高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系 理 新人教版
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
2019-2020年高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理
一抓基础，多练小题做到眼疾手快. . 2 2 . - 2 2 、.1. ___________________________________________________________ 圆（X + 2）+ y = 4与圆（X —2）+ （y —1）= 9的位置关系为________________________________解析：由两圆心距离d= ? + ? 2+ 1 = v 17,又R+ r = 2 + 3= 5,「. d v R+ r，—两圆相交.答案：相交2. _______________________________________________________________________ 若a2+ b2= 2C2（C丰0），则直线ax+ by+ c= 0被圆x2+ y2= 1所截得的弦长为__________________ .| C|| C|J2解析：因为圆心（0,0）到直线ax + by+ C = 0的距离d= 三-- 2= =甘，因此根寸a + b \/2| C|2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于= ^2，所以弦长为答案：•. 23. 直线I与圆x2+ y2+ 2x —4y+ a= 0（a v3）相交于AB两点，若弦AB的中点为（一2,3）,则直线I的方程为 ___________ .解析：设直线的斜率为k,又弦AB的中点为（一2,3），所以直线I的方程为kx —y+ 2k + 3 = 0，由x2+ y2+ 2x—4y+ a= 0得圆的圆心坐标为（一1,2），所以圆心到直线的距离为，2, 所以上耳半土亀=走，解得k= 1，所以直线I的方程为x—y + 5 = 0.y/k +1答案：x —y+ 5= 01、. n n I4. _______________________________________________________________________ 若圆x + y + mx-4 = 0与直线y = —1相切，其圆心在y轴的左侧，贝U m= ___________________ .解析：圆的标准方程为i x+ 2+ y = ' j圆心到直线y=—1的距离一2 = |0—（—1）|，解得m=±_ 3，因为圆心在y轴的左侧，所以3.答案：•. 35. 已知点P是圆C: x2+ y2+ 4x—6y —3= 0上的一点，直线l : 3x —4y—5= 0.若点P 到直线l的距离为2,则符合题意的点P有个.解析：由题意知圆的标准方程为（x + 2）2+ （y —3）2= 42,| 一6 —12—5| 23•••圆心到直线I的距离d=|6 = 5| = 23>4，故直线与圆相离，则满足题意的点P5 5有2个.答案：2—保咼考，全练题型做到咼考达标2 21.（XX •苏州模拟）对任意的实数 k ,直线y = kx — 1与圆C ： x + y — 2x — 2= 0的位置 关系是 关系疋 __________ •解析：直线y = kx — 1恒经过点A （0，— 1），圆x 2+ y 2— 2x —2= 0的圆心为C （1,0），半 径为，3，而 | AQ = .2v 〔 3，故直线 y = kx — 1 与圆 x 2+ y 2 — 2x — 2= 0 相交.答案：相交2. 圆x + y + 2y — 3= 0被直线x + y — k = 0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为 1 : 3，贝U k= _____ .解析：由题意知，圆的标准方程为 x 2+ （y + 1）2= 4.较短弧所对圆周角是90°,所以圆心（0，— 1）到直线x + y — k = 0的距离为#r =2.即答案：1或—32 23•直线 y = x +4 与圆(x -a ) + (y -3) = 8 相切,=2 ,云，即 |a + 1| = 4，解得 a = 3 或一5.答案：3或—54. _____________________________________________________________________ 在圆x 2 + y 2+ 2x -4y = 0内，过点（0,1）的最短弦所在直线的倾斜角是 _____________________________ •解析：由题意知，圆心为（—1,2），过点（0,1）的最长弦（直径）斜率为—1，且最长弦与 最短弦垂直，.••过点（0,1）的最短弦所在直线的斜率为1,即倾斜角是nn答案：n4_225.已知直线I : x + ay — 1 = 0( a € R)是圆C ： x + y — 4x — 2y +1 = 0的对称轴.过点A (—4, a )作圆C 的一条切线，切点为 B ,则|AE | = ________________ .2 2解析：由于直线 x + ay — 1= 0是圆C ： x + y — 4x — 2y + 1 = 0的对称轴，.••圆心 C (2,1) 在直线x + ay — 1 = 0上，2+ a — 1 = 0, — a = — 1,— A — 4, — 1).2 2"^2 " ，解得 k =1 或则a 的值为y = x + 4,x — a2+y -3 2= 8,=0，则由题意可得 △ = [ —(2a — 2)] 2— 4X 2X( a 2— 7) = 0,整理可得 a = 3或一5.法二：因为(x — a )2+ (y — 3)2= 8的圆心为(a, 3)，半径为解析：法一：联立■= 2 2消去 y 可得，2x -(2 a — 2)x + a - 7=x + 4与圆（x — a ）2+ （y - 3）2= 8相切，知圆心到直线的距离等于半径,2a + 2a —15 = 0,解得 2 2，所以由直线y| a — 3+ 4|所以—件一—]2••• | AC = 36 + 4 = 40.又r = 2 ,二| AB = 40 —4 = 36.| AB = 6.答案：66. __________________________________________________________ 直线y= 2x+ 3被圆x2+ y2—6x —8y= 0所截得的弦长等于 _______________________________________ .. . 2 2 . .解析：圆的方程可化为(X—3) + (y—4) = 25，故圆心为(3,4)，半径r = 5.又直线方程为2x —y + 3=0,所以圆心到直线的距离为d= ------ 3+ 3L =J5,所以弦长为2\l r2—d =护百°习2X 25—5 = 2 20 = 4 5.答案：4 . 57. 过点M(1,2)的直线l与圆C: (x—3)2+ (y—4)2= 25交于A, B两点，C为圆心，当/ ACB最小时，直线I的方程是 _______________ .解析：依题意得知，当/ ACB最小时，圆心C到直线I的距离达到最大，此时直线I与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1,因此所求的直线I的方程是y —2 = —(x—1)，即x + y—3 = 0.答案：x + y—3= 08. ________________________________________ (xx •南京名校联考)已知圆O x2+ y2= 1,直线x —2y + 5= 0上动点P,过点P作圆0的一条切线，切点为A,则I PA的最小值为 .解析：过O作OF垂直于直线x —2y + 5 = 0,过P作圆O的切线PA连结OA易知此时|PA的值最小•由点到直线的距离公式，得|0P = 豎0二邑={5.又|0A = 1,所以p1+ 2 V|PA = ,|0P2-|0A2= 2.答案：29. 已知圆C：x2+ y2—8y + 12= 0，直线I : ax + y+ 2a= 0.(1) 当a为何值时，直线I与圆C相切；(2) 当直线I与圆C相交于A, B两点，且| AB = 2 2时，求直线I的方程.解：将圆C的方程x2+ y2—8y+ 12= 0配方得标准方程为x2+ (y—4)2= 4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线I与圆C相切，则有器署 =2,解得a= —4.Qa +1 4⑵过圆心C作CDL AB则根据题意和圆的性质,I CD = I4u a'，p a + 1得|CD2+ |DA2=|AC2= 22,解得a=—7或a=—1.故所求直线方程为7x—y+ 14= 0或x—y + 2= 0.10.如图，已知以点A—1,2)为圆心的圆与直线I 1=0相切•过点B ( - 2,0)的动直线l 与圆A 相交于M N 两点，Q 是MN 勺中点，直线l 与l i 相交于点P.(1)求圆A 的方程；⑵当| MN = 2 19时，求直线I 的方程.解：(1)设圆A 的半径为R由于圆A 与直线l i ： x + 2y + 7= 0相切,=2.5.| — 1 + 4 + 7|解析：连结OO,记AB与OO的交点为C,如图所示，在Rt △ OGA2 2•••圆A的方程为(x + 1) + (y —2) = 20.⑵①当直线I与x轴垂直时，易知x=—2符合题意;②当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为y = k(x +2) •即kx—y + 2k= 0.1. (xx •苏州调研)已知圆C: x2+ y2+ 4ax + 4a2—4 = 0 和圆C2：x2+ y2—2by+ b2—1 = 01 1只有一条公切线，若a，b€ R且如0,则孑+評最小值为---------------------解析：圆C的标准方程为(x+ 2a)2+ y2= 4,其圆心为(一2a, 0)，半径为2 ；圆G的标准方程为x2+ (y—b)2= 1，其圆心为(0 , b)，半径为1.因为圆C和圆C2只有一条公切线，1 所以圆C与圆C2相内切，所以一2a—2+ U —b 2= 2—1，得4a2+ b2= 1,所以二+* a卜ft+讥4a2+b) = 54 a2b2 = 9,b2 4 2当且仅当-2=吕，且4a2+ b2= 1,b2 1 2 1 1 1即a= 6’ b= 3时等号成立•所以1+1的最小值为9.答案：92 2 2 22. (xx •江阴一中检测)若圆O: x + y = 5与圆O: (x—m) + y = 20(肚R)相交于A, B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为 _________ .中，0A= 5, 0A= 2 5,「. OO 5,2,「. AB= 4.答案：43. 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x —4y + 7=0相切，且被y轴截得的弦长为2 3，圆C的面积小于13.(1) 求圆C的标准方程；(2) 设过点M0,3)的直线I与圆C交于不同的两点A B,以OA 0B为邻边作平行四边形OADB是否存在这样的直线I，使得直线0D与MC恰好平行？如果存在，求出I的方程；如果不存在，请说明理由.2 2 2解：(1)设圆C： (x —a) + y = r (a>0),13解得a= 1或a =2又S= n r v 13,—a= 1, r = 2,•••圆C的标准方程为(x—1)2+ y2= 4.⑵当斜率不存在时，直线l为x = 0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l : y = kx + 3, A(X1, y1), 0X2, y?),[y= kx + 3,又I与圆C相交于不同的两点，联立得,22I x—1 + y = 4,消去y 得(1 + k2)x2+ (6 k —2)x + 6= 0,2 2 2• △ = (6 k —2) —24(1 + k) = 12k —24k—20 > 0,解得k v 1—響或k > 1+导.X1+ X2 =6k —2 2k+ 61+k2, y i+ y2= k(X1 + X2)+ 6= 1+P,=+ = (X1+ X2,屮 + y2), = (1 , —3), 假设//,则—3(X1 + X2) = y1 + y2,6k —2 2k + 6二3X 2 = 2 ,1 + k2 1 + k2,—m, 1—¥ u 1+ ¥,+R，假设不成立,解得k= 3?•不存在这样的直线i.。
2021版高考数学一轮复习 第八章53直线与圆、圆与圆的位置关系 练案(含解析)
2021版高考数学一轮复习 第八章53直线与圆、圆与圆的位置关系练案（含解析）A 组基础巩固一、单选题的0＝2－x 2－2y ＋2x ：C 与圆1－kx ＝y ，直线k 对任意的实数)温州十校联考(2019·．1位置关系是( C )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能 ，半(1,0)C 的圆心为0＝2－x 2－2y ＋2x ，圆1)，－(0A 恒经过点1－kx ＝y 直线 ]解析[相交．0＝2－x 2－2y ＋2x 与圆1－kx ＝y ，故直线3<2＝|AC |，而3径为的切线有且只有一条，则该切2r ＝2y ＋21)－x (作圆(3,1)过点)河南八市质检(2020·．2线的方程为( B )A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0 在圆(3,1)的切线有且只有一条，则点2r ＝2y ＋21)－x (作圆(3,1)由题意，过点 ]解析[＝1－y ，则圆的切线方程为2切线的斜率为－∴，12＝1－03－1＝k 上，圆心与切点连线的斜率为－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0，选B.的公切4＝21)－y (＋24)＋x (：2C 与圆1＝21)－y (＋2x ：1C 圆)山东济宁期末(2019·．3线的条数为( A )A ．4 B ．3 C ．2D ．1 条．4两圆外离，两圆的公切线有∴，1＋4>2＝|2C 1C |两圆的圆心距 ]解析[ 的对称0＝1＋y 2－x 4－2y ＋2x ：C 是圆0＝1－ay ＋x 已知直线)河北沧州段考(2020·．4轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( B )A ．2 B ．624．C102．D ，半(2,1)C 圆心为∴，4＝21)－y (＋22)－x (，即0＝1＋y 2－x 4－2y ＋2x ：C 圆∵ ]解析[径为2.由题意可得，直线l ：x ＋ay －1＝0经过圆C 的圆心(2,1)，故有2＋a －1＝0，∴a ＝切线∴，2＝R ＝|CB |，102＝－4－22＋－1－12＝|AC |∵．1)，－4－(A ，点1－ B.，故选6＝40－4＝|AB |的长，1,0)－(A 及点0＝x 4－2y ＋2x ：C 中，已知圆xOy 在平面直角坐标系)铜川模拟(2019·．5) B (的个数为P ，则点12＝2|PB |＋2|PA |，使得P 上存在点C ．在圆(1,2)B A ．1 B ．2 C ．3D ．4 ＋21)－x (＋20)－y (＋21)＋x (＝2|PB |＋2|PA |，4＝2y ＋22)－x (，则)y ，x (P 设 ]解析[2－02＋0－122|<－|2，因为4＝21)－y (＋2x ，即0＝3－y 2－2y ＋2x ，即12＝22)－y ( B.选2.的个数为P 相交，所以点4＝21)－y (＋2x 与圆4＝2y ＋22)－x (，所以圆2＋<2截得的弦最短，0＝3－x 2－2y ＋2x ：C 被圆1＋kx ＝y ：l 若直线)四川南充模拟(2019·．6则直线l 的方程是( D )A ．x ＝0 B ．y ＝1 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 化为标准0＝3－x 2－2y ＋2x ：C ．圆(0,1)P 过定点1＋kx ＝y ：l 依题意，直线 ]解析[在圆内．由圆的性(0,1)P 则易知定点2.＝r ，半径为(1,0)C 故圆心为4.＝2y ＋21)－x (方程为截得的弦最短．因为0＝3－x 2－2y ＋2x ：C 被圆1＋kx ＝y ：l 时，此时直线l ⊥PC 质可知当0.＝1＋y －x 的方程是l ，即直线1＝k 的斜率l ，所以直线1＝－1－00－1＝PC k )B (的取值范围m 有实数解，则实数0＝m －x －16－x2若方程)唐山模拟(2019·．72≤4m ≤24．－A2≤4m 4≤．－B≤4m 4≤．－C2≤4m 4≤．D 的m ＋x ＝y 与16－x2＝y 有实数解，分别作出m ＋x ＝16－x2由题意知方程 ]解析[.2≤4m 4≤图象，若两图象有交点，需－二、多选题，则直线的倾斜角可能为32截得的弦长为4＝23)－y (＋22)－x (被圆3＋kx ＝y ．直线8( AD )5π6．Aπ3．B。
2024届新高考一轮复习人教B版 主题三 第八章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(36张)
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1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为
x0x+y0y=r2.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两
(-) + ( + ) = ,r1+r2=3,r2-r1=1,所以 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,即两圆的
位置关系为相交.
5.圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-2)2=4的公共弦所在直线的方程为
解析:根据题意(x-2)2+y2=4,
即x2+y2-4x=0,①
x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0.②
|-+-| |+|
+
=
+
=
++
+
=
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
弦长问题
[例2] 过点(-4,0)作直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=25交于A,B两点,如果|AB|=8,求
直线l的方程.
解:圆(x+1)2+(y-2)2=25 的圆心坐标是(-1,2),半径 r=5.
2021年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理
2021年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．直线kx ＋y －2＝0(k ∈R )与圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．与k 值有关解析：圆心为(－1,1)，所以圆心到直线的距离为|－k ＋1－2|1＋k 2＝|k ＋1|1＋k 2，所以直线与圆的位置关系和k 值有关，故选D.答案：D2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D ．135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C3．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a (a <2)，圆心C (－1,1)，半径r 满足r2＝2－a ，则圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝2，所以r 2＝22＋(2)2＝2－a ⇒a ＝－4.答案：B4．若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a 的值为( ) A ．±2B ．2C ．－2D ．无解解析：圆x 2＋y 2＝a 2的圆心为原点O ，半径r ＝|a |. 将x 2＋y 2＝a 2与x 2＋y 2＋ay －6＝0左右分别相减，可得a 2＋ay －6＝0，即得两圆的公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点O 到直线a 2＋ay －6＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a ，根据勾股定理可得a 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6a－a 2，所以a 2＝4，所以a ＝±2.故选A. 答案：A5．(xx 届兰州市实战考试)已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或－1 B ．－1 C ．1或－1D ．1解析：由题意得，圆心(1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离为22，所以|a －a －1|1＋a2＝22，解得a ＝±1，故选C.答案：C6．(xx 届福建福州八中模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．[－32，32]解析：由圆的方程可知圆心为O (0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)，故选A.答案：A7．(xx 届兰州市诊断考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0,2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5－1，5－1)B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1,22－1)D ．[－22－1,22－1]解析：设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M 在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1.答案：D8．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|9＋1＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5－52＝10，即|AB |＝10.答案：109．(xx 届昆明两区七校调研)已知圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，直线l 过圆心且交圆于A ，B 两点，交y 轴于P 点，若2PA →＝PB →，则直线l 的斜率k ＝_____________________________________________.解析：依题意得，点A 是线段PB 的中点，|PC |＝|PA |＋|AC |＝35，过圆心C (3,5)作y 轴的垂线，垂足为C 1，则|CC 1|＝3，|PC 1|＝352－32＝6.记直线l 的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝|PC 1||CC 1|＝2，即k ＝±2.答案：±210．(xx 届云南省统一检测)已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________.解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又因为f ′(x )＝3x 2＋a ，所以f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，所以|3＋a ×2＋4－a －5|3＋a 2＋1＝5⇒a ＝－52，所以b ＝14，所以3a ＋2b ＝－7. 答案：－711．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A (4，－1)；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直．解：(1)因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.12.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为r ，由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝ 20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[能 力 提 升]1．(xx 届湖南长郡中学月考)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D ．49解析：由题意知两圆的标准方程为(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)和(0,2b )，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有a 2＋4b2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫9a 2＋9b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4b 2a 2＋a 2b 2＋4≥19×(1＋4＋4)＝1.当且仅当4b 2a 2＝a2b2，即|a |＝2|b |时取等号，故选A.答案：A2．(xx 届南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在解析：由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示．设过点P (2,0)的直线为y ＝k (x －2)， 则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝2 2－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×2 2－2k21＋k2＝1， 解得k 2＝13，由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33应舍去，故直线l 的倾斜角为150°. 答案：A3．(xx 届贵阳市监测考试)在平面直角坐标系中，已知点P (3,0)在圆C ：(x －m )2＋(y －2)2＝40内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为20，则实数m 的取值范围是________．解析：由圆的方程知，圆心C (m,2)，半径r ＝210，所以S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝20sin∠ACB ，所以当∠ACB ＝π2时，S △ABC 取得最大值20，此时△ABC 为等腰直角三角形，|AB |＝2r ＝45，则点C 到直线AB 的距离为25，所以25≤|PC |<210，即25≤m －32＋22<210，解得－3<m ≤－1或7≤m <9.答案：(－3，－1]∪[7,9)4．(xx 届湖南省东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)又圆心C 在直线l 右上方则有4a ＋10>0即a >－52，又|4a ＋10|5＝2， 解得a ＝0或a ＝－5(舍)． 所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)如图，当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时， 能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
高考数学第一轮复习 第八篇 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教A版
3
3
D.1，2
3
3
解 (2)当直线经过点(0,1)时， 直线与圆有两个不同的交点，
此时 m＝1；当直线与圆相切时有 圆心到直线的距离 d＝ |m| ＝1， 解得 m＝2 33，所以要使直1＋线与33圆2 在第一象 限内有两个不同的交点，
则
1＜m＜2
3 3.
第十页，共19页。
圆与圆的位置(wèi
考
zhi)关系
第十三页，共19页。
有关圆的综合(zōnghé)
考
问题
点
例 3(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，
点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上．
(1)若圆心 C 也在直线 y＝x－1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程；
(2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|＝2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值
(2) 如图，圆心坐标为 C(1,0)，易知 A(1,1)， 又 kAB·kPC＝－1，且 kPC＝31－－10＝12， ∴kAB＝－2. 故直线 AB 的方程为
y－1＝－2(x－1)，即 2x＋y－3＝0. 答案(2)A
判断(pànduàn)直线与圆的位置关系时，若两方程已知或 圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数， 或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－ (x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即 4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为
2
112－|4＋34×2＋3－3223|2＝2 7.
规律方法
(1)判断两圆的位置关系常用几何(jǐ hé)法，即用两圆圆心距与两圆半径和与 差之间的关系，一般不采用代数法．
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含答案
课时跟踪检测直线与圆、圆与圆的位置关系1．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 由两圆心距离d ＝2＋22＋12＝17，又R ＋r ＝2＋3＝5，∴d ＜R ＋r ，∴两圆相交．2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A ．12B ．1C ．22D ． 2解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：选C 设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.4．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 35．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个．答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·温州十校联考)对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：选C 直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．(2019·大连期末)圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A ．2－1或－2－1B ．1或－3C ．1或－ 2D ． 2解析：选B 由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4.较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2.即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 3．(2019·沈阳一模)直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( )A ．3B ．2 2C ．3或－5D ．－3或5解析：选C 法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a2y －32＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0，则由题意可得Δ＝[－(2a －2)]2－4×2×(a 2－7)＝0，整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|1212＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.4．(2019·乌鲁木齐三诊)在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解析：选B 由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.5．(2019·重庆高考)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1)．∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.6．直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r ＝5.又直线方程为2x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.答案：4 57．(2019·沈阳质监)过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．解析：依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．(2019·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：29．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.10．如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·绥化三校联考)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以2a －020－b2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.2．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝R ，a 2＋3＝R ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πR 2＜13，∴a ＝1，R ＝2， ∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又l 与圆C 相交于不同的两点， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x －12＋y 2＝4，消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0，∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20＞0， 解得k ＜1－263或k ＞1＋263. x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2，OD ＝OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC ＝(1，－3)，假设OD ∥MC ，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，假设不成立，∴不存在这样的直线l .。
2015届高考数学一轮复习 直线与圆、圆与圆的位置关系跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(五十四)直线与圆、圆与圆的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1. 圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能2. 圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切3. (2013·安徽高考)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为()A．1 B．2C．4 D. 4 64．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为() A．2 3 B．4C．2 5 D．55．(2013·福建模拟) 已知直线l：y＝－3(x－1)与圆O：x2＋y2＝1在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点A，则△MOA的面积等于________．6．以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0公共弦为直径的圆的方程为______________．7. 已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C 相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．8. 已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2013·枣庄月考)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．2．(2013·湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C ∵圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，∴圆心为(1，－2)，半径r ＝3. 又圆心在直线2tx －y －2－2t ＝0上， ∴圆与直线相交．2．选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径为r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．3．选C 依题意，圆的圆心为(1,2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.4．选B 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.5．解析：依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34.答案：346．解析：法一：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0.解得两交点坐标A (－1,2)，B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴所求圆的圆心是AB 的中点M (2，－2)，圆的半径为r ＝12|AB |＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y ＋2)2＝25.法二：易求得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ≠－1)，则圆心为－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ).∵圆心在公共弦所在直线上，∴4×－12λ－122(1＋λ)＋3－16λ－22(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.答案：x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝07．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为 C (m ，n )，则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.8．解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3. 由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y－5＝0.(2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切． 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质， 得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为 7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.2．解：假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB .设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0. 消去y 得，2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①得，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)>0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.3．解：(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，由题意，得|3k＋1|k2＋1＝1，解得k＝0或－34，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以x2＋(y－3)2＝2x2＋y2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤a2＋(2a－3)2≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤125.所以点C的横坐标a的取值范围为[0，125].。
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练53直线与圆圆与圆的位置关系文
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练53直线与圆圆与圆的位置关系文[基础巩固]一、选择题1．(2021·广东汕头质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－45[解析] ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1,0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4,4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB→|FA →||FB →|＝－810＝－45.故选D.[答案] D2．(2021·北京东城期末)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于3，则如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在[解析] 过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不符合题意．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.∵A ，B 两点的横坐标之和等于3，∴2k 2＋2k 2＝3.解得k ＝±2，∴符合题意的直线有且仅有两条．故选B. [答案] B3．(2021·湖南长沙调研)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝4x C ．y 2＝±8xD ．y 2＝8x[解析] ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4.∵直线l 与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线的方程为y 2＝±8x ，故选C.[答案] C4．(2021·河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A ，点B 分别作AM ，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M ，N 两点，那么∠MFN 必是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上皆有可能[解析] 由题意画出图象，如图．由抛物线的定义，可知|NB |＝|BF |.因此△BNF 是等腰三角形．因为BN ∥OF ，因此NF 平分∠OFB .同理MF 平分∠OFA ，因此∠NFM ＝90°.故选B.[答案] B5．(2021·黑龙江七台河期末)已知抛物线C ：y 2＝－8x 的焦点为F ，直线l ：x ＝1，点A 是l 上的一动点，直线AF 与抛物线C 的一个交点为B .若FA →＝－3FB →，则|AB |＝( )A ．20B ．16C ．10D ．5[解析] 由抛物线C ：y 2＝－8x ，得F (－2,0)．设A (1，a )，B (m ，n )，且n 2＝－8m .∵FA →＝－3FB →，∴1＋2＝－3(m ＋2)，解得m ＝－3，∴n ＝±2 6.∵a ＝－3n ，∴a ＝±66， ∴|AB |＝1＋32＋26＋662＝20.故选A.[答案] A6．(2021·湖北襄阳月考)已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 [解析]如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H . 依照抛物线的定义可知|NH |＝|NF |， 在△NHM 中，|NM |＝2|NH |，则 ∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°， 因此|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1. 因此|MF |＝ 2.故选C. [答案] C7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为__________．[解析] 曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.[答案] 2 二、填空题8．(2020·武汉模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，倾斜角等于45°的直线过F 交该抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝__________.[解析] 由抛物线焦点弦的性质，得|AB |＝2p sin 2α＝2×2sin 245°＝8. [答案] 89．(2021·黑龙江绥化期末)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，通过点P ( 1,0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF |＋2|BF |＝________.[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵P (1,0)， ∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)．∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF |＋2|BF |＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝15. [答案] 15 三、解答题10．(2021·河北沧州百校联盟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上一点P 的横坐标为2，|PF |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．[解] (1)由抛物线定义可知，|PF |＝2＋p2＝3，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由y 2＝4x ，得F (1,0)，∴过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33(x －1)．联立y 2＝4x ，消去x 得y 2－43y －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4. ∴S △OAB ＝S △OAF ＋S △OFB ＝12|y 1－y 2|＝12×48＋16＝4.[能力提升]11．(2021·辽宁沈阳二中期中)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点．若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a (a >0)，n ＝|MF |＋|NF |，则2a －n ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由题意得F (1,0)，准线方程为x ＝－1.线段MN 的中点坐标为(x 0，y 0)．由抛物线的定义，得n ＝|MF |＋|NF |＝x M ＋1＋x N ＋1＝x M ＋x N ＋2＝2x 0＋2.因为线段MN 的垂直平分线方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)，令y ＝0，得x ＝ky 0＋x 0，即a ＝ky 0＋x 0.由点差法可得ky 0＝2，因此x 0＝a －2，因此2a －n ＝2x 0＋4－(2x 0＋2)＝2.故选A.[答案] A12．(2021·北京昌平期末)已知△ABC 的三个顶点均在抛物线y 2＝x 上，边AC 的中线BM ∥x 轴，|BM |＝2，则△ABC 的面积为________．[解析] 依照题意设A (a 2，a )，B (b 2，b )，C (c 2，c )，不妨设a >c .∵M 为边AC 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22，a ＋c 2. 又∵BM ∥x 轴，∴b ＝a ＋c2.∴|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋c 22－a ＋c 24＝2，∴(a －c )2＝8，∴a －c ＝2 2.作AH ⊥BM 交BM 的延长线于H ，故S △ABC ＝2S △ABM ＝2×12|BM |·|AN |＝2|a －b |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a ＋c 2＝a －c ＝2 2.[答案] 2 213．(2021·福建厦门期中)设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．(1)若l 的斜率为1，求|AB |的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．[解] (1)∵直线l 的斜率为1且过点F (1,0)， ∴直线l 的方程为y ＝x －1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.Δ>0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ky －4＝0，Δ>0.设A ＝(x 1，y 1)，B ＝(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3.∴OA →·OB →＝－3是一个定值．14．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA ·OB ＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． [解] (1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p2＝4.因为OA →·OB →＝12，因此x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝1＋m216m 2－32，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝± 3.因此直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0.[延伸拓展]已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范畴． [解] (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2. ②又∵AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，③由①②③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k .∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 关于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4. ∴b ∈(2，＋∞)．。
2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系课时跟踪检测文新人教A版
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系A级·基础过关|固根基|1.(2020届长春市高三质量监测一)已知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝( )A．－3 B．1C．－3或1 D.5 2解析：选C 由圆的方程知，圆的圆心为(1，b)，半径为 2.由直线与圆相切，得|1＋b| 12＋12＝2，解得b＝－3或b＝1，故选C.2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：选A 由已知得，圆C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，则圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )A．{1，－1} B．{3，－3}C．{1，－1，3，－3} D．{5，－5，3，－3}解析：选C 因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0<r<3，条件q：圆C上至多有2个点到直线y－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则0<r<3，所以p是q的充要条件．5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝6，圆O2的圆心坐标为(2，1)．若两圆相交于A，B 两点，且|AB|＝4，则圆O2的方程为( )A．(x－2)2＋(y－1)2＝6B ．(x －2)2＋(y －1)2＝22C ．(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝36或(x －2)2＋(y －1)2＝32解析：选C 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)．因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，所以直线AB 的方程为4x ＋4y ＋r 2－10＝0.圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离d ＝|r 2－14|42，由题意得d 2＋22＝6，即（r 2－14）232＝2，所以r 2－14＝±8，所以r 2＝6或22.故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝6或(x －2)2＋(y －1)2＝22.6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1，0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.答案：2x －y －2＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆心C (－1，0)，C 到已知圆圆心(2，3)的距离d ＝32，由两圆相外切可得R ＋22＝d ＝32，即圆C 的半径R ＝2，故圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：由题意得∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45π. 答案：45π9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.所以C (1，－2)，半径|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. B 级·素养提升|练能力|11.过坐标轴上一点M (x 0，0)作圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1的两条切线，切点分别为A ，B .若|AB |≥2，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 根据题意，圆C ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，半径r ＝1，过点M 作圆的切线，切点为A ，B ，则MA ⊥AC ，MC ⊥AB ， 则S △MAC ＝12×|MA |×|AC |＝12×|MC |×|AB |2.又由|AC |＝1，变形可得|AB |＝2×|MA ||MC |，则有|MA ||MC |≥22.又由M (x 0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则|MC |2＝x 20＋14，|MA |2＝|MC |2－1＝x 20－34，即可得x 20－34x 20＋14≥12，解得x 0≤－72或x 0≥72， 即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 故选C.12．(2019届合肥模拟)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0，3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3 或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C (1，1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C (1，1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴（k ＋2）2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.13．(2019届洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝________．解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |， 不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD →＝5DB →可得|BD |＝3m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2， ①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2， ② 联立①②，解得r ＝10.答案：1014．(2019届湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可设圆心C (a ，0)⎝⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
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1 课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B 由两圆心距离d＝＋2＋12＝17， 又R＋r＝2＋3＝5，∴d＜R＋r，∴两圆相交． 2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．12 B．1
C．22 D．2 解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1－222＝22，所以弦长为2. 3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( ) A．x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0 解析：选C 设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－y＋2k＋3＝0，由x2＋y2＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离
为2，所以|－k－2＋2k＋3|k2＋1＝2，解得k＝1，所以直线l的方程为x－y＋5＝0.
4．若圆x2＋y2＋mx－14＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________. 解析：圆的标准方程为x＋m22＋y2＝m2＋122，圆心到直线y＝－1的距离m2＋12＝|0－(－1)|，解得m＝±3，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝3. 答案：3 5．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x－6y－3＝0上的一点，直线l：3x－4y－5＝0.若点P到直线l的距离为2，则符合题意的点P有________个． 解析：由题意知圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝42，
∴圆心到直线l的距离d＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，则满足题意的点P2
有2个． 答案：2
二保高考，全练题型做到高考达标 1．(2016·温州十校联考)对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三个选项均有可能 解析：选C 直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为3，而|AC|＝2＜3，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交． 2．(2016·大连期末)圆x2＋y2＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝( ) A．2－1或－2－1 B．1或－3 C．1或－2 D．2 解析：选B 由题意知，圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.较短弧所对圆周角是90°，
所以圆心(0，－1)到直线x＋y－k＝0的距离为22r＝2.即|1＋k|2＝2，解得k＝1或－3. 3．(2016·沈阳一模)直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a的值为( ) A．3 B．22 C．3或－5 D．－3或5
解析：选C 法一：联立 y＝x＋4，x－a2＋y－2＝8，消去y可得，2x2－(2a－2)x＋a2－7＝0，则由题意可得Δ＝[－(2a－2)]2－4×2×(a2－7)＝0，整理可得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或－5. 法二：因为(x－a)2＋(y－3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y＝x＋4与
圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以|a－3＋4|12＋－2＝22，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5. 4．(2016·乌鲁木齐三诊)在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )
A．π6 B．π4
C．π3 D．3π4 3
解析：选B 由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4. 5．(2015·重庆高考)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．42 C．6 D．210 解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36. ∴|AB|＝6. 6．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
解析：圆的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25，故圆心为(3,4)，半径r＝5.又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r2－d2＝2×25－5＝220＝45. 答案：45 7．(2015·沈阳质监)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________． 解析：依题意得知，当∠ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0 8．(2016·云南名校联考)已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为________． 解析：过O作OP垂直于直线x－2y＋5＝0，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时
|PA|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝5.又|OA|＝1，所以|PA|＝|OP|2－|OA|2＝2. 答案：2 9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； 4
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程． 解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2，解得a＝－34. (2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得 |CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2， 解得a＝－7或a＝－1. 故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
10．如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P. (1)求圆A的方程； (2)当|MN|＝219时，求直线l的方程． 解：(1)设圆A的半径为R. 由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴R＝|－1＋4＋7|5＝25. ∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)． 即kx－y＋2k＝0. 连接AQ，则AQ⊥MN. ∵|MN|＝219，∴|AQ|＝20－19＝1，
则由|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，
得k＝34，∴直线l：3x－4y＋6＝0. 故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. 5
三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．(2015·绥化三校联考)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋
b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．9 解析：选D 圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2
的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切
线，所以圆C1与圆C2相内切，所以－2a－2＋－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以1a2＋1b2＝1a2＋1b2(4a2＋b2)＝5＋b2a2＋4a2b2≥5＋2b2a2·4a2b2＝9，当且仅当b2a2＝4a2b2，且4a2＋b2
＝1，即a2＝16，b2＝13时等号成立．所以1a2＋1b2的最小值为9. 2．已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13. (1)求圆C的标准方程； (2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由． 解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a＞0)，
由题意知 |3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R， 解得a＝1或a＝138， 又S＝πR2＜13，∴a＝1，R＝2， ∴圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4. (2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意． 当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又l与圆C相交于不同的两点，
联立得 y＝kx＋3，x－2＋y2＝4， 消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0， ∴Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20＞0，