【全国百强校】辽宁省东北育才2017-2018学年度上学期高三10月考试数学理科试题(Word版)
辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第一次模拟考试数学文试题Word版含答案
东北育才学校高中部2018届 高三第一次模拟考试（数学文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}2,1,0,1{-=A ，}032{2<-+=x x x B ，则=B A （ ） A ．}1{-B ．}0,1{-C ．}1,0,1{-D ．}0,1,2{--2.已知R y x ∈,，i 为虚数单位，若i y xi 3)2(1--=+，则=+yi x （ ） A ．2B ．5C ．3D ．103.下列函数的图像关于y 轴对称的是（ ）A ．x x y +=2B ．x y 1-=C ．x x y --=22D ．x x y -+=22 4.已知平面向量),1(m a = ，)1,3(-=b 且b b a//)2(+，则实数m 的值为（ ）A ．31B ．31-C ．32D ．32- 5.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =A ．60B ．75 C.90 D ．1056.在抛物线px y 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21B.1C.2D.4 7.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A.83 B.43C.248+D.246+ 8.设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03,02,0y x y x x 表示的平面区域上，则22)1(y x z +-=的最小值为A ．1B ．55 C. 2 D ．552 9.若函数()()2log =+f x x a 与()()21=-+g x x a x ()45-+a 存在相同的零点，则a 的值为22俯视图侧视图A ．4或52-B ．4或2-C ．5或2-D ．6或52- 10.若将函数x x f 2cos 21)(=的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．)0,12(πB ．)0,6(πC ．)0,3(πD ．)0,2(π11.“1=a ”是“1-=x 是函数1)(223-+--=x a ax x x f 的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12.已知函数()21sin 21x x f x x x -=+++，若正实数b a ,满()()490f a f b +-=，则11a b +的最小值是A.1B.29C.9D.18二.填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.在如右图所示程序框图中，任意输入一次)10(≤≤x x 与)10(≤≤y y 中奖！”的概率为 .14.已知方程1)2(22=-+y m mx 是 .15. 已知函数()sin xf x e x =，则)(x f 在0=x 处的切线方程为 .16. 若31)6sin(=+πx ，则=-)267sin(x π. 三.解答题：共70分。
2017-2018年辽宁省实验中学、东北育才学校高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：?x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．?x＞0，x﹣lnx≤0B．?x＞0，x﹣lnx＜0C．?x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．?x0＞0，x0﹣lnx0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27B．27C．﹣54D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（）A．2B．1C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C．D．9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048B．5050C．10098D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+。
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三(上)期末数学试卷(
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，则集合A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，3，4}2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则=（）A．2+i B．2﹣i C．i D．﹣i3．（5分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．4．（5分）设平面向量，则=（）A．（0，0） B．C．0 D．﹣25．（5分）若，且α为第二象限角，则tanα=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图的框图，则输出的s是（）A．9 B．10 C．132 D．13207．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值等于（）A．0 B．﹣1 C．D．9．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．D．7π11．（5分）某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙12．（5分）①“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a∈（﹣3，+∞）；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则=．14．（5分）已知圆x2+y2﹣6y﹣7=0与抛物线x2=2py（p＞0）的准线相切，则p=．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，则a n=．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）d的导函数为f′（x），若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．（1）求角B的大小；（2）设y=sinC﹣sinA，求y的取值范围．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥E﹣FBC1的体积．19．（12分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；（2）将身高在[170，175]，[175，180），[180，185]内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率．20．（12分）在直角坐标系xOy中，设椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求△F1BN 的面积．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）当x＞0且x≠1，不等式恒成立，求实数a的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3a|（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|x﹣1|；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＞5+|x0﹣1|成立，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，则集合A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，3，4}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，∴B={1，3，4}，∴集合A∩B={1}．故选：A．2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则=（）A．2+i B．2﹣i C．i D．﹣i【解答】解：∵=，∴，则=2﹣i．故选：B．3．（5分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±x．故选：A．4．（5分）设平面向量，则=（）A．（0，0） B．C．0 D．﹣2【解答】解：平面向量，则=﹣1×0+2×2=0．故选：C．5．（5分）若，且α为第二象限角，则t anα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且α为第二象限角，∴sinα=，则tanα=．故选：B．6．（5分）执行如图的框图，则输出的s是（）A．9 B．10 C．132 D．1320【解答】解：模拟程序的运行，可得i=12，S=1满足条件i＞10，执行循环体，S=12，i=11满足条件i＞10，执行循环体，S=132，i=10不满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为132．故选：C．7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值等于（）A．0 B．﹣1 C．D．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分），平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（，）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣﹣=﹣．故选：D．9．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数向左平移个单位长度，故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．D．7π【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中，PC⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=PC=，BC=1，以CA、CB、CP为三条棱构造长方体，则该几何体的外接球即长方体的外接球，∴该几何体的外接球的半径R==，∴该几何体的外接球的表面积：S=4πR2=4π×（）2=7π．故选：D．11．（5分）某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙【解答】解：甲和三人中的第3小组那位不一样，说明甲不在第三组，三人中第3小组的那位比乙分数高，说明乙不在第三组，则丙在第三组，第三组比第1小组的那位的成绩低，大于乙，这时可得乙为第二组，甲为第一组，甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，甲、丙、乙，故选B．12．（5分）①“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a∈（﹣3，+∞）；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，两条直线没有公共点，则这两条直线不一定是异面直线，若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，所以是必要不充分条件，①正确；对于②，过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则D2+E2﹣4F=a2+（2a）2﹣4（2a+1）＞0，化简得5a2﹣8a﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣；又点P代入圆的方程得22+12﹣2a+2a+2a+1＞0，解得a＞﹣3；所以a的取值范围是﹣3＜a＜﹣或a＞2，②错误；对于③，若，则1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=﹣，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∴；对于④，函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜f′（）=2a+，令2a+≥0，解得a≥﹣，所以a的取值范围是[﹣，+∞），④正确；综上，正确的命题序是①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则=．【解答】解：由分段函数的表达式得f（）=ln=﹣1，则f（﹣1）=e﹣1=，故f[（）]=，故答案为：14．（5分）已知圆x2+y2﹣6y﹣7=0与抛物线x2=2py（p＞0）的准线相切，则p=2．【解答】解：整理圆方程得（x﹣3）2+y2=16，∴圆心坐标为（3，0），半径r=4，∵圆与抛物线的准线相切，∴圆心到抛物线准线的距离为半径，即=4，解得p=2．故答案为：2．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，则a n=．【解答】解：a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，当n≥2时，a n=3S n﹣1，由a n=S n﹣S n﹣1，可得a n+1﹣a n=3a n，=4a n，即为a n+1由于a2=3a1=3，则a n=a2q n﹣2=3•4n﹣2，综上可得，，故答案为：．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）d的导函数为f′（x），若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是（，+∞）．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x3，则由f（x）﹣f（﹣x）=2x3，可得F（﹣x）=F（x），故F（x）为偶函数，又当x≥0时，f′（x）＞3x2即F′（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上为增函数．不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1化为F（x）＞F（x﹣1），所以有|x|＞|x﹣1|，解得x＞，故答案为（，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．（1）求角B的大小；（2）设y=sinC﹣sinA，求y的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理知，，即，在△ABC中，∴即，又B∈（0，π）∴，∴，即．（2）依题知y=sinC﹣sinA=sinC﹣sin（B+C）∴=∴．由（1）知，∴，∴，即．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥E﹣FBC1的体积．【解答】（1）证明：∵E、F分别为DD1，BD的中点，连结BD1，∴EF∥BD1，又∵EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）证明：∵B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，B1C∩D1C1=C1，∴B1C⊥平面BD1C1，∵BD1⊂平面BD1C1∴BD1⊥B1C，又∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C；（3）解：∵EF∥BD1，EF⊂平面EFC1，BD1⊄平面EFC1，∴BD1∥平面EFC1，即点B、D1到平面EFC1的距离相等，∴，取CD中点M，连FM，则FM∥BC．在正方体AC1中BC⊥平面DC1，BC=2．∴FM⊥平面DC1设点F到平面ED1C1的距离为h，则，∴，即三棱锥E﹣FBC1的体积为．19．（12分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；（2）将身高在[170，175]，[175，180），[180，185]内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知5x=1﹣5×（0.07+0.04+0.02+0.01）所以．（3分）100×（0.06×5+0.04×5+0.02×5）=60（人）．（5分）（2）A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人．因此应该从A，B，C组中每组各抽取（人），20×=4（人），10×=2（人）．（8分）（3）在（2）的条件下，设A组的3位同学为A1，A2，A3，B组的2位同学为B1，B2，C组的1位同学为C1，则从6名学生中抽取2人有15种可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中B组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能；（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）所以B组中至少有1人被抽中的概率为．（13分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，设椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求△F1BN 的面积．【解答】解：（1）椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．c==，，解得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为：．（2）直线BF2的方程为，由，得点N的横坐标为，又，∴，综上，△F1BN的面积为．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）当x＞0且x≠1，不等式恒成立，求实数a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，f（e）=2﹣e，∴切点为（e，2﹣e），，∴切线方程为即曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e﹣1）x+ey﹣e=0；（2）∵当x＞0且x≠1时，不等式恒成立∴x=e时，∴又即对x＞0且x≠1恒成立等价于x＞1时f（x）＜0，0＜x＜1时f（x）＞0恒成立∵x∈（0，1）∪（1，+∞），令f'（x）=0∵a＞0∴x=1或①时，即时，时，f'（x）＞0，∴f（x）在单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，∴不符合题意，②当时，即时，x∈（0，1）时f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x）＞f（1）=0；x∈（1，+∞）时f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）＜f（1）=0，∴符合题意．③当时，即时，时，f'（x）＞0，∴f（x）在单调递增∴f（x）＜f（1）=0∴不符合题意，④当时，即a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）单调递增，∴f（x）＜f（1）=0，∴a＞1不符合题意．综上，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π且），【解答】则：，∵，，∴O到直线l的距离为3，则，解之得．∵0＜α＜π且，∴（2）直接利用关系式，解得：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3a|（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|x﹣1|；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＞5+|x0﹣1|成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知|x﹣3|+|x﹣1|＞5，当x＜1时，解得，则；当1≤x≤3时，解得x∈∅，则x∈∅，当x＞3时，解得，则综上：解集为或（2）∵||x﹣3a|﹣|x﹣1||≤|（x﹣3a）﹣（x﹣1）|=|3a﹣1|∴|x﹣3a|﹣|x﹣1|≤|3a﹣1|当且仅当（x﹣3a）（x﹣1）≥0且|x﹣3a|≥|x﹣1|时等成立．∴|3a﹣1|＞5，解之得a＞2或，∴a的取值范围为．。
2017-2018学年辽宁省实验中学、东北育才学校高二(下)期末数学试卷及答案(理科)
2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z＝，则|z|＝（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布，P（ξ≤4）＝0.84，则P（ξ≤0）＝（）A．0.16B．0.32C．0.68D．0.843．（5分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程＝6.5m+17.5，则p的值为（）A．45B．50C．55D．604．（5分）将5本不同的书全部分给甲乙丙三人，每人至少一本，则不同的分法总数为（）A．50B．120C．150D．3005．（5分）用数学归纳法证明不等式++…+＞（n＞1，n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时左边需增加的代数式是（）A．B．﹣C．+D．6．（5分）若（1+3x）n展开式各项系数和为256，设i为虚数单位，复数（1+i）n的运算结果为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣27．（5分）若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）8．（5分）已知a，b，c∈（0，+∞），则下列三个数a+，b，c（）A．都大于4B．都小于4C．至少有一个不大于4D．至少有一个不小于49．（5分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）有7张卡片分别写有数字1，1，1，2，2，3，4，从中任取4张，可排出的四位数有（）个．A．78B．102C．114D．12011．（5分）已知a＝dx，若（1﹣ax）2018＝b0+b1x+b2x2+…+b2018x2018（x∈R），则的值为（）A．0B．﹣1C．1D．212．（5分）定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）袋中装有4个黑球，3个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率是．14．（5分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为．15．（5分）若函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．16．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cz+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y＝f（x）的导数y＝f′（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心，”请你将这一发现视为条件，若函数f（x）＝﹣x2，则它的对称中心为；并计算f（）+f（）+f（）+…+f（）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．18．（12分）已经函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣3恒成立，求实数b的取值范围．19．（12分）2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表．表1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在[20，25）或[30，35）内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望．附：20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0相切，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明．四、解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（0，﹣1），其参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于A，B两点，求的值．23．设函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|的最小值为m．（1）求实数m的值；（2）已知a＞2，b＞2，且满足a+b＝2+m，求证：≥9．2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：复数z＝＝+i＝+i＝0，则|z|＝0，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，∵P（ξ≤4）＝0.84，∴P（ξ≥4）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝1﹣P（ξ≤4）＝0.16，故选：A．【点评】本题考查正态分布，正态曲线的特点，若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布．3．【考点】BK：线性回归方程．【解答】解：＝＝5，∴＝6.5×5+17.5＝50，∴＝50，解得p＝60．故选：D．【点评】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．4．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将5本书分成3组，若分成2、2、1的三组，有＝15种分组方法，若分成3、1、1的三组，有＝10种分组方法，则一共有15+10＝25种分组方法；②，将分好的三组全排列，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况，则不同的分法总数为25×6＝150种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意先分组，再进行排列．5．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为++…+，当n＝k+1时，左边的代数式为++…+++，故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：+﹣＝﹣．故选：B．【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n＝k到n＝k+1项的变化．6．【考点】A5：复数的运算；DA：二项式定理．【解答】解：在（1+3x）n展开式中，令x＝1，可得（1+3x）n展开式各项系数和为4n ＝256，∴n＝4．∴复数（1+i）n＝（1+i）4＝（2i）2＝﹣4，故选：B．【点评】本题主要考查复数代数形式的乘方运算，二项式定理的应用，属于中档题．7．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：若函数y＝x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′＝3x2+2x+m≥0恒成立，即△＝4﹣12m≤0，∴m≥．故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．8．【考点】R9：反证法与放缩法证明不等式．【解答】解：设a+，b，c都小于于4，则a++b+c＜12；利用基本不等式可得a++b+c＝6+2+4＝12，当且仅当a＝3，b＝1，c＝2等号成立．这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，故下列三个数a+，b，c至少有一个不小于4，所以D选项是正确的．故选：D．【点评】本题考查反证法的应用，基本不等式的应用考查逻辑推理能力以及计算能力．9．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．甲队以3：2获得比赛胜利是指前四局比赛甲、乙两队2：2平，第五比赛甲胜，∴甲队以3：2获得比赛胜利的概率为：p＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．10．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分四种情况讨论：①、取出的4张卡片中没有重复数字，即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时有A44＝24种顺序，可以排出24个四位数；②、取出的4张卡片中有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2、3、4中取出2个，有C32＝3种取法，安排在四个位置中，有A42＝12种情况，剩余位置安排数字1，可以排出3×12＝36个四位数，同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③、若取出的4张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有C42＝6种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出6×1＝6个四位数；④、取出的4张卡片中有3个重复数字，则重复的数字为1，在2、3、4中取出1个卡片，有C31＝3种取法，安排在四个位置中，有C41＝4种情况，剩余位置安排1，可以排出3×4＝12个四位数；则一共有24+36+36+6+12＝114个四位数；故选：C．【点评】本题考查排列组合的运用，解题时注意其中重复的数字，要结合题意，进行分类讨论．11．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a＝•×4π＝2，∴（1﹣2x）2018＝b0+b1x+b2x2+…+b2018x2018（x∈R），令x＝0可得，（1﹣0×2）2018＝b0，即b0＝1，在（1﹣2x）2018＝b0+b1x+b2x2+…+b2018x2018中，令x＝，可得（1﹣2×）2018 ＝b0+＝0即＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查二项式定理的应用和定积分的应用，在解决二项式的系数问题时，常采取赋值法，属于中档题．12．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）＝x2f（x）﹣x2则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B．【点评】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，难度中档．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【考点】CM：条件概率与独立事件．【解答】解：甲摸到黑球后，袋中还有3个黑球，3个白球，故而在甲摸到了黑球的条件下，乙摸到白球的概率为＝，故答案为：【点评】本题考查了条件概率的计算，属于基础题．14．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（x﹣）5的二项展开式的通项为＝．由，得r＝2．∴x2的系数为．故答案为：．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．15．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）＝﹣+1＝0，解得a＝3，f（x）＝2x3﹣3x2+1，f′（x）＝6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）＝﹣4，f（0）＝1，f（1）＝0，∴f（x）min＝f（﹣1）＝﹣4，f（x）max＝f（0）＝1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min＝﹣4+1＝﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．16．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2，其导数f′（x）＝2x2﹣2x+3，则f′′（x）＝4x﹣2，若f′′（x）＝4x﹣2＝0，解可得x＝，则f（）＝2，则函数的对称中心为（，2）；则有f（x）+f（1﹣x）＝4，则f（）+f（）+f（）+…+f（）＝f（）+f（）+f（）+f（）+……f（）+f（）+f（）＝4034；故答案为：（，2）；4034．【点评】本题考查导数的计算，涉及函数的对称性，注意利用函数的对称性分析．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）设黑球的个数为x，则白球的个数为10﹣x．记两个都是黑球得的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件所以P（A）＝1﹣＝＝，解得x＝5，所以白球的个数为5．（2）离散型随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查白球个数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．①若a≤0，则f'（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；②若a＞0，令f'（x）＝0得．在区间上，f'（x）＜0，函数f（x）是减函数；在区间上，f'（x）＞0，函数f（x）是增函数；综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数f（x）在x＝1处取得极值，所以f'（1）＝0解得a＝1，经检验满足题意．由已知f（x）≥bx﹣3，则令，则g′（x）＝﹣﹣＝，易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，所以，即．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．19．【考点】BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．完成下面的2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：＝≈12.210．∵12.210＞6.635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表．可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优．（3）由表1知：一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为．由已知得：随机变量X的取值为：240，300，360，420，480．P（X＝240）＝，P（X＝300）＝，P（X＝360）＝，P（X＝420）＝，P（X＝480）＝．∴随机变量X的分布列为：∴．【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件事件概率乘法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．【考点】52：函数零点的判定定理；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】（1）证明：当a＝1时，函数f（x）＝e x﹣x2，则f′（x）＝e x﹣2x．令g（x）＝e x﹣2x，则g′（x）＝e x﹣2，令g′（x）＝0，得x＝ln2．当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）≥g（ln2）＝e ln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝1；（2）解：f（x）在（0，+∞）有两个零点⇔方程e x﹣ax2＝0在（0，+∞）有两个根，⇔在（0，+∞）有两个根，即函数y＝a与G（x）＝的图象在（0，+∞）有两个交点．G′（x）＝，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，G（x）在（0，2）递增，当x∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）在（2，+∞）递增，∴G（x）最小值为G（2）＝，当x→0 时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）有两个零点时，a的取值范围是（）．【点评】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．21．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣ax，得，设切点横坐标为x0，依题意得，解得，即实数a的值为1．（2）不妨设0＜x1＜x2，由，得lnx2﹣lnx1＝a（x2﹣x1），即，所以，令，则，设，则，即函数g（t）在（1，+∞）上递减，所以g（t）＞g（1）＝0，从而，即．【点评】本题考查了切线斜率问题，考查函数的单调性以及导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．四、解答题（共2小题，满分10分）22．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（1）由，可得C1的普通方程为，又C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ＝0，即ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2＝0，所以C2的直角坐标方程为y2＝4x．（2）C1的参数方程可化为，代入C2得：，设A，B对应的直线C1的参数分别为t1，t2，，，即t1＞0，t2＞0，所以，＝．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．23．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R6：不等式的证明．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|＝|1﹣x|+|x+2|≥|（1﹣x）+（x+2）|＝3，故f（x）的最小值m＝3．（4 分）（2）由（1）得a+b＝2+m＝5，故a﹣2+b﹣2＝1，故+＝（+）[（a﹣2）+（b﹣2）]＝1+++4≥5+2＝9，当且仅当b﹣2＝2（a﹣2），即a＝，b＝时“＝”成立．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道综合题．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一上学期第一次段考数学试卷 Word版含解析
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列中为真的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1D．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D（点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．A D＞BC，∠ABC＞∠BAD B．A D＞BC，∠ABC＜∠BADC．A D＜BC，∠ABC＞∠BAD D．A D＜BC，∠ABC＜∠BAD10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k的最大值．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2，3}∩{1，2，4}={1，2}，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行．解答：解：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或直线与平面平行，∴直线上有无数多个点都在平面外．故选：D．点评：本题考查真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：通过证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．解答：解：△ABC是直角三角形，说明如下；∵A∈α，C∈α，∴AC⊂α；又∵PB⊥α，∴PB⊥AC；又∵PC⊥AC，PB∩PC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC；∴△ABC是直角三角形．故选：A．点评：本题考查了空间中的垂直关系的判断问题，解题时应明确线线垂直和线面垂直的判断与性质是什么，是基础题．4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列中为真的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选D．点评：本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．解答：解：设正方体的棱长为a，不妨设a=1，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=a，即R==；所以外接球的表面积为：S球=4πR2=3π．则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6：3π=2：π．故选B．点评：本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算．6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可．解答：解：∵函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴排除B，D．∵f（0）=1﹣0=0＞0，∴排除C，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数取值符合是否对应是解决函数图象的基本方法．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α考点：空间点、线、面的位置．专题：空间位置关系与距离．分析：对两条不相交的空间直线a与b，有a∥b 或a与b是异面直线，从而得出结论．解答：解：∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．点评：本题主要考查立体几何中线面关系问题，属于基础题．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．解答：解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：=．棱柱的体积为：SH==3．由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A1﹣B1BC的体积为：V三棱柱=×3=1．故选：C．点评：本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D（点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．A D＞BC，∠ABC＞∠BAD B．A D＞BC，∠ABC＜∠BADC．A D＜BC，∠ABC＞∠BAD D．A D＜BC，∠ABC＜∠BAD考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，由∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，从而AD＞BC．由已知得sin，sin∠ABC=，从而∠ABC＞∠BAD．解答：解：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，∵∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，∴AD＞BC．∵平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，BD⊥l，垂足为D，∴BD⊥α，∴sin，∵AC⊥l，垂足为C，∴AC⊥β，∴sin∠ABC=，∵AC＞BD，∴sin∠ABC＞sin∠BAD，∵∠ABC和∠BAD都是锐角，∴∠ABC＞∠BAD．故选：A．点评：本题考查线段大小的比较，考查角的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P ﹣ABC在面ABC上的高，由此能求出球心到截面ABC的距离．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，∴PA，PB，PC两两垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，如右图，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，∵球半径r=，∴正方体的棱长为2，∴正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为．故选：C．点评：本题考查球心到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF．又AB⊥α，且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以②不可以成为增加的条件．AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．故选：C．点评：本题考查能成为增加条件的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由于该四面体不是正四面体所以可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2，由于运算量较大，故用排除法求解．解答：解：由于四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体体，可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2进一步来求它们的体积相对较麻烦，故使用排除法求出当侧棱长为2，2，2时底边长为1，1，1时利用锥体上顶点在下底面上的射影在中心位置，进一步求得h=V==故选：C点评：本题考查的知识点：正四面体的定义，及体积的运算公式，排除法在实际问题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=15．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．解答：解：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内，连结AD，BE，CF 平面α∥β∥γ，AD∥BE∥CF，，DF=20，求得：EF=15；（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，过D作DH∥AC，平面α∥β∥γ，∴AB=DG，BC=GH，进一步得GE∥HF，利用平行线分线段成比例得：，DF=20，求得：EF=15，故答案为：15．点评：本题考查的知识要点：面面平行的性质定理，直线的位置关系，平行线分线段成比例定理．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是m=n．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设球的半径为R，利用圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，可得πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2，即可得出结论．解答：解：设球的半径为R，则∵圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，∴πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2∴m=n．故答案为：m=n．点评：本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是3．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知：球心的连线组成底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可顶点小球的球心到水平桌面α的距离．解答：解：由题意，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，求得它的高为1，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3．故答案为：3．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．考点：特称．专题：函数的性质及应用．分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．解答：解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）点评：本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由E，F分别是线段PA、PD的中点，得到EF∥AD，由ABCD为正方形，得到BC∥AD，再由直线平行于平面的判定定理得到BC∥平面EFG．（2）由平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，得到GD⊥平面AEF，由此先证明EF⊥AE，再由题设条件求三棱锥E﹣AFG的体积．解答：（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，∴EF∥AD．…又∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴BC∥EF．…又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG …（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…又∵EF∥AD，PA⊥AD，∴EF⊥AE．…又∵AE=EF==1，GD==1，．∴×GD=．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的计算．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形，从而FA1∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A1F，结合线面平行判定定理，得到A1F∥平面ECC1．（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC1⊥平面ABCD，得CC1⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC1．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．解答：解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．∵平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，∴FM∥B1B且FM=B1B．…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥B1B且AA1=B1B∴FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．∴FA1∥AM．∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…∴CE∥AM，可得CE∥A1F．∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴A1F∥平面ECC1．…（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1取CD中点G，连接BG…在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又∵EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．∴BG⊥平面ECC1．故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…点评：本题给出正四棱柱，求证线面平行并探索线面垂直，着重考查了空间线面垂直、平行的判定与性质等知识，属于中档题．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k的最大值．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接由f（﹣x）=﹣f（x）恒成立整理得到（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立，由此求得m的值；（Ⅱ）当m＞0时有m=1，代入原函数借助于指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（Ⅲ）判断出函数f（x）的奇偶性，结合单调性把存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f （2）≤0能成立，转化为存在x∈[﹣2，2]，使得k≤e x+x+2能成立．利用导数求出函数g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上的最大值得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=为奇函数，∴对于其定义域内的任意x有f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得：（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立．∴m2=1，m=±1；（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）==．∵2x为增函数，∴f（x）==为减函数；（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，又f（﹣x）=，∴f（x）为奇函数．由存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，得存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）≤﹣f（2）=f（﹣2）能成立．即e x+x﹣k≥﹣2，也就是k≤e x+x+2能成立．令g（x）=e x+x+2．则g′（x）=e x+1＞1．∴g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上为增函数．．∴若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e2+4．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，解答此题（Ⅲ）的关键在于对题意的理解，是中档题．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线线平行⇒线面平行证明（1）；根据线面垂直⇔线线垂直可证（2）；设AD=x或设DC=x，利用垂直关系判定△，△A1CB，△A1DC的形状，构造以A1B为变量，x为自变量的函数，求函数的最小值即可．解答：解：（本小题共14分）（1）证明：∵DE∥BC，DE⊂面A1DE，BC⊄面A1DE∴BC∥面A1DE…（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．由BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，∴BC⊥面A1DC．…（3）设DC=x则A1D=6﹣x由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形．，即==…当x=3时，A1B的最小值是．即当D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…点评：本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题．设出变量，构造函数利用求函数最值的方法求解，是此类题的常用方法．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由局部奇函数的定义：存在x∈[﹣1，1]，f（﹣x）=﹣f（x），这样求出m=，所以要求m的取值范围，只要求函数的值域，而该函数的值域，根据利用导数求函数最值的方法求解，即先求该函数在[﹣1，1]上的极值，比较端点值，从而求出最值；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义：f（x）+f（﹣x）=0，得到4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，令2x+2﹣x=n（n≥2），带入上式得n2﹣2mn+2m2﹣8=0，关于n的方程有解，所以求出n=m，所以需要m+≥2，即，同过讨论m和2的关系解该不等式便得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[﹣1，1]，使f（﹣x）=2﹣x+m=﹣2x﹣m；∴，令g（x）=，则g′（x）=；∴﹣1≤x＜0时，，∴，g′（x）＜0；0＜x≤1时，，∴，g′（x）＞0；∴g（0）=2是g（x）在[﹣1，1]上的最小值，又g（﹣1）=g（1）=，所以g（x）的最大值是；∴2，∴，∴；即实数m的取值范围为；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（﹣x）=0；∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0；令2x+2﹣x=n（n≥2），则：n2﹣2mn+2m2﹣8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；∴，m∈；∴（1）；①当2≤m≤，时（1）式恒成立；②当时，，将该不等式整理成m2﹣2m﹣2≤0，解得；∴；综上得m的取值范围为[1﹣，2]．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，利用导数求函数最值的过程，以及解一元二次不等式．。
2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．2．（5分）下列命题正确的个数是（）①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6和S7均为S n的最大值5．（5分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2a≤a≤16．（5分）两等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，且（2n+7）S n=（5n+3）T n，则的值是（）A．B．C．D．7．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C． D．8．（5分）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（）A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜19．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=10．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x 及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]11．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）若P是双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且∠PF2F1=2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率的为．14．（5分）下列命题：①数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的必要不充分条件；②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则是P=Q的既不充分也不必要条件．则其中所有真命题的序号是．15．（5分）设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值．16．（5分）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为S n，若恒成立，则正整数m的最小值为．对n∈N+三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知数列a n满足a1+2a2+…+2n﹣1a n=（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）若b n=（3﹣n）a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2n+．21．（12分）已知轨迹E上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则a n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知等比数列{a n}的前三项依次为a﹣1，a+1，a+4，则（a+1）2=（a﹣1）（a+4），解得a=5，故此等比数列的首项为4，公比为=，故通项公式为，故选：C．2．（5分）下列命题正确的个数是（）①对于实数a，b，c，若a＞b，则ac2＞bc2；②命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x＜﹣1，则x2﹣3x+2≤0”③“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；④命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，当c=0时，命题“若a＞b，则ac2＞bc2”不成立，①错误；对于②，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否命题为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，②错误；对于③，x=5时，x2﹣4x﹣5=0，充分性成立，x2﹣4x﹣5=0时，x=5或x=﹣1，必要性不成立，是充分不必要条件，③正确；对于④，命题“∃x0∈R，x02+1≥3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”，∴④错误．综上，正确的命题是③，有1个．故选：A．3．（5分）已知m∈R，命题p：方程=l表示椭圆，命题q：m2﹣7m+10＜0，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程=l表示椭圆，则，得，即2＜m＜6且m≠4，由m2﹣7m+10＜0，得2＜m＜5，则命题p是命题q成立的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6和S7均为S n的最大值【解答】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9﹣S5=9（a1+4d）﹣5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．5．（5分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q为真，则a取值范围为（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2a≤a≤1【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，只要（x2﹣a）min≥0，x∈[1，2]，又y=x2﹣a，x∈[1，2]的最小值为1﹣a，所以1﹣a≥0，a≤1．q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，所以△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，a≤﹣2或a≥1，由p且q为真可知p和q为均真，所以a≤﹣2或a=1，故选：A．6．（5分）两等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n，且（2n+7）S n=（5n+3）T n，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得=，而=====，故选：D．7．（5分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，M=A∩B，若动点P（x，y）∈M，则x2+（y﹣1）2的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：集合A={（x，y）||x|+|y|≤1}，B={（x，y）|（y﹣x）（y+x）≤0}，可以若x＞0，﹣x≤y≤x；若x＜0可得，x ≤y≤﹣xM=A∩B，可以画出可行域M：目标函数z=x2+（y﹣1）2表示可行域中的点到圆心（0，1）距离的平方，由上图可知：z在点A或C可以取得最小值，即圆心（0，1）到直线y=x的距离的平方，z min=d2=（）2=，z在点B或D处取得最大值，z max=|0B|2=（）2+（）2=，∴≤z≤，故选：A．8．（5分）设离心率为e的双曲线C：的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（）A．k2﹣e2＞1 B．k2﹣e2＜1 C．e2﹣k2＞1 D．e2﹣k2＜1【解答】解：由题意可设直线方程为：y=k（x﹣c）代入双曲线方程得：（b2﹣a2k2）x2+2a2k2cx﹣a2k2c2﹣a2b2=0，方程有两根，可设为x1＞0，x2＜0：x1•x2=（﹣a2k2c2﹣a2b2）÷（b2﹣a2k2）＜0，因﹣a2k2c2﹣a2b2必定小于0，故只需：b2﹣a2k2＞0即可，b2﹣a2k2=c2﹣a2﹣a2k2=a2e2﹣a2﹣a2k2=a2（e2﹣1﹣k2）＞0e2﹣1﹣k2＞0，e2﹣k2＞1．故选：C．9．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A，B且M是线段AB的中点，则椭圆C的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=【解答】解：根据题意，椭圆=1（a＞b＞0）的焦距为2，即c=1，则有a2﹣b2=1；过M（1，1）斜率为﹣直线l交曲线C于A、B，设A（x1，y1），B（x2，y2）；则有+=1，①，+=1，②，①﹣②可得：=﹣，变形可得：=﹣，又由M（1，1）为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2，直线l的斜率为﹣，则有=﹣，分析可得=，又由a2﹣b2=1；则a2=4，b2=3，椭圆的标准方程为：+=1；故选：C．10．（5分）如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x 及圆（x﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8]D．[8，12]【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=x A+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+2+（x B﹣x A）+4=6+x B，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴x B∈（2，6）∴6+x B∈（8，12）故选：B．11．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．12．（5分）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．（，0）B．（0，）C．（0，）D．（，1）【解答】解：如图所示，∠B1PA2是与的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，则=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b）；∵向量的夹角为钝角时，•＜0，∴﹣ac+b2＜0，又b2=a2﹣c2，∴a2﹣ac﹣c2＜0；两边除以a2得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0；解得e＜，或e＞；又∵0＜e＜1，∴＜e＜1；∴椭圆离心率e的取值范围是（，1）．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13．（5分）若P是双曲线C1：和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且∠PF2F1=2∠PF1F2，其中F1、F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率的为．【解答】解：∵a2+b2=c2，∴圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，2∠PF 1F2=∠PF2F1=，则|PF2|=c，c，故双曲线的离心率为．故答案为：．14．（5分）下列命题：①数列{a n}的前n项和为S n，则S n=An2+Bn是数列{a n}为等差数列的必要不充分条件；②∀x＞0，不等式2x+≥4成立的充要条件a≥2；③“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件；④已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是不等于零的实数，关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集分别为P，Q，则是P=Q的既不充分也不必要条件．则其中所有真命题的序号是②③④．【解答】解：对于①，由S n=An2+Bn得a1=A+B，n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2An﹣A+B，显然n=1时适合该式，因此数列{a n}是等差数列，满足充分性，∴①是假命题；对于②，∀x＞0，不等式2x+≥2=2≥4⇔a≥2，∴②是真命题；对于③，“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的逆否命题为：若x=1且y=﹣1，则x+y=0，则x=1且y=﹣1，是x+y=0成立的充分不必要条件，∴“x+y≠0”是“x≠1或y≠﹣1”的充分不必要条件，③正确；对于④，不等式x2+x+5＞0与x2+x+2＞0的解集都是R，但=≠，必要性不成立；同理，充分性也不成立，是既不充分也不必要条件，④正确．综上，所有真命题的序号是②③④．故答案为：②③④．15．（5分）设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值1．【解答】解：∵，而表示过点（x，y）与（﹣1．﹣1）连线的斜率，易知a＞0，所以可作出可行域，知的最小值是，即．故填：1．16．（5分）在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列的前n项和为S n，若对n∈N+恒成立，则正整数m的最小值为5．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a2=5，a6=21，∴，解得a1=1，d=4，∴==，∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（++…+）﹣（++…+）=﹣﹣=﹣﹣=（﹣）+（﹣）＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1=+=，∵≤，∴m≥，又∵m是正整数，∴m的最小值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】（1）当a＞0时，{x|x2﹣4ax+3a2＜0}={x|（x﹣3a）（x﹣a）＜0}={x|a ＜x＜3a}，如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x2﹣x﹣6≤0，且x2+2x﹣8＞0}={x|2＜x≤3}，因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．故实数x的取值范围是{x|2＜x＜3}．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，易知a≤2且3≤3a，解得{a|1≤a≤2}．故实数a的取值范围是{a|1≤a≤2}．18．（12分）已知数列a n满足a1+2a2+…+2n﹣1a n=（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）若b n=（3﹣n）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）数列a n满足a12+2a+…+2n﹣1a n=（n∈N*）（1）当n≥2时，=（2）（1）﹣（2）得：，整理得：，当n=1时，也满足上式所以：．（Ⅱ）b n=（3﹣n）a n=，则：①，所以：②，①﹣②得：，=，=，所以：．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，证明：|DE|•|DE|恒为定值．【解答】（1）解：由已知，可得，解得a=2，b=．故所求椭圆方程为．（2）由题意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．设P（x0，y0），由题意可得：﹣2＜x0＜2，∴直线A1P的方程为y=（x+2），令x=2，则y=，即|DE|=，同理：直线BP的方程为y=（x﹣2），令x=2，则y=，即|DF|=，所以|DE|•|DF|=×==，4y02=3（4﹣x02），代入上式，得|DE|•|DF|=3，故|DE|•|DF|为定值3．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n•a n+1，其中a1=1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=+，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜2n+．【解答】（本题14分）解：（1）令n=1，得，即，由已知a1=1，得a2=2…（1分）把式子中的n用n﹣1替代，得到由可得即，即即得：，…（3分）所以：即…（6分）又∵a2=2，所以∵a n=n（n≥2）又∵a1=1，∴a n=n…（8分）（2）由（1）知又∵…（11分）∴∴…（14分）21．（12分）已知轨迹E上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M、N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y）为轨迹E上任意一点，依题意，点P到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，∴P点轨迹是以点F（0，1）为焦点，y=﹣1为准线的抛物线．…2分所以曲线E的方程为x2=4y；…4分（Ⅱ）设直线AB：y=kx+1，联立，整理得x2﹣4kx﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y1），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，设M（x0，y0），则x0==2k，y0=kx0+1=2k2+1，∴M（2k，2k2+1）…6分同理N（﹣，+1）…8分∴k MN===，…10分∴直线MN：y﹣（2k2+1）=（x﹣2k），整理得y=x+3，…11分∴直线MN恒过定点（0，3）…12分．22．（12分）已知F1，F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，D，E分别是椭圆C的上顶点和右顶点，且S=，离心率e=（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）解得，故所求椭圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的方程为x=ty+1，代入椭圆的方程，整理得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵，|AF2|=，|BF2|=，==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）当且仅当t=0时上式取等号．∴的最小值为：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）第21页（共21页）。
20172018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(上)第一次模拟数学试卷(文科)
2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2+2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，若1+xi=（2﹣y）﹣3i，则|x+yi|=（）A．B．C．3 D．3．（5分）下列函数的图象关于y轴对称的是（）A．y=x2+x B．C．y=2x﹣2﹣x D．y=2x+2﹣x4．（5分）已知平面向量，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．5．（5分）在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．1056．（5分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A．B．1 C．2 D．47．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）设点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．9．（5分）若函数f（x）=log2（x+a）与g（x）=x2﹣（a+1）x﹣4（a+5）存在相同的零点，则a的值为（）A．4或﹣B．4或﹣2 C．5或﹣2 D．6或﹣10．（5分）若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为（）A．B．C．D．11．（5分）“a=1”是“x=﹣1是函数f（x）=﹣x3﹣ax2+a2x﹣1的极小值点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件开始12．（5分）已知函数，若正实数a，b满f（4a）+f（b﹣9）=0，则的最小值是（）A．1 B．C．9 D．18二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）在如图所示程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为．14．（5分）已知方程mx2+（2﹣m）y2=1表示双曲线，则m的取值范围是．15．（5分）已知函数f（x）=e x sinx，则f（x）在x=0处的切线方程为．16．（5分）若，则=．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．第17\～21题为必做题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=a n+2，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x ∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．19．（12分）已知在△ABC中，∠C=（Ⅰ）若c2=5a2+ab，求（Ⅱ）求sinA﹣sinB的最大值．20．（12分）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形ABE所在平面互相垂直，AE⊥AB，且，．（Ⅰ）求证：MN∥平面BEC；（Ⅱ）求三棱锥E﹣BMC的体积．21．（12分）已知函数，a≤0（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x≤0时，不等式f（x）≥e恒成立，求实数a的值．请考生在第22、23题中任选一题作答。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高三上学期第二次模拟考试文数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | 1＜x ≤3}，B ＝{x | x ＞2}，则A ∩C U B 等于（ ） A.{x | 1≤x ≤2} B.{ x | 1≤x ＜2} C.{x | 1＜x ≤2} D.{x | 1≤x ≤3} 【答案】C考点：集合——交集、补集． （2）“若α=4π，则tan α=1”的逆否是（ ）A.若α≠4π，则tan α≠1 B.若α=4π，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠4πD.若tan α≠1，则α=4π【答案】C 【解析】试题分析：逆否是交换条件和结论，并且对条件和结论都否定，故选C ． 考点：——逆否．（3）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是下图中的（ ）A B C D 【答案】A 【解析】试题分析：由()f x 图象可知1,01b a <-<<，所以xa 为减函数，再向下移动1b >个单位，故选A ．考点：1、二次函数图象与性质；2、指数函数图象平移．【易错点晴】对于()f x 来说，,a b 是其零点，结合图象可以得到它们的范围，阅读题意的时候要注意已知条件a b >——小括号里面的数往往是很重要的条件；对于()g x 来说，我们把它分成两个部分，第一部分是xa 为指数函数，图象单调递减且经过()0,1，再向下移动超过1个单位即可得出结论.（4）如图，在ABC ∆中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AM m AB =， AN n AC =，则=+n m （ ）A ．1B ．2C ．21D ．3【答案】B考点：平面向量基本定理．B ACOMN y=f (x )（5）若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使得函数()1f x - 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ）A ．[]0,1B ．[]3,5C ．[]2,3D ．[]2,4 【答案】C 【解析】试题分析：()()2'()4313f x x x x x =-+=--，所以()f x 在区间[]1,3上单调递减，()f x 图象向右平移一个单位得到()1f x -图象，所以()1f x -在区间[]2,4上单调递减.用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，范围比[]2,4小的选项为C ． 考点：1、函数导数；2、图象平移；3、充要条件． （6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c sin cos sin cos a B C c B A +1,2b =,a b B >∠=且则（ ）A.56πB.3π C ．23π D.6π【答案】D考点：1、解三角形----正弦定理；2、两角和的正弦公式．（7）已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高二上学期第二次阶段考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年度上学期高二年级第二阶段测试数学(理科)试卷答题时间：120分钟满分：150分一、选择题：（每题5分，满分60分）1．ABC ∆的顶点()()5,0,5,0A B -，ABC ∆的周长为22，则顶点C 的轨迹方程是A ．2213611x y += B ．2212511x y += C ．()22103611x y y +=≠D ．()2210916x y y +=≠ 2．如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以是A ．13n n a -=B ．21n a n =-C ．3n n a =D ．12n n a -=3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是11AC 的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF等于A ．11122AA AB AD ++ B ．1111222AA AB AD ++C ．1111266AA AB AD ++ D ．1111366AA AB AD ++4．已知数列{}n a 满足3211n a n =-，前n 项的和为n S ，关于,n n a S 叙述正确的是A ．,n n a S 都有最小值B ．,n n a S 都没有最小值C ．,n n a S 都有最大值D ．,n n a S 都没有最大值5．已知等比数列{}n a 中，2854a a a ⋅=，等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前9项和9S 等于A ．9B ．18C ．36D ．726．数列11111,2,3,424816……的前n 项的和为A ．2122n n n ++B ．21+122n n n -++C ．21+22n n n -+D ．21122n n n+--+7．过空间中一定点，作一条直线，使其与某正方体六个面所成的角都相等，这样的直线共有A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条8．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为A ．6B ．2+C ．D ．4+9．已知12,F F 为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两交点为,A B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为A 1B 1C D10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱1DD 的中点．则异面直线EF 与1BD 所成角的余弦值是A B C D 11．已知圆的方程为224x y +=，若抛物线过点()1,0A -，()1,0B ，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为A ．()221043x y x -=≠ B ．()221043x y x +=≠ C ．()221043x y y +=≠D ．()221043x y y -=≠ 12．椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -和()21,0F ，若该椭圆C 与直线30x y +-=有公共点，则其离心率的最大值为A B C D二、填空题：（每题5分，满分20分） 13．数列{}n a的通项公式n a =n 项和9n S =，则n =．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的顶点()4,0A -和()4,0C ，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则sin sin sin A C B+= ． 15．已知90AOB ∠=︒，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为 ．16．已知,E F 为双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点，抛物线()220y px p =>与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于不同的两点,A B ，若4||||5AF BE =，则双曲线的离心率为.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高三上学期第三次模拟数学(理)试卷
2019届辽宁省沈阳市东北育才学校 高三上学期第三次模拟数学（理）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、单选题 1．若2z i =+,则41izz =- A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 2．设集合，，则集合 A ． B ． C ． D ．3．已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q ＝ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．若两个单位向量，的夹角为，则 A ． B ． C ． D ．5．已知命题：幂函数的图象必经过点和点； 命题：函数的最小值为.下列命题为真命题的是 A ． B ． C ． D ．6．设变量、满足约束条件，则的最小值为 A ．-3 B ．-2 C ．0 D ．67．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，所得函数的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．8．已知定义在上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于 A ． B ． C ． D ．9．已知为等腰三角形，满足，，若为底上的动点，则 A ．有最大值 B ．是定值 C ．有最小值 D ．是定值 10．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．11．如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值A ．B ．C ．D ．12．设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是 A ． B ． C ． D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号二、解答题13．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足（1）求数列通项公式；（2）令，求数列的前项和．14．已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称．（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：．15．如图，在四面体中，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值.16．已知．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）若有2个不同零点，求的取值范围.17．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心，为半径的圆，直线的参数方程为（1）求与的直角坐标系方程；（2）若直线与圆交于、两点，求的面积.18．选修4—5；不等式选讲已知函数（Ⅰ）当时，解关于的不等式；（Ⅱ）若的解集包含，求实数的取值范围.三、填空题19．等差数列的前项和分别为和，若，则_____.20．已知向量，且，则角的值为_____．（用反三角函数形式表示）21．已知函数，若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的最小值为_____．22．已知锐角的三个内角的余弦值分别等于钝角的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为_______.2019届辽宁省沈阳市东北育才学校 高三上学期第三次模拟数学（理）试题数学 答 案参考答案 1．C【解析】试题分析：()()4441221411i i ii zz i i ===-+--+-，选C. 考点：复数运算【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(),,,.a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(),a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b应点为(),a b 、共轭为.a bi -2．B 【解析】 【分析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，，解得或，故.对于集合B ，，解得.故.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.3．A 【解析】 【分析】由于数列为等比数列，将已知条件转化为的形式，解方程组可求得的值. 【详解】由于数列为等比数列，故，，由于数列各项为正数，故，选A. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比是正数.属于基础题.4．D 【解析】 【分析】将所求变为，然后利用数量积模的运算，求出结果. 【详解】 依题意得. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算后求模的题目的求解方法，含有模的向量运算的题目，一般考虑先平方后开方的方法来求解.在解题过程中，要注意的是题目所给的向量为单位向量，故它们的模为，另一个是，和，其中是向量的夹角.属于基础题.5．B 【解析】 【分析】利用幂函数的性质判断命题的真假，利用函数的单调性，及对钩函数的性质，判断命题的真假，最后利用含有逻辑联结词命题真假性的判断得出正确选项.【详解】函数不经过原点，故命题为假命题.，由于而函数在上是增函数，最小值为，故的最小值为，此时.故命题为真命题.故，，为假命题，为真命题.故选B.【点睛】本小题主要考查命题真假性的判断，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，还考查了幂函数的性质，以及基本不等式运用的条件.对于幂函数来说，一定过的定点是，如果幂函数在处有定义的话，才过点.基本不等式运用时要注意等号是否成立，本题不能用基本不等式来求解.6．C 【解析】 【分析】画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得最小值. 【详解】画出可行域如下图所示. 向上平移基准直线到点的位置时，目标函数取得最小值为.故选C.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求解目标函数的最小值.要注意的是由于，故要求的最小值，实际上是截距的最大值，故需要将基准直线向上平移到可行域的边界位置，此时截距取得最大值，取得最小值.如果题目改为，则需要向下平移来取得最小值.7．A【解析】【分析】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变为原来的.向右平移个单位即要.通过上面两个步骤得到变换后的函数解析式后，再根据三角函数的对称轴公式求得相应的对称轴.【详解】图像上各点的横坐标伸长到原来的倍，变成.向右平移个单位变为.当时，函数取得最大值，故对称轴为，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，主要是周期变换和相位变换，还考查了三角函数图像的对称轴的求法，属于基础题.8．D【解析】【分析】分别求得和的导数，令它们的导数相等，求得切点的横坐标，进而求得纵坐标，代入求得的值.【详解】，令，解得，这就是切点的横坐标，代入求得切点的纵坐标为，将代入得.故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数与切线，考查两个函数公共点的切线方程，有关切线的问题关键点在于切点和斜率.属于基础题.9．D【解析】【分析】设是等腰三角形的高.将转化为，将转化为，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项.【详解】设是等腰三角形的高，长度为.故.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.10．C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象11．B【解析】【分析】先根据已知得到，再根据得，即,利用三角恒等变换化简原式为，代入的值即得解.【详解】由图易知知.由题可知，.由于知，即，即.则.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三角函数的坐标定义，考查同角的平方关系，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题解题的关键是化简原式为.12．A【解析】【分析】画出函数的图像，通过观察的图像与的交点，利用对称性求得与的关系，根据对数函数的性质得到与的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据对称性可知，和关于对称，故.由于，故.令，解得，所以. ，由于函数在区间为减函数，故，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的对称性，考查对数函数的性质，以及函数图像的交点问题，还考查了利用函数的单调性求函数的值域的方法，属于中档题.13．．．．【解析】试题分析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．试题解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，，，解得．．，．．．数列的前n项和，，．．点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.14．（1）,；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）设的标准方程为，由题意可设．结合中点坐标公式计算可得的标准方程为．半径，则的标准方程为．（2）设的斜率为，则其方程为，由弦长公式可得．联立直线与抛物线的方程有．设，利用韦达定理结合弦长公式可得．则．即．详解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．15．(1)证明见解析.(2).【解析】分析：（1）作Rt△斜边上的高，连结，易证平面，从而得证；（2）由四面体的体积为2，，得，所以平面，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用面的法向量求解二面角的余弦值即可.详解：解法一：（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．设是平面的法向量，则，即，可取．设是平面的法向量，则，即，可取．因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为解法二：（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是．（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向量的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是几何的方法，一是向量的方法，各有特色，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.16．（1），；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求其零点，根据零点分析各区间导数的正负，即可求出极值（Ⅱ）根据，分类讨论，分别分析当时，当时，当时导函数的零点,根据零点分析函数的极值情况.【详解】（Ⅰ）当时，令得，，，为增函数,，，，为增函数∴，.（Ⅱ）当时，，只有个零点;当时，，，为减函数,，，为增函数而，∴当，，使,当时，∴∴，∴取，∴,∴函数有个零点,当时，,令得，①，即时,当变化时，变化情况是∴,∴函数至多有一个零点，不符合题意;②时，，在单调递增,∴至多有一个零点，不合题意,③当时，即以时,当变化时，的变化情况是∴，时,,,∴函数至多有个零点,综上：的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数导数在研究极值，单调性中的应用，涉及分类讨论的思想，属于难题. 17．(1)见解析;(2).【解析】分析：（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，求得圆心所对应的直角坐标系下坐标，即可求解圆的直角坐标系方程，消去参数得到直线的直角坐标系方程；（2）利用圆心到直线的距离为，再利用圆的弦长公式，求得弦长，即可求解的面积．详解：（1）所对应的直角坐标系下的点为，∴圆的直角坐标系方程为：；的直角坐标系方程为：，即.（2）圆心到直线的距离为，弦长，∴ .点睛：本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.18．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：由带入后，利用零点分区间讨论法解绝对值不等式；由于，则，，因此和可以去掉绝对值符号，化为，对和分情况进行讨论解决.（Ⅰ）原问题等价于若，则，解得；若，则，不符合题意，舍；若，则，解得；不等式的解集为（Ⅱ）对恒成立时，时，综上：19．【解析】【分析】利用等差数列前项和公式，将题目所求的式子中的有关的式子，转化为有关的式子来求解.【详解】原式.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前项和公式，考查了通项公式和前项和公式的转化.对于等比数列来说，若，则有，而前项和公式，可以进行通项和前项和的相互转化.属于基础题.20．【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列方程，再利用反三角函数求得角的值.【详解】由于两个向量平行，故，故，所以.【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，还考查了反三角函数的表示方法.属于基础题.21．【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法求得点的取值范围.将原函数通过换元后变为，利用为对钩函数，画出它的大致图像.结合图像可求得不等式桑格整数解对应的的值，由此可求得的最小值.【详解】因为，所以由，可得.令，，画出的大致图像如下图所示，结合图像分析可知原不等式有个整数解转化为的三个解分别为.当的值分别为时，.画出直线，结合函数图像可知，点的最小值为.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法和分析问题的能力，属于难题.22．【解析】由于，且为钝角，故，由正弦定理得，故 .。
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2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级
数学理科 试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合}{
0452≤+-=x x x M ，{}3,2,1,0=N ，则集合N M ⋂中元素的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
2. 设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z +=21，则=21.z z （ ）
A. i 34+-
B.i 34-
C.i 43--
D.i 43-
3. 已知8.01.1521,2,2log 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛===c b a ，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A. a b c <<
B.a c b <<
C.c b a <<
D.b c a <<
4. 设a ，b 是实数，则“0>>a b ”是“1>a
b ”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.即不充分也不必要条件
5. 函数)6sin()3sin()(ππ-++=x a x x f 的一条对称轴方程为2π
=x ，则=a （ ） A.1 B.3 C.2 D.3
6. 现有3个命题。
:1p 函数2lg )(--=x x x f 有2个零点。
:2p ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∃2,6ππx ，2cos 3sin =+x x 。
:3p 若2=+=+d c b a ，4>+bd ac ，则a ，b ，c ，d 中至少有1个为负数。
那么，这3个命题中，真命题的个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
7. 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：⎩⎨⎧5323，⎪⎩
⎪⎨⎧119733，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧19
17151343，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则m 的值为（ ） A.43 B.44 C.45 D.46
8. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若41c
o s =B ，2=b ，A C sin 2sin =，则△ABC 的面积诶（ ）
A. 615
B.415
C.2
15 D.15 9. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，
122)(-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x f ，若在区间（-2，6）内关于x 的方程）0(0)2(log )(>=+-a x x f a 有四个零点，则a 的取值范围是（ ）
A. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,41 B.(1,4) C.(1,8) D.)8(∞+
10. 如图圆弧形声波DFE 从坐标原点O 向外传播，若D 是DFE 弧与x 轴的交点，设)0(a x x OD ≤≤=，圆弧形声波DFE 在传播过程中扫过平行四边形OABC
的面积为y （图中阴影部分），则函数)(x f y =的图像大致是（ ） A.
B. C. D.
11. 已知偶函数)(x f 满足)1()1(-=+x f x f ，且当[]1,0∈x 时，2)(x x f =，则关于x 的方程x x f -=10)(在[]3,3-上根的个数是（ ）
A.10个
B.8个
C.6个
D.4个
12. 对任意的实数x ，都存在两个不同的实数y ，使得0)(222=+----y x x y y x xe ae y e
成立，
则实数a 的取值范围为（ ）
A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
e 31,0 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 21,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31e D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21e 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸上。
13. 函数)(sin 22cos )(R x x x x f ∈-=的值域为 。
14. 若正实数m ，n 满足dx x x n m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎰=+-2224112π，则)2(log 2n m +的最小值 15. 已知函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，若存在实数[]2,1∈a ，对任意[]2,1∈x ，都有1)(≤x f ，则c b 57+的最大值是 。
16. 设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算，如果同时满足下述四个条件： （ⅰ）对于G b a ∈∀,，都有G b a ∈*；
（ⅱ）对于G c b a ∈∀,,都有)()(c b a c b a **=**；
（ⅲ）对于G e G a ∈∃∈∀,，使得a a e e a =*=*；
（ⅳ）对于G a G a ∈∃∈∀',，使得e a a a a =*=*''（注：“e ”同（ⅲ）中的“e ”）。
则称G 关于运算*构成一个群，现给出下列集合和运算：
①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法。
其中G 关于运算*构成群的序号是 （将你认为正确的序号都写上）。
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）已知集合A 是函数)820lg(2
x x y -+=的定义域，集合B 是不等
式）0(01222>≥-+-a a x x 的解集，A x p ∈:，B x q ∈:。
（1）若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；
（2）若-p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。
18. （本小题满分12分）已知函数2
1)cos()sin(3cos )(2-
+-+=x x x x f ππ，R x ∈。
（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（Ⅱ）在锐角△ABC 中，内角A,B,C ，的对边分别为a ，b ，c ，已知
A a C b a A f sin sin ,3,1)(==-=，求△ABC 的面积。
19. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前5项和为50，227=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，13,111+==+n n S b b 。
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n c 满足*+∈=+++N n a b c b c b c n n
n ,12211 ，求201721c c c +++ 的值。
20. （本小题满分12分）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计
如图所示，圆O 的圆心与矩形ABCD 对角线的交点重合，且圆与矩
形上下两边相切（E 为上切点），与左右两边相交（F,G 为其中两
个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域，已
知圆的半径为1m ，且
2
1≥AD AB 。
设θ=∠EOF ，透光区域的面积为S 。
（1）求S 关于θ的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好，当该比值最大时，求边AB 的长度。
21. （本小题满分12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 和直线1:=-b y a x l ，椭圆的离心率36=e ，坐标原点到直线l 的距离为2
3。
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点)0,1(-E ，若直线m 过点)2,0(p 且与椭圆相交出C,D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由。
22. （本小题满分12分）已知函数)(1)11(21)(22R a Inx a
x a x a x f ∈++-=。
（1）当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性；
（2）当2
1=a 时，设x x f x g 6)()(+=，若正实数21,x x ，满足4)()(21=+x g x g ，求证：221≥+x x。