5.2 恒定磁场的基本方程A
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第五章恒定磁场
的磁通为零。
与电流线一样，磁通密度线也是处处闭合的，这种特性称 为磁通连续性原理。
11
电磁场与电磁波
恒定磁场
由旋度定理获知 l B dl S ( B)dS
再考虑到 I SJ dS 及 l B dl 0 I ，求得
S ( B 0J ) dS 0
得
B 0J
此式表明，真空中某点磁通密度的旋度等于该点的 电流密度与真空磁导率的乘积。
4π l r r
B(r) 0
4π
S
J
S
(r)(r r r3
r
)
dS
B(r) 0
4π
Idl(r r) l r r 3
16
电磁场与电磁波
恒定磁场
对于某些分布特殊的恒定磁场，根据安培环路定 律计算磁通密度将十分简便。
l B dl 0 I
但是，必须找到一条封闭曲线，曲线上各点的磁 通密度大小相等，且磁通密度方向与该曲线的切 线方向一致，那么上式的矢量积分变为标量积分，
32
电磁场与电磁波
恒定磁场
亚铁磁性。一种金属氧化物的磁化现象比 铁磁介质稍弱一些，但剩磁小，且电导率很低， 这类介质称为亚铁磁介质。例如铁氧体等。
单位体积中磁矩的矢量和称为磁化强度，
以 M 表示，即
N
mi
M i1 V
式中 mi 为 V中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。
V为物理无限小体积。
33
电磁场与电磁波
15
电磁场与电磁波
恒定磁场
电流可以分布在体积中，表面上或细导线中。
面分布的电流称为表面电流，表面电流密度 JS
的单位为 A/m。 各种电流之间的关系为 JdV JSdS Idl 。
5.5 磁介质中磁场的基本方程
即 r 1 如铁、镍和钴等属于铁磁质。
01:52 5 在铁磁性材料中，有许多小天然磁化区，称为磁畴。
（4）亚铁磁质：由于部分反向磁矩的存在，其磁性比 铁磁材料的要小，铁氧体属于一种亚铁磁质。
四、剩余磁化
剩余磁化：铁磁性物质被磁化 后，撤去外磁场，部分磁畴的 取向仍保持一致，对外仍然呈 现磁性。
H dl H 2 I
l
f
H
If 2
e ( 0)
（2）求磁感应强度
I f B H e (0 a) 2
0 I f B 0 H e ( a) 2
01:52 7
（3）求磁化强度 M
M =(r 1) H
If M =(r 1) H ( 1) e (0 a) 0 2
B
0
M
磁场强度矢量
1
H J
利用斯托克斯公式，可得上式的积分形式 即
H dl H d S J d S I 安培环路定律的积分形式 H dl I
l S S l
实践中孤立的磁荷至今还没有被发现，磁场中磁通 连续性方程保持不变，
B 0
铁磁材料的磁性和温度也有很大 关系，超过某一温度值后，铁磁 材料会失去磁性，这个温度称为 居里点。 01:52
磁滞回线
6
例1：磁导率为 ,半径为a的无限长的磁介质圆柱，其中 心有一无限长的线电流If，整个圆柱外面是空气，求各处 的磁感应强度、磁化强度和磁化电流。 解：（1）可由安培环路定律求出磁场强度 H
由高斯散度定理，得
BdS 0
S
1)空间中磁力线是连续的； 2)恒定磁场是无源场，不存在磁力线的扩散源和汇集源； 3)磁场的散度与磁感应强度是不同的物理量，磁场的散度 01:52 2 描述磁力线的分布特点，而不是磁场本身。
5电磁场与电磁波-第五章-图片
显见R2 =z2 +{a2 +x2 -2axcos`} =(rcos)2+ a2+(rsin)2-2arsin cos ’ =r2+ a2-2arsin cos ’ 远场区r>>a
一般来讲a无限缩小，r>>a总可满足,令πa2=ds, Pm=IdS便成为微小磁偶极子：
这个式子对磁偶极子所在点外区域均成立。
-dl
立体角改变量为: 即: 书上错误
此为P点位移dl时的变量,那么P沿C移动一周时 立体角改为:
可得:
书上错误
环积分结果取决于ΔΩ,一般有两种情况:
(1)回路C不与源电流回路C`相套链: 此时,从某点开始又回到原始点, 则ΔΩ=0,上式可变为:
-dl
(2)回路C与源电流回路C`相套链:
即C穿过C`所围的面S`,取起点 为S`上侧的A点,终点为下侧的 B点,由于上侧的点所张的立体 角为(-2π),而下侧的为2π,故 ΔΩ=4π,
0 B x, y , z ) （ 4 0 B x, y , z ) （ 4
J ( x ', y ', z ') er dV ' 2 ' r V J S ( x ', y ', z ') er dS ' 2 ' r S
对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式:
E (r ) E (r ) 1 4 0 1 4 0
1
Idl R 1 ( R3 ) 4 c
Idl eR ( R 2 ) 5.1.4 c
所以在外场中受到的安培力为:
dFm Idl B Idl H
B ( r ) 0 H ( r )
真空恒定磁场基本方程
上式是安培环路定理的微分形式，它说明磁场的涡旋源是 电流。
真空中恒定磁场的基本方程
积分形式 微分形式
S
B dS 0
C
B dl 0 I
B 0 B 0 J
0 I1dl1 R ] dF21 I 2dl2 [ 3 4 R
I1dl1 产生的磁场对它的作用, 电流元 I 2 dl2 受的作用实际是电流元 即电流元 I1dl1 在电流元 I dl 处产生的磁场 dB1 为 2 2 0 I1dl1 R dB1 4 R3
§ 2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.3.1 安培力公式
1 安培力公式
磁感应强度
安培力的实验定律指出： 在真空中载有电流I 1的回
路C1上任一线元 I dl 对 1 1
另一载有电流I2的回路C2
上任一线元 I 2 dl2的作用
力为 0 I1dl1 R 0 I 2 dl2 ( I1dl1 R) dF21 I 2 dl2 [ ] 3 3 4 R 4 R
C
B dl ( B) dS
S
I ห้องสมุดไป่ตู้
S
S
J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
因上式的积分区域S是任意的， 因而有
B 0 J
上式就是熟知的毕——萨定律 对于整个线电流产生的磁感应 强度为
B
C
2、磁感应强度：
0 Idl R dB 叠加原理 3 C 4 R
真空中恒定磁场的基本方程
积分形式 微分形式
S
B dS 0
C
B dl 0 I
B 0 B 0 J
0 I1dl1 R ] dF21 I 2dl2 [ 3 4 R
I1dl1 产生的磁场对它的作用, 电流元 I 2 dl2 受的作用实际是电流元 即电流元 I1dl1 在电流元 I dl 处产生的磁场 dB1 为 2 2 0 I1dl1 R dB1 4 R3
§ 2.3 真空中恒定磁场的基本规律
2.3.1 安培力公式
1 安培力公式
磁感应强度
安培力的实验定律指出： 在真空中载有电流I 1的回
路C1上任一线元 I dl 对 1 1
另一载有电流I2的回路C2
上任一线元 I 2 dl2的作用
力为 0 I1dl1 R 0 I 2 dl2 ( I1dl1 R) dF21 I 2 dl2 [ ] 3 3 4 R 4 R
C
B dl ( B) dS
S
I ห้องสมุดไป่ตู้
S
S
J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
( B) dS 0 J dS
S
因上式的积分区域S是任意的， 因而有
B 0 J
上式就是熟知的毕——萨定律 对于整个线电流产生的磁感应 强度为
B
C
2、磁感应强度：
0 Idl R dB 叠加原理 3 C 4 R
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
图2.1电介质的极化
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜
恒定电场和恒定磁场
s
0112
E1n
可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
推论3.
若媒质1为理想介质, 媒质2为导体，即1＝0，则
J1=0，故J2n= 0 且 E2n= 0， 即导体中的电流和电场与分界面平行。
媒质1 1 0 媒质2 E 2
nˆ
E1
2
(2 0)
电磁场
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
例2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半
径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为1 和2 、 电导率为 1 和 2 。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（1）
两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自
由电荷面密度。
1 2
一、 恒定电场的基本方程
• 恒定电场：恒定分布电荷产生的电场。
•
恒定电场的基本场矢量是电流密度
J(r)
和电场强度E(r)
；
• 恒定电场的基本方程：
微分形式： J 0 E 0
积分形式：
J dS
S
0
C E d l 0
• 线性各向同性导电媒质的本构关系 JE
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
电导 G I 2πl
U lnb( /a)
绝缘电阻 RG 12π1llnba
电磁场
第4章 恒定电场和恒定磁场
解法2:
用公式, R dl , 式中dl为沿电流方向的长度元, 如图所
l S
示, S是垂直于电流方向的面积, 它可能是坐标变量的函数, 所以
b
R 1a
d 2 21 1na b
第五-恒定磁场【共42张PPT】
B0 J
此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空 磁导率的乘积。
另外，由高斯定理获知
SBdSVBdV
那么，根据磁通连续性原理求得
VBdV0
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
B0 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
可见，无源区中磁感应强度B 是无旋的。
无
考虑到
，求得
关。为了计算方便起见，令所求的场 对于大多数媒质，磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比，即
a 为物理无限小体积。
r - r' y 可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。
r' 当两者垂直时，受到的力矩最大。
e 点位于xz 平面，即 ' 在设小外电加流磁环场为四的根作长用度下为，l 的除电了流引元围起成电的子平进面方动框以，外电，流磁方' 向偶如极左子下的图示磁。矩方向朝着外加磁场方向转动。
例1 计算无限长的，电流为I 的线电流产生的磁感应强度。
z
dl
r′ r - r′
o
y
r e
x
I
解 取圆柱坐标系，如图示。令 z 轴沿电 流方向。 dl(rr)的方向为B 的方向。那 么，由图可见，这个叉积方向为圆柱坐标 中的 e 方向。因此，磁感应强度 B 的方 向为 e 方向，即
B Be
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以 z 轴 对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量 z 无关，所 以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为r 的磁场线上 磁感应强度的环量为
恒定磁场(Ⅰ)
把上式代入微元表达式得：
Hale Waihona Puke α 2 µ 0 Idzk × r µ 0 α 2 Idz sinα B = ∫ dB = ∫ j = 2 2 ∫ α1 4π α r 4π 1 r µ 0 α 2 I sinα µ 0 da j = (cosα1 − cosα 2 ) j = ∫ α 4π 1 R 4π
I R
图 8.10、安培环路定律
µ I B= 0 α 2π R µ0I µ0 I α ⋅ dl = ⋅ Rd θ B ⋅ dl = 2π R 2π R dθ = µ0I 2π µ0I ⇒ ∫ B ⋅ dl = d θ =µ 0 I 2π ∫
♠以长直导线为心的任意闭合曲线路径积分 1)、解释性证明
µ 0 I µ0 I µ0 I r α= k× k ×r = B= 2πr 2πr 2πr r µ0 I µ0 I ( xj − y i ) = k × ( x i + yj ) = 2 2 2πr 2πr
µ0 I µ0 I ( ) B x j y i • dl = • d ( xi + yj ) = − ∫ ∫ 2πr 2 ∫ 2π ( x 2 + y 2 ) ( xdy − ydx) dx = cosθdr − r sinθdθ x = r cosϑ ⇒ θ sin y r = dy = sinθdr + cosθ rdθ xdy = r cosθ (sinθdr + cosθ rdθ ) ⇒ xdy − ydx = r 2 dθ = ( x 2 + y 2 )dθ ydx = r sinθ (cosθdr − r sinθdθ ) 2π µ I µ0 I 0 ( ) ⇒ ∫ B • dl = ∫ xdy − ydx = dθ = µ0 I 2 2 ∫ 0 2π ( x + y ) 2π
Hale Waihona Puke α 2 µ 0 Idzk × r µ 0 α 2 Idz sinα B = ∫ dB = ∫ j = 2 2 ∫ α1 4π α r 4π 1 r µ 0 α 2 I sinα µ 0 da j = (cosα1 − cosα 2 ) j = ∫ α 4π 1 R 4π
I R
图 8.10、安培环路定律
µ I B= 0 α 2π R µ0I µ0 I α ⋅ dl = ⋅ Rd θ B ⋅ dl = 2π R 2π R dθ = µ0I 2π µ0I ⇒ ∫ B ⋅ dl = d θ =µ 0 I 2π ∫
♠以长直导线为心的任意闭合曲线路径积分 1)、解释性证明
µ 0 I µ0 I µ0 I r α= k× k ×r = B= 2πr 2πr 2πr r µ0 I µ0 I ( xj − y i ) = k × ( x i + yj ) = 2 2 2πr 2πr
µ0 I µ0 I ( ) B x j y i • dl = • d ( xi + yj ) = − ∫ ∫ 2πr 2 ∫ 2π ( x 2 + y 2 ) ( xdy − ydx) dx = cosθdr − r sinθdθ x = r cosϑ ⇒ θ sin y r = dy = sinθdr + cosθ rdθ xdy = r cosθ (sinθdr + cosθ rdθ ) ⇒ xdy − ydx = r 2 dθ = ( x 2 + y 2 )dθ ydx = r sinθ (cosθdr − r sinθdθ ) 2π µ I µ0 I 0 ( ) ⇒ ∫ B • dl = ∫ xdy − ydx = dθ = µ0 I 2 2 ∫ 0 2π ( x + y ) 2π