形有条对角线，以此类推，凸边形对角线的条数为( )．．．．答案解析可以通过列表归纳分析得到．凸多边形…多角线条数＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋…∴凸边形有＋＋＋…＋＝＝条对角线．故选.．(·山西孝义模拟)我们知道：在平面内，点(，)到直线＋＋＝的距离公式＝，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(，，)到平面＋＋＋＝的距离为( )．．．答案解析类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(，，)到平面＋＋＋＝的距离公式为＝，则所求距离＝＝，故选.．(·福建月质检)某校有，，，四件作品参加航模类作品比赛．已知这四件作品中恰有两件获奖．在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下：甲说：“，同时获奖．”乙说：“，不可能同时获奖．”丙说：“获奖．”丁说：“，至少一件获奖．”若以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是( )．作品与作品．作品与作品．作品与作品．作品与作品答案解析选项，若作品与作品获奖，则甲、乙、丁的预测正确，丙的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丙、丁的预测正确，甲的预测错误，不符合题意；选项，若作品与作品获奖，则乙、丁的预测正确，甲、丙的预测错误，符合题意，所以选.．(·河北石家庄二中联考)老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”；有个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为，则＝( )．．．．答案解析由题意得，根据甲、乙、丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个操作的次数(－)要多，比四个操作的次数(－)要少，相当于操作三个的时候，最上面的那个挪动了几次，就会增加几次，故选.．(·郑州质检三)将标号为，，…，的张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．选出每列标号最小的卡片，将这些卡片中标号最大的数设为；选出每行标号最大的卡片，将这些卡片中标号最小的数设为.甲同学认为有可能比大，乙同学认为和有可能相等，那么甲、乙两位同学的说法中( )．甲对、乙不对．乙对、甲不对．甲、乙都对．甲、乙都不对答案解析一定是所有数中最小的，不妨设每一列的最小值从小到大排列分别为，，，，，故<<<<；一定是所有数中最大的，不妨设每一行的最大值从小到大排列分别为，，，，故<<<.若>，则一定不在所在的行，则只能在或或所在的行，又因为是它这一列的最小值，所以所在的这行对应所在这列的数字一定比大，不妨设其为，即>，而是这行的最大值，故>，所以>，与>矛盾，故≤.故甲不对、乙对，故选.．(·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，第关收税金为剩余的，关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”若将“关所收税金之和，恰好重斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第关”，则第关所收税金为.答案解析第关收税金：；第关收税金：－＝＝；第关收税金：－－＝＝；…第关收税金：＝.．(·山东青岛模拟)如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成个小三角形，共得到个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成个小三角形，共得到个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到个小三角形，则需要操作的次数是．答案解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有个；第二次操作后，三角形共有＋＝个；第三次操作后，三角形共有＋＋＝个……由此可得第次操作后，三角形共有＋(－)＝＋个．当＋＝时，解得＝.．(·安徽淮北二模)分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特( ·)在世纪年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第行的空心圆的个数是．答案解析由题意可知，一个实心圆连接下一行的一个实心圆和一个空心圆，一个空心圆连接下一行的一个实心圆，故第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆；第行为：实心圆，空心圆．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题．(·福建质检)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①°＋°－°°；②°＋°－°°；③°＋°－°°；④(－°)＋°－(－°)°；⑤(－°)＋°－(－°)°.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解()选择②式，计算如下：°＋°－°°＝－°＝－＝.()三角恒等式为α＋(°－α)－α(°－α)＝.证明如下：α＋(°－α)－α(°－α)＝α＋(°·α＋°α)－α(°α＋°α)＝α＋α＋αα＋α－αα－α＝α＋α＝.．(·北京海淀模拟)设是由×个实数组成的行列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．()数表如表所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表－－()数表如表所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值．表－－－－－－解()解法一：－－－－－解法二：－－－－－－解法三：－－－－－－()每一列所有数之和分别为，，－，，每一行所有数之和分别为－，.①如果首先操作第三列，则－－－－－则第一行之和为－，第二行之和为－，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以≤或≥.当≤时，则接下来只能操作第一行，则－－－－－－此时每列之和分别为－，－，－，，必有－≥，解得＝，－.当≥时，则接下来操作第二行，则－－－－－－此时第列和为负，不符合题意．②如果首先操作第一行，则－－－－－则每一列之和分别为－，－，－，，当＝时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉；当≠时，－，－至少有一个为负数，所以此时必须有－≥，即－≤≤，所以＝或＝－，经检验，＝或＝－符合要求．综上＝，－.。

2020高考数学刷题首选单元质量测试五不等式推理与证明算法初步与复数理含解析9

单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2018·南昌摸底)已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，i 是虚数单位，则复数z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 B 解析因为z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i ，则复数z 的虚部为－1，故选B ． 2．(2018·太原三模)已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限，故选C ．3．(2018·大庆质检一)若m >n >0，p <q <0，则一定有( ) A ．m q >n p B ．m q <n p C ．m p >n qD ．m p <n q答案 B解析由m >n >0，p <q <0，可得|m |>|n |>0，|p |>|q |>0，所以n p <m q ，而m p ，m q ，n p ，n q均为负数，所以n p >m q ．而m p 与n q的大小则无法比较，故选B ．4．(2019·青岛模拟)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ＋z (1＋i)＝3－4i ，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，故z ＋z (1＋i)＝a ＋b i ＋(a －b i)(1＋i)＝(2a ＋b )＋a i ＝3－4i ，则a ＝－4，b ＝11，故z ＝－4＋11i ，则在复平面内，复数z 所对应的点为(－4，11)，位于第二象限．故选B ．5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，6] B ．[0，4] C ．[6，＋∞) D．[4，＋∞) 答案 D解析不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2，1)时，z 有最小值4．显然z 没有最大值．故选D ．7．(2018·长春质检)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A ．1a ＋1b 有最大值4 B ．ab 有最小值12 C ．a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22答案 C解析由于a >0，b >0，由基本不等式得1＝a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，∴ab ≤12，∴ab ≤14，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，因此1a ＋1b 的最小值为4，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab＝1－2ab ≥1－12＝12，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤1＋1＝2，所以a ＋b 有最大值2．故选C ．8．(2018·福建质检)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起到了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为( )A．120 B．84 C．56 D．28答案 B解析第一次循环，i＝0＋1＝1，n＝0＋1＝1，S＝0＋1＝1；i<7，第二次循环，i＝1＋1＝2，n＝1＋2＝3，S＝1＋3＝4；i<7，第三次循环，i＝2＋1＝3，n＝3＋3＝6，S＝4＋6＝10；i<7，第四次循环，i＝3＋1＝4，n＝6＋4＝10，S＝10＋10＝20；i<7，第五次循环，i＝4＋1＝5，n＝10＋5＝15，S＝20＋15＝35；i<7，第六次循环，i＝5＋1＝6，n＝15＋6＝21，S＝35＋21＝56；i<7，第七次循环，i＝6＋1＝7，n＝21＋7＝28，S＝56＋28＝84；i ＝7，结束循环，输出S＝84．故选B．9．(2018·湖北武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．10．(2018·山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．16答案 D解析作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max＝1，即(ab )max ＝16．11．(2018·河南郑州三模)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为( )答案 C解析由题意可知，5288用算筹式表示，从左到右依次是横式5，纵式2，横式8，纵式8．故选C ．12．(2019·邯郸调研)若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49 答案 A解析因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝4(b －1)＋16(a －1)(a －1)(b －1)＝4b ＋16a －20ab －(a ＋b )＋1＝4b ＋16a －20．又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2 b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号．所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析因为a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5为实数，所以－a ＋25＝0，解得a ＝－2．14．(2018·长春质检二)更相减损术是出自《九章算术》的一种算法，如图所示的程序框图是依据更相减损术写出来的，若输入a ＝91，b ＝39，则输出a 的值为________．答案 13解析第一次循环得：a ＝91－39＝52；第二次循环得：a ＝52－39＝13；第三次循环得：b ＝39－13＝26；第四次循环得：b ＝26－13＝13，此时a ＝b ，所以输出13．15．(2018·大庆质检一)若f (x )＝e x ln a ＋e －xln b 为奇函数，则1a ＋2b的最小值为________．答案 2 2解析由f (x )的定义域为R ，且f (x )为奇函数，则有f (0)＝ln a ＋ln b ＝0，即ab ＝1．从而1a ＋2b≥22ab ＝22，当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时，取等号． 16．(2018·豫南九校联考)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域为D ，若对任意的(x ，y )∈D ，不等式t －4<x －2y ＋6<t ＋4恒成立，则实数t 的取值范围是________．答案 (3，5)解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．设z ＝x －2y ＋6，平移直线y ＝12x ，可知z ＝x －2y ＋6在A (3，4)处取得最小值1，在C (1，0)处取得最大值7，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －4<1，t ＋4>7，解得3<t <5．故实数t 的取值范围是(3，5)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2．解由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i ．设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ．又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4．∴z 2＝4＋2i ．18．(2018·湖南浏阳调研)(本小题满分12分)已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1． ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0． ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0．∴xy ≥1，∴xy ≥1．当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1．(2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22．∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0．∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0．∴x ＋y ≥2．当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2． 19．(本小题满分12分)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解不等式x 2－x －2>0的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，即为(2x ＋5)(x ＋k )<0，(*)当－k ＜－52，即k ＞52时，(*)的解集是－k ，－52，此时－2不在不等式组的解集中，所以k >52不符合题意；当－k ＝－52，即k ＝52时，(*)无解，也不符合题意；当－k ＞－52，即k <52时，(*)的解集是－52，－k ．要使不等式组的整数解的集合为{－2}，借助数轴可得－2<－k ≤3，解得－3≤k <2，又k <52，所以－3≤k <2．综上，实数k 的取值范围是[－3，2)．20．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证：a 21＋a 22≥12．证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2，则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，从而得a 21＋a 22≥12．(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．解 (1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n．(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ，因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0，从而得a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n．21．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x－200 ＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x ，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000．∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000．故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损．22．(2018·江苏高考)(本小题满分12分)设{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列，{b n }是首项为b 1，公比为q 的等比数列．(1)设a 1＝0，b 1＝1，q ＝2，若|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，求d 的取值范围； (2)若a 1＝b 1>0，m ∈N *，q ∈(1，m2]，证明：存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立，并求d 的取值范围(用b 1，m ，q 表示)．解 (1)由条件知a n ＝(n －1)d ，b n ＝2n －1．因为|a n －b n |≤b 1对n ＝1，2，3，4均成立，即|(n －1)d －2n －1|≤1对n ＝1，2，3，4均成立．即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得73≤d ≤52．因此，d 的取值范围为73，52．(2)由条件知：a n ＝b 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1qn －1．若存在d ∈R ，使得|a n －b n |≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)均成立，即|b 1＋(n －1)d －b 1qn －1|≤b 1(n ＝2，3，…，m ＋1)．即当n ＝2，3，…，m ＋1时，d 满足q n －1－2n －1b 1≤d ≤q n －1n －1b 1．因为q ∈(1，m2]，所以1<qn －1≤q m≤2，从而q n －1－2n －1b 1≤0，q n －1n －1b 1>0，对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．因此，取d ＝0时，|a n －b n |≤b 1对n ＝2，3，…，m ＋1均成立．下面讨论数列q n －1－2n －1的最大值和数列q n －1n －1的最小值(n ＝2，3，…，m ＋1)．①当2≤n ≤m 时，q n －2n －q n －1－2n －1＝nq n －q n －nq n －1＋2n (n －1)＝n (q n －q n －1)－q n ＋2n (n －1)，当1<q ≤21m时，有q n ≤q m≤2，从而n (q n －qn －1)－q n＋2>0．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列q n －1－2n －1单调递增，故数列q n －1－2n －1的最大值为q m －2m．②设f (x )＝2x(1－x )，当x >0时，f ′(x )＝(ln 2－1－x ln 2)2x<0．所以f (x )单调递减，从而f (x )<f (0)＝1．当2≤n ≤m 时，q nn q n －1n －1＝q (n －1)n ≤21n 1－1n ＝f 1n <1．因此，当2≤n ≤m ＋1时，数列q n －1n －1单调递减，故数列q n －1n －1的最小值为q mm．因此，d 的取值范围为b 1(q m －2)m ，b 1q mm．。

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专题五数列、不等式、推理与证明测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有( ) A.a 4a 6<a 6a 8B.a 4a 6≤a 6a 8 C.a 4a 6>a 6a 8D.a 4a 6≥a 6a 8解析 a 4a 8＝(a 1＋3d )(a 1＋7d )＝a 21＋10a 1d ＋21d 2，a 26＝(a 1＋5d )2＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析由题意知，数列{a n }为等差数列，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，由5<2k －10<8，k ∈N *，得到k ＝8.答案 B3．对于非零实数a 、b ，“b (b －a )≤0”是“a b≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ≠0，b ≠0，故有b (b －a )≤0⇔b －a b ≤0⇔1－a b ≤0⇔ab≥1.故选C. 答案 C4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥04x －x 2，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析由题知f (x )在R 上是增函数，可得2－a 2>a ，解得－2<a <1，故选C. 答案 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a 是不为0的实数)，那么{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，也可能是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案 C6．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－2 008，S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，则S 2 008的值为( )A ．－2 006B ．2 006C ．－2 008D ．2 008解析由已知S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2的结构，可联想到等差数列{a n }的前n 项和S n 的变式，S nn＝a 1＋d 2(n －1)，故由S 2 0072 007－S 2 0052 005＝2，得d 2＝1，S 2 0082 008＝－2 008＋(2 008－1)·1＝－1，∴S 2008＝－2 008. 答案 C7．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≤3 D．a 2＋b 2≥2解析 ∵a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∴4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2. 答案 D8．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q .当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q ·1q＝3，当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1， ∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D9．(2011·广东广州模拟)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc · b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p ，故选B.答案 B10．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n ∈N *，则函数f (n )＝S n n ＋S n ＋1的最大值为( )A.120B.130C.140D.150解析由S n ＝n n ＋2得f (n )＝n n ＋n ＋＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当且仅当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f (n )max ＝f (8)＝150.答案 D11．(2012·广东)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋y ≥1x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1解析先画出可行域如图所示，再将z ＝3x ＋y 变形为截距式方程y ＝－3x ＋z ，把l 0：y ＝－3x 平移到经过点A (3,2)时，截距z 有最大值，∴z max ＝3×3＋2＝11.答案 B12．(2012·浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析由于S n ＝na 1＋n n －2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，根据二次函数的图象与性质知当d <0时，数列{S n }有最大项，即选项A 正确；同理选项B 也是正确的；而若数列{S n }是递增数列，那么d >0，但对任意的n ∈N *，S n >0不成立，即选项C 错误；反之，选项D 是正确的．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13．在公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d .类比上述结论，在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项之积，则有____________________________．答案T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为q 10014．(2012·福建)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.解析 ∵a n ＝n cosn π2＋1，∴当n 为奇数时a n ＝1，当n 为偶数2,6,10,14，…时，a n ＝－n ＋1；当n 为偶数4,8,12,16，…时，a n ＝n ＋1，∴数列{a n }的前4项和为：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8项和为：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝1＋(－n －1＋1)＋1＋n ＋3＋1＝6(n ＋3是4的倍数)，即数列{a n }的相邻四项之和均为6，故S 2 012＝S 4×503＝503×6＝3 018.答案 3 01815．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0，(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式__________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为____________________．解析因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－……＋(－1)n C nn a n ＋1＝016．(2012·新课标)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．解析当n ＝2k －1，k ∈N *时，a 2k －a 2k －1＝2(2k －1)－1；当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1＋a 2k＝2(2k )－1；于是a 2k ＋1＋a 2k －1＝2；a 2k ＋a 2k －2＝8k －8；前一个式子中k ＝1,3,5，…，29，后一个式子中k ＝2,4,6，…，30，得a 3＋a 1＝2，a 5＋a 3＝2，…，a 29＋a 27＝2；a 4＋a 2＝8×2－8，a 8＋a 6＝8×4－8，…，a 60＋a 58＝8×30－8，∴S 60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1 830.答案 1 830三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，f (1)＝2且f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立．(1)求函数f (x )的解析式；(2)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2，求证：数列{a n }是等差数列．解 (1)由ax ·f (x )＝b ＋f (x )(a ·b ≠0)，得f (x )(ax －1)＝b ，若ax －1＝0，则b ＝0，不合题意，故ax －1≠0，∴f (x )＝bax －1. 由f (1)＝2＝b a －1，得2a －2＝b ，①由f (x ＋2)＝－f (2－x )对定义域中任意x 都成立，得b a x ＋－1＝－ba－x －1，由此解得a ＝12，②把②代入①，可得b ＝－1， ∴f (x )＝－112x －1＝22－x (x ≠2)．(2)证明：∵f (a n )＝22－a n ，S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2f a n 2， ∴S n ＝14(a n ＋1)2，a 1＝14(a 1＋1)2，∴a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝14(a n －1＋1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1－2＝0，即a n －a n －1＝2， ∴数列{a n }是等差数列． 18．(本小题满分12分)(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3，① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，有a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减是a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2，又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n －1＋2是以首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n－2n，n ＝1时也合适此式，{a n }的通项公式是a n ＝3n－2n.(3)由(2)得1a n＝13n －2n ＝1＋n－2n＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1，∴1a i <1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32. 19．(本小题满分12分)(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c(n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列；再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0.(2)(i)假设{x n }是递增数列，由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c .由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n －x n ＋c 知，对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －xn ＋1＝x 2n ＋x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )x的性质，得2c －1≤0，c ≤14，故0<c ≤14.(ii)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0.即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立．(1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即：x k <c ，因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k)<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.20．(本小题满分12分)某商店投入81万元经销某种北京奥运会特许纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中．市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n 天的利润a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤n ≤20110n ，21≤n ≤60(单位：万元，n ∈N *)．记第n 天的利润率b n＝第n 天的利润前n 天投入的资金总和，例如b 3＝a 381＋a 1＋a 2.(1)求b 1，b 2的值； (2)求第n 天的利润率b n ；(3)该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．解 (1)当n ＝1时，b 1＝181；当n ＝2时，b 2＝182.(2)当1≤n ≤20时，a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n －1＝a n ＝1.∴b n ＝a n 81＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＝181＋n －1＝1n ＋80.当21≤n ≤60时，b n ＝a n81＋a 1＋…＋a 20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 81＋20＋a 21＋…＋a n －1＝110n 101＋n －n ＋20＝2nn 2－n ＋1 600，∴第n 天的利润率b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n ＋80，1≤n ≤2n ∈N *，2nn 2－n ＋1 600，21≤nn ∈N*(3)当1≤n ≤20时，b n ＝1n ＋80是递减数列，此时b n 的最大值为b 1＝181；当21≤n ≤60时，b n ＝2nn 2－n ＋1 600＝2n ＋1 600n－1≤22 1 600－1＝279(当且仅当n ＝1 600n，即n ＝40时，“＝”成立)．又∵279>181，∴当n ＝40时，(b n )max ＝279.∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为279.21．(本小题满分12分)(2012·山东)在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解 (1)因为{a n }是一个等差数列，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8(n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若9m <a n <92m，则9m＋8<9n <92m ＋8. 因此9m －1≤n ≤92m －1. 故得b m ＝92m －1－9m －1，于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1)＝－81m1－81－－9m1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.22．(本小题满分14分)(2012·江苏)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b n a 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n，n ∈N *，求证：数列{⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2}是等差数列； (2)设b n ＋1＝2·b n a n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．解 (1)由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b na n1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1an ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是以1为公差的等差数列．(2)因为a n >0，b n >0，所以a n ＋b n22≤a 2n ＋b 2n <(a n ＋b n )2，从而1<a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n >0知q >0.下证q ＝1. 若q >1，则a 1＝a 2q<a 2≤2，故当n >log q2a 1时，a n ＋1＝a 1q n>2，与(*)矛盾；若0<q <1，则a 1＝a 2q>a 2>1，故当n >log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n<1，与(*)矛盾．综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)，所以1<a 1≤ 2. 又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列．若a 1≠2，则2a 1>1，于是b 1<b 2<b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾．所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.。