二次函数与一元二次方程
22.2.1二次函数与一元二次方程
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大 高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛 物线，求出其解析式．
解：(1) y 1 x2 8 x 1 (x 4)2 16
55
5
5
⸫抛物线开口向下，顶点为
4，16 5
，对称轴为x=4
(2)令y=0 ，得： 1 x2 8 x 0 55
(3)指出(2)的图像中，使y＜0时， x的取值范围及使y ＞0时， x的取值范围
例2：王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其
飞行路线满足抛物线 y 1 x2 8 x ，其中y（m）是 55
球的飞行高度,x（m）是球飞出的水平距离，结果球离
球洞的水平距离还有2m．
（1）请写出抛物线的开口方 向、顶点坐标、对称轴．
的值永远为正的条件是__a_>_ 0,△<0 __
３.求抛物线 y=−2(x+1)2+8 ①与y轴的交点坐标; ②与x轴的两个交点间的距离.③何时y＞0?
(1)抛物线y=x2+2x−3与x轴的交点有（ C）
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
(2)抛物线y=mx2−3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标
图象：是一条抛物线。
图象的特点：（1）开口方向，开口大小； （2）对称轴； （3）顶点（最低点或最高点）。
y
y
o
x
o
x
二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可由二次函数y=ax2 的图象向上（或向下）平移得到：
当k＞0时，抛物线 y=ax2向上平移|k|个单 位，得y=ax2+k
九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别
二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0，且a 决定函数的开口方向）①a>0时，开口方向向上 ②a<0时，开口方向向下③|a|还可以决定开口大小a 绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大④一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右。
⑤常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
抛物线与y 轴交于（0，c ）⑥抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x =2ab-,。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）⑦抛物线有一个顶点P ，坐标为 P [2a b -，a b 4ac 42- ]。
当2ab -=0时，P 在y 轴上；当Δ= b 2-4ac=0时，P 在x 轴上。
2、二次函数的两种表达式①一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0） ②顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 3、抛物线与x 轴交点个数 Δ= b2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点。
Δ= b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
二、一元二次方程y= ax 2+bx+c ，当y=0时，二次函数为关于x 的一元二次方程，即ax 2+bx+c=0 三、两者之间的联系①ax 2+bx+c=0,即为y= ax 2+bx+c ，y=0时 ②方程的根x 1，x 2是使ax 2+bx+c 为零的x 的取值③x 1，x 2对应图像上是y =ax 2+bx+c 函数与x 轴交点的横坐标。
④方程根的个数即是使ax 2+bx+c=0的x 的个数即是y= ax 2+bx+c y=0,为y= ax 2+bx+c 图像与x 轴的交点个数。
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
“二次函数与一元二次方程的关系”解读
“二次函数与一元二次方程的关系”解读二次函数与一元二次方程的关系十分密切，历来是数学中考的必考内容之一。
同学们应学会熟练地将这两部分知识相互转化。
二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 从形式上看十分相似，两者之间既有联系又有区别。
当抛物线c bx ax y ++=2的y 的值为0时，就得到一元二次方程02=++c bx ax 。
抛物线与x 轴是否有交点就取决于一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况。
当ac b 42->0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴的两个交点的横坐标是此方程的两个实数根；当ac b 42-=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴的只有一个交点，此交点的横坐标是方程的根；当ac b 42-<0时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点。
下面分析几个实例，供同学们参考。
例1 求抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点。
分析：可令y=0，根据04832=+-x x 的根来确定抛物线与x 轴的交点的横坐标。
解：令y=0，则04832=+-x x 解方程得：2,3221==x x∴抛物线4832+-=x x y 与x 轴的两个交点坐标为)0,32(，（2，0）例2 已知二次函数142-++=k x x y（1） 若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围。
（2） 若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的取值。
分析：此题的关键是利用二次函数与一元二次方程的关系来解，当抛物线与x 轴有两个不同的交点，可利用ac b 42->0来确定k 的取值范围。
当抛物线的顶点在x 轴上，说明抛物线与x 轴只有有一个的交点，可利用ac b 42-=0来确定k 的取值。
解：在一元二次方程0142=-++k x x 中，（1）△=04204416)1442>-=+-=--k k k （∴当k<5时，抛物线与x 轴有两个不同的交点。
《二次函数与一元二次方程》说课稿
《二次函数与一元二次方程（第1课时）》说课稿一、教材分析《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的第1课时的内容。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
用函数的观点看方程，可以把方程看成函数值为某个定值时的情况，所以，研究函数与方程的关系是对函数的进一步深化。
学生在一次函数时已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次不等式组之间的联系，本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程之间的联系。
这样既深化学生对一元二次方程的认识，又可以运用二次函数解决一元二次方程的相关问题，体现了知识之间的联系。
二、学情分析学生已经学习了一元一次方程和一次函数，一元二次方程，二次函数的图像和性质等知识，对函数与方程的关系已有初步认识。
但是运用函数的思想解决问题的意识还不够，仍习惯于孤立地看待方程与不等式的问题。
本节学习可以帮助学生进一步建立函数与方程的联系，提升用函数思想解决问题的意识和能力。
三、教学目标1.了解一元二次方程的根的几何意义;理解抛物线与横轴的三种位置关系对应一元二次方程的根的三种情况.2.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程,结合图象,进一步体会函数与方程之间的联系。
3.运用函数思想解决问题，体会事物之间的转化，提升思维品质。
四、教学重难点重点：二次函数与一元二次方程的联系，利用函数解决方程的有关问题.难点：将方程问题转化为函数问题，运用函数的思想解决问题。
五、教学策略由一次函数与一元一次方程的关系说起，采用类比的方法研究二次函数与一元二次方程的关系。
以实际问题为情境从数与形两个角度理解函数与方程之间的联系。
二次函数与一元二次方程不等式关系
• 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有 实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
x1 1, x2 3 x1 0, x2 2 x1 x2 1
x 1或x 3
1 x 3
1 x 3且x 1
＜
＜
＞
＞
=
＞
＜
x1 3, x2 1
3 x 1
x 3或x 1
x 0或x 4
x 0或x 4
0 x4
是一个 。
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
课件：二次函数与一元二次方程之间的关系
考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
知1－讲
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 抛物线与x轴的交点个数之间的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
知2－练
1 抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0
＝0的解是( )
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
二次函数与一元二次方程教学反思
《二次函数与一元二次方程》教学反思本节主要内容是用函数的观念看一元二次方程，探讨二次函数与一元二次方程的关系。
教材从一次函数与一元一次方程的关系入手，通过类比引出二次函数与一元二次方程之间的关系问题，并结合一个具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，然后介绍了用图象法求一元二次方程近似解的过程。
这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。
由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题环境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学。
在知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。
本节课的知识障碍，本节课的主要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，而不仅仅是利用函数的图象求一元二次方程的近似解。
总之，在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
”这一《新课程标准》的精神，注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了一定的教学效果，我再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题。
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二次函数与一元二次方程
二次函数和一元二次方程是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际应用中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数和一元二次方程的定义、性质以及它们之间的关系。
一、二次函数的定义和性质
二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数（a ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向取决于二次项系数 a 的正负。
二次函数的主要性质包括：
1. 零点：即函数图像与 x 轴的交点。
二次函数的零点可以通过求解一元二次方程得到。
2. 对称轴：二次函数图像的对称轴是一个垂直于 x 轴的直线，它通过抛物线的顶点。
3. 最值点：当二次项系数 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点为最小值点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点为最大值点。
4. 单调性：当二次项系数 a > 0 时，二次函数在对称轴两侧递增；当 a < 0 时，二次函数在对称轴两侧递减。
二、一元二次方程的定义和解法
一元二次方程是指形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是
已知系数，x 是未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法：
当一元二次方程可以因式分解为 (px + q)(rx + s) = 0 时，其中 p、q、r、s 是已知系数，x 是未知数。
根据因式零乘法，方程的解为 x = -q/p
或 x = -s/r。
2. 配方法：
当一元二次方程无法直接因式分解时，可以使用配方法将方程转化
为完全平方形式，进而求解方程。
配方法的步骤包括：将一元二次方
程写成 a(x + b)^2 + c = 0 的形式，其中 a、b、c 是已知系数，x 是未知数。
通过配方、整理和解方程的步骤，可以求得方程的解。
3. 求根公式法：
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数，x
是未知数。
通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以直接求得方
程的解。
三、二次函数与一元二次方程的关系
二次函数和一元二次方程存在紧密的联系，它们之间有以下关系：
1. 零点对应：二次函数的零点即为一元二次方程的解，即二次函数
图像与 x 轴的交点对应于方程的解。
2. 对称轴对应：二次函数的对称轴对应于一元二次方程的根轴，即二次函数图像的对称轴上的点横坐标为方程的解。
3. 最值点对应：二次函数的顶点为最值点，与一元二次方程的解无直接对应关系。
在实际应用中，二次函数和一元二次方程都具有广泛的应用。
例如在物理学中，自由落体运动的高度与时间的关系可以用二次函数来表示；在经济学中，成本、利润与产量之间的关系可以用一元二次方程来描述。
综上所述，二次函数和一元二次方程是数学中重要的概念，它们具有一定的相似性，但又有所区别。
了解二次函数和一元二次方程的定义、性质和解法，可以帮助我们更好地理解和应用它们。