高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训1三角函数问题文

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高三数学二轮专题复习三角函数

三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为；图象的对称中心是；对称轴方程是；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是．说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．方法二由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6．基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值；（3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值．说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时三角恒等变换例1 cos(－600°)＝．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值．说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为．说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时解三角形例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。

2020版高考数学大二轮复习专题一大题考法课三角函数、解三角形课时训练(2021-2022学年)

三角函数、解三角形错误!未定义书签。

１.(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P 错误!。

（1）求sin(α+π)的值；(２)若角β满足s ｉn(α+β）=513,求c ｏs β的值. 解：(1)由角α的终边过点P 错误!，得s ｉn α＝－错误!。

所以si ｎ(α＋π)=-ｓｉn α=错误!。

(２）由角α的终边过点Ｐ错误!未定义书签。

，得ｃos α=-错误!未定义书签。

由si ｎ(α＋β）＝错误!未定义书签。

，得cos(α＋β）＝±1213。

由β=（α+β）－α，得cos β=cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以ｃos β＝-＼ｆ(５６，65）或cos β＝166５. ２.已知在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,ｃ,且错误!=错误!未定义书签。

.（1)若错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

,求角A 的大小;(2)若ａ=1,t ａn Ａ=2错误!,求△ABC 的面积．解：(１)由错误!=错误!及正弦定理得si ｎ B (１-2cos A ）=2s ｉn A cos B ，即s ｉn B ＝２ｓin A ｃｏｓ B +2co ｓＡs ｉn B =2s ｉｎ(A +B )＝2sin C ，即b ＝2c .又由错误!=错误!未定义书签。

及余弦定理,得cos A =错误!＝错误!未定义书签。

⇒A =错误!。

(2）∵t ａｎＡ=２＼ｒ（2），∴ｃos Ａ=错误!未定义书签。

，ｓｉn A ＝错误!。

由余弦定理cos A ＝错误!未定义书签。

，得错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

，解得c 2=错误!未定义书签。

,∴S △A ＢＣ＝错误!未定义书签。

ｂｃｓin A =c 2ｓｉn Ａ=＼ｆ(3,1１)×错误!＝错误!.3．已知函数f （x )=ｍcos x ＋s ｉn 错误!的图象经过点P 错误!未定义书签。

2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题限时集训1三角函数问题

专题限时集训(一) 三角函数问题[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·广州二模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C.]2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )【导学号：04024029】A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.] 3．若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )【导学号：04024030】A ．－32B ．－12C.12D ．32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.]4．(2017·郑州模拟)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图15所示，则f (0)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图15A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．(2017·海口二模)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2α的值为( ) 【导学号：04024031】A.2325B ．－2325C.78D ．－78A [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－α＝2325.]二、填空题6．(2016·合肥三模)已知tan α＝2，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________.【导学号：04024032】35 [∵tan α＝2，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(3π＋α)cos(2π－α) ＝cos 2α＋sin αcos α ＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝1＋tan αtan 2α＋1 ＝1＋24＋1＝35.] 7．已知函数f (x )＝sin 2x －sin 4x ，则f (x )的单调递减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π4，k π2(k ∈Z ) [f (x )＝sin 2x －sin 4x ＝sin 2x cos 2x ＝14sin 22x ＝18－18cos 4x ，令2k π－π≤4x ≤2k π，k ∈Z ，解得12k π－π4≤x ≤12k π，k ∈Z .]8．若将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π9个单位长度得到的图象与将函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象上的所有点向右平移π12个单位长度得到的图象重合，则ω＝________.3 [由题意知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3的图象向左平移π9＋π12＝7π36个单位长度得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象，则g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π36－π3＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7π36ω－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，于是7π36ω－π3＝π4，即ω＝3.]三、解答题9．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．【导学号：04024033】[解](1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间. 5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12， 7分当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－2．由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z ． 12分10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图16所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ ＝13.图16(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域． [解](1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55．又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2). 3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6．将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x . 7分∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3)．[B 组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( ) A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cosα＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.] 2．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )【导学号：04024034】A.32B.12C.－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2017·衡水二模)已知函数g (x )的图象向左平移13个单位所得的奇函数f (x )＝A cos(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图17所示，且△MNE 是边长为1的正三角形，则g (x )在下列区间递减的是( )图17A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，92C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－16B [由题意可知，A ＝32，函数f (x )的周期T ＝2πω＝2. 所以ω＝π，可得函数f (x )＝32cos(πx ＋φ)，又函数f (x )为奇函数．所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，所以φ＝π2.即f (x )＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝－32sin πx ，g (x )＝－32sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π3.由－π2＋2k π≤πx －π3≤π2＋2k π，k ∈Z .得－16＋2k ≤x ≤56＋2k ，k ∈Z .依次检验四个选项可知只有B 项符合题意．] 二、填空题5．已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝________. 【导学号：04024035】－210[∵函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，∴函数的周期T ＝2×π2＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．∵sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝sin π4cos φ＋cos π4sin φ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.]6．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.【导学号：04024036】⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]三、解答题7．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．[解](1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6．(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.7分因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z ．由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z ． 10分由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6．8．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R .(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值. 【导学号：04024037】[解](1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3．当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7分由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35．8分∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45． 10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，11分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452＝－1010．12分。

高三数学二轮复习：专题一三角函数

解答
思维升华
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝ Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx ＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
跟踪演练 3 已知函数 f(x)＝4cos ωxsinωx－π6(ω>0)的最小正周期是 π. (1)求函数f(x)在区间(0，π)上的单调递增区间；
周期为____π____，最大值为____4____.
解析
∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos
1－cos 2x－ 2
2x＋2＝32cos
2x＋52，
∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.
解析答案
2.(2018·全国Ⅱ改编 )若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则a的最 3π
1 A.2
1 B.3
1 C.6
√D.－16
解析答案
热点二三角函数的图象及应用
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2，π，32π，2π，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得. (2)图象变换： (先平移后伸缩)y＝sin x―向――平左―移―φ―|>φ―0|个―或―单―向位―右―长―φ度―<―0→ y＝sin(x＋φ)
2
例1 (1)(2018·资阳三诊)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负
半轴重合，若它的终边经过点P(2,1)，则tan 2α等于
√A.34
1 B.2
C.－21
D.－43
解析因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边

高三数学第二轮三角函数专题复习资料

高三数学第二轮三角函数专题复习资料考点一：三角函数的概念例1、若角α的终边经过点P (12),则 2α的值为 . 解：222tan 4tan 2,tan 2.11tan 3αααα-==-∴==- 点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。

考点二：同角三角函数的关系例２、若cos 2sin αα+=则tan α=( ) （A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 解：由cos 2sin αα+=cos 2sin αα=，又由22sincos 1αα+=，可得：2sin α＋（2sin α）2＝1可得αsin ＝－552，cos 2sin αα=＝－55，所以，tan α＝ααcos sin ＝2。

例3、）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解：由5tan 12α=-，所以，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1cos sin 125cos sin 22αααα，α是第四象限角，解得：sin α=513- 考点三：诱导公式例4、若==+θθπ2cos ,53)2sin(则 . 解：由3sin()25πθ+=可知，3cos 5θ=；而2237cos 22cos 12()1525θθ=-=⨯-=-。

考点四：三角函数的图象和性质例5、设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<解：2sin 7a π=，因为2472πππ<<，所以220cos sin 1tan 7772πππ<<<<，选D ．例6、函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）解： ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos x 的值域可以确定.因此本题应选A.例7、把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（） A ．sin 23y x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，解：sin x3π−−−−−−→向左平移个单位sin()3y x π=+12−−−−−−−→横坐标缩短到原来的倍sin(2)3y x π=+，故选（C ）。

高考数学第二轮复习三角函数[最新版]

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08高考数学第二轮复习三角函数一、本章知识结构：应用二、高考要求一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

二．掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、的物理意义。

五．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

高三数学第二轮复习讲义三角函数

三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式） 3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明． 4．掌握正弦定理、余弦定理，运用它们解三角形 1. 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝， 2．sin(α±β)＝sin α cos β±cos α sin β cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝； tan2α＝ . 类型一：求值例1. 已知tan α=2,求下列各式的值：（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.变式训练1. 已知－02<<x π，sin x ＋cos x ＝51．（1）求sin x －cos x 的值．（2）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．类型二：化简例2. 化简：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒变式训练2.化简［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］· 80sin 22类型三：角的变换例3. 已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(43π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．变式训练3：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.类型四：求解析式例4：已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，则常数a 、b 的值分别是．变式训练4：如图为y=Asin(ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式.类型五：求最值例5：设函数a x x x x f ++=ϖϖϖcos sin cos 3)(2（其中ω>0，a ∈R ），且f(x)的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π．（1）求ω的值；（2）如果)(x f 在区间]65,3[xπ-的最小值为3，求a 的值．变式训练5：求下列函数的值域：（1）y=xxx cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx; （3）y=2cos )3(x +π+2cosx.类型六：求单调区间例6：已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.变式训练6：已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？类型七：三角与不等式例7：设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．变式训练7：（Ⅰ）在ABC ∆中，已知,sin 232cos sin 2cossin 22B AC C A =+ （1）求证：c b a ,,成等差数列；（2）求角B 的取值范围.类型八：三角应用题例8：某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？变式训练8：如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，计划在矩形区域内（含边界）且与A ，B 等距的O 点建污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．（1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAD θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；（ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂O 的位置，使三条污水管道的总长度最短．A BC D O P三角函数章节测试题一、选择题1．若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝（）A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x 2．设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是（） A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值 C ．有最大值且有最小值 D ．既无最大值又无最小值 3．函数f(x)＝xxcos 2cos 1- （）A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ，上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 4． y ＝sin(x －12π)·cos(x －12π)，正确的是（）A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0)B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 5．把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为（）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝06．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则（） A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2π C ．ω＝21，θ＝4πD ．ω＝2，θ＝4π 二、填空题7．已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为。

高三数学二轮专题复习资料(理)

专题一：三角函数与平面向量一、高考动向：1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()y A x ωϕ=+的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．二、知识再现：三角函数跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数，不等式，立体几何问题时，三角函数是常用的工具，在实际问题中也有广泛的应用，平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、距离、共线等问题，以解答题为主。

1．三角函数的化简与求值（1）常用方法：① ② ③（2）化简要求：① ② ③ ④ ⑤ 2．三角函数的图象与性质（1）解图象的变换题时，提倡先平移，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

（2）函数x y sin =，x y cos =，x y tan =图象的对称中心分别为。

高三二轮复习资料三角函数部分

三角函数专题训练1．已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos x －3π，g (x )＝2sin 22x .(1)若α是第一象限角，且f (α)＝5.求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈26,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．3．设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角． (1)若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值； (2)若a ∥b ，求sin 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 4．已知向量)cos ,(sin ),sin 3,(sin x x n x x m -==，设函数n m x f ⋅=)(.（1）求函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若1)62sin()(=-+πA A f ，7=+c b ，ABC ∆的面积为32，求边a 的长．5．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝6π处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝42616cos x sin x f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋的值域．6．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)＝2，求α的值．7．设向量a ＝x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．8．已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a·b ＋1，其中A >0，ω>0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为2π，且当x ＝12π时，f (x )取得最大值3.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ>0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．9．已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围．10．已知函数f (x )2x ＋sin x cos x ，x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求f (x ) 的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值． 11．函数f (x )＝A sin 6x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，f 2α⎛⎫⎪⎝⎭＝2，求α的值．12．已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋2ωx 其中ω>0)，且函数f (x )的周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移4π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在,624ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调区间．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈26,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．14．已知函数x x f 2cos )(=x x cos sin +. （1）求)(x f 的最小正周期和最小值；（2）若4(πα∈，)2π且462)83(-=+παf ，求α的值.15．已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在A B C ∆中，A 、B 、C 分别为三边a b c 、、所对的角，若(A)1a f ==，求b c+的最大值.16．已知m ＝(2cos x ＋x,1)，n ＝(cos x ，－y )，且m ⊥n . (1)将y 表示为x 的函数f (x )，并求f (x )的单调增区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ()2A＝3，且a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．17．已知函数f (x )ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为2π. (1)求f (x )的解析式． (2)将函数f (x )的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．18．已知函数f (x )ωx －sin 22x ω＋12(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值及函数f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈0.2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的取值范围． 19．已知函数f (x )＝cos ()3x π+cos ()3x π-－sin x cos x ＋14(1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)求函数f (x )单调递增区间． 20．已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值． 21．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos B ＝c cos B ＋b cos C . (1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值． 22．已知向量m＝14x ⎫⎪⎭，，n ＝244x x cos cos ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. (1)若m·n ＝1，求cos 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cosB ＝b cosC ，求函数f (A )的取值范围． 23．已知向量()3cos ,cos ,a x x =向量()sin ,cos ,b x x =记().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 24．已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==，x R ∈，函数(),f x m n =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中，设角A ，B 的对边分别为,a b ，若2B A =，且26b a f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求角C 的大小．25．已知向量a=(sin 2cos )x x ，，b=(2sin sin )x x ，，设函数()f x =a ⋅b ．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间7[]1212ππ，上的最大值和最小值． 26．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，C ＝3π，求△ABC 的面积． 27．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 28．在△ABC 中，已知AB AC ⋅＝3BA BC ⋅. (1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝5，求A 的值． 29．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°. (1)求a bsin A sin B＋＋的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．30．已知向量2(3sin,1),(cos ,cos ).444x x xm n ==记()f x m n =⋅. （1）若3()2f α=，求2cos()3πα-的值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，若()f A =ABC 的形状. 31．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A B -⎛⎫⎪⎝⎭cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．32．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23(1)求b 的值； (2)求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A A )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝b ＝5，求sin B sin C 的值．36．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．参考答案1．（1）15（2）{x |2k π≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z} 【解析】f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝2sin x －12cos x ＋12cos x ＋2sin x x ，g (x )＝2sin 22x＝1－cos x .(1)由f (α)sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x ，x ＋cos x ≥1.于是sin 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭≥12. 从而2k π＋6π≤x ＋6π≤2k π＋56π，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z.故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z}2．（1）f (x )＝2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭（2）x ＝－23x ＝－4时，小值为－【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω，∴ω＝4π，得f (x )＝2sin 4x πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由4π×1＋φ＝2k π＋2π⇒φ＝2k π＋4π，又|φ|<2π，∴φ＝4π.∴f (x )＝2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭.(2)y ＝2sin4π＋2sin (2)44x ππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝2sin 4π＋2cos 4π.＝42x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＝4πx ，∵x ∈26,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴4πx ∈2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴当4πx ＝－6π，即x ＝－23时，y当4πx ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－3．（12 【解析】(1)因为a·b ＝2＋sin θcos θ＝136，所以sin θcos θ＝16.(2分) 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43.又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ分) (2)法一：因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分) 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝22222415sin cos tan sin cos tan θθθθθθ＝＝＋＋，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝2222221315cos sin tan sin cos tan θθθθθθ－－＝＝－＋＋.(11分)所以sin 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝12sin 2θ＋2cos 2θ＝12×45＋2×35⎛⎫ ⎪⎝⎭－＝410-.(14分)法二因为a ∥b ，所以tan θ＝2.(7分)所以sin θcos θ 因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝45， cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35.(11分)所以sin 23πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝12sin 2θθ＝12×4535⎛⎫ ⎪⎝⎭－. 4．（1）函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）边a 的长为5. 【解析】试题分析：（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将()f x m n =⋅化简为()f x 1sin(2)26x π=-+.通过研究sin(2)6x π+ 的单调减区间得到函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）根据两角和的正弦公式，求得3A π=，利用三角形的面积，解得8=bc ，结合7=+c b ,由余弦定理得22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+从而得解.试题解析：（1）由题意得21cos 2()sin cos 222x f x x x x x -==- 1sin(2)26x π=-+ 3分令3222262k x k πππππ+≤+≤+,Z k ∈解得：263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，263x ππ∴≤≤，或7362x ππ≤≤ 所以函数()f x 在3[0,]2π上的单调递增区间为2[,]63ππ，73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6分（2）由1)62sin()(=-+πA A f 得：1)62sin()62sin(21=-++-ππA A 化简得：212cos -=A 又因为02A π<<，解得：3π=A 9分由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ，解得8=bc ，又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=故所求边a 的长为5. 12分考点：平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.5．（1）f (x )＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭（2）71,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪75,42⎛⎤⎥⎝⎦【解析】(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2. 因为f (x )在x ＝6π处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin 26πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝1，所以3π＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z.又由－π＜φ≤π，得φ＝6π. 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭. (2)g (x )＝424261622 2222cos x sin x cos x cos x cos x sin x π⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋－＝＋＝22222(21)(32)3112(21)22cos x cos x cos x cos x cos x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭－＋＝＋－因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故函数g (x )的值域为71,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪75,42⎛⎤⎥⎝⎦. 6．（1）最小正周期T ＝2π（2）α＝916π【解析】(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x ·sin 2x ＋12cos 4x ＝12 (sin 4x ＋cos 4x )＝2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π(2)由f (α)sin 44πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1. ∵α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则94π<4α＋4π<174π，所以4α＋4π＝52π，故α＝916π.7．（1）x ＝6π（2）32【解析】(1)由|a |2＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)f (x )＝a ·b x ·cos x ＋sin 2x＝2sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π， ∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1. 所以f (x )的最大值为32. 8．（1）f (x )＝2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1（2）3π 【解析】(1)f (x )＝a·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为2π，∴T ＝π＝2πω.∴ω＝2.∵当x ＝12π时，f (x )的最大值为3.∴A ＝3－1＝2，且2·12π＋θ＝2k π＋2π(k ∈Z)．∴θ＝2k π＋3π.∵θ为锐角，∴θ＝3π.∴f (x )＝2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin 2()3x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∵g (x )为奇函数，∴2φ＋3π＝k π，φ＝2k π－6π (k ∈Z)．∵φ>0，∴当k ＝1时，φ取最小值3π9．（1）f (x )＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】(1)由图象知M ＝1，f (x )的最小正周期T ＝4×5126ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＝π，故ω＝2T π＝2. 将点,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入f (x )的解析式得sin 3πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，即3π＋φ＝2k π＋2π，φ＝2k π＋6π，k ∈Z ，又|φ|<2π∴φ＝6π. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C ，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝3π，∴A ＋C ＝23π. ∵f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又∵0<A <23π，∴A ＋6π∈5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴sin 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭∈1,12⎛⎤⎥⎝⎦，∴f 2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭∈1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦.10．（1）56π或π.（21.【解析】(1)令f (x )＝0得sin x x ＋cos x )＝0，所以sin x ＝0，或tan x ＝－3.由sin x ＝0，x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得x ＝π；由tan x x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得x ＝56π. 综上，函数f (x )在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点为56π或π.(2)f (x )(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为x ∈,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2x －3π∈25,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当2x －3π＝23π，即x ＝2π时，f (x )当2x －3π＝32π，即x ＝1112π时，f (x )的最小值为－111．(1) y ＝2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋1 (2) α＝3π. 【解析】(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋1. (2)∵f 2α⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin ()6πα-＋1＝2，∴sin ()6πα-＝12. 由0＜α＜2π，知－6π＜α－6π＜3π，∴α－6π＝6π，∴α＝3π. 12．（1）ω＝1（2）单调递增区间为,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】(1)因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋2ωx sin 2ωx 2ωx ＝2sin 23x πω⎛⎫+⎪⎝⎭，又因为函数f (x )的周期为π，且ω>0，所以T ＝22πω＝πω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭. 将函数y ＝f (x )的图象向右平移4π个单位后得到函数y ＝2sin2 ()4x π-＋3π＝2sin(2)6x π- 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )＝2sin(4x －6π)的图象．由－2π＋2k π≤4x －6π≤2π＋2k π(k ∈Z)，得2k π－12π≤x ≤2k π＋6π (k ∈Z)；由2π＋2k π≤4x －6π≤32π＋2k π(k ∈Z)，得2k π＋6π≤x ≤2k π＋512π (k ∈Z)．故函数g (x )在,624ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,612ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦13．（1）f (x )＝2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭（2，最小值为－【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8＝2πω， ∴ω＝4π，得f (x )＝2sin 4x πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由4π×1＋φ＝2k π＋2π⇒φ＝2k π＋4π，又|φ|<2π，∴φ＝4π.∴f (x )＝2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (2)y ＝2sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2sin (2)44x ππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝2sin 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋2cos 44x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.＝42x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭＝242x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4πx ，∵x ∈26,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴4πx ∈3,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∴当4πx ＝－6π，即x ＝－23时，y当4πx ＝－π，即x ＝－4时，y 的最小值为－ 14．（1）πωπ==2T ，2221)(min -=x f ；（2）3π. 【解析】试题分析：(1)首先根据二倍角公式x x x x x 2sin 21cos sin ,22cos 1cos 2=+=进行化简，并将函数()f x 的解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后利用最小正周期公式ωπ2=T ,最小值为b A +-,可得结果；(2)将83πα+代入()x f ,化简⎪⎭⎫ ⎝⎛+83παf ，利用462)83(-=+παf 得到三角函数值，根据⎪⎭⎫⎝⎛∈24ππα，，得到α的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：x x f 2cos )(=x x cos sin +x x 2sin 2122cos 1++=21)42sin(22++=πx ， 4分 πωπ==2T ，2221)(min -=x f ，所以)(x f 的最小正周期为π，最小值为2221-. 8分（2）解：=+)83(παf 212sin 22+-α462-=，所以232sin =α， 11分因为4(πα∈，)2π，所以322πα=，3πα= 因此α的值为3π. 13分考点：1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.15．（1）T π=，函数的单调递增区间为(,)()36k k k Z ππππ-++∈；（2）因此b c +的最大值为【解析】试题分析：（1）将函数()x f 的解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，合并后提取2，再利用两角和与差的正弦函数公式求出函数的最小正周期，由正弦函数的递增区间列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到()x f 的递增区间；（２）由(A)1f =及确定出的()x f 的解析式，变形后利用特殊角的三角函数值求出A 的度数，可得出cos A 的值，再由a 的值，利用余弦定理列出关系式，将a 与cos A 的值代入，利用完全平方公式变形后，再利用基本不等式即可求出b c +的最大值．试题解析：（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+2sin(2)6x π=+， 3分所以函数的最小正周期为22T ππ==. 4分由222()262k x k k Z πππππ-+<+<+∈得()36k x k k Z ππππ-+<<+∈所以函数的单调递增区间为(,)()36k k k Z ππππ-++∈. 6分（2）由(A)1f =可得2sin(2)16A π+=，又0A π<<，所以3A π=。

三角函数专题高三数学二轮复习资料

三角函数专题高三数学二轮复习资料三角函数专题高三数学二轮复习资料南京高三第二轮数学专题复习讲稿第一课时高三数学第二轮复习材料三角函数专题一南京市高三数学二轮专题复习讲义例1已知sin2（？），余弦？价值。

23?? 3.解决方案：因为，所以2.因为Cos2是1，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2，CO2。

1?tanx，)，求的值。

413441? 坦克斯？5.3.X呢？（，）那么？十、解决方案：因为sin（？X）？4134424例2.已知sin(??x)?5，且x?(?3?所以cos(?4?x)??1213，?tanxπ4?tan(tanx所以1?tanx1?tanxtan?π4π4?x)?cot(π4?x)??125。

1.棕褐色的例3.已知sin??cos??解：因为sin??cos??2323，??(0，?)，求sin?、cos?及sin??cos?的值。

?(1)平方得sin?cos518，又因为??(0，?)，33那么罪呢？？0个原因因此，332sin？？2.614，因为？？22? 6142327sin？？余弦？？（罪过（罪？罪？因？因？）例4.已知cos(?4??)?35，?23?242，求cos(2??7253?4,因为?3?2?4)的值。

解决方案：Cos2（？）还有COS（？4）？2cos（35？0？）？1.2，45，4)744，从而sin(??2425，4) 那么sin2（±4）？2sin（？4）cos（？4）？二南京市高三数学二轮专题复习讲义cos（24）？cos[2（？4）？4]？22[cos2（？4）？sin2（？4）]31502。

备用题1.22问谭？价值。

已知的罪？（1？婴儿床？）？余弦？（1？晒黑？）？2.(0，2?)。

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