2021年重庆市育才中学九年级中考数学模拟试题(三)(含答案解析)

2021年重庆市育才中学九年级中考数学模拟试题（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题114，0，1四个数中，最大的数是（ ）A ．1B ．0C ．﹣14D 【答案】A 【分析】根据实数大小比较判断即可； 【详解】∵1＞0＞﹣14∴最大的数是1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了实数比大小，准确分析计算是解题的关键． 2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】轴对称图形一个图形沿某一直线对折后图形与自身重合的图形；中心对称图形是指一个图形沿某一点旋转180°后图形能与自身重合，只有A 图符合题中条件. 故应选A.3．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A ．检测一批电灯泡的使用寿命 B ．了解九（1）班学生校服的尺码情况 C ．了解我省中学生的视力情况D ．调查重庆《生活麻辣烫》栏目的收视率 【答案】B 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．检测一批电灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；B．了解九（1）班学生校服的尺码情况，必需采用全面调查，符合题意；C．了解我省中学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；D．调查重庆《生活麻辣烫》栏目的收视率，适合抽样调查，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应该选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．已知x﹣2y＝4，xy＝4，则代数式5xy﹣3x+6y的值为（）A．32 B．16 C．8 D．﹣8【答案】C【分析】变形代数式5xy﹣3x+6y为5xy﹣3（x﹣2y），直接代入求值即可．【详解】解：原式＝5xy﹣3（x﹣2y）．当x﹣2y＝4，xy＝4时，原式＝5×4﹣3×4＝20﹣12＝8．故选：C．【点睛】本题考查了代数式求值问题，涉及到了整体代入的思想方法，要求学生能对代数式进行变形，得到所需要的式子，进行整体代入即可，考查了学生对代数式的变形与计算的能力以及整体思想的运用．5．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．AE：AD是相似比【答案】D【分析】根据位似变换的概念判断即可．【详解】解：A、∵BC∥ED，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、AE：AD不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．6）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】的值即可判断．【详解】解：(==4=+46 6.259<<<2 2.53∴<<2444 2.543∴+<<+<+即64 6.57<<4∴ 6∴6． 故选：C ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小以及二次根式的混合运算，估算无理数大小要用逼近法． 7．如图，O 是ABC ∆的外接圆，已知50ACB ︒∠=，则ABO ∠的大小为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB=100°，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】 ∵∠ACB=50°， ∴∠AOB=100°， ∵AO=BO ，∴∠ABO=（180°-100°）÷2=40°， 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．8．下列说法正确的是（）A．若|a|＝|b|，则a＝bB．内错角相等x＞2CD．点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2）【答案】D【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质、关于y轴对称点的性质分别判断得出答案．【详解】解：A、若|a|＝|b|，则a＝±b，故此选项错误；B、两直线平行，内错角相等，故此选项说法错误；x≥2，故此选项错误；CD、点P（﹣3，2）关于y轴对称点的坐标为（3，2），故此选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的性质以及二次根式的性质、关于y轴对称点的性质，正确掌握相关定义是解题的关键．9．如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD∥BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i＝1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i＝3：4，则大坝底端增加的长度CF是（）米．A．7 B．11 C．13 D．20【答案】C【分析】过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，∴GH＝DE＝2，∵DG ＝EH ＝15，背水坡CD 的坡度i ＝1：0.6，背水坡EF 的坡度i ＝3：4， ∴CG ＝9，HF ＝20，∴CF ＝GH +HF ﹣CG ＝13米， 故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般． 10．如果关于x 的分式方程1222x m x x++=--有非负整数解，关于y 的不等式组21235(1)(3)yy y y m +⎧+⎪⎨⎪-<-+⎩有且只有3个整数解，则所有符合条件的m 的和是( ) A ．﹣3 B ．﹣2 C ．0 D ．2【答案】A 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m 的值即可． 【详解】解：去分母得：x ﹣m ﹣1＝2x ﹣4， 解得：x ＝3﹣m ，由解为非负整数解，得到3﹣m ≥0，3﹣m ≠2，即m ≤3且m ≠1， 不等式组整理得：224y m y ≥-⎧⎪⎨-<⎪⎩，由不等式组只有3个整数解，得到y ＝﹣2，﹣1，0，即0＜24m-≤1， 解得：﹣2≤m ＜2，则符合题意m ＝﹣2，﹣1，0，之和为﹣3， 故选：A ． 【点睛】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握运算法则.11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（）A．5 B．74C．54D．4.5【答案】B【分析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．【详解】解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED，∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF，∴∠FED+∠CED＝90°，∴AD＝DB，∴CD＝DA＝DB＝12AB，∵DC＝5，∴AB＝10，∴AC8，∴CF＝8﹣AF，∴EF2+CE2＝CF2，∴AF2+62＝（8﹣AF）2，∴AF＝74，故选：B．【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．12．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，点C坐标为（﹣4，0），E为BC上靠近点C的三等分点，点B、E均在反比例函数y＝kx（k＜0，x＜0）的图象上，若tan∠OAD＝12，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣C．﹣6 D．﹣【答案】C【分析】根据已知条件运用点B，E都在反比例函数图象上，再运用tan∠OAD＝12即可求解．【详解】如图所示，过点B作BN⊥x轴，过点E作EM⊥x轴∴EM∥BN∴△ECM∽△BCN∵E 为BC 三等分点 ∴EC =13BC∴13EC EM CM BC BN CN === 设B 点的坐标为：（-m ，n ） ∵C （-4,0） ∴OC =4 ∴ON =m ，BN =n 则CN =4-m ∴EM =13BN =3nCM =13CN =4-3mOM =OC -CM =4-4-3m =83m+∴E （-83m +，3n） ∵tan ∠OAD =12∴tan ∠OAD = 12=OF OA 则OA =2OF ∴tan ∠AFO =2∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥BC ∴∠ECM =∠AFO ∴tan ∠ECM = 2EMCM= 即3n ÷4-3m=2 n =8-2m∴B （-m ，8-2m ）E （-83m +，823m-），两点都在k y x=上 ∴-m （8-2m ）=-83m +×823m - 解得m =1 ∴B （-1,6） ∴k =-1×6=-6 故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数上点的坐标特征平行四边形的性质及解直角三角形，本题的解题的关系即可得出答案．关键是确定B，E点的坐标，利用tan∠OAD=12二、填空题13（π﹣3）0﹣|﹣3|＝_____．【答案】2【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝4+1﹣3＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的化简、0指数幂的性质和绝对值的性质，解决本题的关键是牢记相关结论与性质，并能熟练运用．14．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为0.0000084米，用科学记数法表示为______米.【答案】8.4×10－6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.0000084=8.4×10－6，故答案为：8.4×10－6.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的2个红球，1个白球，1个黑球，搅匀后，从中随机摸出两个球，则摸到一个红球一个白球的概率为_____．【答案】13【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出摸到一个红球一个白球的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，摸到一个红球一个白球的结果有4个， ∴摸到一个红球一个白球的概率为412＝13， 故答案为：13．【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 16．如图，在矩形ABCD 中，24AB AD ==，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交CD 于点E ，交AD 于的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为_______________．（结果保留π）【答案】83π- 【分析】首先利用三角函数求得∠DAE 的度数，然后根据S 阴影=S 扇形AEF -S △ADE 即可求解． 【详解】 解：24AB AD ==，4AE AB ==，2AD ∴=，4AE =．DE ==∴直角ADE ∆中，1cos 2AD DAE AE ∠==， 60DAE ∴∠=︒，则11222ADES AD DE ∆==⨯⨯260483603AEF S ππ⨯==扇形， 则83ADE AEFS S S π∆=-=-阴影扇形 故答案是：83π- 【点睛】本题考查了扇形的面积公式和三角函数，求得∠DAE 的度数是关键．17．小明和小亮分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C ，小明先到达奶茶店C ，并在C 地休息了一小时，然后按原速度前往B 地，小亮从B 地直达A 地，结果还是小明先到达目的地，如图是小明和小亮两人之间的距离y (千米)与小亮出发时间x (时)的函数的图象，请问当小明到达B 地时，小亮距离A 地_____千米．【答案】90 【分析】根据题意设小明的速度为akm /h ，小亮的速度为bkm /h ，求出a,b 的值，再代入方程即可解答. 【详解】设小明的速度为akm /h ，小亮的速度为bkm /h ，2 3.5 2.5(3.52)(3.5 2.5)210bab a ⎧=-⎪⎨⎪-+-=⎩ ， 解得，12060a b =⎧⎨=⎩，当小明到达B 地时，小亮距离A 地的距离是：120×(3.5﹣1)﹣60×3.5＝90(千米)， 故答案为90． 【点睛】此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.18．假设万象城地下停车场有5个出入口，每天早晨6点开始对外停车且此时车位空置率为75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，8小时车库恰好停满；如果开放3个进口和2个出口，2小时车库恰好停满．由于商场人数增多，早晨6点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早是6点开始经过________小时车库恰好停满．【答案】32 15【分析】设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，根据题意列出方程组求得x、y，进一步代入求得答案即可．【详解】解：设1个进口1小时开进x辆车，1个出口1小时开出y辆，车位总数为a，由题意得8(23)75% 2(32)75%x y ax y a-=⎧⎨-=⎩解得：316332x ay a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3332 60%(2)163215a a÷⨯-=小时答：从早晨6点开始经过3215小时车库恰好停满．故答案为：32 15．【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．三、解答题19．计算：（1）（2a﹣b）2+（a+b）（a﹣b）；（2）（1﹣32x+）÷212xx-+．【答案】（1）5a2﹣4ab；（2）11 x+【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：（1）原式＝4a 2﹣4ab +b 2+a 2﹣b 2 ＝5a 2﹣4ab ；（2）原式＝()()232·2211x x x x x x ++⎛⎫- ⎪+++-⎝⎭ =()()12·211x x x x x -+++- =11x +． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式、分式的混合运算以及化简，要求学生熟记相关公式并能灵活运用，考查了学生对相关概念的理解能力和对公式的运用能力． 20．如图，在四边形ABCD 中，AB//DC ，AB=AD ，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若4AB BD ==，求OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）由AB ∥CD ，AC 为∠DAB 的平分线，证明,AD CD = 再证明四边形 ABCD 是平行四边形，从而可得结论；（2）由四边形 ABCD 是菱形，结合已知条件求解OA 的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：（1）∵AB ∥CD ， ∴∠OAB ＝∠DCA ， ∵AC 为∠DAB 的平分线， ∴∠OAB ＝∠DAC ， ∴∠DCA ＝∠DAC ，,AB AD =,AB CD ∴= ∵AB ∥CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AD ＝AB ， ∴ABCD 是菱形；（2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，,OB OD = BD ⊥AC ， ∵CE ⊥AB ， ∴OE ＝OA ＝OC ， ∵BD ＝4， ∴OB ＝12BD ＝2，在Rt AOB 中，AB ＝，OB ＝2，∴4,OA ==∴OE ＝OA ＝4． 【点睛】本题考查的是平行四边形，菱形的判定，菱形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握以上知识是解题的关键．21．某防护服生产公司旗下有A 、B 两个生产车间，为了解A 、B 两个生产车间工人的日均生产数量，公司领导小组从A 、B 两个生产车间分别随机抽取了20名工人的日均生产数量x （单位：套），并对数据进行分析整理（数据分为五组：A ．25≤x ＜35，B ．35≤x ＜45，C ．45≤x ＜55，D ．55≤x ＜65，E ．65≤x ＜75）．得出了以下部分信息：A ．B 两个生产车间工人日均生产数量的平均数、中位数、众数、极差如表：“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，其余所有数据的和为807．根据以上信息，回答下列问题：（1）上述统计图表中，a＝，b＝．扇形统计图B组所对应扇形的圆心角度数为°．（2）根据以上数据，你认为哪个生产车间情况更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若A生产车间共有200名工人，B生产车间共有180个工人，请估计该公司生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人数量．【答案】（1）53，54，72；（2）“A车间”的生产情况较好，理由见解析；（3）估计生产防护服数量在“45≤x＜65”范围的工人大约有199人【分析】（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，可求出“B生产车间”工人日均生产数量在C组的百分比，进而求出工人日均生产数量在B组的百分比，再根据平均数、中位数、众数的意义求解即可；（2）根据中位数、平均数、极差的比较得出答案；（3）根据两个车间的在“45≤x＜65”范围所占的百分比，通过教师得出答案．【详解】解：（1）“B生产车间”工人日均生产数量在C组中的数据是：52，45，54，48，54，因此“C组”所占的百分比为5÷20＝25%，“B组”所占的百分比为1﹣25%﹣10%﹣15%﹣30%＝20%，所以“A组”的频数为：20×10%＝2（人），“B组”的频数为：20×20%＝4（人），“C组”的频数为：20×25%＝5（人），“D组”的频数为：20×30%＝6（人），“E组”的频数为：20×15%＝3（人），因此“B车间”20名工人，日生产数量从小到大排列，处在中间位置的两个数的都是54，所以中位数是54，即b＝54，“B车间”20名工人，日生产数量的平均数为：30×10%+40×20%+50×25%+60×30%+70×15%＝53， 即a ＝53， 360°×20%＝72°， 故答案为：53，54，72；（2）“A 车间”的生产情况较好，理由：“A 车间”工人日均生产量的平均数，中位数均比“B 车间”的高；（3）200×3720+180×（25%+30%）＝199（人）， 答：A 生产车间200人，B 生产车间180人，估计生产防护服数量在“45≤x ＜65”范围的工人大约有199人． 【点睛】本题考查了折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数以及极差，理解统计图中数量之间的关系是解题的关键．22．如果自然数m 使得作竖式加法m +（m +1）+（m +2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m 为“三生三世数”，例如：12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象； 50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象 （1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由； （2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132 【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可． 【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象， ∴42不是“三生三世数”，∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象， ∴3210是“三生三世数”，（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有： 100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132， ∵102，111，120，132能被3整除，∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答．23．已知y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数）．当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3．（1）a＝，b＝；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数图象；并写出函数的一条性质：；（3）已知函数y＝25|22|x-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程a|2x+4|+bx＝25|22|x-的近似解（精确到0.1）．【答案】（1）1；﹣1；（2）当x≥﹣2时，y随x的增大而增大；（3）x1＝﹣2.5，x2＝2.8 【分析】依题意（1）把当x＝1时，y＝5；当x＝﹣1时，y＝3分别代入函数y＝a|2x+4|+bx（a，b为常数），可求出a和b的值；（2）根据对自变量x的范围的讨论，对函数进行变形，进而画出对应的函数图象；（3）根据两个函数图象的交点位置，估算出交点的横坐标即可；【详解】解：（1）根据题意可得，245243a ba b⎧++=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得11ab=⎧⎨=-⎩，故答案为：1；﹣1；（2）根据题意，当x≥﹣2时，2x+4≥0，y＝2x+4﹣x＝x+4；当x＜-2时，2x+4＜0，则y＝﹣2x﹣4﹣x＝﹣3x﹣4．∴4,(2)34,(2)x xyx x+≥-⎧=⎨--<-⎩；由函数解析式可画出对应的函数图象，根据函数图象可得出对应函数的性质．故答案为：当x≥﹣2时，y随x的增大而增大；（3）根据函数图象，交点的横坐标就是该方程的解，根据图象估算对应的解为：x1＝﹣2.5，x2＝2.8；【点睛】本题主要考查待定系数求解析式、数形结合等，关键在如何准确应用数形结合求解；24．为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14．4万件，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】（1）20%；（2）增加4条生产线【分析】（1）设每天增长的百分率x，根据题意第一天生产10万件，第三天生产14．4万件，列出方程即可解答.（2）设应该增加y条生产线,根据题意1条生产线最大产能是20万件/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少2万件/天，现该厂要保证每天生产口罩60万件，列出方程即可解答.【详解】（1）设每天增长的百分率x，可得：10(1+x)2=14.4，解得：x=0.2,答：每天增长20%.（2）设应该增加y 条生产线,根据题意可得：（20-2y ）+（20-2y ）y=60, 解得：y=4, 故答案为：4. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于根据题意列出方程.25．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（0，2），对称轴为直线x ＝﹣2． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，连接AC ，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点M ．点F 是直线AC 下方抛物线上的一动点，连接DF 交AC 于点G ，连接EG ，求△EFG 的面积的最大值以及取得最大值时点F 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P 为平面内一点，在抛物线上是否存在一点Q ，是以点P 、Q 、F 、C 为顶点的四边形为矩形，如果存在，直接写出点P 的坐标，如果不存在，说明理由．【答案】（1）228233y x x =++；（2）S △EFG 最大为154，F (－32，－12)；（3）P (－325，6125)或(－1910，15750)． 【分析】（1）将A 、C 的坐标代入函数式，再结合对称轴公式利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线AC 、直线DE 的表达式，再根据三角形面积之间的关系表示出△EFG 的面积，从而得到当△DEF 的面积最大时△EFG 的面积最大，求出△DEF 面积的最大值进行计算即可；（3）设Q (m ，228233m m ++)，P (x P ，y P )，分三种情况：①以CF 为对角线，②以CQ为对角线，③以CP 为对角线，分别计算可得问题的答案．【详解】解：（1）将A 、C 的坐标(－3，0)、(0，2)代入函数式且对称轴为x ＝－2， ∴930222a b c c b a ⎧⎪-+=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩， 解得：23832a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：228233y x x =++；（2）由点A 、C 的坐标(－3，0)、(0，2)可知，直线AC 为：223y x =+， ∵DE ∥AC ，∴k DE ＝k AC ，∴k DE ＝23， ∵D 与C 关于 x ＝－2对称，∴D (－4，2)，∴直线DE 为：21433y x =+， 联立：22143328233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，解得：1214x x =⎧⎨=-⎩，24x =-舍去， ∴E 的横坐标为1， 代入可得，28162333y =++=， ∴E (1，163)， 连接DC ，作FK ⊥x 轴，交DE 于K ，∵DE ∥AC ，∴S △DEG ＝S △DEC ，将x ＝0代入21433y x =+得：143y =， ∴M (0，143)， ∴S △DEC ＝S △DCM +S △ECM ＝203， ∴S △DEG ＝203， ∵S △EFG ＝S △DEF －S △DEG ＝S △DEF －203， ∴当△DEF 的面积最大时，△EFG 的面积最大，设F 为(t ，228233t t ++)，K (t ，21433t +)， ∴S △DEF ＝S △DFK +S △EFK ＝12(x E －x D )(y K －y F )＝252682333t t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＝252125()3312t -++， ∴当t ＝32-时，三角形DEF 面积最大，最大为12512，此时△EFG 面积的最大值为：12520151234-=， ∴当F (32-，12-)时，S △EFG 最大为154； （3）假设存在，∵C (0，2)，F (32-，12-)，且以P 、Q 、F 、C 为顶点的四边形为矩形， ∴设Q (m ，228233m m ++)，P (x P ，y P )，则m ≠0，m 32≠-， ∴直线CF ：12()52330()2CF k --==--，直线QC ：22822283333QC m m k m m ++-==+， 直线QF ：22812253233323QF m m k m m +++==++，①矩形以CF 为对角线，则：C F P Q C F P Q x x x x y y y y QC QF +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k QC •k QF ＝－1， ∴23212822233282513333P P x m y m m m m ⎧-=+⎪⎪⎪-=+++⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫+⨯+=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩， ∴4m 2+26m +49＝0，∵22644491080∆=-⨯⨯=-<，∴无解，此时不存在；②以CQ 为对角线，则：C Q P F C Q P F x x x x y y y y CF QF +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k CF •k QF ＝－1， ∴23228143325251333P p m x m m y m ⎧=-⎪⎪⎪++=-⎨⎪⎪⎛⎫⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∴175m =-， ∴191015750P P x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴19157,1050P ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ③以CP 为对角线，则：C P Q F C p Q F x x x x y y y y CF QC +=+⎧⎪+=+⎨⎪⊥⎩，∴k CF •k QC ＝－1， ∴232281223325281333P P x m y m m m ⎧=-⎪⎪⎪+=++-⎨⎪⎪⎛⎫⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎩，∴4910m=-，∴3256125PPxy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3261,525P⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，点P坐标为19157,1050⎛⎫- ⎪⎝⎭或3261,525⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，矩形的判定等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解坐标与图形的性质，会解一元二次方程，会运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．26．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝120°，线段BC与EF相交于点O．（1）若点O恰好是线段BC与线段EF的中点．①如图1，当点D在线段BC上，A、F、O、E四点在同一条直线上时，已知BC＝DEAD的长；②如图2，连接AD，CF相交于点G，连接OG，BG，当BG⊥OG时，求证：BGCG．（2）若点D与点A重合，CF∥AB，H、K分别为OC、AF的中点，连接HK，直接写出HKAE OF-的值．【答案】（1）①AD=②见解析；（2）HKAE OF=-【分析】（1）①根据中点的定义求出OB，利用三角函数求出AB、OA和OE，再利用勾股定理解答即可；②延长GO至H，使得OH＝OG，连接HC，OD，AO，利用SAS证明△BOG≌△COH，接着证明△AOD∽△COF进而进一步得到A、G、O、C四点共圆，得出∠OGC＝∠OAC＝60°，利用特殊角的三角函数值即可完成求证；（2）过F 作FH ⊥BC 交BC 延长线于点H ，利用SAS 证明△ABE ≌△ACF ，得到相等的角和边，接着证明△OBE ∽△OHF ，点A 、O 、C 、F 四点共圆等，利用三角函数等知识分别求出HK 、AE 、OF ，进而直接代入求解即可．【详解】解：（1）①∵O 点是BC 、EF 的中点，∴OB ＝OC ＝12BC ＝OE ＝OF ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠BAO =60°∴4sin 60OB AB ===︒，2tan 60OB OA ===︒， 同理，由∠EDF =120°，O 是EF中点，DE =∴3sin 602OE DE =︒⨯==， ∴OE ＝OF ＝32，OD ＝12DE∴AD②延长GO 至H ，使得OH ＝OG ，连接HC ，OD ，AO ，∵点O 是BC ，EF 的中点，∴OB ＝OC ，OE ＝OF ，∴OD ⊥EF ，AO ⊥BC ，在△BOG 和△COH 中，OB OC BOG COH OG OH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOG ≌△COH （SAS ），∴∠BGO ＝∠CHO ，BG ＝CH ，∵BG ⊥OG ，∴∠BGO ＝∠CHO ＝90°，∴∠EDF ＝∠BAC ＝120°，∴∠OFD ＝∠OCA ＝30°，∴OF，OC，∴OD OA OF OC=， ∵∠AOD ＝∠COF ，∴△AOD ∽△COF ，∴∠OAD ＝∠OCF ，∴∠AGC ＝∠AOC ＝90°，∴A 、G 、O 、C 四点共圆，∴∠OGC ＝∠OAC ＝60°，在Rt △GHC 中，∠GHC ＝90°，∠HGC ＝60°，∴HC CG = ∴HC， ∴BG．（2）过F 作FH ＇⊥BC 交BC 延长线于H ＇，∵∠BAC ＝∠EAF ＝120°，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ），∴∠ABE ＝∠ACF ，BE ＝CF ，∵AB ∥CF ，∴∠BAC ＝∠ACF ＝120°，∵∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠CBE ＝∠ABE ﹣∠ABC ＝90°，∵∠FCH ＇＝180°﹣∠ACF ﹣∠ACB ＝30°，∠FH ＇C ＝90°，∴FH ＇＝12CF ，∵∠CBE ＝∠CH ＇F ＝90°，∴BE ∥FH ＇，∴△OBE ∽△OH ＇F ， ∴2BE OE FH OF='=， 设AE ＝AF ＝m ，如图，作AG ＇⊥EF ，∴EG ＇，AG ＇= 12m∴EF ，∵OE ＝2OF ，∴OE ＝23EF ，OF = ，∴OG ＇=OE -EG ＇，∴OG AG ''= ∴∠G AO '=30°，∴∠BAO =90°，∠OAF ＝∠OFA ＝30°，∴OA ＝OF ，∠AOF ＝120°， ∴OE ＝2OA ，∴∠EAO ＝90°，∠AOE ＝60°，∵∠AOF ＝∠ACF ＝120°，∴点A 、O 、C 、F 四点共圆，设A 、O 、C 、F 四点都在⊙M 上，连接AM ，OM ，CM ，FM ，∴∠AMF ＝120°，∵∠AMO ＝2∠AFO ＝60°＝12∠AMF ，∴OM 垂直平分AF ，∵点K 是AF 的中点，∴点K 在OM 上，∵MK ＝12AM ＝12OM ，OH ＝CH ，∴KH ＝12CM= 12OM ，∵OM＝OA＝AM，∴KH，∴HKAE OF== -【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆以及它的内接四边形等的相关知识，要求学生理解并掌握相关概念与性质，牢记公式等。