2013届立体几何训练(一)

A B C D P

E

图5

2013届高考立体几何训练(一)

1．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在

线段PC 上,PC ⊥平面BDE . (Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值. 2．（2012年高考湖南理）如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°, E 是CD 的中点.

(Ⅰ)证明:平面CDP ⊥平面PAE;

(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.

3．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面ABCD

,AC =2,PA E =是PC 上的一点,2PE EC =. (1)证明:PC ⊥平面BED ;

(2)设二面角A PB C --为90?,求PD 与平面PBC 所成角的大小.

4.（2012年高考（福建理））如图,在长方体1111ABCD A BC D -中1,AB AD E ==为CD 中点.

(Ⅰ)求证:11B E AD ⊥

(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由. (Ⅲ)若二面角11A B E A --的大小为30?,求AB 的长.

D

1.解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ?平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面

ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P = ,PC ?平面PAC ,PA ?平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ?平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方

形,于是2AB AD ==.

法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、

()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC = ,()2,0,1PB =-

.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则00

BC PB ??=???=??1

1

n n ,从而2020y x z =??-=?,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A --

的余弦值为cos ,?<>=121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3.

2.【解析】 如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为

x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:

(4,0,0),(4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0),(0,0,).A B C D E P h

(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==

因为

8800,0,CD AE CD AP ?=-++=?=

所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直

线,所以.CD PAE ⊥平面 有CD 在平面CDP 内，所以平面CDP ⊥平面PAE; (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP

分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与

PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以

cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PB PA PB

??<>=<>=??

,即

由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=- 由(4,0,),PB h =-

故

=

解得5

h =

. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =?+?=,所以四棱锥P ABCD -的体积为

111633V S PA =??=?=【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明

PA CD ⊥即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由1

3

V S PA =??算得体积,或者建立空间直角坐标系,

求得高几体积.

3.解:设AC BD O = ,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,

则

((A C P 设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -.

(Ⅰ)证明:由2PE EC =

得

2

0,)3E ,

所以2)PC

=-

,

2

,)3BE a =

,(0,2,0)BD a = ,

所以2

2)(,)0

33PC BE a ?=-?=

,

2)(0,2,0)0PC BD a ?=-?= .所以PC BE ⊥ ,PC BD ⊥

,所以PC ⊥平面BED ;

(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z = ,

又(0,0,2),,0)AP AB a ==- ,由0,0n AP n AB ?=?=

得n = ,设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z = ,

又,0),(BC a CP ==- ,由0,0m BC m CP ?=?= ,

得(1,m a =- ,由于二面角A PB C --为90 ,所以0m n ?= ,

解得a

所以2)PD =- ,平面PBC

的法向量为(1,m =-

,所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为

sin α=||12

||||PD m PD m ?=

?

,所以PD 与平面PBC 所成角为6π.

4.解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,则

11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,1),(,1,0),(,0,1)2

a

A D D E

B a

111(0,1,1),(,1,1),(,0,1),(,1,0)22

a

a AD B E AB a AE ∴==--==

11011(1)102

a

AD B E ?=-?+?+-?= ,故11B E AD ⊥

(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-

设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z = ,则有1000

2

ax z n AB ax y n AE +=???=?????+=???=??

,取1x =,可得(1,,)2a n a =-- ,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥

1

022

a at t ∴-=?=,又DP ?平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.

(3)连接11,A D B C ,由长方体11A A A D

==,得11A D AD ⊥ 11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A ，所以1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =

,又 二面角是

30?,所以

111cos ,||||

a

a

AD n

AD n AD n -

-?<>==

所以a=2,即2AB =