高等数学(A)下09级期中试卷
15第一章测试
2
的定义域是（
）
,1 1, D、 1,1 2 2
）
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江苏教育学院运河分院高等数学
A、 sin x
B、 sin x x
, 2 2C、来自1 x2D、 x 1
2
3、下列有关极限的说法正确的是（ ） A、数列极限存在必单调有界 B、数列极限存在必有界 C、数列极限不存在必无界 D、数列无界极限有可能存在 4、若点 x 0 是函数 f x 的间断点，则下列说法正确的是（ ）
15、 x 是函数 f x
x 的______________间断点． sin x
三、解答题（每题 6 分，合计 90 分）
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x 16、计算极限 lim 2 sin n x 0 ． n 2
n
n 2 17、计算极限 lim ． n n 1
1 n2 k
．
试卷讲评
22、计算极限 lim
n
k 1
23、计算极限 lim cos cos
n
x 2
x x x cos 3 cos n ． x 0 2 2 2 2
24、已知极限 lim
x 3
f x 2 x 1 1 ，求函数 f x ． 2 16 x 9
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总 课 题 分 课 题
第一章 知识目标：
函数、极限与连续 第一章测试
总课时 分课时
第 29、 课时 30
第 1、2 课时
1.通过本测试检测学生在复习第一章函数、 极限和连续部分内 容的掌握情况； 2.要求学生能够熟练计算极限、判断函数的连续性； 3.理解闭区间上连续函数的重要性质并能够进行简单的应用 技能目标： 1.会用两个重要的极限以及无穷大与无穷小的概念计算一些 教学目标 函数（数列）的极限，并能够理解相关知识点； 2.会求函数的间断点并能够予以分类； 4.会用闭区间上连续函数的性质证明一些函数的特性． 情感目标： 第一章函数、 极限和连续是整个高等数学也是分析学的基础部 分内容， 本次测试以基础知识为主， 同时考察学生对知识点的理解 和掌握情况， 极限部分内容是学生后续学习导数与微分、 积分以及 无穷级数的基础， 应该让学生在掌握函数的连续性的基础上深刻体 会由局部扩展到整体的极限思想． 1.函数极限的计算； 重点难点 2.函数的连续性及间断点的判断及其分类 教学方法 章节测试
2022-2023学年人教A版高三下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知数列对任意的，满足，且，那么等于( )A.B.C.D.2. 被除所得的余数为，则( )A.B.C.D.3. 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性，动植物死亡后，停止新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变．经科学测定，的半衰期为年（设的原始量为，经过年后，的含量且有）．现有一古物，测得其的含量为原始量的，则该古物距今约多少年？（ ）（参考数据：）A.B.C.D.4. 若，，则下列各结论中正确的是 （ ）{}a n p q ∈N ∗=+a p+q a p a q =−6a 2a 10−165−33−30−21220219t (t ∈,1≤t ≤10)N ∗t =4567C 14C 14C 14C 145730C 141x C 14f (x)=a x f(5730)=12C 1479.37%≈0.7937,12−−√3≈0.999812−−√5730191035819168171903<a <b f (x)=ln x x (a)<f (b)<f ()a +bA.B.C.D.5. 从，，，…，中选取四元数组，且满足，，，则这样的四元数组的个数是（ ）A.B.C.D.6. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A.B.C.D.7. 已知等差数列的前项和为，若，．则数列的公差为（ ）A.B.C.D.8. 某班班会准备从含甲、乙的名学生中选取人发言，要求甲、乙人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有( )f (a)<f (b)<f ()a +b 2f (a)<f ()<f (b)a +b 2f (b)<f ()<f (a)a +b 2f (b)<f (a)<f ()a +b 212320(,,,)a 1a 2a 3a 4−≥3a 2a 1−≥4a 3a 2−≥5a 4a 3(,,,)a 1a 2a 3a 4y =−3ln x x 24−1232112{}a n n S n =5a 3=14S 7{}a n 3−1−32−3642A.种B.种C.种D.种9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是( )A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为的等差数列10. 设，若为函数的极大值点，则( )A.B.C.D.11. 如下分组的正整数对：第组为，第组为，第组为，第组为，…，则第组第个数对为( )A.B.C.D.12. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.168240264336q {}a n S n {}a n n +=18a 1a 4+=12a 2a 3q =2{+2}S n =510S 8{lg }a n 2a ≠0x =a f (x)=a (x −b)(x −a)2a <ba >bab <a 2ab >a 21{(1,2),(2,1)}2{(1,3),(3,1)}3{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}4{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)}20191010(1011,1010)(1010,1011)(2019,2019)(2019,2020)(x)−af(x)+2<0f 2x ∈[0,4]a a >3D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设 是等差数列 的前项和，若，则 ________.14. 展开式中的各项系数之和为________.（用数字作答）15. 已知数列的各项都是正数，，若数列各项单调递增，则首项的取值范围________；当时，记，若，则整数________．16. 函数的图象在点处的切线方程为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 男女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？任何两名女生都不相邻，有多少种排法？男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？18. 已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为，展开式中含项的系数为 .求， 的值；求的展开式中有理项的系数和． 19. 已知数列满足，.求数列的通项公式；记，求数列的前项和.20. 已知函数在处的切线为.求实数，的值；求函数在上的最值． 21. 已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．S n {}a n n =S 5S 1013=S 5+S 20S 10(3x −y)6{}a n −=(n ∈)a 2n+1a n+1a n N ∗{}a n a 1=a 123=b n (−1)n−1−1a n k <++...+<k +1b 1b 2b 2019k =f(x)=ln(x +1)+x 2e x (0,f (0))43(1)(2)(3)(4)(1+m )x −√n m 128x 84(1)m n (2)(1−x)(1+m )x −√n {}a n =1a 1−=a n+1a n 2n (1){}a n (2)=b n +1a n a n a n+1{}b n n T n f (x)=a ln x −bx 2x =12y +1=0(1)a b (2)f (x)[,e]1e {}a n ++=28a 2a 3a 4+2a 3a 2a 4(1){}求数列的通项公式；设，求数列的前项和．22. 已知函数.当时，求的最大值；若 在区间上存在零点，求实数的取值范围．(1){}a n (2)=⋅b n a n log 2a n {}b n n S n f (x)=ln x −x −1a(1)a =1f (x)(2)f (x)(2,e)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】数列递推式【解析】由可得，，进而可求【解答】解：∵，∴，，.故选.2.【答案】B【考点】二项式定理的应用【解析】，利用二项展开式的通项进行求解即可.【解答】解：，∵能被整除，除以的余数为，∴被除所得的余数为，∴.=+a p+q a p a q =2a 4a 2=2a 8a 4=+a 10a 2a 8=+a p+q a p a q =2=−12a 4a 2=2=−24a 8a 4=+=−30a 10a 2a 8C =4×=4×2202123×673(9−1)673=4×=4×2202123×673(9−1)673=4(−++⋯+−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 673673=4(−++⋯−)+4(−)C 06739673C 16739672C 26739671C 67267391C 67267391C 6736734(−++⋯−)C 06739673C 16739672C 26739671C 6726739194(−)=4(673×9−1)=24224C 67267391C 673673952202195t =5故选.3.【答案】A【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用【解析】根据指数函数，.【解答】解： ，，，，.故选.4.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴．令，解得.当时，，为减函数；当时，为增函数．∵，B =0.7937()a 573013x =×5730=191013=a 573012=0.7937()a 573013=0.7937a x x =×573013x =1910A f (x)=ln x x (x)=f ′1−ln xx 2(x)=0f ′x =e x >e (x)<0f ′f (x)0<x <e ,(x)>0f ′f (x)e <3<a <b >>a >e a +b∴，∴．故选．5.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，【解答】将连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑，连同其右边的个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组的个数相当于从个元素中选取个，故这样的四元数组的个数是．6.【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，设出斜率为的切线的切点为，由函数在＝时的导数等于求出的值，舍掉定义域外的得答案．【解答】解：由，得，设斜率为的切线的切点为，则．由，b >>a >e a +b 2f (b)<f ()<f (a)a +b 2C a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114a 12a 23a 34(,,,)a 1a 2a 3a 4114(,,,)a 1a 2a 3a 4−12(,)x 0y 0x x 02x 0x 0y =−3ln x x 24=x −y ′123x −12(,)x 0y 0=−y ′|x=x 012x 03x 0−=−12x 03x 012解得：或．∵函数的定义域为，∴．故选.7.【答案】D【考点】等差数列的前n 项和【解析】设等差数列的公差为，由，．可得，，联立解得．【解答】解：设等差数列的公差为，∵，．∴，可得．由 可得.故选.8.【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】解：若甲乙其中一人参加，有种情况；若甲乙两人都参加，有种情况，所以不同的发言顺序有种.故选．x 0=−3x 0=2(0,+∞)x 0=2B {}a n d =3a 3=14S 4+2d =3a 14+d =14a 14×32d {}a n d =5a 3=14S 7=S 77(+)a 1a 72=7(+)a 3a 52==147(5+)a 52=−1a 5=+2d a 5a 3d =−3D =192C 12C 34A 44=72C 24A 22A 33192+72=264C9.【答案】D【考点】等比关系的确定等比数列的通项公式等差关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以(舍),所以,,.又，所以是等比数列.，所以数列是公差为的等差数列.故选.10.【答案】D【考点】函数在某点取得极值的条件函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】(1+)=18,(q +)=12a 1q 3a 1q 2==1+q 3q +q 2181232q =2,q =12=2,=a 1a n 2n==−2S n 2(1−)2n 1−22n+1==510S 82(1−)281−2=2+2S n+1+2S n {+2}S n lg −lg =lg =lg2a n+1a n a n+1a n {lg }a n lg2D f (x)解：当，大致图像如图所示，易得，当，大致图像如图所示，易得．综上所述，得，故选．11.【答案】B【考点】归纳推理【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为，第二组各个数和为，第三组各个数和为，第四组各个数和为，…，第组各个数和为，且各个数对无重复数字，可得第组各个数和为，则第组第个数对为．故选.12.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】a >0f (x)b >a >0a <0f (x)0>a >b ab >a 2D 3456n n +22019202120191010(1010,1011)B通过的范围，求解函数的值域，令＝，则，问题转化为不等式在上恒成立，推出的不等式，然后求解函数的最值，推出结果即可．【解答】由题可知当时，有＝，当时，，即所以当时，，令＝，则，从而问题转化为不等式在上恒成立，即在上恒成立，而在上得最大值为，所以．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是等差数列的前项和，∴根据等差数列的性质，得，，，也成等差数列.∵， 设，则，∴，，∴.故答案为： .14.x t f(x)−at +2<0t 2a x ∈[0,1]f(x)x +1∈[1,2]x ∈(1,4]x ∈[0,4]t f(x)−at +2<0t 2113S n {}a n n S 5−S 10S 5−S 15S 10−S 20S 15=S 5S 1013=x S 5=3x S 10=6x S 15=10x S 20==S 5+S 20S 10x 3x +10x 113113【答案】【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】,【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】本题根据正数数列是单调递增数列，可列出，通过求出的取值范围，得到的取值范围，逆推出的取值范围；第二空主要是采用裂项相消法求出的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果．【解答】解：由题意，正数数列是单调递增数列，且，∴，解得，∴．∴．∵，∴．又由，可得：．∴．∵，∴(0,2)−4{}a <em>n</em>−=−2<0a n a n+1a n+12a n+1a <em>n</em>+1a 2a 1++...+b 1b 2b 2019{}a n −=a 2n+1a n+1a n −=−2<0a n a n+1a 2n+1a n+1∈(0,2)a n+1∈(0,2)a 2=−∈[−,2)a 1a 22a 214>0a 10<<2a 1−=a 2n+1a n+1a n ==−1a n 1−a 2n+1a n+11−1a n+11a n+1=+1−1a n+11a n 1a n+1=b n (−1)n−1−1a n ++⋯+=−+−⋯+b 1b 2b 20191−1a 11−1a 21−1a 31−1a 2019=−(+)+(+)−...−(+)+(+)1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019−−++−⋯−−++111111111．∵，且数列是递增数列，∴，即，∴．∴整数．故答案为：；.16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到，再求出，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由得，∴，又，∴函数图象在点（）处的切线方程是.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：任何两名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有种不同排法．甲在首位的共有种，乙在末位的共有种，甲在首位且乙在末位的有种，因此共有种排法．人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有种．男甲在男乙的左边的人排列与男甲在男乙的右边的人排列数相等，而人排列数恰好是这二者=−−++−⋯−−++1−1a 11a 11a 21a 21a 31a 20171a 20181a 20181a 2019=−+1−1a 11a 11a 2019=−+921a 2019=a 123{}a n ∈(,2)a 201923∈(,)1a 20191232−4<−+<−3921a 2019k =−4(0,2)−4y =xf'(0)=1f(0)f(x)=ln(x +1)+x 2e x(x)=+2x +f ′1x +1e x x 2e x (0)=1f ′f(0)=0f(x)=ln(x +1)+x 2e x 0,f(0)y =x y =x (1)=140A 44A 35(2)A 66A 66A 55−2+=3720A 77A 66A 55(3)7A 77A 33=840A 77A 33(4)77725201之和，因此满足条件的有种排法．【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：任何两名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有种不同排法．甲在首位的共有种，乙在末位的共有种，甲在首位且乙在末位的有种，因此共有种排法．人的所有排列方法有种，其中甲、乙、丙的排序有种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有种．男甲在男乙的左边的人排列与男甲在男乙的右边的人排列数相等，而人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有种排法．18.【答案】解：由题意可知， ，解得，所以的展开式的通项为，令，得含项的系数为，由题意得，又，所以．综上，，．的展开项通项公式为，则的展开式中有理项分别是，，，，∴的展开式有理项的系数和为.【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】（1）先根据二项式系数性质得，解得，再根据二项式展开式的通项公式得含项的系数=252012A 77(1)=140A 44A 35(2)A 66A 66A 55−2+=3720A 77A 66A 55(3)7A 77A 33=840A 77A 33(4)777=252012A 77(1)=1282n n =7(1+m x −√)n =(m =T r+1C r 7x −√)r m r C r 7x r 2r =2x m 2C 27=84m 2C 27m >0m =2m =2n =7(2)(1+m )x −√7=(m =T r+1C r 7x −√)r m r C r 7x r 2(1+m )x −√7=1T 1=84T 3=560T 5x 2=448T 7x 3(1−x)(1+m )x −√n 1+84+560+448−1−84−560−448=0=1252n n x 22为，解得 .（2）先根据二项式展开式的通项公式得展开式中有理项．再求的展开式右理项的系数和 .【解答】解：由题意可知，，解得，所以的展开式的通项为，令，得含项的系数为，由题意得，又，所以．综上，，．的展开项通项公式为，则的展开式中有理项分别是，，，，∴的展开式有理项的系数和为. 19.【答案】解：∵，∴，，，.以上个式子相加得，，∴，当时，符合上式，∴.，∴.【考点】数列的求和数列递推式【解析】C 2m 2m (1−x)(1+m )x −√2(1)=1282n n =7(1+mx −√)n =(m =T r+1C r7x −√)r m r C r 7xr 2r =2x m 2C 27=84m 2C 27m >0m =2m =2n=7(2)(1+m )x −√7=(m =T r+1C r 7x −√)r m r C r 7x r 2(1+m)x −√7=1T1=84T 3=560T 5x 2=448T 7x 3(1−x)(1+m )x −√n 1+84+560+448−1−84−560−448=0(1)−=a n+1a n 2n −=(n ≥2)a n a n−12n−1−=an−1a n−22n−2⋯−=a 3a 222−=2a2a 1n −1−=2++⋯+a n a 1222n−1=−22n =−1a n 2n n =1=1a 1=−1a n 2n(2)==b n +1a n ⋅a n a n+12n(−1)(−1)2n 2n+1=−1−12n 1−12n+1=(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)T n 131317171151−12n 1−12n+1=1−1−12n+1=−22n+1−12n+1此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，，.以上个式子相加得，，∴，当时，符合上式，∴.，∴.20.【答案】解：，则 即 解得 由可知：，则，在区间 上，令，解得；令 ，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，(1)−=a n+1a n 2n −=(n ≥2)a n a n−12n−1−=a n−1a n−22n−2⋯−=a 3a 222−=2a 2a 1n −1−=2++⋯+a n a 1222n−1=−22n =−1a n 2n n =1=1a 1=−1a n 2n (2)==b n +1a n ⋅a n a n+12n (−1)(−1)2n 2n+1=−1−12n 1−12n+1=(1−)+(−)+(−)+⋯+(−)T n 131317171151−12n 1−12n+1=1−1−12n+1=−22n+1−12n+1(1)(x)=−2bx f ′a x (1)=0,f ′f (1)=−,12 a −2b =0,−b =−,12 a =1.b =.12(2)(1)f (x)=ln x −12x 2(x)=−x =f ′1x 1−x 2x [,e]1e (x)>0f ′x ∈[,1)1e(x)<0f ′x ∈(1,e]f (x)[,1]1e [1,e]f (x)[,e]1e f (1)=−12(e)=1−2又，，因为，所以函数在区间上的最小值为.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的最值【解析】求出函数的导数，利用切线的斜率以及函数值，列出方程组，然后求解即可；求出导函数，求出极值点以及端点值，然后求解函数的最值．【解答】解：，则 即 解得 由可知：，则，在区间 上，令，解得；令 ，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，又，，因为，所以函数在区间上的最小值为.21.【答案】解：∵是，的等差中项，∴，f()1e =−1−12e 2f(e)=1−e 22f(e)<f()1e f (x)[,e]1e f(e)=1−e 22(Ⅰ)(Ⅱ)(1)(x)=−2bx f ′a x(1)=0,f ′f (1)=−,12 a −2b =0,−b =−,12 a =1.b =.12(2)(1)f (x)=ln x −12x 2(x)=−x =f ′1x 1−x 2x [,e]1e (x)>0f ′x ∈[,1)1e(x)<0f ′x ∈(1,e]f (x)[,1]1e [1,e]f (x)[,e]1e f (1)=−12f()1e =−1−12e 2f(e)=1−e 22f(e)<f()1e f (x)[,e]1e f(e)=1−e 22(1)+2a 3a 2a 42(+2)=+a 3a 2a 4q +−2=432即 ，又，即，∴(舍去)或，∴，∴．由知，∴，∴，，∴两式相减得，，即．【考点】等比数列的通项公式等差中项数列的求和等比数列的前n 项和【解析】根据条件，建立方程组即可求出数列的通项公式；利用错位相减法求出数列的前项和【解答】解：∵是，的等差中项，∴，即 ，又，即，∴(舍去)或，∴，∴．由知，∴，∴，，∴两式相减得，，即．22.【答案】解：当时，，定义域为 ，q +−2=4a 1a 1q 3a 1q 2++=28a 2a 3a 4q ++=28a 1a 1q 2a 1q 3q =12q =2=2a 1=a n 2n (2)(1)=a n 2n =⋅=n ⋅bn a n log 2a n 2n =1×2+2×+⋅⋅⋅+n ×S n 222n 2=+2×+⋅⋅⋅+(n −1)×+n ×S n 22232n 2n+1−=2+++⋅⋅⋅+−n ×Sn 22232n 2n+1=(1−n)⋅−22n+1=2+(n −1)⋅S n 2n+1(1){}a n (2)n S n(1)+2a 3a 2a 42(+2)=+a 3a 2a 4q +−2=4a 1a 1q 3a 1q 2++=28a2a 3a 4q ++=28a 1a 1q 2a 1q 3q =12q =2=2a 1=a n 2n (2)(1)=a n 2n =⋅=n ⋅b n a n log 2an 2n =1×2+2×+⋅⋅⋅+n ×S n 222n 2=+2×+⋅⋅⋅+(n −1)×+n ×S n 22232n 2n+1−=2+++⋅⋅⋅+−n ×S n 22232n 2n+1=(1−n)⋅−22n+1=2+(n −1)⋅S n 2n+1(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)x)=−11则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，所以方程可转化为.设，则.设，则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，定义域为 ，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以.由题意知，方程在上有实根．因为 ，(x)=−1f ′1x (x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a (2,e)ln x ≠0a =x −1ln x g(x)=x −1ln x (x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11x (x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2(1)a =1f (x)=ln x −x +1(0,+∞)(x)=−1f ′1x (x)=0f ′x =1x ∈(0,1)(x)>0f ′f (x)x ∈(1,+∞)(x)<0f ′f (x)f =f (1)=0(x)max (2)f (x)=ln x −=0x −1a (2,e)ln x ≠0=x −1所以方程可转化为.设，则.设，则.当时，，所以在 上单调递增，所以，于是，所以在上单调递增，所以，即.综上所述，实数的取值范围是.a =x −1ln x g(x)=x −1ln x (x)==g ′ln x −(x −1)1x (ln x)2ln x +−11x (ln x)2h (x)=ln x +−11x (x)=−h ′1x 1x 22<x <e (x)>0h ′h (x)(2,e)h (x)>h (2)=ln 2−>012(x)>0g ′g(x)(2,e)g(2)<g(x)<g(e)<g(x)<e −11ln 2a (,e −1)1ln 2。
东南大学考试卷(A)2009-2010学年高等数学期末试卷(后附答案)
东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。
（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。
(完整版)高等数学(A)06-07下期中试卷参考答案及评分标准
高等数学(A) 06-07-3期中试卷参考答案及评分标准•填空题(本题共5小题，每小题4分，满分20分)1 .曲线xyz 1在点(1,1,1)处的切线方程为y 1 M ;x y 2 32.方程xyz x2y2、2所确定的函数z z(x, y)在点(1,0, 1)处的全微分为dz dx 2dy ；交换二次积分的积分次序0i d y21 yf (x, y)dx2 01 dx 1 x f(X,y)dy ;4. 设曲线C : x cost, y sin t, z 、3,0 t ，则c '■■■ x2 y2 z2ds5. 设曲面：x1，则b(x y)ds 加.二.单项选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分)6•设f(z) 2xy i x2那么D] (A) f (z)在原点解析(B)f(Z)在复平面上处处不可导(C) f (z)仅在原点可导(D) f (z)仅在实轴上可导cos7.二次积分df( cos ,sin )d可以写成1 (A) o dy1 (C) °dxy y21f(x, y)dyf(x, y)dx1 / y2(B) 0dy 0 f(x, y)dx1 4 X X2(D)0dx 0 f(x, y)dy&设由3x2y2乙z 1 x2所围成,f(x,y,z)dv C]1 (A) 4 2dx0 』1 4x2 1 x2dy3x2 y2f (x, y,z)dz (B)12 "dxi! 4x2R dy1 x23x2 y2f (x, y,z)dz1 (C) 21 dx2 -h4x2 1 x21 4x2 dy 3x2 y2 f (x, y, z)dz (D) 1 4x2—3x21 x2y2f(x, y, z)dz2x y9.函数f (x,y) x4 y2x2 x2(A )连续且偏导数存在y2y2在(0, 0)点处(B)连续但偏导数不存在24(C )不连续但偏导数存在 (D )不连续且偏导数不存在三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10.设 f (x,y),g(x,y)有连续的二阶偏导数，令(x) f(x,g(x,x 2))，求dx11.求函数u z 2、. x 2 2y 2在点M 0 1,1,1处沿曲面2方向上的方向导数•.6 ,6 - 1 2 26 3 33 3 3f (i).解dx 1f2 © 2xg 2)(3 分)d 2 dx 21122f 12 (g 1 2xg 2) f 22 © 2xg 2) f 2 (g1124xg 12 4x g 22 2g ?) (5 分)u(M 。
09福州大学至诚学院理工类高等数学期末试卷A
福州大学至诚学院理工09级 (上)期末试题A一、单项选择(共18分,每小题3分)1.函数()ln(ln f x x a =+-是( ).(A)偶函数 (B)非奇非偶函数 (C)奇函数 (D) 奇偶性取决于a2. 当0x →时，无穷小sin x x -与x 比较是( )无穷小.(A)同阶 (B)等价 (C)高阶 (D) 低阶3.设2()()lim 2()x a f x f a x a →-=--,则x a =是()f x 的( ). (A)不可导点 (B)可导点但()0f a '≠ (C)极大值点 (D)极小值点 4.设cos 1()1x x f x ax bx ≤⎧=⎨+>⎩且(1)f '存在，则必有( ). (A) 1,1a b ==- (B) sin1a b ==(C) sin1,cos1sin1a b =-=+ (D) 1,0a b ==5.设()f x 连续, ,则1lim ()x ax a f t dt x a →=-⎰ ( ). (A) 0 (B) a (C) ()af a (D) ()f a6. 设()f x 连续且220()()x F x tf x t dt =-⎰.则()F x '= ( ).（A ）()xf x (B) ()2xf x (C) ()xf x - (D) ()2xf x - 二、填空(共21分,每小题3分) 1.2lim sin 1n n n n →∞=+ . 2.要使函数1()(1)x f x x =-在0=x 处连续,则应补充定义(0)f = . 3. 2222sin (1)cos 1x xdx xππ-+=+⎰ . 4. 函数x x x f cos 2)(+=在]2,0[π上的最大值为 . 5.x 是()f x 的一个原函数，则(3)f x dx =⎰ .6. 反常积分20148dx x x +∞=++⎰ .7. 微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解为 .三、计算题(每小题7分,共14分)1.求极限20sin lim arcsin x x x x x→-.2. 设cos sin t t x e t y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩ , 求dy dx 和22d y dx .四、计算题(每小题7分,共14分)1. 已知方程tan()y y x =-确定了()y y x =，求dy .2.计算不定积分⎰.五、计算题(每小题7分,共14分)1.计算定积分0π⎰2. 求心形线(1cos )(0)r a a ϕ=+>的全长.六、应用题(每小题7分,共14分)1.设一曲线过原点且其上任意一点 (,)x y 处的切线斜率等于2x y -，求该曲线方程.2. 设抛物线232y ax bx c =++过原点且当01x ≤≤时0y ≥，该抛物线与x 轴及 直线1x =所围成的图形的面积为1，试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成 的旋转体的体积最小.七、证明题(共5分)设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导且()0f a =，证明：存在一点(0,)a ξ∈使()()0f f ξξξ'+=.。
高数试题及答案 五套
高学试题及答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()02lim1cos t t xx e e dtx-→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞=9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________. 13.设2ln 2,6aa π==⎰则___________.14.设2cos xz y=则dz= _______.15.设{}2(,)01,01y DD x y x y xe dxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________. 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x +→18.求不定积分.19.计算定积分I=.⎰20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
高数(A,B)(上)期中试卷答案(03～09)
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D 二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.,第一类（跳跃）间断点 0=x3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!−+−+−+−+−+−<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()−−x xy e xy dx x xy e5. 6.(1)−−n !222sin 2(cos )2sec ′−+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1. 2.e lim (sin0→+∞=x3. 212(24(1)′=−y e π+ππ 4.设222sin , 1=−=dy d yt dx dx −. 四、（8分）求证，时当 0 >x x x x sin 63<−. (用函数的单调性来证明)五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。
六、（8分）2>−a 时，有两个相异的实根；2=−a 时，有一个实根；2<−a 时，没有实根。
七、（6分）设，对在区间上用罗尔定理即可得证。
3()()=F x x f x ()F x [0,1]八、（8分）所求点为,22P a b )。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 2. 3=n 2=−a 3. ()10(0)90=f4.1(1,2−− 5. ()()()()()211,0211−−+<<+−x x x θθ1二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 011lim cot sin 6→⎛⎞⋅−=⎜⎟⎝⎠x x x x 12. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎞−+=⎢⎥⎜⎟++⎝⎠⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e3. ()21e d 2cos e +++=−x yx yx dy x y y x 4. 22223d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==−++22y y t x t t x t t . 5. 1,1,2===a b c 1（注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。
高等数学A3复习题
09级《线性代数》（A ）阶段练习题（一）答案一、填空题1.行列式1234234134124123=160. 解：123410234123412342341103411341011310103412104121412022241231012311230111-===-----123401131016000440004-==--[2.]排列12345a a a a a 的逆序数等于3，排列54321a a a a a 的逆序数等于7. 解：排列12345a a a a a 排列54321a a a a a 的逆序数之和等于10.因此排列12345a a a a a 的逆序数等于3，则排列54321a a a a a 的逆序数等于7.[3.]已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,2,0,1-，它们的余子式依次为5,3,7,4-，则D =-15.4.矩阵132113411,212343341A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则35828359125A B ⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭.5.A 为7阶方阵，且满足T A A=-,则A =0.解: 7(1)0T A A A A AA ==-=-=-⇒=.6.272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭. 解:事实上2212110,323201E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭故272132-⎛⎫= ⎪-⎝⎭2132-⎛⎫⎪-⎝⎭.7.设n 阶方阵A 的行列式2A =，则1*A AA E -=. 解：事实上1***111()A AA AA A A AA E A A--====. 8.设矩阵100110111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则()12A E -+=100110011⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解:100100100100(2,)110010010110,111001001011A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 因此1100(2)110011A E -⎛⎫⎪+=- ⎪ ⎪-⎝⎭.9.设分块矩阵A B D O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中A ,C 可逆,则1D -=1111A A BC O C ----⎛⎫- ⎪⎝⎭. 10.设5421,3234BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且BAC E =，则1A -=131034⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 二、选择题1.如果11121311121321222313132333132332122232220,222222a a a a a a D a a a M D a a a a a a a a a ==≠=,则1()D D =. ()2;()2;()8;()8A M B M C M D M --.2.如果11121311111213212223121212223313233313132334231,423423a a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a a a -===--，则1()D B =. ()8;()12;()24;()24A B C D --.3.下列行列式中(B )的值必为零.1();A n D n 阶行列式中零元素的个数多于 2();B n D 阶行列式中有两列对应元素成比例121112122123412200000();()00n nn n n n nna a a a a a a C D D D a a a a ==.[4.]如果线性方程组304050x ky z y z kx y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=⎩有非零解，则()k C =. ()1;()0;()3;()2A B C D -.5.1111234549162582764125D =是一个范德蒙行列式，D 的第四行元素的代数余子式之和41424344()A A A A C +++=.()12;()12;()0;()5!A B C D -.解:41424344A A A A +++=1111234504916251111=.6.,A B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有()D .();();();()A B E B A E C A B D AB BA ====.7.A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*()A A =.12();();();()n n n A AB AC AD A --.8.,A B 均为n 阶方阵，且0AB =，则必有()B .()00;()00;()||0;()0A A B B A B C A B D A B ====+=+=或或. 9.,A B 均为n 阶可逆矩阵，下列诸式()B 是正确的.()();()();T T T T T T A AB A B B A B A B =+=+ 111111()();()()C AB A B D A B A B ------=+=+.[10.]A 、B 、C 、E 均为同阶矩阵，E 为单位矩阵，若ABC E =，则下列诸式中()B 是正确的.();();();()A ACB E B BCA E C CBA E D BAC E ====.三、计算题 1.计算行列式x a a a a x a a D a a x a a a a x= .解:(1)(1)(1)(1)x a a ax n a a a aa x a a x n a x a a D a a x a x n a a x a a a a x x n a a a x+-+-==+-+-1110001100[(1)][(1)]1100110[(1)]()n a a a x a a x ax n a x n a a x a x a a a xx ax n a x a --=+-=+---=+--2.计算行列式123123123123n n n nb a a a a a b a a a D a a b a a a a a b a ++=++.解:231123112323123231123231nin i nn ii n n nn in i nnini b a a a a b a a a a b a a b a a a b a a a D a a b a a b a a b a a a a a b a b a a a b a ====+∑++∑++=+=+∑+++∑+232323112311110001100()1()1001100()n n nni n i i i nnn i i a a a b a a a bb a a b a a b a b a a b a bb a b ==-=+=+∑+=+∑+=+∑[3.]计算行列式1110110110110111D =.解：111011*********111011101(1)101110111011011111111111n n D n n n --===---2(1)21220001010(1)(1)(1)(1)(1)(1)01001111n n n n n n n n -+----=-=---=---.[4.]计算行列式123111000022000002011n n D n n n---=---.解：(1)123123121100001000022002200000200002011011n n n n n n D nn n nn n+------==------11(1)(1)!(1)(1)!(1)22n n n n n n --++=--=- [5.]当λ取何值时，齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解?解：方程组的系数行列式1111(4)(1)112D λλλλ=-=--+-当1λ=-或4λ=时，0D =，方程组有非零解.6.设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随阵.已知12A =,求1*(3)2A A --. 解：1*1****32124416(3)222()||333327A A A A A A A A ---=-=-=-=-=-. 或1*111311228116(3)2()||33327||27A A A A A A A ------=-=-=-=-⋅=-.7.已知三阶矩阵A 的逆矩阵1111121113A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求*1()A -.解：1***11111(),()2E A A A A A A A A A A A A A A---======故，求A . 1111100111100111100(,)12101001011001011011300100210111001022A E -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭*15151100115212222010110,()21102201111101001002222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[8.]解矩阵方程AX B X =+,其中223231344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123111B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. 解：1()()(*)AX B X A E X B X A E B -=+⇒-=⇒=-,以下求1()A E --123100123100(,)221010025210343001001111A E E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭102110100132025210020365001111001111---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭110013213235350103,()3.2222001111111A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭将1()A E --代入(*)式可得1132107123517()331102*********X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭--⎝⎭⎝⎭. 9.已知A PQ =，其中12,(2,1,2)1P Q ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭,求10A .解：10()()()()()()()A PQ PQ PQ PQ P QP QP QP Q ==()999121222221224241212PQ -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.10.已知n 阶方阵A 满足232A A E O --=,试证A 可逆，并求1A -. 解：由2332(3)2()2A EA A E O A A E E A E ---=⇒-=⇒=.由定理2.2的推论知A 可逆，且132A EA --=. 四、证明题[1.],A B 是两个n 阶方阵，且AB A B =+，证明：AB BA =. 证明:()()AB A B A E B A A E B E A E =+⇒-=⇒--=-⇒()()()()(*)A E B A E E A E B E E ---=⇒--=.由(*)式知A E -与B E -互为逆矩阵，故A E -与B E -可交换.即有:()()()()A E B E B E A E --=--⇒AB A B E BA B A E AB BA --+=--+⇒=.[2.]A 为n 阶方阵，且有2A A =，证明：A E +可逆.证明: 22()2()(*)2AA A A E A A A A A E A =⇒+=+=⇒+=,另外还有()(**)A E E A E +=+.用(**)式减(*)式，可得:()()2AA E E E +-=，因此A E+可逆，且1()2AA E E -+=-.[3.]如果A 为非奇异的对称阵，则1A -也是对称阵. 证明:由于T A A =,因此有1111()()()T T T T E A A A A A A A A ----====由定理2.2的推论知11()T A A --=,即1A -是对称阵.4.A B 、均为n 阶矩阵，且A B A B +、、均可逆.证明：1111()()A B B A B A ----+=+.证明：由于有111111()[()]()()A B B A B A A B A B A A B A ------++=+++ 11111()()()()A B E A B A A B A A A B A -----=++=++ 11()()A A B A B A E --=++=根据定理2.2的推论知：1111()()A B B A B A ----+=+.5.已知A ,B 均为n 阶矩阵，||0B ≠,A E -可逆，且1()()T A E B E --=-,求证矩阵A 可逆.证明:由1()()T A E B E --=-,当有()()()()T T T T E A E B E A E B E AB A B E =--=--=--+因此()()(*)T T T T T T AB A B A B E B A B E B -=⇒-=⇒-=对(*)式两端取行列式有()00T T A B E B B A -==≠⇒≠.A 非奇必可逆.。
西南交通大学期末真题及答案09-10高等数学IIA卷解答
班 级 学 号 姓 名9．()(3)xyLy e dx x e dy -++=⎰ 2ab π ．其中L 是椭圆22221x y a b +=的正向．三、计算题（每小题8分，共64分）10．已知函数ln(u x =,曲线23:x ty t z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩.求(1) 曲线Γ在点(1,1,1)处切线方向的单位向量(沿t 增加方向);(2) 函数ln(u x =在点(1,0,0)处沿(1)所指方向的方向导数的值．解：(1) 切线方向 {}{}211,2,31,2,3t t t == ………………………………2’}1,2,3 …………………………………….4’ (2)ργρβραρρ)cos ,cos ,cos 1(lim 0+=∂∂→u l u ………………….…….….6’ 14131+=…………………………………………….………….8’ 11. 设 sin()0x y e x z ++= 计算,z z x y∂∂∂∂. 解：令(,,)sin()x y F x y z e x z +=+ ………………………….1’(,,)sin()cos()x y x y x F x y z e x z e x z ++=+++ (,,)sin()x y y F x y z e x z +=+ (,,)cos()x y z F x y z e x z +=+..4’1tan()x zF zx z x F ∂=-=--+∂ ………………………….6’tan()zx z y∂=-+∂ ………………………….8’ 12．计算二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解：66600cos cos x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ ……………………4’60cos xdx π=⎰601cos 2xdx π==⎰…………………………8’ 13计算三重积分 I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰．其中Ω由锥面z =与平面1z =所围成的区域.解：2221x y zI zdxdydz dzzdxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰⎰…………….4’1304z dz ππ==⎰ ………………8’或解2211x y I zdxdydz dxdy Ω+≤==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………..4’()22221112x y x y dxdy +≤=--⎰⎰4π= ………………….8’ 14．设Γ是曲线2222x y z a x y z⎧++=⎨++=⎩,计算 22()x y ds Γ+⎰． 解： 222222()()3x y ds x y z ds ΓΓ+=++⎰⎰ …………………4’ =223a ds Γ⎰ ………………….6’=343a π ………………….8’15．计算32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰，∑为抛物面224z x y =--被平面0z =所截下的部分的下侧.解；作曲面221:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。
08-09高等数学(2)试卷(8开)-罗
姓 名
线
7. 交换二次积分次序 dy
1
0
1 y 2
f x, y dx 。
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四．求级数 nxn 1 的和函数。 （本题 6 分）
n 1
2 2 2 2
f 2 f 4.设 u f 2x 3 y 2z ，求 ， 2 。 x x
3
2
的 区 域 。 请 作 球 坐 标 变 换 化 为 三 次 积 分 ( 不 必 计 算 结 果) 7. 设 a
。
{3,5,2}, b {2,1,9} 则
时 a b 与 a 垂直。 。
x 0 y 0
专 业
xy xy 1 1
2.设 u e x y z ，x t ，y sin t ，z cost ， 求
du dt
评卷人签名
装
一
填空题： （每小题 4 分, 共 32 分, 把答案填在题中横线上） 条 件 是 z f x, y 在 点
班 级
8.微分方程 y y 2 y 0 的通解是
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5. 判断级数
3 n n! 的敛散性。 n n 1 n
8. 求幂级数 1
姓 名
线
教务处制
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南京邮电大学2008/2009学年第二学期
《高等数学A》(下）期中试卷
院(系) 班级 学号 姓名
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分
得分
一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）
1、函数zxyu2在点)211(，，M处沿方向}1,4,2{l的方向导数为 ( ) (A) 21 (B) 21 (C) 0 (D) }1,4,2{ 2、设),(yxf在),(00yxP处两个偏导数存在，则0),(),(0000yxfyxfyx是函数在该点取得极值的 ( ) (A) 充分条件 (B) 充要条件 (C) 必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 3、设是常数，则级数13)1cos(nnnn ( ) (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性与有关 4、幂级数01)1(12nnnxn的收敛域为 ( ) （A）)21,23[ （B）)21,23( （C）]21,23[ （D）]21,23( 5、微分方程xyycos9的特解y的形式为 ( ) A、)sincos(xbxaex B、)sincos(xbxax C、xacos D、xbxasincos 得 分
装
订
线
内 不 要 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则
，
诚
信
考
试
，
绝
不
作
弊
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二、填空题（本大题分5小题，每题3分，共15分）
1、设0xyzez，求xz
2、曲线06222zyxzyx在点M)1,2,1(处的切线方程
3、设)(xf是周期为2的周期函数，它在),[上的表达式为
xxxxf0
02
)(
2
，设它的傅立叶级数的和函数为),(xS则)(S
4、微分方程02yxy的通解为
5、
已知二阶线性非齐次微分方程的三个特解xyy21,1，23xy，其
通解为
三、(本题8分）
设),(yxxyfz，其中),(vuf的二阶偏导数连续，
求yxzxz2,
四、(本题8分）
已知曲面,1:zyx求该曲面的切平
面，使其在三个坐标轴上的截距之积最大。
得 分
得 分
得 分
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五、（本题16分，每小题8分）
讨论下列级数的敛散性，若非正项
级数收敛，则说明是绝对收敛还是条件收敛。
1. 123tan)1(nnn 2. 2ln1)1(nnnn
六、(本题8分）
将函数341)(2xxxf展开成1x的幂级数。
七、(本题8分）
将定义在],[的函数xxf)(展开成傅立叶级数。
得 分
得 分
得 分
装
订
线
内 不 要 答 题 自 觉 遵 守 考 试 规 则
，
诚
信
考
试
，
绝
不
作
弊
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八、(本题8分）
求微分方程)lnln1(xyyyx的通解。
九、（本题8分）
设)(xf为连续函数，且满足
xxxdtttfdttfxexf00)()()(
，求)(xf。
十、（本题6分）
设22),(yxrrfu满足方程
22
222
2
yxyuxu
，其中)(rf二阶可导，且1)1()1(ff，求
)(rf
得 分
得 分
得 分