(6)角动量角动量守恒定律
合集下载
《角动量守恒定律》课件
未来对于角动量守恒定律的研究和应用，将会推动物理学和科技领域的 不断发展，为人类社会的进步提供更加坚实的理论基础和技术支持。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
05
角动量守恒定律的拓展学习
与角动量相关的其他定律
角动量定理
描述角动量随时间变化的 规律，即角动量定理。
拉格朗日定理
与角动量守恒定律相关的 另一个重要定理，它描述 了系统在保守力作用下的 运动规律。
公式
L=r×p，其中L表示角动量，r表 示位置矢量，p表示动量。
Байду номын сангаас
角动量守恒的条件
无外力矩作用
系统内力的力矩相互抵消，或者系统受到的外力矩为零。
孤立系统
系统与外界没有能量交换或相互作用，即系统处于孤立状态 。
角动量守恒定律的应用场景
01
02
03
天体运动
行星绕太阳的旋转运动、 卫星绕地球的运动等都遵 循角动量守恒定律。
哈密顿原理
一个描述系统在保守力作 用下最短路径的原理，与 角动量守恒定律有密切联 系。
角动量守恒定律的深入学习资源
《经典力学》教材
深入探讨角动量守恒定律的理论 基础和应用，包括数学推导和实
例分析。
网络公开课
一些在线教育平台提供关于角动量 守恒定律的深入学习课程，可以作 为辅助学习资料。
学术论文
查阅相关学术论文，了解角动量守 恒定律在前沿科学研究中的应用和 最新研究成果。
们更好地设计和控制卫星轨道。
分子运动实例
总结词
分子转动是微观领域中角动量守恒的实例，对于理解化学反应机理和分子结构具有重要意义。
详细描述
分子转动是指分子中的原子或基团绕分子轴线的旋转运动。在分子转动过程中，分子的角动量是守恒的。这是因 为分子内部没有摩擦力矩，从而保证了角动量的守恒。了解和利用角动量守恒定律，可以帮助我们更好地理解和 预测化学反应机理和分子结构。
质点角动量定理 角动量守恒
v2
o
v1
4)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一。不 仅适用于宏观体系，也适用于微观系统。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
例1 一小球在光滑平面上作圆运动，小球被穿 过中心的线拉住 。开始时绳半径为r1 ，小球速 率为 v1 ；后来，往下拉绳子，使半径变为 r2 ， 小球速率变为 v2 ，求v2 =？
ri fi 0
i
有
dL M外 dt
质点系的角动量定理：质点系对某定点的角 动量的时间变化率等于质点系对该点的合外 力矩。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
结论：
1）内力对定点的力矩之和为零。 2）只有外力矩才能改变系统的总角动量。 3.质点系的对轴的角动量
L Lx i Ly j Lz k
当质点系对某点的合外力矩为零时，则质点 系对该点的角动量保持不变，称为角动量守恒定 律。
角动量守 恒例题
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
盘状星系——角动量守恒的结果
质点系对o点的角动量
r2
o
r1
L Li ri Pi
i i
质点系对o点的角动量等于系统中各质点对 同一点角动量的矢量和。
2.5 质点角动量定理 角动量守恒
2.质点系的角动量定理
用 f i 表示第i个质点所受内力之和
用 Fi 表示第i个质点所受外力之和
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt d dt t
由速度定义
dr v v p 0 dt
角动量定理和角动量守恒定律
彗星
vB
F
太阳
rB
远 日
即 rv = C 1 v∝ r r v 彗星 太阳 太阳
/
B 点
vA
rvຫໍສະໝຸດ vA > vB彗星 太阳
l/2 −l / 2
dM = −2∫
l/2 0
λgµxdx
1 = − µmgl 4
§7.冲量矩角动量角动量定理 / 三、解题方法及举例 冲量矩角动量角动量定理
L 始末两态的角动量为： 始末两态的角动量为： 0 = Jω 0 ,
t t0
L=0
由角动量定理： 由角动量定理： ∫ Mdt = L − L0 t 1 − ∫0 µmgldt = 0 − Jω 0 4 ω 1 1 2 − µmglt = − ml ω0 dm l / 2 m, l o 4 12 x dx x lω 0 −l/2 t= µ 3 gµ
冲量矩角动量角动量定理 / 四、角动量守恒定律
解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
L0 = L = C
J1
J2
ω1
ω2
J1ω1 + J 2ω 2 = ( J1 + J 2 )ω J1ω1 + J 2ω 2 共同角速度 ω = J1 + J 2
冲量矩角动量角动量定理 / 三、解题方法及举例
冲击的瞬间， 解：在力 F 冲击的瞬间， 认为细杆还未摆起， 认为细杆还未摆起，重力 不产生力矩， 不产生力矩，只有力 F 产生力矩，视为恒力矩。 产生力矩，视为恒力矩。 由角动量定理： 由角动量定理：
o
m, l
∫ Mdt = L − L0
t 0
角动量定律
由①、②解得:
M m 2π mM
M
m 2p mM
(2) 由机械能守恒定律得：
1 1 2 m( Rw m ) M ( Rw M ) 2 E0 2 2
R M m
wm M 将①式 代入上式，有 wM m
wM
2mE0 1 R M (m M )
小球从射出到碰撞经过的时间为:
M 2pm R (m M ) M t wM m M 2m E0
M
m 2p mM
质点在有心力场中的运动
• 有心力：方向始终指向或背 向一个固定中心的力，该固 定中心称为力心，记为O。 一般情况下，有心力的大小 仅与参考点到力心O的距离 有关，即
f
r
O
ˆ r m1m2 q1q2 f f (r )r0 ; 如 : f G 2 r0 , f k 2 r0 r r • 有心力场：有心力存在的空间，为保守力场
1 1 1 2 2 ( m m0 )v1 ( m m0 )v k ( l l0 )2 ( 3 ) 2 2 2
O
l
B
v
v0
l0
A
m
m0
2
m v k ( l l0 ) v 2 ( m m0 ) m m0
2 2 0
sin
1 2 2 0
2 1 Mdt 1 dL L2 L1 L 2 冲量矩： Mdt
2
1
质点所受合力矩的冲量等于质点角 动量的增量。
2、质点系角动量定理： 质点系的角动量 L Li ri pi ri mi vi
dLi dL d Li dt ri ( Fi fi ) M e M i dt dt 转动动力 dL Me 内力fi 对总力矩的贡献为零 学方程 dt
4-6角动量守恒
四. 角动量守恒定律
Σ Li = c
结束
返回
本节要求： 本节要求： 1、能计算质点和刚体的角动量（动量矩）。 、能计算质点和刚体的角动量（动量矩）。 2、掌握刚体的角动量定理。 、掌握刚体的角动量定理。 3、熟练掌握刚体的角动量守恒定律。 、熟练掌握刚体的角动量守恒定律。
结束
返回
作业
P 10： 4-5， 4-6。 P10: 4-7， 4-8， 4-9， P11：4-10，4-11*。
结束
m
v
返回
花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速
ω
结束
返回
§4-6 动量矩 冲量矩 角动量守恒定律 一、质点的角动量（动量矩） L = r × p 质点的角动量（动量矩） 二、刚体的角动量 三、角动量定理 L = Jω dL M = dt
∫
t2 t1
ω ω M dt = J 2 J 1
提示：
结束
返回
结束
2
•
d
ω
•
m
v
返回
三、角动量定理 M = J β
ω d = J dt
∫
t2 t1
M dt = ∫ω J d = J 2 J 1 ω ω ω
1
ω2
角动量定理： 角动量定理：作用在刚体上的冲量矩等 于刚体角动量的增量。 于刚体角动量的增量。
返回
结束
四. 角动量守恒定律 dL d (Σ L i ) M= = dt dt 若 则 M =0
3L 4
θ L
M
v 1 M L2 )ω
3 =
3 4
.ω
结束
mv
返回
9 mL 1 M L +3 16
动量和角动量守恒定律
动量和角动量守恒定律动量和角动量守恒定律是物理学中两个重要的守恒定律，它们在描述物体运动过程中起到了关键作用。
本文将对动量和角动量守恒定律的概念、原理以及应用进行详细的讲解。
一、动量守恒定律动量是物体运动的核心概念，它定义为物体质量与其速度的乘积。
动量的守恒定律表明，在一个系统中，如果没有外力作用，系统的总动量将保持恒定不变。
动量守恒定律可以用数学公式表示为：Σmv = 常数，其中Σ表示对系统中所有物体的动量求和，m为物体的质量，v为物体的速度。
例如，考虑一个闭合系统，系统中有两个物体A和B，它们分别具有动量m₁v₁和m₂v₂。
根据动量守恒定律，如果没有外力作用，则系统的总动量为m₁v₁ + m₂v₂，即系统动量守恒。
动量守恒定律的应用非常广泛。
在交通事故中，当两车相撞后，虽然车辆的速度和方向可能发生了改变，但整个系统的总动量保持不变，这可以解释为车辆之间的动量传递。
二、角动量守恒定律角动量是描述物体旋转运动的重要物理量，它定义为物体的转动惯量与其角速度的乘积。
角动量的守恒定律表明，在一个系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量将保持恒定不变。
角动量守恒定律可以用数学公式表示为：ΣIω = 常数，其中Σ表示对系统中所有物体的角动量求和，I为物体的转动惯量，ω为物体的角速度。
例如，考虑一个旋转的物体系统，系统中有多个物体，它们分别具有角动量I₁ω₁、I₂ω₂等。
根据角动量守恒定律，如果没有外力矩作用，则系统的总角动量为I₁ω₁ + I₂ω₂，即系统角动量守恒。
角动量守恒定律的应用也非常广泛。
例如，在天体运动中，行星绕太阳旋转的过程中，由于没有外力矩作用，它们的角动量保持不变。
三、动量和角动量守恒定律的应用动量和角动量守恒定律在解决物体运动问题时具有广泛的应用。
1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体在碰撞过程中会发生能量和动量的交换，但整个系统的动量守恒。
通过运用动量守恒定律，可以计算出碰撞前后物体的速度和动量的变化。
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
刚体力学_角动量
dLi Mi = dt
i内 内
的内力矩之和应为零,所以在遍 的内力矩之和应为零 所以在遍 及刚体内所有质点后,可得 及刚体内所有质点后 可得
d ∑ Mi = ∑ Mi外+ ∑ Mi内= ∑ Mi外= dt ( ∑ Li )
合力矩 合内力矩为零 合外力矩M 合外力矩 刚体角动量L 刚体角动量
dL 刚体作定轴转动时 刚体所受合外力矩等于 刚体作定轴转动时,刚体所受合外力矩等于 即 M= 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率. dt 刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率
转动惯量为J的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 在时 转动惯量为 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动,在时 的刚体在合外力矩的作用下作定轴转动 间 t1 到 t2 内,其角速度由 ω 1变为 ω 2 ,则有 其角速度由 则有
∫
t2
t1
Mdt =
∫
L2
L1
dL = L2 − L1 = J ω 2 − J ω 1
m
解：选质点系: 选质点系 两个钢球+泥球 两个钢球 泥球 碰撞过程， 碰撞过程，
a/2 o a/2
m V0 m
质点系对o点的合外力矩为零， 质点系对 点的合外力矩为零， 点的合外力矩为零 系统角动量守恒. 系统角动量守恒
由角动量守恒定律， 由角动量守恒定律，得： (a/2) mv0
m V
=(a/2)2mv+（a/2）mv （ ）
v v dL M= dt
v v v M d t = L 2 − L1 ∫t1 t2 v 冲量矩 ∫ M dt
t2
t1
对同一参考点O， 对同一参考点 ，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
大学物理角动量守恒定律解析
dm’
dF1
m
dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
h2
h1 m
mv1R h1 mv2 R h2
v2
R h1 R h2
v1
6378 439 6378 2384
8.1
6.3kms
1
增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
近地
h1 160.9km
直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 体操运动员的“晚旋” 芭蕾、花样滑冰、跳水…...
例. 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的 竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和 台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对 于地面，人和台各转了多少角度？
v1 3.38104 kms1
t小很快掠过
远地
h1 2.03105 km v1 1225kms1
t大充分利用
地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
严格同步条件 轨道严格为圆形 运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移 （p.43 图3.5-8) 用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术 研究微观粒子相互作用规律 自学教材P.94[例五]
解：选地面为参考系，设对转轴
m
人：J , ; 台：J ´, ´
J mR2
J
1 2
MR 2
系统对转轴合外力矩为零，
角动量守恒。以向上为正：
R
M
J J 0 2m
M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t：
dF1
m
dF2
卫星 m 对地心 o 角动量守恒
h2
h1 m
mv1R h1 mv2 R h2
v2
R h1 R h2
v1
6378 439 6378 2384
8.1
6.3kms
1
增加通讯卫星的可利用率
探险者号卫星偏心率高
近地
h1 160.9km
直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 体操运动员的“晚旋” 芭蕾、花样滑冰、跳水…...
例. 一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的 竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最初人和 台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对 于地面，人和台各转了多少角度？
v1 3.38104 kms1
t小很快掠过
远地
h1 2.03105 km v1 1225kms1
t大充分利用
地球同步卫星的定点保持技术 卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
严格同步条件 轨道严格为圆形 运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移 （p.43 图3.5-8) 用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术 研究微观粒子相互作用规律 自学教材P.94[例五]
解：选地面为参考系，设对转轴
m
人：J , ; 台：J ´, ´
J mR2
J
1 2
MR 2
系统对转轴合外力矩为零，
角动量守恒。以向上为正：
R
M
J J 0 2m
M
设人沿转台边缘跑一周的时间为 t：
质点的角动量定理和角动量守恒定律
（2）矢量的轴矩 表示, 表示, 称为 el轴.
r er
r eθ
r eϕ
r 定义轴为有方向的直线, 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 el r
r r v r r Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A)
§3-4 质点的角r r r Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) r r 矢量 A 对 el轴的轴矩与轴上 O点选取无关 r 矢量 A 对过同一 O点、方向不同的轴的轴
dLl = Ml dt
Ml ≡ 0
r F =0
r r F 与 el 轴共面
常量
r r r r r Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) =
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7 例题7
r r r &e + mRϕ sin θe & mv = mRθ θ ϕ
& Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ
& sin 2 θ Lz = mR ϕ
2
& = mR ϕ 0 sin θ 0
2 2
sin θ 0 & & ϕ0 ϕ= 2 sin θ
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 例题6
r r r r （1） LO = r × mv = C r r r r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在 垂直, r 垂直的平面内运动. 过 O 点且与 LO垂直的平面内运动.
（ 2）
r LO = r
r eρ
r eθ 0
r r & 0 = mr θk = C
r r r r r × dr dA LO = r × mv = m = 2m dt dt
r er
r eθ
r eϕ
r 定义轴为有方向的直线, 定义轴为有方向的直线, 其方向用单位矢量 el r
r r v r r Gl = el ⋅ GO = el ⋅ (r × A)
§3-4 质点的角r r r Gl = el ⋅ (r × A) = A ⋅ (el × r ) r r 矢量 A 对 el轴的轴矩与轴上 O点选取无关 r 矢量 A 对过同一 O点、方向不同的轴的轴
dLl = Ml dt
Ml ≡ 0
r F =0
r r F 与 el 轴共面
常量
r r r r r Ll = el ⋅ LO = el ⋅ (r × mv ) =
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题7 例题7
r r r &e + mRϕ sin θe & mv = mRθ θ ϕ
& Lz = R sin θ ⋅ mRϕ sin θ
& sin 2 θ Lz = mR ϕ
2
& = mR ϕ 0 sin θ 0
2 2
sin θ 0 & & ϕ0 ϕ= 2 sin θ
2
§3-4 质点的角动量定理和角动量守恒定律 例题6 例题6
r r r r （1） LO = r × mv = C r r r r 和 v 必始终与 LO 垂直, 质点必在 垂直, r 垂直的平面内运动. 过 O 点且与 LO垂直的平面内运动.
（ 2）
r LO = r
r eρ
r eθ 0
r r & 0 = mr θk = C
r r r r r × dr dA LO = r × mv = m = 2m dt dt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
角动量守恒定律
一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统
二、质点角动量定理
三、质点系的角动量定理
质点的角动量守恒定律
概念： 刚体、定轴转动
四、角动量守恒定律
教材：5.2与5.5节（学习角动 量守恒定律主要是为了研究刚 体的定轴转动问题，注意刚体 是特殊的质点系） 作业：练习6
z o r
L
r
y
dt L L 0 M
t t 0
冲量矩
质点的角动量定理
例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静 止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后 从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球 滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.
56 k ( N s )
直角坐标系中 力矩的分量式:
M zF xF y x z
讨论
例：
合力为零时，其合力矩是否一定为零？ 不 合力矩为零时，合力是否一定为零？
F
一 定
F
o
F
o
F
作用力和反作用力对同一参 考点合力矩为零。 从而，质点系内力矩矢量和 一定为零。 M 0
p
p
若 r 、 p 大 小 相p 同 ， ， L 则 ：
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。 *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的 强弱。
2、力矩(moment of force)
定义：力对定点的力矩
F
单位：牛· 米 M r F （N ·m）
r F rF si n F d
r
m
o
M
d
大小： 方向：
m 服从右手定则 力矩 r o 垂直于 r 和 F 组成的平面 , 服从右手定
F
【特别】在圆轨迹运动时 四指代表该力作用下质点相对于0 点的转动趋势，则大拇指代表角动 量的方向
Fm M
o r
定义：
L r p r m v
m
p
p
质点相对O点的矢径 大小：
r
o
z
r
L
L rmv sin ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r p pr
方向：
o r p 垂直于 r和 p 组成的平面， r m p 服从右手定则。
y
注意
1）从位矢 r转向速度 2）夹角小于180度
【特别】在圆轨迹运动时
的方向符合右手法则。 L
L r p r m vL
质点的角动量的方向
z
o
r m
y
v
v
x
L
v
四指代表质点相对于0点的转动趋 势，则大拇指代表角动量的方向
r
质点以角速度 作半径 为r 的圆运动，相对圆心的 2 角动量 Lmr
即过0点的有心力
h2
o
r
r
m
o
p
p
力心
h1
m
有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点
二、质点的角动量定理(theorem of angular momentum) d p d L F , ? L r p d t d t
d Ld pd r d ( r p ) r p d t d t d t d t v // p d L d p d r r r F v , v p 0 d t d t d t
L p
m o r
L r m v
直角坐标系中角 动量的分量表示 注意
L x yp z zp y L zp xp y x z
L xp yp z y x
r
r
m
o 以 o 为参考点： L 0 o 以 o 为参考 L 点 0 ：
dL M dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
质点的角动量定理(theorem of angular momentum)
质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力 矩——质点角动量定理的微分形式。
dL M dt
质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量 （冲量矩）——角动量定理的积分形式
p
m p
结构框图：
角动量 转动 惯量
角动量时 间变化率
角动量 力矩 定理
角动量 守恒定律
刚体定轴转动定律 重要性：中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。
【引入】为什么提出“角动量”概念？
问题一：两个质点如右图，以不同半径 的轨道转动，动量大小相等，位移方向 相同时连动量方向也相同，该如何区别 两个质点？ 问题二：将一绕通过质心的固定轴转动 的圆盘视为一个质点系，系统总动量为
M Fr
M r F
M zF x yF z y
M xF yF z y x 例题、已知： r 3 i 8 j F -7 i v 5 i 6 j m 3
求角动量和力矩 解： L r m v 3 ( 3 i 8 j ) ( 5 i 6 j ) 2 174 k ( kg m / s ) M r F ( 3 i 8 j ) ( 7 i )
F 0 , M 0 o
d r1
1
F 0 , M 0 o
o
r2
f21
i
i 内
f12
m2
2
m1
讨论
力矩为零的情况:
M
M r F
m o r
F
（1）力 F 等于零；
按惯性定律知此时物体保 持静止或者匀速直线状态
（2）力 F 的作用线与矢 径r 共线(即 si n 0）
r1
r2
P m v
p M v 0 C 总
但是系统有机械运动，说明不宜使用动 量来量度转动物体的机械运动量。
M
C
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
L r m v
动量对参考点（或轴）求矩
一、相关概念 1. 质点的角动量(angular momentum)
一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统
二、质点角动量定理
三、质点系的角动量定理
质点的角动量守恒定律
概念： 刚体、定轴转动
四、角动量守恒定律
教材：5.2与5.5节（学习角动 量守恒定律主要是为了研究刚 体的定轴转动问题，注意刚体 是特殊的质点系） 作业：练习6
z o r
L
r
y
dt L L 0 M
t t 0
冲量矩
质点的角动量定理
例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静 止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后 从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球 滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.
56 k ( N s )
直角坐标系中 力矩的分量式:
M zF xF y x z
讨论
例：
合力为零时，其合力矩是否一定为零？ 不 合力矩为零时，合力是否一定为零？
F
一 定
F
o
F
o
F
作用力和反作用力对同一参 考点合力矩为零。 从而，质点系内力矩矢量和 一定为零。 M 0
p
p
若 r 、 p 大 小 相p 同 ， ， L 则 ：
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。 *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的 强弱。
2、力矩(moment of force)
定义：力对定点的力矩
F
单位：牛· 米 M r F （N ·m）
r F rF si n F d
r
m
o
M
d
大小： 方向：
m 服从右手定则 力矩 r o 垂直于 r 和 F 组成的平面 , 服从右手定
F
【特别】在圆轨迹运动时 四指代表该力作用下质点相对于0 点的转动趋势，则大拇指代表角动 量的方向
Fm M
o r
定义：
L r p r m v
m
p
p
质点相对O点的矢径 大小：
r
o
z
r
L
L rmv sin ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ r p pr
方向：
o r p 垂直于 r和 p 组成的平面， r m p 服从右手定则。
y
注意
1）从位矢 r转向速度 2）夹角小于180度
【特别】在圆轨迹运动时
的方向符合右手法则。 L
L r p r m vL
质点的角动量的方向
z
o
r m
y
v
v
x
L
v
四指代表质点相对于0点的转动趋 势，则大拇指代表角动量的方向
r
质点以角速度 作半径 为r 的圆运动，相对圆心的 2 角动量 Lmr
即过0点的有心力
h2
o
r
r
m
o
p
p
力心
h1
m
有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点
二、质点的角动量定理(theorem of angular momentum) d p d L F , ? L r p d t d t
d Ld pd r d ( r p ) r p d t d t d t d t v // p d L d p d r r r F v , v p 0 d t d t d t
L p
m o r
L r m v
直角坐标系中角 动量的分量表示 注意
L x yp z zp y L zp xp y x z
L xp yp z y x
r
r
m
o 以 o 为参考点： L 0 o 以 o 为参考 L 点 0 ：
dL M dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
质点的角动量定理(theorem of angular momentum)
质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力 矩——质点角动量定理的微分形式。
dL M dt
质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量 （冲量矩）——角动量定理的积分形式
p
m p
结构框图：
角动量 转动 惯量
角动量时 间变化率
角动量 力矩 定理
角动量 守恒定律
刚体定轴转动定律 重要性：中学未接触的新内容
大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；
微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量守恒定律与空间旋转对称性相对应。
【引入】为什么提出“角动量”概念？
问题一：两个质点如右图，以不同半径 的轨道转动，动量大小相等，位移方向 相同时连动量方向也相同，该如何区别 两个质点？ 问题二：将一绕通过质心的固定轴转动 的圆盘视为一个质点系，系统总动量为
M Fr
M r F
M zF x yF z y
M xF yF z y x 例题、已知： r 3 i 8 j F -7 i v 5 i 6 j m 3
求角动量和力矩 解： L r m v 3 ( 3 i 8 j ) ( 5 i 6 j ) 2 174 k ( kg m / s ) M r F ( 3 i 8 j ) ( 7 i )
F 0 , M 0 o
d r1
1
F 0 , M 0 o
o
r2
f21
i
i 内
f12
m2
2
m1
讨论
力矩为零的情况:
M
M r F
m o r
F
（1）力 F 等于零；
按惯性定律知此时物体保 持静止或者匀速直线状态
（2）力 F 的作用线与矢 径r 共线(即 si n 0）
r1
r2
P m v
p M v 0 C 总
但是系统有机械运动，说明不宜使用动 量来量度转动物体的机械运动量。
M
C
*引入与动量 p 对应的角量 L ——角动量（动量矩）
L r m v
动量对参考点（或轴）求矩
一、相关概念 1. 质点的角动量(angular momentum)