小波理论的新进展和发展趋势
小波分析及其在地球物理学中的应用
f x L2 0,2 ， f x
其中
k
c e
k
ikx
ck
1 2
2
0
f x e ikx dx
然而， 被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划， 这里有一个例子来说明[3]： 从任一个平方可和的函数 f ( x ) 出发，为了得到一个连续函数 g ( x) ，只需或者增大 f(x)的傅 里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数 大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性） 。 傅里叶变换的定义：
小波基——Daubechies 基,，为小波的应用研究增添了催化剂。同年，Daubechies I.在美国主 办的小波专题讨论会上进行了次演讲, 引起了广大数学家、 物理学家甚至某些企业家的重视, 由此将小波的理论和实际应用推向了一个高潮。 2 、小波分析原理 “小波” 就是小的波形，所谓 “小”是指它具有衰减性, 如局部非零的; 而称之为 “波” 则是指它的波动性, 即振幅呈正负相间的城荡形式。小波分析（Wavelet Analysis）是一种具 有自适应性窗口函数可对信号进行时频两域局部化分析的方法。 小波分析是 Fourier 分析划时代发展的结果， 1822 年法国数学家傅里叶 (J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析” ，提出并证明了将周期函数展开为正 [1] 弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础 。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函 数系下的展开， 使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。 傅里叶级数与傅 里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析。 傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布， 理 论分析时经常假定周期是 2 ， 定义下式
小波变换理论及应用
2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。
一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。
（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。
（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。
（25分）四、平时成绩。
（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(⎰∞+∞--=ψψ （ 1.1）其中，a ∈R 且a ≠0。
式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b 为时间平移因子。
其中)(||1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。
从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。
① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。
② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。
如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。
C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。
小波变换系数依赖于所选择的小波。
因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。
图1.5 计算小波变换系数示意图③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。
电子信息科学中小波分析的研究
模 拟图像信号在传输过程 中极易受到各种噪声 的干扰 ，而 且模拟 图像信号一旦受到干扰则很难完全得到恢复 。另外 ，在 模拟领域中 ，要进行人与机器 、机器与机器之间 的信息交换 以 及 图像 进行诸如压缩 、增强 、恢复 、特征提取和识别等一系列 的处理和 比较是 困难 的。所 以 ，无论从完成 图形通讯 和数据通 信 网的结合方 面来看 ，还是从对 图像信号进行各种处理 的角度 来看 ，图像 信号 的数字化都是首要解决 的问题 。图像信号 的数
２总第 １９期 ） ０ ８年第 ３ ０ （ ０ ３期
现 代 企 业 文 化
ＭＯＤＥＲＮ ＮＴＥＲＰ ＳＥ ＣＵＬ ＵＲＥ Ｅ ＲＩ Ｔ
ＮＯ．３ ２ ０ ３ ，０ ８
（ ｕ ｕａ ｖｔ Ｏ １ ９ Ｃ ｍ ｌｔ ｅｙ ．０ ） ｉ Ｎ
电子信息科学 中小波分析 的研究
袁易君
（ 宜春 学院理工 学院 ，江 西 宜春 ３６０） ３００
它 已经取得 了令 人瞩 目的成就。电子信 息技术是六大高新技术 中重要的一个领域 ，它 的重要方 面是 图像 和信 号处理。现今 ， 信号处理 已经成 为当代科 学技术工作 的重要部分 ，信号处理的 目的就是 ：准确的分析 、诊断 、编码压缩和量化 、快速传递或 存储 、精确地重 构 （ 或恢复） 。从数学 的角度来看 ，信号与 图像 处理可 以统一看作是信号处理 （ 图像可以看作是二维信号） ，在 小 波分 析地许 多分析的许多应用中 ，都可以归结 为信号处理问
摘 要 ： 小 波 分析 是 当前数 学 中一 个迅 速 发 展 的新 领 域 ，是 当前 应 用数 学和 工程 学科 中 一 个迅 速 发 展 的新 领 域 ， 它 同时 具 有理论 深刻 和应 用十分广泛的双重意义。文章介绍 了小波分析 的理论 来源，并介 绍 了小波分析在 计算机 、电子信息领域里的 应 用 。分析 小波分析的几种变换形式的优点以及这 些变换形式 的缺 点 。 以及 这 些 变换 形 式在 语 音 及 图像 处理 中的具 体 应 用 。 关 键 词 ：小 波分 析 ；Ｆ ｕ ｅ分析 ；图像 处 理 ｏｒｒ ｉ
毕业设计142小波变换及其在信号和图象处理中的应用研究
第一章绪论小波变换发展到现在在许多不同的研究领域都取得了令人瞩目的研究成果，尤其是在信号分析和图象处理方面，小波变换更显示出其无法比拟的优越性。
与经典的傅立叶分析理论相比，小波分析算是近年来出现一种新的数学分析方法[1]。
它被数学家和工程师们独立地发现，被看作是多元调和分析50年来发展的一个突破性的进展，它反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的典范。
小波分析属于时频分析的一种，它在时间域和频率域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜[2]。
小波分析如今已经广泛地应用于信号处理、图象处理、量子理论、地震勘测、语音识别与合成、雷达、CT成像、机器视觉等科技领域。
任何一个理论的发现和提出都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外。
1910年Harr提出了小波规范正交基，这是最早的小波基[2]，当时并没有出现“小波”这个词。
1936年Littlewood和Paley对Fourier级数建立了二进制频率分量理论：对频率按2j进行划分，其Fourier变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最早来源。
1946年Gabor提出了加窗Fourier变换（或称为短时Fourier变换）对弥补Fourier变换的不足起到了一定的作用，但是并没有彻底解决问题。
后来，Calderon、Zygmund、Stern 和Weiss等人将L-P理论推广到高维，并建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon 给出了再生公式。
1974年，Coifmann对一维空间H P和高维H P空间给出了原子分解。
1975年，Calderon用他早先提出的再生公式给出了抛物形H P的原子分解，这一公式现已成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已经接近小波展开。
小波分析发展历史
“小波分析” 是分析原始信号各种 变化的特性，进一步用于数据压缩、噪 声去除、特征选择等。 例如歌唱信号：是高音还是低音， 发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳 的波形发现突变的尖峰。小波分析是利 用多种 “小波基函数” 对 “原始信号 ” 进行分解。
小波的时间和频率特性
时间A
时间B
运用小波基，可以提取信号中的“指定时间” 运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。 指定频率” 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾 名思义，小波在某时间发生的小的波动。 频率：提取信号中时间A 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而 提取信号中时间B 提取信号中时间B的比较快速变化，称较高频率成分。
母小波的例子：
Harr小波： Harr小波：
1, 0 ≤ t ≤ 1/2 ψ(t) = - 1, 1/2 < t < 1 0, others 0,
母小波的例子：
Mexico草帽小波： Mexico草帽小波：
2 −1 / 4 2 -t 2 / 2 ψ(t) = π (1 - t ) e 3
连续小波变换：
− “恒Q性质”： “恒Q
的中心为ω 假设ψ t)的中心为t 有效宽度为D 假设ψ(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； Ψ(ω)的中心为ω0，有 效宽度为D 效宽度为Dω；则ψa,b(t)提取的是f(t)在窗口[b+at0-aDt/2, (t)提取的是f(t)在窗口[ b+at0+aDt/2]|中的性质，相应地从频域上说Ψa,b(ω)提取地是 /2]|中的性质，相应地从频域上说Ψ F(ω)在窗口[ω0/a-Dω/(2a), ω0/a+Dω/(2a)]中的性质，因此对于 在窗口[ /(2a)] 小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为D 小波来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为DtDω。
小波理论在图像扩散中的应用的开题报告
小波理论在图像扩散中的应用的开题报告一、选题的背景与意义随着数字图像技术的快速发展，图像处理在许多领域中得到广泛应用，如医学影像、工业制造、无人机图像等。
而图像扩散是图像处理中的一个重要方法，其目的是通过对周围像素值的调整来平滑或锐化图像。
传统的图像扩散方法主要基于偏微分方程，但这些方法存在模糊性和偏差的问题。
因此，为了解决这些问题，研究者们开始将小波理论应用于图像扩散中，以提高图像处理的效果。
小波理论是一种数学方法，它能够将复杂的信号分解为多个子信号，从而更好地描述信号的局部特征。
小波变换具有不变性和局部性，可以处理多种类型的信号，如图像、语音、视频等。
因此，将小波理论应用于图像扩散中可以更好地捕捉图像的局部特征，从而提高图像扩散的效果。
二、选题的研究内容和思路本文选取了小波理论在图像扩散中的应用作为研究内容。
具体研究思路如下：1.小波变换的原理与方法。
介绍小波变换的基本原理、离散小波变换方法以及常见小波函数选择。
2.图像扩散的原理与方法。
介绍图像扩散的基本原理，如何在各种图像中实现图像扩散以及当前主流的图像扩散技术和算法。
3.小波理论在图像扩散中的应用。
探讨小波理论在图像扩散中的应用方法和相关算法。
比较小波理论在图像扩散中的效果和传统的图像扩散方法的差异性。
四、选题的预期目标和贡献本文旨在探讨小波理论在图像扩散中的应用，以提高图像处理的效率和精度。
本文的预期目标如下：1.详细介绍小波变换的原理，并简要介绍小波函数的选择方法。
2.介绍图像扩散的基本原理，讨论当前主流的图像扩散技术和算法。
3.探讨小波理论在图像扩散中的应用方法和相关算法，以及这些方法和传统的图像扩散方法的比较。
4.通过实验验证小波理论在图像扩散中的应用效果，并对实验结果进行分析和讨论。
本文的贡献在于提出了基于小波理论的新型图像扩散方法，并验证了该方法的效果和优势，有助于推动图像处理技术的进一步发展。
小波变换
小波变换理论及应用ABSTRACT ：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。
但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。
正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。
在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。
第一章 小波变换理论这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。
1.1. 从傅里叶变换到小波变换一、 傅里叶变换在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform ），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。
图1.1给出了傅里叶分析的示意图。
图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)：⎰∞∞--=dt e t x X t j ωω)()(............................................. (1)X(ω)的傅里叶反变换x(t)：⎰∞∞-=ωωπωd e X t x t j )(21)( (2)对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。
因为它能给出信号中包含的各种频率成分。
但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。
而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。
这些特性是信号的重要部分。
因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。
傅里叶变换二、短时傅里叶变换为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。
小波滤波方法及应用
小波滤波方法及应用一、本文概述本文旨在深入探讨小波滤波方法的理论基础、实现技术及其在信号处理、图像处理、数据压缩等多个领域的应用。
小波滤波作为一种新兴的信号处理技术，通过利用小波变换的多分辨率分析特性，能够在不同尺度上有效提取信号中的有用信息，实现对信号的高效滤波和去噪。
本文首先介绍小波滤波的基本概念、发展历程和主要特点，然后详细阐述小波滤波的数学原理和实现方法，包括小波变换的基本原理、小波基函数的选择、小波滤波器的设计等。
在此基础上，本文将重点分析小波滤波在信号处理、图像处理、数据压缩等领域的应用实例，探讨其在实际应用中的优势和局限性。
本文还将对小波滤波的未来发展趋势进行展望，以期为该领域的进一步研究提供参考和借鉴。
二、小波理论基础知识小波理论，作为一种现代数学工具，自20世纪80年代以来，已在信号处理、图像处理、数据压缩等众多领域展现出强大的应用潜力。
其核心思想是通过一组被称为“小波”的函数来分解和分析信号或数据。
与傅里叶变换等传统方法相比，小波变换提供了时频局部化的分析能力，意味着它可以在不同的时间和频率上同时提供信号的信息。
小波变换的基础是小波函数，也称为母小波。
这些函数具有有限的持续时间并且振荡，可以在时间和频率两个维度上进行局部化。
通过伸缩和平移操作，母小波可以生成一系列的小波基函数，这些函数能够匹配并适应不同频率的信号部分。
小波变换可以分为连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）两种类型。
连续小波变换在时间和频率上都是连续的，能够提供非常精细的分析结果，但计算复杂度较高。
而离散小波变换则对时间和频率进行了离散化，计算效率更高，更适用于实际应用。
小波变换的一个重要特性是多分辨率分析，它允许我们在不同尺度上观察信号。
通过逐层分解信号，我们可以得到从粗糙到精细的一系列逼近和细节分量。
这种特性使得小波变换在信号去噪、图像增强等应用中表现出色。
小波理论还涉及小波包、尺度函数、小波框架等概念，这些构成了小波分析的基础框架。
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小波理论的新进展和发展趋势计研111 李宏涛1、引言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题。
小波理论是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。
正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到认可一样。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。
与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
2、小波分析及其优、缺点与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。
通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。
数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。
信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号所包含的重要信息能显现出来。
小波分析属于信号时频分析的一种，在小波分析出现之前，傅立叶变换是信号处理领域应用最广泛、效果最好的一种分析手段傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。
正是傅立叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅立叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位。
傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。
小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。
它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了成功的应用，特别是小波变换的离散数字算法已被广泛用于许多问题的变换研究中。
从此，小波变换越来越引进人们的重视，其应用领域来越来越广泛。
3、小波理论的应用新进展事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。
在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。
在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。
在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
3.1小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。
它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。
基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。
图像经过小波变换后生成的小波图像的数据总量与原图像的数据量相等，即小波变换本身并不具有压缩功能。
之所以将它用于图像压缩，是因为生成的小波图像具有与原图像不同的特性，表现在图像的能量主要集中于低频部分，而水平、垂直和对角线部分的能量则较少；水平、垂直和对角线部分表征了原图像在水平、垂直和对角线部分的边缘信息，具有明显的方向特性。
低频部分可以称作亮度图像，水平、垂直和对角线部分可以称作细节图像。
对所得的四个子图，根据人类的视觉生理和心理特点分别作不同策略的量化和编码处理。
人眼对亮度图像部分的信息特别敏感，对这一部分的压缩应尽可能减少失真或者无失真，例如采用无失真DPCM编码；对细节图像可以采用压缩比较高的编码方案，例如矢量量化编码，DCT等。
目前比较有效的小波变换压缩方法是Shapiro提出的小波零树编码方案。
零树编码算法是目前公认的效率最高的小波系数处理算法，可以在相同的压缩倍数下得到最好的复现图像质量，而且是嵌入式编码，能非常精确地控制压缩倍数。
这一点对于序列图像压缩是至关重要的，因为如果不能精确地控制压缩倍数，无论是网络传输还是文件存储都会有很大的问题。
具体算法过程是一幅图像经过二维离散小波变换后，可以得到指定分解尺度下的小波系数。
利用快速算法，将二维的小波变换分解为两个一维的运算，分别用高通与低通滤波器，进行一级分解与重构,进一步分解得到的变换系数在高尺度与低尺度之间有一定的相关性，Shapiro正是利用了这种相关性将零树引入小波编码中，EZW思想可以表述如下：一个小波系数x，对于一个给定的阈值T，如果|x|<T，则称x是不重要的。
如果大尺度下某系数是不重要的，而且在它的“孩子”，就是小尺度相应位置的系数中，也都是不重要的，则称小波系数形成一个零树，此时在大尺度上的那个系数称为零树根ZTR；如果该系数小于阈值，但它的“孩子”中却有重要系数，则称为孤立零，记为IZ；当该系数大于阈值时，称为重要系数，根据符号的不同，分别记为正重要系数POS 和负重要系数NEG。
这四种情况下的系数形成了重要系数图，它的流程图如图5所示。
这种编码方案从大尺度到小尺度依次进行，按照Z扫描排序。
最终得到的重要系数对应四种符号，即ZTR、IZ、POS、NEG，可以考虑用两个比特来表示它们。
另外为了达到给定的精度还有一个辅助图来标记重要系数的精确重构值。
具体的步骤如下：(1)对图像进行N级小波分解，求得系数图。
(2)对最大尺度的LL N计算出均值，确定初始量化阈值T0。
(3)用初始阈值对各级小波系数进行如上零树判断，确定符号，记入重要系数编码表内；这里IZ、ZTR的重构值为0，POS的重构值为T0+ T0/2，NEG 的重构值为-(T0+ T0/2)。
当出现零树根的系数时，它所衍生出的系数在下个小尺度编码时不考虑，只需扫描标记为孤立零、重要系数的即可，这样可以提高编码效率。
(4)为了完成嵌入编码，实现逐次逼近量化，对检出的重要值，即POS、NEG，可以进一步精确确定它们的重构值：如果重要值 x> T0+ T0/2，则记为POS1，重构值为T0+T0/2 + T0/4；如果重要值 T0<x< T0+ T0/2，则记为POS0 ，重构值为T0+ T0/2 - T0/4，；如果重要值-(T0+ T0/2)<x<-T0，则记为NEG0 ，重构值为-(T0+ T0/2)+ T0/4，；如果重要值 x<-(T0+ T0/2)，则记为NEG1 ，重构值为-(T0+ T0/2) - T0/4，；将POS1和NEG1记为“1”，POS0和NEG0记为“0”，记在辅助表中。
用（x-精细重构值）代替原来的系数x，形成剩余系数图。
(5)将阈值T0减半，再进行如上操作，直到剩余系数图中的值均为零或达到给定的要求为止。
3.2小波在信号分析中的应用也十分广泛。
它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。
在信号处理领域，对原始信号进行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的（隐含的），目前，已经有许多变换应用于信号处理，最基本的是频域变换和时域变换，最熟悉的莫过于傅里叶变换FourierTransform），然而，傅里叶变换只能分别对信号的时域和频域进行观察，不能把二者有机地结合起来。
为了解决此问题，引入了短时傅里叶变换( Fourier Transform），该变换能够给出信号的时间和频率的二维分布，在短时傅里叶变换中，其窗口宽度是一个恒定的值，不能根据信号局部特征调整其窗口宽度。
为此，引入了小波变换，解决了以上问题。
小波分析方法是一种窗口大小（即窗口面积）固定但其形状可改变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部分析方法。
即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为数学显微镜。
在大尺度下，可以将信号的低频信息（全局）表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频（局部）特征反映出来。
小波分析的图像最基本的特征是边缘,因此图像处理中研究最多是边缘检测. 图像的边缘点是指图像信号强度发生急剧变化的位置,它包含了图像的绝大部分信息. 边缘检测对于图像处理和计算机视觉来说,是一个重要课题. 一般情况下,图像在不同的尺度下表现出不同的边缘特性.近几十年来,对边缘检测已产生不少经典算法,如梯度算子、Sobel 算子、拉普拉斯算子、Kinsch 算子和Roserfeld 算子等.但近二十年间,随着计算机技术、VLSI 技术的迅速发展,有关图像处理方面的研究已取得了很大的发展. 尤其是近年来迅速发展起来的小波(wavelet) 理论,为图像处理带来了新的理论和方法. 基于小波变换的方法在图像边缘检测应用中取得了非常良好的效果.边缘检测的基本要求是:低错判率和高定位精度. 低错判率要求不漏掉实际边缘,不虚报边缘;高定位精度要求把边缘以等于或小于一个像素的宽度确定在它的实际位置上.边缘检测是图像分析的重要内容. 小波理论为图像边缘检测提供了一个多尺度逼近. 用不同尺度函数平滑信号,且从它们的一阶导数或二阶导数中检测剧烈的变化点. 一个低通滤波器的脉冲响应应该为平滑函数.多尺度边缘检测方法是先磨光原信号,再由磨光后信号的一阶或者二阶导数检测出原信号的剧变点(也就是边缘了) .在高分辨率下,细节较多,边缘较粗;在较低分辨率下,细节被平滑掉,能得到效果较好的图像边缘,可以较清晰地分辨出图像轮廓特征. 特别是小波变换的多分辨率分析,能为检测出的边缘提供由粗到细的不同尺度的结果,可以方便地根据需要选取适当的精度. 小波具有良好的时频局部性,很利于检测图像边缘,3.3在工程技术等方面的应用：包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。