第一章 §1.3.2第1课时

问题 2 求出当 x 取－3，－2，－1,1,2,3 时，函数 f(x)＝x 的值，及 1 当 x 分别等于－3，－2，－1,1,2,3 时函数 f(x)＝x的函数值，从
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中你能发现什么规律吗？
答 对函数 f(x)＝x 有：f(－3)＝－3＝－f(3)，f(－2)＝－2＝－f(2)，
，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
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2．奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于 y轴 对称， 图象关于 y轴 对称的函数
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一定是偶函数． (2)奇函数的图象关于 原点 对称， 图象关于 原点 对称的函数 一定是奇函数． 3．判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域 是否关于 原点 对称.
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1.3.2第1课时
1．函数奇偶性的概念
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(1)偶函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝f(x)
，那么函数 f(x)就叫做偶函来自．(2)奇函数：如果对于函数 f(x)的定义域内 任意 一个 x，都有
f(－x)＝－f(x)
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跟踪训练 2 判断下列各函数的奇偶性： (1)f(x)＝(x－2) x＋2 2＋x ；(2)f(x)＝0 2－x － x＋ 2
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2＋x 解 (1)由 ≥0， 得定义域为[－2,2)， 关于原点不对称， 故 f(x) 2 － x 本 课 时 为非奇非偶函数． 栏 (2)x<－1 时，f(x)＝x＋2，－x>1，
(5)对于函数 f(x)＝ x，其定义域为{x|x≥0}，因为函数的定义域关 于原点不对称，所以函数 f(x)＝ x既不是奇函数也不是偶函数．
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(6)对于函数 f(x)＝ 1－x2＋ x2－1，其定义域为{－1,1}，因为对 定义域内的每一个 x， 都有 f(x)＝0， 所以 f(－x)＝f(x)， 故函数 f(x) ＝ 1－x2＋ x2－1为偶函数．又 f(－x)＝－f(x)，故函数 f(x)＝
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( A ) B．f(x)－|g(x)|是奇函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
解析
由 f(x)是偶函数，可得 f(－x)＝f(x)，
由 g(x)是奇函数可得 g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
y＝|x|＋1 是偶函数，当 x＞0 时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上 单调递增． 故选 B.另外函数 y＝x3 不是偶函数， y＝－x2＋1 在(0， 2 ＋∞)上单调递减，y＝－x不是偶函数．
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2．设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结 论恒成立的是
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
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x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1
解 (1)函数的定义域为 R，因函数 f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1， 又因 f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数． x3－x2 (2)函数 f(x)＝ 不是偶函数，因为它的定义域为{x|x∈R 且 x≠1}， x－1 并不关于原点对称．
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1－x2＋ x2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
小结 (1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数
但不是偶函数； 是偶函数但不是奇函数； 既是奇函数又是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤： ①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断 f(－x)＝－f(x) 或 f(－x)＝f(x)是否恒成立．
是奇函数．
x
(6)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1.
解 (1)对于函数 f(x)＝x4，其定义域为 R，因为对定义域内的每
一个 x，都有 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，所以，函数 f(x)＝x4 为偶函数．
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(2)对于函数 f(x)＝x5， 其定义域为 R， 因为对定义域内的每一个 x， 都有 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)． 所以， 函数 f(x)＝x5 为奇函数．
探究点一 问题 1 偶函数的概念
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观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个
函数的共同特征吗？
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答
三个函数的定义域关于原点对称， 三个函数的图象关于 y
轴对称．
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问题 2 关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系？
答 横坐标互为相反数，纵坐标相等．
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3．已知函数 y＝f(x)为偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方 程 f(x)＝0 的所有实根之和是
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( A ) D．4
A．0
B． 1
C．2
解析
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1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是
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( B ) A．y＝x3 C．y＝－x2＋1
解析
B．y＝|x|＋1 2 D．y＝－x
对于函数 y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以
选用偶函数定义， 得 f(3)>f(1)； 另一种方法是利用偶函数图象 的对称性．
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跟踪训练 3 如图，给出了奇函数 y＝f(x)的局部图象，则 f(－4)
－2 ＝________.
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解析 f(－4)＝－f(4)＝－2.
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1．3.2 奇偶性 第 1 课时 奇偶性的概念
【学习要求】
本 课 时 2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 栏 目 3．掌握判断函数奇偶性的方法与步骤． 开 关 【学法指导】
1．理解函数的奇偶性及其几何意义；
通过自己动手计算，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程， 从而建立奇偶函数的概念．通过函数奇偶性概念的形成过程，培 养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想，培养从 特殊到一般的概括归纳问题的能力.
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问题 3 怎样说明函数 y＝x2 的图象关于 y 轴对称？
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答 对于 R 上任意的一个 x，都有 f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，即 函数 y＝x2 的图象上任意一点(x， f(x))关于 y 轴对称的点(－x， f(x)) 也在函数 y＝x2 的图象上．所以 y＝x2 的图象关于 y 轴对称．
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探究点二 奇函数的概念
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1 问题 1 观察函数 f(x)＝x 和 f(x)＝x的图象(如图)， 你能发现两个函 数图象有什么共同特征吗？
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答 容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称．
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跟踪训练 2 已知 f(x)是二次函数，且满足 f(0)＝0，f(x＋1)－f(x) ＝2x，求 f(x)的解析式．
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解 由题意，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝0，∴c＝0，又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x， 即 2ax＋a＋b＝2x， ∴a＝1，b＝－1，从而 f(x)＝x2－x.
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y 轴为对称
轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 y 轴为对称轴 的轴对称图形，则这个函数为偶函数．
本 例 1 判断下列函数哪些是偶函数． 课 (1)f(x)＝x2＋1；(2)f(x)＝x2，x∈[ －1,3] ；(3)f(x)＝0. 时 栏 解 (1)由解析式可知函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝(－x)2＋1 目 开 ＝x2＋1＝f(x)，所以函数为偶函数． 关
问题 4 如果函数 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称， 我们就说这个函数
是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？
答 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f(－x)＝f(x)，
那么函数 f(x)就叫做偶函数．
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答
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问题 5 通过前面的探究，你能得出偶函数的图象有怎样的对称性质吗？
(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数．
(3)函数的定义域为 R，由于 f(－x)＝0＝f(x)，所以函数为偶函数．
小结 利用定义法判断函数是不是偶函数时， 首先应看函数定义域 是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个 x，则－x 也一定 是定义域内的一个自变量．
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探究点三 函数奇偶性的应用
1.3.2第1课时
例 3 如图，给出了偶函数 y＝f(x)的局部图象， 试比较 f(1)与 f(3)的大小．
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解 ∵f(－3)>f(－1)，又 f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)．