选修2-2曲边梯形的面积
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2学案曲边梯形的面积
高 二 数学 学科学案编号： 10 时间： 主编： 审核： 班级 姓名课题：1.5.1曲边梯形的面积【学习目标】1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．【学习重点】求曲边梯形的面积；【学习难点】深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想【问题导学】认真阅读课本38-42页的有关内容深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想【自主学习】1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )所围成的图形称为 ．2、参考课本思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？【对应练习】典型例题例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是 线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．例2、求直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积．基础练习1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（ ）A ． 2()f x x =B ．()f x x =C ． ()f x x =D ．1()f x x=2．在区间[2,5]上等间隔地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（ ）A ．3nB ．5nC ．31n +D ．51n + 3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第个小区间是（ ） A ．1[,]i i n n - B ．1[(),()]i i b a b a n n --- C ．1[,]i i a a n n -++ D ．1[(),()]i i a b a a b a n n -+-+- 4．在求由,(),()(()0)x a x b a b y f x f x ==<=≥及0y =围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[,]a b 上等间隔地插入1n -个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的是（ ）A ．n 个小曲边形的面积和等于SB ．n 个小曲边形的面积和小于SC ．n 个小曲边形的面积和大于SD ．n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定5．函数2()f x x =在区间1[,]i i n n-上（ ） A ．()f x 的值变化很小 B ．()f x 的值变化很大C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小6．当n 很大时，函数2()f x x =在区间1[,]i i n n -上的值，可以近似代替的是（ ） A ．1()f n B ．2()f n C ．()i f n D ．(0)f7．在区间[1,11]上插入_____个等分点，则所分的小区间0.4x ∆=，此时，第4个小区间是___________．拓展提升8．用“四步曲”方法求由3y x =与直线2,0x y ==所围成的图形面积． （33322112(1)4n n n +++=+）9．用“四步曲”方法求由y =x 2与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形面积．。
人教A版高中数学选修2-2课件1.5.1曲边梯形的面积20120312
（1）分 割
b a (i 1) b ai
a
n
,a
n
i
1,
2,
,
n
得区间长度x
b-a n
（2）近似代替 （3）求和
Si
Sn
f
n
i 1
b
f
a(i 1)
n
b a (i
n
x,
i
1,
1)
x
2,
,
n
.
n
（4）取极限
S
lim n
i 1
f
i x
练习
1.当n很大时，函数在f 区(x) 间 x2
y f x 在某个区间I上的图象是一条连续
不断的曲线, 那么我们就把它称为区间I上 的连续函数. 如不加说明, 下面研究的都是连续函数.
y
f b
y fx
f a
oa
bx
图1.5 1
思考 图1.5 1中,阴影部分类似于一个梯形, 但有一
边是曲线 y f x 的一段, 我们把由直线 x a, x b
如图1.5 3,把区间0,1 分成
y
许多小区间, 进而把曲边梯形
y x2
拆分为一些小曲边梯形.对每
一个小曲边梯形 "以直代曲" 即用矩形的面积近似 代替小 曲边梯形的面积, 得到每个小
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
曲边梯形面积的近似值.可以想象,随着拆分越来越
细, 近似程度就会越来越好. 也即: 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.我
们通过下面步骤来具体实施这种方法.
1分割 在区间0,1 上间 y
4.5.1曲边梯形的面积_课件-湘教版数学选修2-2
(3)积零成整，精益求精． 从 0 到 b 所做的总功 W 近似地等于
n－1
ΔWi＝
i＝0
ni＝－01kxi·Δx＝ni＝－01k·inb·bn
＝knb22[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝knb22·nn2－1 ＝k2b21－1n. 当 n 趋于无穷大时，W 趋于12kb2. 于是得到弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为12kb2.
n
n
S＝ΔSi≈
i＝1
i＝1
n＋ni－13·1n＝145－27n＋43n2.①
当 n 趋向于无穷大时，即1n→0，S→145时，所以 S→145. 所以由直线 x＝1，x＝2 和 y＝0 及曲线 y＝x3 围成的曲边梯形 的面积为145.
点评 “分割、近似代替、求和、取极限”的过程是定积分中的一个难点， 要想突破它，就要单独研究一下这个过程，仔细体会各步的要旨，这对同 学们提高认知能力，培养自主学习的能力也是一种锻炼．
点评 本题为变力做功问题，与解决曲边梯形面积方式是一样的，都要对 某一函数实行相同结构的数学运算．
2．物体在力 F 的作用下从静止开始运动，力 F 的大小(N)与 位移 s(m)的关系是：F＝13s＋1，求物体运动 5 m 的过程中力 F 所做的功 W(J)．
解 (1)化整为零，插入等分点． 将区间[0,5]n 等分，得 Δs＝5n，si＝5ni. (2)以直代曲，估计误差． Fi＝13si＋1＝35ni＋1， 在[si，si＋1]的位移内，力 Fi 所做的功 Wi＝FiΔs＝5n35ni＋1＝32n52i＋5n.
(1)化整为零，插入等分点； (2)以直代曲，估计误差； (3)积零成整，精益求精．
自主探究
求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样 才能减小误差？ 提示 不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大．为了 减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代 曲”．
最新人教版高中数学选修2-2第一章《曲边梯形的面积与汽车行驶的路程》知识讲解
1.5 定积分的概念1.5.1～1.5.2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ． 迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积．(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ．把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．答案： 课前·预习导学 【预习导引】 1．连续不断预习交流1 提示：只有①和③是连续函数． 2．(2)小曲边梯形 小曲边梯形 矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 (3)①分割 ②近似代替 ③求和 ④取极限预习交流2 提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大．为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”．3．分割 近似代替 求和 取极限 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：严格按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行计算求解．解：(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n． 分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1nii S S ==∆∑．(2)近似代替记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝212i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．(3)求和小曲边梯形的面积和11'n nn iii i S S S ===∆≈∆∑∑2112ni i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡ 16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43． 即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43．迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积．ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n2(i －1)(i ＝1，2，…，n )．(3)求和：∑i ＝1n ΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1) ＝3n2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n2(i －1)＝lim n →∞32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于32．活动与探究2 思路分析：由v (t )及t ＝0，t ＝2，v ＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫4n 3·i 2 ＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2) ＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝43．故这段时间内汽车行驶的路程s 为43km ．迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ．取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n⎝⎛⎭⎫7－i 2n 2，i＝1，2，…，n ．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2＝7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝203． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203．当堂检测1．在求由抛物线y ＝x 2与直线x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( )A ．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2(1)2,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．22(1),i i nn +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案：C 解析：每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n-，右端点是2i n．2．下列关于函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦的端点处的函数值的说法正确的是( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案：D3．在求由x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边形的面积和等于S ②n 个小曲边形的面积和小于S ③n 个小曲边形的面积和大于S④n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：A 解析：只有说法①是正确的，其余均错．4．求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．答案：0.33 解析：由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．答案：解：令f (x )＝x 2． (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，12x n =，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )， 2231112228nnn n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑＝38n(12＋22＋…＋n 2) 38(1)(21)6n n n n ++=⋅ ＝2431(2)3n n++． (3)取极限lim n n S →∞＝lim n →∞24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为83．。
苏教版高中数学选修2-2 1.5.1 曲边梯形的面积 学案
1．5.1曲边梯形的面积学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多__________，对每个__________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③__________，④__________.知识点二求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用______、________、______、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．反思与感悟求曲边梯形的面积：(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近．(3)关键：以直代曲．(4)结果：分割越细，面积越精确．跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．类型二 求变速运动的路程例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”、“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为___________．2．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时，克服弹力所做的功为________． 3．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,1])与x 轴所围成的曲边梯形面积和式正确的是________(填序号)．①n →＋∞时，∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n ；②n →＋∞时，∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n ； ③n →＋∞时，∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1n ；④n →＋∞时，∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋(i n )2·n .4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤： (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)以直代曲：取点ξi ∈[x i －1，x i ]； (3)作和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an ；(4)逼近：n →＋∞时，∑i ＝1n f (ξi )·b －an →S .“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)． 2．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题．提醒：完成作业 1.5.1答案精析问题导学 知识点一思考1 ①直接利用梯形面积公式求解． ②转化为三角形和梯形求解．思考2 已知图形是由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段． 1．y ＝f (x )2．小曲边梯形 小曲边梯形 小矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 3．①分割 ②以直代曲 ③作和 ④逼近 知识点二分割 近似代替 作和 逼近 题型探究 例1 解 (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[i －1n ，i n ]，…，[n －1n ，n n ]，简写作[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n . (2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[i －1n ，in ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－(i －1n )·(i －1n －1)为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为邻边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－(i －1n )(i －1n －1)·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)作和曲边梯形的面积近似值为S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf (ξi )Δx＝∑i ＝1n[－(i －1n )(i －1n －1)]·1n＝－1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n 3·16n (n －1)(2n －1)＋1n 2·n (n －1)2＝－－n 2＋16n 2＝－16(1n 2－1)． (4)逼近当分割无限变细，即Δx →0时，n →＋∞，此时－16(1n 2－1)→S .从而有S ＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.跟踪训练1 解 ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2(x ≥0)，y ＝4， 得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积． (1)分割将区间[0,2] n 等分， 则Δx ＝2n ， 取ξi ＝2(i －1)n .(2)以直代曲、作和 S n ＝∑i ＝1n[2(i －1)n ]2·2n ＝8n 3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83(1－1n )(1－12n )． (3)逼近n →＋∞时，83(1－1n )(1－12n )→83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积为323.例2 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i＝1,2，…，n )， 则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)以直代曲取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是Δs i ≈Δs ′i ＝v (2i n )·Δt ＝[3(2i n )2＋2]·2n ＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)作和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝∑i ＝1n(24i 2n 3＋4n )＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4 ＝8(1＋1n )(1＋12n )＋4.(4)逼近当n →＋∞时，8(1＋1n )(1＋12n )＋4→12.所以这段时间内行驶的路程为12 km. 跟踪训练2 解 ①分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n －1)个分点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n ，把汽车在时间段[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2]上行驶的路程分别记为Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，则有s n ＝∑i ＝1nΔs i .②以直代曲取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝[－(2i n )2＋5]·2n ＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．③作和s n ＝∑i ＝1nΔs i ≈∑i ＝1n[－4i 2n 2·2n ＋10n ]＝－4×12n 2·2n －4×22n 2·2n －…－4×n 2n 2·2n ＋10＝－8n 3[12＋22＋…＋n 2]＋10＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10＝－8·13(1＋1n )(1＋12n )＋10.④逼近当n →＋∞时，s n →223.因此，行驶的路程为223 km.达标检测1.2n 2.0.36 J 3.② 4.1.02。
苏教版数学高二-苏教版数学选修2-2 曲边梯形的面积
§1.5 定积分 1．5.1 曲边梯形的面积课时目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想．1．曲边梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形．2．计算曲边梯形面积的方法：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形可“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值作和，就得到曲边梯形面积的近似值．3．求曲边梯形面积的流程：→ → → .一、填空题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) [f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边梯形过程中，下列说法正确的是________．(填序号)①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． 2．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间的长度Δx ＝________.3．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．4.∑n i ＝1 i n＝________. 5．以速度v ＝6t 沿直线运动的物体在t ＝1到t ＝6这段时间内所走的路程为________．6．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．7．由直线y ＝x ＋1与x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的四边形的面积为________．8．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 作变速直线运动时，在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________．二、解答题9．求抛物线f (x )＝1＋x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积S .10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝12x 2所围成的图形的面积．能力提升11．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3围成的图形的面积．12．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v (t )＝2t (单位：m/s)，求该物体在出发后从t ＝1 s 到t ＝5 s 这4 s 内所经过的位移．1．曲边梯形面积的四步曲：分割、以直代曲、作和、逼近．2．物理上常见的“变力做功”、“变速直线运动的位移”等可转化为求曲边梯形的面积问题．答 案知识梳理3．分割 以直代曲 作和 逼近 作业设计1．① 2.2n3.⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n解析 在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n －1n ，2，所以第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )．4.n ＋12 5．105 6．1.02 解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02. 7．4解析 所围成的四边形为直角梯形，x ＝0时，y ＝1，x ＝2时，y ＝3.∴S ＝12(1＋3)×2＝4.8．6.5 m解析 将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则 Δt ＝1n ，v (ξi )＝v (1＋i －1n )＝3(1＋i －1n )＋2＝3n(i －1)＋5. ∴S n ＝∑n i ＝1[3n (i －1)＋5]·1n＝{3n [0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5n }·1n ＝3n 2·n (n －1)2＋5＝32(1－1n)＋5. 当n →∞时，S n →32＋5＝6.5.9．解 (1)分割把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度Δx ＝1n ，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．ΔS i ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )． (3)作和∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2. (4)逼近当n →∞时，∑i ＝1ΔS i →1＋13＝43.∴S ＝43.10．解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1， 每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)以直代曲 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，以i －1n 的函数值12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2作为高，小区间的长度Δx ＝1n 作为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n .(3)作和曲边梯形的面积近似值为 S ＝∑ni=1ΔS i ≈∑ni=1 12⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n＝0·1n ＋12·⎝⎛⎭⎫1n 2·1n ＋12·⎝⎛⎭⎫2n 2·1n ＋…＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝12n3[12＋22＋…＋(n －1)2] ＝16⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . (4)逼近当n →∞时，16⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n →16. ∴S ＝16.11．解 (1)分割把求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2]，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n ，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)以直代曲取各小区间的左端点ξi ，用以点ξi 的纵坐标(ξi )3为一边，以小区间长Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：ΔS i ≈(ξi )3·Δx ＝(n ＋i －1n )3·1n(i ＝1,2,3，…，n )(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i=1nΔS i ≈∑ni=1 (n ＋i －1n )3·1n ①(4)逼近当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S . 因此，n →＋∞即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积． ∵∑ni=1 (n ＋i －1n )3·1n ＝1n 4∑ni=1(n ＋i －1)3 ＝1n4 ∑n i=1 [(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]， ∴当n 无限趋向于＋∞时，∑ni=1 (n ＋i －1n )31n 无限趋近于154.即S ＝154.12．解 (1)分割：把时间段[1,5]分成n 等份，分点依次是：1，1＋4n ，1＋8n ，…，1＋n －1n·4,5，每个小区间的长度Δx ＝4n .(2)以直代曲：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，经过的位移ΔS i ≈ΔS ′i ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋4i n ·4n＝⎝⎛⎭⎫2＋8i n ·4n ，其中i ＝1,2，…，n . (3)作和：所求的位移 S ≈S n ＝∑i=1nΔS ′i ＝4n ∑n i=1⎝⎛⎭⎫2＋8i n＝8＋32n 2·n (n ＋1)2＝8＋16·n ＋1n＝8＋16⎝⎛⎭⎫1＋1n . (4)逼近当n →∞时，S n →8＋16＝24，∴S ＝24. 即所求物体所经过的位移是24 m.。