说题

说题
人教A版选修2-2（32页）B组第1题
利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

（1）sin,(0,)xxx

（2）20,(0,1)xxx
（3）1,0xexx
（4）ln,0xxxex
【命题意图】本题考查函数的图象与性质、导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性与
最值、不等式的应用，考查灵活应用导数方法分析、解决问题的能力，题目渗透数形结合、
化归与转化的思想，
【讲评价值】1.利用导数证明不等式是常考题型
2.不等式问题的处理方法：转化为函数的最大或最小值问题
【解题思路】



'
'

1()sin,(0,)()1cos(0,)()0,()sin0(0,)()(0)0sin,(0,)fxxxxfxxxfxfxxxxfxfxxxQ解：

在，单调递增
时，即

2
2(),(0,1)(0,1),(1-)0fxxxxxxxQ方法一：构造函数

方法二：




'''3()1,0()1()0,10,0()0,10,0()000()(0)0,1,0xx
xx

x

fxexxfxefxexfxexfxxfxfexxQ设

在-，上单调递减，在，+上单调递增
当时,即




'
''

4()ln,01()1()0,01;()0,1()0110()(1)10,ln,031,0ln,0xxfxxxxfxxfxxfxxfxxfxfxxxexxxxxex设

在，上单调递增，在，+上单调递减
当时,即
由（）可知

【试题变式】
12,2,xyxyxy变式：若求证：
【命题意图】培养函数的意识去处理不等式 （设元，消元，换元，选主元，分离元，集中元）
21,ln(1)xxx变式：若求证：
【命题意图】用切线造局部不等式，取对数

230,x
xex变式：若求证：

【命题意图】有时作商，取对数会简化解题步骤

40,1334xyxyxy变式：若，求证：
12115,...,0,132innxni
iixxxxn

变式：若，求证：

【命题意图】用割线造局部不等式数
【试题提升】
思考1：已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx.

（1）求证：()0fx；
（2）若sinxabx对(0,)2x恒成立，求a的最大值与b的最小值. 14. 【2014高考北京理】


32

1212

2

2()33,,1,0,1,21-10()-2fxxbxcxxxxxfx思考：设函数有两个极值点且

求证：

123ln12014xxeexx
思考：求证：（全国卷）

222223411113111112482211112,11112222.2017n
n
mnmmLL思考：（）求证：（）设为正整数，对于任意正整数
求的最小值（全国丙卷）
lnsinln,,,,sin,xxxex
yxxyyxeyyxxyxxx