数列的极限1-2
2.1数列的极限
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n
(1
un )n
1
nun
n(n 1) 2
un2
n(n 1) 2
un2
un2
2 n1
un
2
n1
2
n 2 1
取
N
2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时, 恒有 xn a
第二节 数列的极限
第二节 数列的极限一、数列极限的定义如果按照某一法则，对每个n N +∈，对应着一个确定的实数n x ，这些实数n x 按照下标n 从小到大排列得到的一个系列12,,,,n x x x 就叫做数列，记为{}.n x数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项（或通项）． 数列{}n x 可以看作自变量为正整数n 的函数(),.n x f n n N +=∈当自变量n 依次取一切正整数1,2,3, 时，对应的函数值就排成数列{}.n x一个非常重要的问题是：当n 无限增大时（即n →∞时），对应的()n x f n =是否无限接近某个确定的数值？对于数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭，其通项()()111111.n n n n x nn--+-==+- ()()01123451111111111,111,1,1,1,1122345x x x x x =+-=+=+-=-=+=-=+ 678910111111,1,1,1,1,678910x x x x x =-=+=-=+=-1112131411111,1,1,1,11121314x x x x =+=-=+=- 易知，当n 无限增大时，n x 的值无限接近于1.也即当n 无限增大时，()11111n n x n n--=-=的值无限接近零． 给定1100，要使 11100n x -<， 只需11100n <，即100n >．故当100n >时，11.100n x -<给定11000，要使 111000n x -<， 只需111000n <，即1000.n >故当1000n >时，11.1000n x -<一般地，任意给定一个正数ε，存在一个正整数N ，使得当n N >时，不等式 1n x ε-<都成立．事实上，要使11n x n ε-=<，只需1n ε>．故取正整数1max ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，n ε1⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，1n ε>，1.n x ε-<注：设m 为整数，x 为实数，且[]m x >，则.m x >这是因为m 为整数，且[]m x >，所以[]111.m x x x ≥+>-+=一般地，有如下数列极限的定义．定义 设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N ，使得当n N >时，有n x a ε-<，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为lim ,n n x a →∞=或().n x a n →→∞例1 证明数列()11n n n -⎧⎫+-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的极限是1.证 上面已经证过，在此从略可 例2 已知()()211n n x n -=+，证明数列{}n x 的极限是0.证 ()()()222111011n n x n n n --==<++ 0ε∀>，要使0n x ε-<，只需21n ε<，即n >取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，有0.n x ε-< 故lim 0.n n x →∞=例3 设1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q -的极限是0.证 0ε∀>，要使1110n n n q q qε----==<，只需1ln ln ,n qε-<即()ln 1ln ln ,1.ln n q n qεε-<>+取正整数ln max 1,1ln N q ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，有 0n x ε-<， 故1lim 0.n n q -→∞=二、收敛数列的性质定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限唯一． 证 假设同时有n x a →及n x b →，且a b <．取2b aε-=．因为lim n n x a →∞=，故存在正整数1N ，使得当1n N >时，.2n b ax a --<（2-2） 因为lim n n x b →∞=，所以存在正整数2N ，使得当2n N >时，.2n b ax b --<（2-3） 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时（2-2）和（2-3）同时成立．故当n N >时，由（2-2）得.2n a b x +<当n N >时，由（2-3）得2n a bx +>．矛盾． 例4 证明数列()()111,2,n n x n +=-= 是分散的．证 如果这数列是收敛的，根据定理1，它有唯一的极限．设极限为a ，即lim .n n x a →∞=按数列极限定义，对于12ε=，∃正整数N ，当n N >时，11111,,,.22222n n n x a a xa x a a ⎛⎫-<-<<+∈-+ ⎪⎝⎭但这是不可能的，因为当n N >且n 为奇数时，1n x =-，当n N >且n 为偶数时1n x =，而1和1-不可能同时属于长度为1的开区间11,22a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内． 对于数列{}n x ，如果存在正数M ，使得,1,2,n x M n ≤= ，则称数列{}n x 有界．否则称数列{}n x 无界． 数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界，数列{}2n 无界．定理2（收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 有界．证 因为数列{}n x 收敛，设lim n n x a →∞=．根据数列数列极限定义，对于1ε=，存在正整数N ，当n N >时，1n x a -<． 于是，当n N >时，()1.n n n x x a a x a a a =-+≤-+<+ 取{}12max ,,,,1N M x x x a =+ ，则,.n x M n N +≤∈ 故数列{}n x 有界．定理3（收敛数列的保号性）如果lim n n x a →∞=，且0a >（或0a <），那么存在正整数N ，当n N >时，0n x >（或0n x <）．证 就0a >的情形证明．由数列极限定义，对02aε=>，∃正整数N ，当n N >时， ,2n ax a -<于是， 0.22n a ax a >-=> 推论 如果数列{}n x 从某项起0n x ≥（或0n x ≤），且lim n n x a →∞=，那么0a ≥（或0a ≤）．证 只证明其中一种情形，另一种情形类似可证．如果数列{}n x 从某项起有0n x ≥，则存在正整数1N ，当1n N >时，0n x ≥．假设lim 0n n x a →∞=<，则由定理3得，∃正整数2N ，当2n N >时，0.n x <取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，1n N >，2n N >，由1n N >得0n x ≥，但由2n N >得0n x <，矛盾．习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察{}n x 的变化趋势，写出它们的极限：（1）12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；解 收敛，1lim0.2n n →∞= （3）212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；解 收敛，lim n →∞212 2.n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（5）(){}1nn -；解 发散．（7）1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；解 发散．2.（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？ 解 （1）必要条件． （2）一定发散．（3）未必一定收敛，如数列(){}1n-有界，但它是发散的．5.根据数列极限的定义证明：（1）21lim0n n →∞=； 证 0ε∀>，要使22110n n ε-=<，只需n >．取正整数max ,1N⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >时，210n ε-<， 故21lim0.n n →∞= （2）313lim 212n n n →∞+=+；证 因为()31311.2122214n n n n +-=<++ 0ε∀>，当14nε<时，313.212n n ε+-<+ 要使14n ε<，只需1.4n ε> 取正整数1max ,14N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，313.212n n ε+-<+故313lim .212n n n →∞+=+（3） 1.n →∞= 证 当0a =时，所给的数列为常数列，显然有此结论． 以下设0.a ≠因为22212a n -=<．0ε∀>，当222a n ε<时，1ε<．要使222a n ε<，只需n >．取正整数max ,1N ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则当n N >1 1.-<故 1.n →∞=（4）lim0.999=1.n n →∞个证 0ε∀>，要使10.999110nn ε-=< 个，只需1lg n ε>． 取正整数1max lg ,1N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，0.9991n ε-< 个．故lim 0.999=1.n n →∞个7.设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=，证明：lim 0.n n n x y →∞=证 因数列{}n x 有界，故0M ∃>，使得对一切n N +∈有.n x M ≤0ε∀>，由于lim n n y →∞=0，故对1Mεε=，N N +∃∈，当n N >时，1n y Mεε<=，从而0,n n n n x y x y M Mεε-=<⋅=所以lim 0.n n n x y →∞=。
数列极限的定义和判定方法
数列极限的定义和判定方法数列是数学中的重要概念，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
在数列中，极限是一个关键的概念，它可以帮助我们更好地理解数列的变化趋势和性质。
本文将介绍数列极限的定义和判定方法，希望能够对读者有所帮助。
一、数列极限的定义数列的极限是指随着数列项的无限增加，数列的值逐渐趋近于一个常数。
数列极限的定义可以用以下形式来描述：对于给定的实数L，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n大于N时，数列的项a_n满足不等式|a_n - L| < ε，那么我们说数列的极限为L。
在这个定义中，L表示数列的极限值，ε表示误差范围，N表示某个正整数。
二、数列极限的判定方法1. 数列极限的定义判定法根据数列极限的定义，我们可以通过判断数列是否满足定义来确定其极限。
具体步骤如下：（1）根据给定的极限值L和误差范围ε，找到对应的正整数N。
（2）验证对于任意大于N的整数n，数列的项a_n是否满足不等式|a_n - L| < ε。
（3）如果满足上述条件，则数列的极限为L；否则，数列不存在极限。
这种判定方法较为直接，但需要根据具体的数列和极限值进行具体的推导分析。
2. 数列极限的基本性质判定法数列极限的判定方法中，除了直接根据定义判断外，还有一些基本性质可以用来帮助判断。
以下是常用的基本性质：（1）有界性：如果数列有界，即存在一个常数M，使得对于所有的正整数n，都有|a_n| ≤ M，那么数列必存在极限。
（2）单调性：如果数列单调递增且有上界（或递减且有下界），那么数列必存在极限。
（3）夹逼准则：如果存在两个数列{a_n}和{b_n}，使得对于所有的正整数n，都有a_n ≤ c_n ≤ b_n，且数列{a_n}和{b_n}的极限都为L，那么数列{c_n}的极限也为L。
（4）递推公式：如果数列通过递推公式来定义，且递推公式能够收敛到一个常数L，那么数列的极限也为L。
根据上述性质，我们可以利用数列的特点和性质，通过分析数列的变化趋势来判定其极限。
第二章 数列极限
1. 实数及其性质
回顾中学数学里关于有理数和无理数的定义.
有理数：
⎧⎪能用互质分数 ⎨
p q
(
p,
q
为整数，q
≠
0)
表示的数；
⎪⎩有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
例 1 设 p 为正整数，若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数.
证明：反证法。若
p 是有理数，则
p 可表示成：
p
=
n ，从而整数 p 可表示成： p = m
记作ξ = inf S . 上确界与下确界统称为确界。
{ } 例 1 讨论数集 S = x x为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界。
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。 sup S = 1, inf S = 0.
例 2（１）
S = [0,1],sup S = 1,inf S = 0. （２）
分析：首先，由 S = A ∪ B 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。
〖课外作业〗
2-2 数列极限
4
〖教学目的和要求〗初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；学会用定义证明极限的基本方法；加深 对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义。
（其中 xn 为 x 的 n 位不足近似， yn 为 y 的 n 位过剩近似）．
例 2 设 x, y 为实数， x < y ，证明存在有理数 r ，满足 x < r < y ．
( ) 证明
由x<
y 知：存在非负整数 n，使得 xn
<
yn ．令 r
第1节 数列的极限
因 交替取1和-1， 而此二数不可能同时落在长
度为1的开区间
内， 故数列 发散。
第2章
极限与连续
【定理2】收敛数列一定有界 证 有 设
取
， 存在 N ， n N 时 当
取
则有 证毕.
第2章
极限与连续
说明 例如
此性质反过来不一定成立
{(1 ) n1} 虽有界但不收敛 数列
第2章
极限与连续
“ yn 无限接近于 a ”不等价于“ yn 与 1 a 越来越近”。 如 数列 yn 1 n 在其变化过程中，yn 与0也越来越近， 但极限并不为0。为什么？
7/29/2013 11:12 PM
说明
第2章
极限与连续
若对任意给定 【定义 2.2】 已知数列 yn ， 的正数 ， 总存在一个正整数 N ， n N 时， 当 有 yn A 恒成立，则称当 n 趋于无穷大时， 数列 yn 以常数 A 为极限。 记作
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
a 与 b 无限接近
a b 无限小
a b 小于任意给定的小正数
yn无限接近于１，即为
yn 1 小于任意给定的小正数
7/29/2013 11:12 PM
第2章
极限与连续
是在 n 数列 yn 无限接近于确定的数 a ，
无限增大的变化过程中实现的。
k
lim x 2 k 1
k
数列发散.
第2章
极限与连续
内容小结 1.数列
2.数列的极限 ------利用定义证明
3.收敛数列的性质
7/29/2013 11:12 PM
高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限
高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN课时授课计划课次序号： 02 一、课题：§1.2 数列的极限二、课型：新授课三、目的要求：1.理解数列极限的概念；2.了解收敛数列的性质.四、教学重点：数列极限的定义.教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–2 3（2）（4），5八、授课记录：九、授课效果分析：第二节 数列的极限复习1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；2. 数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A ；再作内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-⨯n 边形的面积记为()n A n N ∈．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：，，，，，， n A A A A 321它们构成一列有次序的数．当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n 无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明．一、 数列极限的定义1. 数列的概念定义1 如果函数f 的定义域f D =N ={1，2，3，…}，则函数f 的值域f （N ）={f （n ）｜n ∈N }中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，简称数列，即f （1），f （2），…，f （n ），…．通常数列也写成x 1，x 2，…，x n ，…，并简记为{x n }，其中数列中的每个数称为一项，而x n =f （n ）称为一般项或通项．对于一个数列，我们感兴趣的是当n 无限增大时，x n 的变化趋势． 以下几个均为数列：1，12，23，…，1n n-，... （1） 2，4，6，...，2n ， (2)1，0，1，...，11+(1)n n --， (3)1，12-，13，...，1(1)n n --， (4)2，2，2，...，2， (5)2. 数列的极限当n 无限增大时，若数列的项x n 能与某个常数a 无限地接近，则称此数列收敛，常数a 称为当n 无限增大时该数列的极限，如数列（1），（4），（5）均为收敛数列，它们的极限分别为1，0，2．但是，以上这种关于收敛的叙述是不严格的，我们必须对“n 无限增大”与“x n 无限地接近a ”进行定量的描述，让我们来研究数列（4）．取0的邻域U (0, ε)．1. 当ε=2时，数列（4）的所有项均属于U (0,2)，即n ≥1时，x n ∈U (0,2)．2. 当0.1ε=时，数列（4）中除开始的10项外，从第11项起的一切项x 11，x 12，…，x n ，…均属于(0,0.1)U ，即n ＞10时，(0,0.1)n x U ∈．3. 当0.0003ε=时，数列（4）中除开始的3333项外，从第3334项起的一切项x 3334，x 3335，…，x n ，…均属于(0,0.0003)U ，即n ＞3333时，(0,0.0003)n x U ∈．如此推下去，无论ε是多么小的正数，总存在N （N 为大于1ε的正整数），使得n ＞N 时，｜x n -0｜=1(1)0n n---=1n ≤1N ＜ε， 即1(1)n n x n--=∈U (0, ε)． 一般地，对数列极限有以下定义．定义2 若对任何ε＞0，总存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n -a |< ε，即(,)n x U a ε∈，则称数列{x n }收敛，a 称为数列{x n }当n →∞时的极限，记为lim n n x →∞=a 或 x n →a （n →∞）．若数列{x n }不收敛，则称该数列发散．注 定义中的正整数N 与ε有关，一般说来，N 将随ε减小而增大，这样的N 也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则比这个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N 均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，(,)n x U a ε∈等价于｜x n -a ｜＜ε．“数列{x n }的极限a ”的几何解释：将常数a 及数列x 1,x 2,x 3,…,x n ,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的ε邻域，即开区间(a -ε, a +ε)，如图1-33所示．图1-33因不等式 |x n -a |<ε 与不等式 a -ε<x n <a +ε 等价，所以当n >N 时，所有的点x n 都落在开区间(a -ε, a +ε)内，而只有有限个点（至多只有N 个点）在这区间以外．为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“∀”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“∃”表示“存在”；符号“m ax {X }”表示数集X 中的最大数；符号“min{X }”表示数集X 中的最小数．例1 证明 1lim2nn →∞=0．证∀ε＞0(不妨设ε<1)，要使102n -=12n ＜ε，只要2n＞1ε，即n ＞（ln 1ε）/ln2． 因此，∀ε＞0，取N =［（ln 1ε）/ln2］，则当n ＞N 时，有102n -＜ε．由极限定义可知1lim2nn →∞=0．例2 证明 1πlimcos4n n n →∞=0． 证 由于1πcos 04n n -=1πcos 4n n ≤1n ，故∀ε＞0，要使1πcos 04n n -＜ε，只要1n＜ε，即n ＞1ε． 因此，∀ε＞0，取N =1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则当n ＞N 时，有1πcos04n n -＜ε．由极限定义可知 1πlim cos 4n n n →∞=0． 用极限的定义来求极限是不太方便的，在以后的学习中，我们将逐步介绍其他求极限的方法．二、收敛数列的性质1. 唯一性定理1 若数列收敛，则其极限唯一．证 假设数列{x n }收敛，但极限不唯一：lim n n x →∞=a ，lim n n x →∞=b ，且a ≠b ，不妨设a ＜b ，由极限定义，取ε=2b a -，则∃N 1＞0，当n ＞N 1时，｜x n -a ｜＜2b a-，即 32a b -＜x n ＜2a b+, （6） ∃N 2＞0，当n ＞N 2时，｜x n -b ｜＜2b a-,即 2a b +＜x n ＜32b a-, (7) 取N =m ax {N 1,N 2},则当n ＞N 时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列{x n }的极限必唯一．2. 有界性定义3 设有数列{x n }，若∃M ∈R ，M ＞0，使对一切n =1，2，…，有｜x n ｜≤M ，则称数列{x n }是有界的，否则称它是无界的．对于数列{x n },若∃M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≤ M ，则称数列{x n }有上界；若∃M ∈R ，使对n =1，2，…，有x n ≥M ，则称数列{x n }有下界．显然，数列{x n }有界的充要条件是{x n }既有上界又有下界．例3 数列211n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭有界；数列{n 2}有下界而无上界；数列{-n 2}有上界而无下界；数列{(1)1nn --}既无上界又无下界．定理2 若数列{ x n }收敛，则数列{x n }有界．证 设lim n n x →∞=a ，由极限定义，∀ε＞0，且ε＜1，∃N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜ε＜1，从而｜x n ｜＜1+｜a ｜．取M =m ax {1+｜a ｜,｜x 1｜,｜x 2｜,…,｜x N ｜}，则有｜x n ｜≤M 对一切n =1，2，3，…，成立，即{ x n }有界．定理2 的逆命题不成立，例如数列{(1)n-}有界，但它不收敛．3. 保号性定理3 若lim n n x →∞=a ，a ＞0（或a ＜0），则∃N ＞0，当n ＞N 时，x n ＞0（或x n ＜0）．证 设a ＞0，由极限定义 ，对ε=2a ＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，｜x n -a ｜＜2a ， 即2a ＜x n ＜32a ，故当n ＞N 时，x n ＞2a＞0．类似可证a ＜0的情形．推论 设有数列{x n }，∃N ＞0，当n ＞N 时，0n x ≥(或0n x ≤)，若lim n n x →∞=a ，则必有a ≥0( 或a ≤0 )．推论中，若x n ＞0(或x n ＜0)，我们只能推出a ≥0(或a ≤0),而不能推出a ＞0（或a ＜0）．例如1n x n=＞0,但lim n n x →∞=lim n →∞1n =0．4. 收敛数列与其子列的关系定义4 在数列{x n }中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为{x n }的一个子列．在选出的子列中，记第一项为1n x ，第二项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{x n }的子列可记为{k n x }．k 表示k n x 在子列{k n x }中是第k 项，n k 表示k n x 在原数列{x n }中是第n k 项．显然，对每一个k ，有n k ≥k ；对任意正整数h ，k ，如果h ≥k ，则n h ≥n k ；若n h ≥n k ，则h ≥k由于在子列{k n x }中的下标是k 而不是n k ，因此{k n x }收敛于a 的定义是：∀ε＞0，∃K ＞0，当k ＞K 时，有｜kn x -a ｜＜ε．这时，记为lim k n k x →∞=a ．定理4 若lim n n x →∞=a ，则{ x n }的任何子列{k n x }都收敛，且都以a 为极限．证 由lim n n x →∞=a ，∀ε＞0，∃N ＞0，当n ＞N 时，有｜x n -a ｜＜ε．今取K =N ，则当k ＞K 时，有n k ＞n K =n N ≥ N ，于是｜k n x -a ｜＜ε．故有 lim k n k x →∞=a ．定理4用来判别数列{x n }发散有时是很方便的．如果在数列{x n }中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言{x n }是发散的．例4 判别数列πsin,N 8n n x n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭的收敛性． 解 在{x n }中选取两个子列：8πsin,N 8k k ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，即8π16π8πsin ,sin ,sin ,888k ⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭; ()164πsin ,N 8k k +⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，即()164π20πsin ,sin ,88k +⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭． 显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列πsin8n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散．课堂总结1.数列极限的定义：lim 0,,n n n x a N n N x a εε→∞=⇔∀>∃>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．。
12数列的极限
定义 设数列{ xn }, 若存在常数a , 对于 e>0
正整数 N，使得当 n > N 时，不等式
|xna|e
都成立，则称a
是数列
xn
的极限，记为
lim
n
xn
a
说明1 e 是任意给定的一个小正数, 只有这样
|xna|e才能刻画 xn a.
说明2 N 一般是和e有关的 , 常随着e的减小而增大.
2 3
解 原式 lim n
n 13
n
lim2 lim 3
n
n n
lim 1 lim 3
2 0
0 3
2 3
n n
n
1. n li m (x n y n ) n li m x n n li m y n
2. n li m x nynn li m xnn li m yn
例1. 已知
xn
(1)n (n 1)2
,
证明 nli mxn 0.
证:
xn 0
(1)n (n 1)2
0
1 (n 1)2
1 n
1
e(0,1),欲使
取 N 1 1 ,
xn 0
e, 只要
n
1
则当 n>N时, 就有
e
(1)n
e , 1 xn 0
数列 { xn 2n } 无界.
注 数列的通项 xn 实质上是n的函数, 即
xnf(n), n N
数列{ xn }有界即为 f (n) 有界!
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 收敛数列一定有界 说明: 1) 逆命题不成立. 例如, 数列 1,0,1,0, 虽有界但不收敛 . 2) 逆否命题成立. 即：无界数列一定发散
高等数学 极限
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
第二讲数列的极限
n 1 n n 1
(1) n 0 n ( n 1) 2
证：由于 x n a
(1) n 1 1 1 0 2 2 n 1 n (n 1) (n 1)
第一章第二讲数列的极限
要使 x n a
1 1 成立，只要 n n 1
故对 0 ，取 N [ ] ，当 n N 时，总有
xn 趋近于 a ，即 xn 与 a 之间的距离越来越小，所以我们可以利用 xn a 来刻
画 xn 趋近于某一个数 a . 当 xn a 小于一个很小的数的时候，我们就可以说 xn 与 a 越来越近.
题目：已知数列
n ( 1) n 1 n
（1）
n (1) n 1 与 1 之间的关系？ n
1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
(ⅱ) 2 , 4 , 8 , 16 , (ⅲ) 1 , 1 , 1 , 1 , (ⅳ) s1 , s2 ,, sn , (ⅴ) x1 , x2 ,, xn , 解：(ⅰ) xn
n n 1
当 n 时， xn 趋近于 1
第一章第二讲数列的极限
N ，当 n N 时， | xn
a | 1 都成立
于是 n N 时， xn xn a a xn a a 1 a
第一章第二讲数列的极限 取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则数列 xn 中的每一项满足 xn M 故数列 xn 是有界的. 注：根据该定理，若数列 xn 无界，则 xn 一定发散，但若 xn 有界，则 xn 不 一定收敛. 3、极限的保号性：若 lim x n
1 1 n n
所以从第 [ ] 1 项开始后面所有的项与 1 的差的绝对值小于
2.1数列的极限ppt(1)
1 n
0
不存在
存在
0
1 3n
有穷数列没有极限
0
1 an n (n 100)
an 0.99
n
不存在
存在
0
0.99
n
0
1.求下列数列的极限：
1 2 3 4 (1). , , , ,... 2 3 4 5
3 11 19 27 (2). , , , ,... 2 4 6 8
5 9 13 17 (3) , , , ,... 2 4 6 8
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 a n 的项 a n 无限地趋近于某个常数 a ，(即 a n a 无限地 接近0), 那么就说数列 a 以 a 为极限，或者说 a 是数列
an 的极限
n
lim an a
n
读作 “当n 趋向于无穷大时， a n的极限等于a ” 或 “limit n 当n 趋向于 a 无穷大时等于a ”
2.2 数列的极限(1)
一复习回顾: 数列的定义
【定义】按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为 { x n } .
【例如】 2,4,8, ,2 n , ;
n 趋向于无穷大 （1）
a n 是无穷数列
n 无限增大时，a n 不是一般地趋近于 a ，而是
a “无限”地趋近于
（2）
（3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的
三、例题讲解：
例1、考察下面的数列，写出它们的极限： 1 1 1 0 1， ， ， ， 3 ， ； （1） 8 27 n 5 6. 6. 7 n ， ； 7 （2） 6.5， 95， 995， ， 10 1 1 1 1 , （3） , , , n , ； 0 2 4 8 ( 2 )